群の拡大と外部作用 | 群論入門

1 短完全列と群の拡大

定義 1.1. 群準同型の列

1\longrightarrow N \xrightarrow{\iota}E \xrightarrow{\pi}Q \longrightarrow1

が短完全列 (short exact sequence) であるとは、次の三条件が成り立つことをいう。

\iota\text{ は単射},\qquad \pi\text{ は全射},\qquad \operatorname{im}\iota=\ker\pi.

この短完全列を $Q$ の $N$ による群の拡大 (group extension) と呼ぶ。

$\operatorname{im}\iota=\ker\pi$ は§E7.7 定理 1.3により $E$ の正規部分群である。以下では、単射 $\iota$ によって $N$ と $\iota(N)$ を同一視すると明記した場合に限り、 $N\trianglelefteq E$ と書く。

命題 1.2. 短完全列

1\to N\xrightarrow{\iota}E\xrightarrow{\pi}Q\to1

に対し、

\overline\pi\colon E/\iota(N)\longrightarrow Q,\qquad \overline\pi(e\iota(N))=\pi(e)

は群同型である。

証明. $\iota(N)=\ker\pi\trianglelefteq E$ であるから、商群 $E/\iota(N)$ が定まる。 $e\iota(N)=f\iota(N)$ ならば $f^{-1}e\in\iota(N)=\ker\pi$ であるため、

\pi(f)^{-1}\pi(e)=\pi(f^{-1}e)=e_Q

となり、 $\pi(e)=\pi(f)$ である。したがって $\overline\pi$ は代表元によらず定まる。また、

\overline\pi\bigl(e\iota(N)f\iota(N)\bigr) =\pi(ef)=\pi(e)\pi(f)

であるから準同型である。 $\pi$ の全射性から $\overline\pi$ も全射である。 $\overline\pi(e\iota(N))=\overline\pi(f\iota(N))$ ならば $\pi(f^{-1}e)=e_Q$ であるから、 $f^{-1}e\in\ker\pi=\iota(N)$ である。したがって $e\iota(N)=f\iota(N)$ となり、 $\overline\pi$ は単射である。▨

定義 1.3. 同じ両端 $N,Q$ を持つ二つの拡大

1\to N\xrightarrow{\iota}E\xrightarrow{\pi}Q\to1, \qquad 1\to N\xrightarrow{\iota'}E'\xrightarrow{\pi'}Q\to1

の拡大としての同型 (isomorphism of extensions) とは、群同型 $F\colon E\to E'$ であって

F\circ\iota=\iota',\qquad \pi'\circ F=\pi

を満たすものをいう。

この定義では、中間群が抽象群として同型であるだけでは不十分である。同型が核 $N$ と商 $Q$ の指定された写像を保つことを要求する。

定義 1.4. 拡大

1\to N\xrightarrow{\iota}E\xrightarrow{\pi}Q\to1

の切断 (section of an extension) とは、

s\colon Q\longrightarrow E,\qquad \pi\circ s=\operatorname{id}_Q

を満たす群準同型である。切断を持つ拡大を分裂拡大 (split extension) と呼ぶ。

切断は集合としての右逆写像ではなく、群準同型でなければならない。

2 拡大が定める外部作用

短完全列を一つ固定する。 $e\in E$ による共役は $\iota(N)=\ker\pi$ を保つ。そこで、 $\theta_e\colon N\to N$ を

\theta_e(n) =\iota^{-1}\bigl(e\iota(n)e^{-1}\bigr)

と定める。

証明では、まず短完全性から $\iota(N)=\ker\pi\trianglelefteq E$ を用い、各 $\theta_e$ が逆写像 $\theta_{e^{-1}}$ を持つ自己同型であることを示す。次に、同じ $q\in Q$ の二つの持上げの差を $\iota(N)$ の元で表し、二つの自己同型が内部自己同型だけ異なることを確認する。最後に、 $q,r$ の持上げの積を $qr$ の持上げとして用い、 $\theta_{ef}=\theta_e\circ\theta_f$ から外部作用の準同型性を導く。

定理 2.1. 群準同型

\iota\colon N\longrightarrow E,\qquad \pi\colon E\longrightarrow Q

が、 $\iota$ は単射、 $\pi$ は全射、 $\operatorname{im}\iota=\ker\pi$ を満たす短完全列

1\longrightarrow N\xrightarrow{\iota}E\xrightarrow{\pi}Q\longrightarrow1

をなすとする。各 $e\in E$ に対して写像

\theta_e\colon N\longrightarrow N,\qquad \theta_e(n)=\iota^{-1}\bigl(e\iota(n)e^{-1}\bigr)

を定める。このとき、各 $\theta_e$ は $N$ の自己同型である。さらに、 $q\in Q$ に対して $\pi(e)=q$ を満たす $e\in E$ を一つ取り、

\omega(q)=[\theta_e]\in \operatorname{Out}(N) =\operatorname{Aut}(N)/\operatorname{Inn}(N)

と定める。この類は $e$ の選択に依存せず、

\omega\colon Q\longrightarrow\operatorname{Out}(N)

は群準同型である。

証明. $\iota(N)=\ker\pi\trianglelefteq E$ であるから、 $e\iota(n)e^{-1}\in\iota(N)$ となり、 $\theta_e$ は矛盾なく定まる。 $n,m\in N$ に対し、

\begin{aligned} \iota\bigl(\theta_e(nm)\bigr) &=e\iota(nm)e^{-1}\\ &=e\iota(n)e^{-1}e\iota(m)e^{-1}\\ &=\iota\bigl(\theta_e(n)\theta_e(m)\bigr) \end{aligned}

である。単射性から $\theta_e(nm)=\theta_e(n)\theta_e(m)$ であり、 $\theta_e$ は準同型である。また、

\theta_e\circ\theta_{e^{-1}}=\operatorname{id}_N =\theta_{e^{-1}}\circ\theta_e

であるため、 $\theta_e\in\operatorname{Aut}(N)$ である。

$e,e'\in E$ がともに $q$ の持上げであるとする。このとき

\pi(e'e^{-1})=qq^{-1}=e_Q

であるから、ある一意な $a\in N$ によって

e'=\iota(a)e

と表される。任意の $n\in N$ に対し、

\begin{aligned} \theta_{e'}(n) &=\iota^{-1}\bigl(\iota(a)e\iota(n)e^{-1}\iota(a)^{-1}\bigr)\\ &=a\theta_e(n)a^{-1}\\ &=(c_a\circ\theta_e)(n) \end{aligned}

である。 $c_a\in\operatorname{Inn}(N)$ であるから、

[\theta_{e'}]=[c_a\circ\theta_e]=[\theta_e]

が $\operatorname{Out}(N)$ で成り立つ。したがって $\omega(q)$ は持上げによらない。

$q,r\in Q$ の持上げをそれぞれ $e,f\in E$ とすると、 $ef$ は $qr$ の持上げである。さらに、任意の $n\in N$ に対して

\begin{aligned} \iota\bigl(\theta_{ef}(n)\bigr) &=ef\iota(n)f^{-1}e^{-1}\\ &=e\iota\bigl(\theta_f(n)\bigr)e^{-1}\\ &=\iota\bigl((\theta_e\circ\theta_f)(n)\bigr) \end{aligned}

であるから、

\theta_{ef}=\theta_e\circ\theta_f.

よって

\omega(qr) =[\theta_{ef}] =[\theta_e][\theta_f] =\omega(q)\omega(r)

となり、 $\omega$ は群準同型である。▨

$\omega$ を、この拡大が定める $Q$ の $N$ への外部作用と呼ぶ。§E7.14 定理 3.1により $\operatorname{Out}(N)$ が商群として定義されていることが、この構成の前提である。

3 外部作用の持上げ

定義 3.1. 外部作用 $\omega\colon Q\to\operatorname{Out}(N)$ の準同型としての持上げ (homomorphic lift) とは、商写像を

p\colon\operatorname{Aut}(N)\longrightarrow\operatorname{Out}(N)

としたとき、

\beta\colon Q\longrightarrow\operatorname{Aut}(N),\qquad p\circ\beta=\omega

を満たす群準同型 $\beta$ をいう。

4 持上げを持つ非分裂拡大

例 4.1 ( $C_4$ による非分裂拡大). 加法群について

0\longrightarrow C_2 \xrightarrow{\iota}C_4 \xrightarrow{\pi}C_2 \longrightarrow0, \qquad \iota([a]_2)=[2a]_4,\quad \pi([x]_4)=[x]_2

を考える。 $\iota$ は単射、 $\pi$ は全射であり、

\operatorname{im}\iota=\{[0]_4,[2]_4\}=\ker\pi

であるから短完全列である。

§E7.14 命題 4.1により $\operatorname{Aut}(C_2)$ は自明群であり、 $\operatorname{Out}(C_2)$ も自明群である。したがって、この拡大が定める外部作用は自明であり、自明な準同型 $C_2\to\operatorname{Aut}(C_2)$ へ持ち上がる。

ところが、この拡大は分裂しない。切断 $s\colon C_2\to C_4$ が存在すると仮定する。 $\pi(s([1]_2))=[1]_2$ であるから、

s([1]_2)\in\{[1]_4,[3]_4\}

である。これら二つの元の位数はともに $4$ である。一方、準同型 $s$ は位数 $2$ の元を位数が $2$ を割る元へ写すため、矛盾する。よって切断は存在しない。

この例により、外部作用が $\operatorname{Aut}(N)$ へ持ち上がっても、与えられた拡大が分裂するとは限らない。拡大全体の分類は本稿では扱わない。

5 回転群の二重被覆

次の例では、 $\operatorname{SU}(2)$ から $\operatorname{SO}(3)$ への全射の構成を本稿の本論に用いない外部結果として扱う。この外部結果の委譲先は、参考文献に掲げた Hall の教科書である。必要な範囲は次の事実に限る。

注意 5.1 ( $\operatorname{SU}(2)$ の二重被覆に関する外部結果). 単位四元数の群と同一視した $\operatorname{SU}(2)$ は、純虚四元数の空間 $\operatorname{Im}\mathbb H\cong\mathbb R^3$ に

\rho(q)(v)=qvq^{-1}

によって作用する。この作用は全射準同型

\rho\colon\operatorname{SU}(2)\longrightarrow\operatorname{SO}(3)

を定め、その核は $\{\pm1\}=\{\pm I_2\}$ である。また、単位ベクトル $u\in\operatorname{Im}\mathbb H$ と実数 $\theta$ に対し、

q=\cos\frac{\theta}{2}+u\sin\frac{\theta}{2}

の像は、軸 $u$ の周りの角 $\theta$ の回転である。

例 5.2 ( $\operatorname{SU}(2)$ から $\operatorname{SO}(3)$ への非分裂拡大). 上の外部結果により、

1\longrightarrow\{\pm I_2\} \longrightarrow\operatorname{SU}(2) \xrightarrow{\rho}\operatorname{SO}(3) \longrightarrow1

は短完全列である。この拡大は分裂しない。

実際、 $R\in\operatorname{SO}(3)$ を任意の軸の周りの角 $\pi$ の回転とする。 $R$ の位数は $2$ である。上の軸角表示により、 $R$ の二つの持上げは $\pm u$ であり、

u^2=(-u)^2=-1

であるから、いずれも位数 $4$ を持つ。

切断 $s\colon\operatorname{SO}(3)\to\operatorname{SU}(2)$ が存在すると仮定すると、 $\rho(s(R))=R$ なので $s(R)$ は $\pm u$ のいずれかである。一方、 $s$ は準同型であるから

s(R)^2=s(R^2)=s(1)=1

でなければならない。この等式は $s(R)$ の位数が $4$ であることに反する。したがって切断は存在しない。

例 5.3 (正二十面体回転群の二重被覆). $I^+\leq\operatorname{SO}(3)$ を正二十面体の向きを保つ回転群とし、

2I=\rho^{-1}(I^+)\leq\operatorname{SU}(2)

と置く。制限準同型 $\rho|_{2I}$ によって

1\longrightarrow\{\pm I_2\} \longrightarrow2I \xrightarrow{\rho|_{2I}}I^+ \longrightarrow1

は短完全列となる。群 $2I$ を二項正二十面体群（binary icosahedral group）と呼ぶ。各 $g\in I^+$ の逆像は $q$ と $-q$ の二元からなるため、この短完全列は $I^+$ の二重被覆を群の拡大として表している。

正二十面体では、向かい合う二辺の中点を結ぶ軸の周りの角 $\pi$ の回転が $I^+$ に属する。この回転の二つの持上げは位数 $4$ を持つ。したがって、例 5.2で証明した、切断が存在しないことを示す議論を $I^+$ と $2I$ に制限すると、正二十面体回転群の拡大も分裂しない。

6 演習

問題 6.1.

$\theta_{ef}=\theta_e\circ\theta_f$ を、 $\iota$ を用いた定義から示せ。
外部作用の定義で、二つの持上げに対して $e'=\iota(a)e$ を満たす $a\in N$ が一意に存在する理由を説明せよ。
$C_4$ の拡大で、 $C_2\to C_4$ の任意の群準同型の像が $\{[0]_4,[2]_4\}$ に含まれることを示し、非分裂性を別の形で確認せよ。

解答 (演習の要点).

任意の $n\in N$ に対して $\begin{aligned} \iota(\theta_{ef}(n)) &=ef\iota(n)f^{-1}e^{-1}\\ &=e\iota(\theta_f(n))e^{-1} =\iota((\theta_e\circ\theta_f)(n)) \end{aligned}$ である。 $\iota$ の単射性により $\theta_{ef}=\theta_e\circ\theta_f$ となる。
$\pi(e)=\pi(e')=q$ から $e'e^{-1}\in\ker\pi=\operatorname{im}\iota$ である。したがって $e'e^{-1}=\iota(a)$ を満たす $a\in N$ が存在し、 $e'=\iota(a)e$ となる。 $\iota$ が単射であるため、この $a$ は一意である。
群準同型 $u\colon C_2\to C_4$ に対して $2u([1]_2)=u([0]_2)=[0]_4$ である。 $C_4$ で $2y=[0]_4$ を満たす元は $[0]_4,[2]_4$ だけであるため、 $\operatorname{im}u\subseteq\{[0]_4,[2]_4\}$ となる。切断 $s$ ならば $\pi(s([1]_2))=[1]_2$ でなければならないが、上の包含では像が $\ker\pi$ に含まれるため矛盾する。

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§E7.15群の拡大と外部作用