§E7.21可解群

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可解群は、アーベル群を因子として段階的に組み立てられる群である。本稿では、交換子部分群とアーベル化から導来列を構成し、導来列が有限段で自明になることとアーベル因子をもつ正規列の存在が同値であることを証明する。さらに、可解性が部分群、商群、拡大について閉じていることを示し、有限群では組成因子だけから可解性を判定する。

1 交換子部分群とアーベル化

定義 1.1. 群GGの元x,yx,yに対して

[x,y]=xyx−1y−1[x,y]=xyx^{-1}y^{-1}

と定める。すべての交換子[x,y][x,y]で生成される部分群を

[G,G]=⟨[x,y]∣x,y∈G⟩[G,G]=\langle[x,y]\mid x,y\in G\rangle

と書き、GGの交換子部分群 (commutator subgroup) または導来部分群 (derived subgroup) という。ここで[x,y][x,y]をx,yx,yの交換子 (commutator) という。

定理 1.2. 交換子部分群[G,G][G,G]はGGの特性部分群である。商群

Gab=G/[G,G]G^{\mathrm{ab}}=G/[G,G]

はアーベル群であり、GGの アーベル化と呼ばれる。

アーベル群AAへの任意の準同型f ⁣:G→Af\colon G\to Aに対して、一意な準同型

f‾ ⁣:Gab⟶A\overline f\colon G^{\mathrm{ab}}\longrightarrow A

が存在し、商写像q ⁣:G→Gabq\colon G\to G^{\mathrm{ab}}と

f=f‾∘qf=\overline f\circ q

を満たす。

証明.α∈Aut⁡(G)\alpha\in\operatorname{Aut}(G)に対して

α([x,y])=[α(x),α(y)]\alpha([x,y])=[\alpha(x),\alpha(y)]

である。したがってα([G,G])⊆[G,G]\alpha([G,G])\subseteq[G,G]であり、α−1\alpha^{-1}にも同じ包含を適用すると等号を得る。ゆえに[G,G][G,G]は特性部分群であり、特に正規部分群である。

G/[G,G]G/[G,G]における二元x[G,G]x[G,G]、y[G,G]y[G,G]の交換子は

[x,y][G,G]=[G,G][x,y][G,G]=[G,G]

なので、この商群はアーベル群である。

AAはアーベル群なので、任意のx,y∈Gx,y\in Gに対して

f([x,y])=[f(x),f(y)]=eAf([x,y])=[f(x),f(y)]=e_A

である。したがって[G,G]⊆ker⁡f[G,G]\subseteq\ker fである。そこで

f‾(g[G,G])=f(g)\overline f(g[G,G])=f(g)

と定める。同じ剰余類の二つの代表元の差は[G,G]⊆ker⁡f[G,G]\subseteq\ker fに属するので、f‾\overline fは整定義された準同型であり、f=f‾∘qf=\overline f\circ qを満たす。qqは全射なので、この等式を満たすf‾\overline fの値は各剰余類上で一意に定まる。

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命題 1.3.N⊴GN\trianglelefteq Gとする。このとき、

G/N がアーベル群⟺[G,G]⊆N(1)G/N\text{ がアーベル群} \quad\Longleftrightarrow\quad [G,G]\subseteq N \tag{1}

が成り立つ。したがって、[G,G][G,G]はアーベル商を与える最小の正規部分群である。

証明. 商写像をq ⁣:G→G/Nq\colon G\to G/Nとする。G/NG/Nがアーベル群ならば、任意のx,y∈Gx,y\in Gに対して

q([x,y])=[q(x),q(y)]=eG/Nq([x,y])=[q(x),q(y)]=e_{G/N}

である。したがって、すべての交換子がker⁡q=N\ker q=Nに属するので[G,G]⊆N[G,G]\subseteq Nとなる。

逆に[G,G]⊆N[G,G]\subseteq Nとする。任意のx,y∈Gx,y\in Gに対して

[xN,yN]=[x,y]N=N[xN,yN]=[x,y]N=N

であるから、G/NG/Nの任意の二元は可換する。したがってG/NG/Nはアーベル群である。

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2 導来列と可解性

定義 2.1. 群GGの導来列 (derived series) を

G(0)=G,G(n+1)=[G(n),G(n)]G^{(0)}=G, \qquad G^{(n+1)}=[G^{(n)},G^{(n)}]

によって定める。ある整数n≥0n\geq0に対してG(n)={eG}G^{(n)}=\{e_G\}となるとき、GGを可解群 (solvable group) という。そのような最小のnnをGGの導来長 (derived length) という。

各G(n)G^{(n)}はGGの特性部分群である。実際、交換子部分群を取る操作は自己同型で保たれるので、nnに関する帰納法を適用することができる。したがって導来列は、GGの正規部分群からなる降下列である。

最初に、導来列が自明群へ達すると仮定し、その各項を並べた正規列を構成する。各因子をアーベル群にするため、等式[G(i),G(i)]=G(i+1)[G^{(i)},G^{(i)}]=G^{(i+1)}をアーベル商の判定条件へ適用する。逆向きには、アーベル因子をもつ正規列(Gi)(G_i)から包含G(i)⊆GiG^{(i)}\subseteq G_iを帰納的に示すことを中間目標とする。最後にG(r)⊆Gr={eG}G^{(r)}\subseteq G_r=\{e_G\}を得て可解性へ帰着する。

定理 2.2. 群GGについて次の二条件は同値である。

  1. GGは可解群である。

  2. 正規列

    G=G0▹G1▹⋯▹Gr={eG}G=G_0\triangleright G_1\triangleright\cdots\triangleright G_r=\{e_G\}

    が存在し、すべての因子Gi/Gi+1G_i/G_{i+1}がアーベル群である。

証明.(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。G(n)={eG}G^{(n)}=\{e_G\}を満たす最小のnnを取る。i<ni<nでG(i+1)=G(i)≠{eG}G^{(i+1)}=G^{(i)}\neq\{e_G\}ならば、それ以後の導来列も同じ部分群に停留するので、最小性に反する。したがってG(0),…,G(n)G^{(0)},\ldots,G^{(n)}は真の包含からなる。各区間について

[G(i),G(i)]=G(i+1)[G^{(i)},G^{(i)}]=G^{(i+1)}

であるから、(1) によってG(i)/G(i+1)G^{(i)}/G^{(i+1)}はアーベル群である。導来列は求める正規列を与える。

(2)⇒\Rightarrow(1)を示す。逆に、(2)の正規列が存在するとする。Gi/Gi+1G_i/G_{i+1}がアーベル群なので、(1) により

[Gi,Gi]⊆Gi+1[G_i,G_i]\subseteq G_{i+1}

である。G(i)⊆GiG^{(i)}\subseteq G_iをiiに関する帰納法で示す。i=0i=0ではG(0)=G=G0G^{(0)}=G=G_0である。G(i)⊆GiG^{(i)}\subseteq G_iならば

G(i+1)=[G(i),G(i)]⊆[Gi,Gi]⊆Gi+1G^{(i+1)} =[G^{(i)},G^{(i)}] \subseteq[G_i,G_i] \subseteq G_{i+1}

となる。したがってG(r)⊆Gr={eG}G^{(r)}\subseteq G_r=\{e_G\}であり、GGは可解である。

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3 準同型と導来列

補題 3.1. 準同型f ⁣:G→Hf\colon G\to Hと整数n≥0n\geq0に対して

f(G(n))=f(G)(n)f(G^{(n)})=f(G)^{(n)}

が成り立つ。また、部分群K≤GK\leq Gに対して

K(n)≤G(n)K^{(n)}\leq G^{(n)}

が成り立つ。

証明. 任意の部分群L≤GL\leq Gについて

f([L,L])=[f(L),f(L)](2)f([L,L])=[f(L),f(L)] \tag{2}

である。左辺は交換子の像で生成され、f([x,y])=[f(x),f(y)]f([x,y])=[f(x),f(y)]なので右辺に含まれる。右辺の各生成元は左辺に属するので、逆の包含も成り立つ。(2) をnn回繰り返すと第一の等式を得る。

第二の包含は、K(0)≤G(0)K^{(0)}\leq G^{(0)}から始め、交換子を取る操作が部分群の包含を保つことを用いる帰納法によって従う。

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商写像qN ⁣:G→G/Nq_N\colon G\to G/Nに補題 3.1を適用すると

(G/N)(n)=qN(G(n))=G(n)N/N(3)(G/N)^{(n)} =q_N(G^{(n)}) =G^{(n)}N/N \tag{3}

を得る。

定理 3.2. 次が成り立つ。

  1. 可解群の任意の部分群は可解である。
  2. 可解群の任意の商群は可解である。
  3. N⊴GN\trianglelefteq Gとする。NNとG/NG/Nがともに可解ならば、GGも可解である。

証明.G(r)={eG}G^{(r)}=\{e_G\}とし、K≤GK\leq Gとする。補題 3.1により

K(r)≤G(r)={eG}K^{(r)}\leq G^{(r)}=\{e_G\}

なのでKKは可解であり、(1)が成り立つ。

N⊴GN\trianglelefteq Gとする。(3) により

(G/N)(r)=G(r)N/N=N/N(G/N)^{(r)}=G^{(r)}N/N=N/N

なのでG/NG/Nは可解であり、(2)が成り立つ。

(3)を示す。(G/N)(a)={N}(G/N)^{(a)}=\{N\}、N(b)={eG}N^{(b)}=\{e_G\}とする。(3) によりG(a)≤NG^{(a)}\leq Nである。導来列の定義と部分群に関する単調性から

G(a+b)=(G(a))(b)≤N(b)={eG}G^{(a+b)} =(G^{(a)})^{(b)} \leq N^{(b)} =\{e_G\}

となる。したがってGGは可解であり、その導来長は高々a+ba+bである。

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4 無限可解線形群の例

例 4.1 (アフィン直線群).KKを無限体とする。K×=K∖{0}K^\times=K\setminus\{0\}は加法群(K,+)(K,+)にa⋅b=aba\cdot b=abによって作用する。この半直積を

Aff⁡1(K)=K⋊K× \operatorname{Aff}_1(K)=K\rtimes K^\times

と書き、元を(b,a)(b,a)と表す。積と逆元は

(b,a)(d,c)=(b+ad,ac),(b,a)−1=(−a−1b,a−1)(4) (b,a)(d,c)=(b+ad,ac), \qquad (b,a)^{-1}=(-a^{-1}b,a^{-1}) \tag{4}

である。この元はKK上のアフィン変換x↦ax+bx\mapsto ax+bを表す。また、

(b,a)⟼(ab01) (b,a)\longmapsto \begin{pmatrix} a&b\\ 0&1 \end{pmatrix}

はAff⁡1(K)\operatorname{Aff}_1(K)からGL⁡2(K)\operatorname{GL}_2(K)への単射準同型である。したがってAff⁡1(K)\operatorname{Aff}_1(K)は無限線形群である。

交換子を式 (4) から計算すると、

[(b,a),(d,c)]=((1−c)b+(a−1)d,1)(5) [(b,a),(d,c)] =\bigl((1-c)b+(a-1)d,1\bigr) \tag{5}

となる。よって、交換子部分群は平行移動だけからなるアーベル部分群

T={(t,1)∣t∈K} T=\{(t,1)\mid t\in K\}

に含まれる。

KKは無限体なので、a≠1a\neq1を満たすa∈K×a\in K^\timesを取ることができる。任意のt∈Kt\in Kに対してd=t/(a−1)d=t/(a-1)と置くと、式 (5) により

[(0,a),(d,1)]=(t,1) [(0,a),(d,1)]=(t,1)

である。したがって

[Aff⁡1(K),Aff⁡1(K)]=T,[T,T]={(0,1)}. [\operatorname{Aff}_1(K),\operatorname{Aff}_1(K)]=T, \qquad [T,T]=\{(0,1)\}.

この群の導来長は正確に22であり、Aff⁡1(K)\operatorname{Aff}_1(K)は無限可解線形群である。

5 組成因子による有限可解群の判定

定理 5.1. 有限群GGについて次の条件は同値である。

  1. GGは可解である。
  2. GGの一つの組成列のすべての組成因子が素数位数の巡回群である。
  3. GGのすべての組成列のすべての組成因子が素数位数の巡回群である。

証明.§E7.20 定理 4.1により、有限群GGは組成列をもつ。

GGが可解であるとする。組成列

G=G0▹⋯▹Gr={eG}G=G_0\triangleright\cdots\triangleright G_r=\{e_G\}

を一つ取る。定理 3.2により各GiG_iは可解であり、各商Gi/Gi+1G_i/G_{i+1}も可解である。組成因子S=Gi/Gi+1S=G_i/G_{i+1}は単純群である。SSが非アーベル群ならば[S,S][S,S]は非自明な正規部分群なので[S,S]=S[S,S]=Sとなり、導来列は自明群へ達しない。この結論はSSの可解性に反する。したがってSSはアーベル単純群である。§E7.19 定理 1.3によりSSは素数位数の巡回群である。よって(1)⇒\Rightarrow(2)が従う。

(2)を仮定する。その組成列はアーベル因子をもつ正規列なので、定理 2.2によりGGは可解である。したがって(2)⇒\Rightarrow(1)が従う。

§E7.20 定理 5.1により、任意の二つの組成列の組成因子は順序を除いて重複度とともに一致する。したがって(2)⇔\Leftrightarrow(3)は同値である。

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この定理により、有限群の可解性は組成列の選び方に依存しない単純因子の条件へ帰着する。

6 A5A_5と高次対称群

定理 6.1.A5A_5は可解でない。さらに、n≥5n\geq5ならばAnA_nとSnS_nは可解でない。

証明.§E7.19 定理 4.1によりA5A_5は単純群である。また、例えば(1 2 3)(1\,2\,3)と(3 4 5)(3\,4\,5)は可換しないので、A5A_5は非アーベル群である。したがって交換子部分群[A5,A5][A_5,A_5]は非自明な正規部分群であり、単純性によって

[A5,A5]=A5[A_5,A_5]=A_5

となる。A5A_5の導来列はすべてA5A_5に等しいので、A5A_5は可解でない。

n≥5n\geq5とする。最初の五文字をA5A_5と同じように動かし、残りの文字を固定する埋め込みによって

A5≤An≤SnA_5\leq A_n\leq S_n

となる。AnA_nまたはSnS_nが可解ならば、定理 3.2によってその部分群A5A_5も可解となり、前段に反する。したがってAnA_nとSnS_nは可解でない。

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この証明では、n≥5n\geq5に対するAnA_nの一般の単純性を用いていない。必要なのはA5A_5の単純性と、可解性が部分群へ遺伝することだけである。

例 6.2 (S4S_4は可解、S5S_5は非可解).V4={e,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)}V_4=\{e,(1\,2)(3\,4),(1\,3)(2\,4),(1\,4)(2\,3)\}とおく。V4V_4は部分群であり、共役によって二重互換が二重互換へ移るのでV4⊴A4V_4\trianglelefteq A_4である。またA4A_4はS4S_4の指数22の部分群なので、§E7.7 命題 3.1によりA4⊴S4A_4\trianglelefteq S_4である。したがって

S4▹A4▹V4▹{e}S_4\triangleright A_4\triangleright V_4\triangleright\{e\}

は正規列である。各因子の位数は順に2,3,42,3,4であり、最初の二因子は素数位数の巡回群、最後の因子V4V_4はアーベル群である。定理 2.2によりS4S_4は可解である。

一方、定理 6.1をn=5n=5に適用するとS5S_5は可解でない。

注意 6.3 (可解と冪零は同じ条件ではない).S3S_3は

S3▹A3▹{e}S_3\triangleright A_3\triangleright\{e\}

というアーベル因子をもつ正規列によって可解である。しかしS3S_3は冪零群ではない。この相違は次の記事で Sylow 部分群の正規性を用いて確認する。

7 演習

問題 7.1.

  1. [S3,S3]=A3[S_3,S_3]=A_3を示し、S3S_3の導来長を求めよ。
  2. N⊴GN\trianglelefteq Gとし、NNの導来長がbb、G/NG/Nの導来長がaaであるとする。GGの導来長が高々a+ba+bであることを、導来列の包含をすべて書いて示せ。
  3. 例 6.2の正規列を組成列へ細分し、S4S_4の組成因子を求めよ。
解答.

  1. 符号準同型の像はアーベル群なので、定理 1.2により[S3,S3]≤A3[S_3,S_3]\leq A_3である。一方、

    [(1 2),(2 3)]=(1 3 2)[(1\,2),(2\,3)]=(1\,3\,2)

    なのでA3≤[S3,S3]A_3\leq[S_3,S_3]である。したがって[S3,S3]=A3[S_3,S_3]=A_3であり、A3A_3はアーベル群なので導来長は22である。

  2. (G/N)(a)={N}(G/N)^{(a)}=\{N\}からG(a)≤NG^{(a)}\leq Nを得る。したがって

    G(a+b)=(G(a))(b)≤N(b)={eG}.G^{(a+b)}=(G^{(a)})^{(b)}\leq N^{(b)}=\{e_G\}.

  3. V4V_4の位数22の部分群C2C_2を一つ取ると、

    S4▹A4▹V4▹C2▹{e}S_4\triangleright A_4\triangleright V_4\triangleright C_2\triangleright\{e\}

    は組成列である。組成因子の多重集合は{C2,C3,C2,C2}\{C_2,C_3,C_2,C_2\}である。

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参考文献

  1. David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004.交換子部分群、導来列、可解群、および組成因子による判定を参考にした。
  2. Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4th ed., Graduate Texts in Mathematics 148, Springer, 1995.可解性の部分群・商群・拡大に関する閉性を参考にした。

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