自己準同型と内部・外部自己同型 | 群論入門

1 自己準同型のモノイド

定義 1.1. 群 $G$ に対し、

\operatorname{End}(G) =\{f\colon G\to G\mid f\text{ は群準同型}\}

と置き、その元を $G$ の自己準同型 (endomorphism) と呼ぶ。また、

\operatorname{Aut}(G) =\{f\in\operatorname{End}(G)\mid f\text{ は全単射}\}

と置き、その元を $G$ の自己同型 (automorphism) と呼ぶ。

定義 1.2. 集合 $M$ と二項演算

M\times M\longrightarrow M,\qquad (x,y)\longmapsto xy

の組がモノイド (monoid) であるとは、この演算が結合律を満たし、両側単位元を持つことをいう。モノイドでは、各元が逆元を持つことを要求しない。

命題 1.3. 写像の合成を積とすると、 $\operatorname{End}(G)$ はモノイドをなす。単位元は恒等写像 $\operatorname{id}_G$ である。

証明. $f,g\in\operatorname{End}(G)$ とする。§E7.3 命題 1.4により、 $f\circ g\in\operatorname{End}(G)$ である。写像の合成は結合的であり、

\operatorname{id}_G\circ f=f=f\circ\operatorname{id}_G

が成り立つ。したがって $\operatorname{End}(G)$ はモノイドである。▨

証明では、全単射な準同型の合成、恒等写像、逆写像がすべて自己同型であることを順に確認し、 $\operatorname{Aut}(G)$ の群公理を閉じる。次に、 $\operatorname{End}(G)$ で両側逆元を持つ自己準同型が全単射であることを示す。逆向きには、全単射な準同型の逆写像も準同型であることを用い、自己同型が $\operatorname{End}(G)$ の可逆元であることを確認する。

定理 1.4. $\operatorname{Aut}(G)$ は写像の合成について群をなす。さらに、 $\operatorname{Aut}(G)$ はモノイド $\operatorname{End}(G)$ の可逆元全体に等しい。

証明. 全単射の合成は全単射であるから、 $\operatorname{Aut}(G)$ は合成について閉じている。結合律は写像の合成から従い、 $\operatorname{id}_G$ は自己同型である。 $f\in\operatorname{Aut}(G)$ とする。§E7.3 命題 1.5により、 $f^{-1}\in\operatorname{Aut}(G)$ である。したがって $\operatorname{Aut}(G)$ は群をなす。

$f\in\operatorname{End}(G)$ がモノイドの可逆元ならば、ある $g\in\operatorname{End}(G)$ が存在して

f\circ g=\operatorname{id}_G,\qquad g\circ f=\operatorname{id}_G

となる。よって $f$ は全単射であり、 $f\in\operatorname{Aut}(G)$ である。逆に $f\in\operatorname{Aut}(G)$ ならば、上で確認したように $f^{-1}\in\operatorname{End}(G)$ であるから、 $f$ は $\operatorname{End}(G)$ の可逆元である。▨

例 1.5 (可逆でない自己準同型). 加法群 $C_4=\mathbb Z/4\mathbb Z$ 上の写像

\delta([x]_4)=[2x]_4

は自己準同型である。しかし、 $\delta([0]_4)=\delta([2]_4)=[0]_4$ であるから単射でない。したがって $\delta$ は自己同型ではなく、 $\operatorname{End}(C_4)$ の可逆元でもない。この例は、 $\operatorname{End}(G)$ が一般には群にならないことを示す。

2 内部自己同型

§E7.12 定義 1.1で定義したように、各 $g\in G$ は写像

c_g\colon G\longrightarrow G,\qquad c_g(x)=gxg^{-1}

を定める。

定義 2.1.

\operatorname{Inn}(G)=\{c_g\mid g\in G\}

と置く。この集合を $G$ の内部自己同型群 (inner automorphism group) と呼び、その元を $G$ の内部自己同型 (inner automorphism) と呼ぶ。

証明では、まず $c_g$ が積を保ち、 $c_{g^{-1}}$ を逆写像に持つことを示す。次に $c_g\circ c_h=c_{gh}$ を直接計算し、 $c\colon G\to\operatorname{Aut}(G)$ の準同型性を得る。 $c_g=\operatorname{id}_G$ の条件を全ての元との可換性へ書き換えて核を $Z(G)$ と同定し、像は定義から $\operatorname{Inn}(G)$ と同定する。最後に第一同型定理を適用して $G/Z(G)\cong\operatorname{Inn}(G)$ を導く。

定理 2.2. 各 $c_g$ は $G$ の自己同型であり、写像

c\colon G\longrightarrow\operatorname{Aut}(G),\qquad c(g)=c_g

は群準同型である。その核と像は

\ker c=Z(G),\qquad \operatorname{im}c=\operatorname{Inn}(G)

である。したがって

G/Z(G)\cong\operatorname{Inn}(G)

が成り立つ。

証明. $g,x,y\in G$ に対し、

\begin{aligned} c_g(xy) &=gxyg^{-1}\\ &=(gxg^{-1})(gyg^{-1})\\ &=c_g(x)c_g(y) \end{aligned}

であるから、 $c_g$ は準同型である。また、

c_g\circ c_{g^{-1}}=\operatorname{id}_G =c_{g^{-1}}\circ c_g

であるため、 $c_g\in\operatorname{Aut}(G)$ である。

$g,h,x\in G$ に対し、

(c_g\circ c_h)(x) =g(hxh^{-1})g^{-1} =(gh)x(gh)^{-1} =c_{gh}(x)

である。したがって $c(gh)=c(g)\circ c(h)$ であり、 $c$ は群準同型である。

$g\in\ker c$ であることは、すべての $x\in G$ に対して

gxg^{-1}=x

が成り立つことと同値である。この等式は $gx=xg$ がすべての $x\in G$ について成り立つことと同値であるから、 $\ker c=Z(G)$ である。像が $\operatorname{Inn}(G)$ であることは定義から従う。§E7.8 定理 1.1 (第一同型定理)を $c$ に適用すると、

G/Z(G)=G/\ker c\cong\operatorname{im}c=\operatorname{Inn}(G)

を得る。▨

$\operatorname{Inn}(G)$ は準同型 $c$ の像であるから、 $\operatorname{Aut}(G)$ の部分群である。

3 内部自己同型群の正規性

証明では、 $\alpha\in\operatorname{Aut}(G)$ と $c_g\in\operatorname{Inn}(G)$ を固定し、 $\alpha\circ c_g\circ\alpha^{-1}$ の各 $x\in G$ における値を計算する。この計算が $c_{\alpha(g)}(x)$ に等しいことから、自己同型による共役が $\operatorname{Inn}(G)$ を自分自身へ写す包含を得る。最後に $\alpha^{-1}$ に同じ包含を適用して逆包含を導き、正規性を結論する。

定理 3.1.

\operatorname{Inn}(G)\trianglelefteq\operatorname{Aut}(G)

が成り立つ。より具体的には、 $\alpha\in\operatorname{Aut}(G)$ 、 $g\in G$ に対し、

\alpha\circ c_g\circ\alpha^{-1}=c_{\alpha(g)}

である。

証明. $x\in G$ とすると、

\begin{aligned} (\alpha\circ c_g\circ\alpha^{-1})(x) &=\alpha\bigl(g\alpha^{-1}(x)g^{-1}\bigr)\\ &=\alpha(g)x\alpha(g)^{-1}\\ &=c_{\alpha(g)}(x) \end{aligned}

である。したがって

\alpha\operatorname{Inn}(G)\alpha^{-1} \subseteq\operatorname{Inn}(G)

が成り立つ。 $\alpha^{-1}$ に同じ包含を適用すると

\alpha^{-1}\operatorname{Inn}(G)\alpha \subseteq\operatorname{Inn}(G)

である。この包含の両辺を $\alpha$ と $\alpha^{-1}$ で共役すると、

\operatorname{Inn}(G) \subseteq\alpha\operatorname{Inn}(G)\alpha^{-1}

を得る。よって等号が成り立ち、 $\operatorname{Inn}(G)\trianglelefteq\operatorname{Aut}(G)$ である。▨

定義 3.2. 内部自己同型群による商群

\operatorname{Out}(G) =\operatorname{Aut}(G)/\operatorname{Inn}(G)

を $G$ の外部自己同型群 (outer automorphism group) と呼ぶ。

正規性を証明したことにより、この商群の積は剰余類の代表元によらず定まる。

4 有限アーベル群の例

命題 4.1. $n\geq2$ とし、 $C_n=\langle x\rangle$ とする。このとき

\operatorname{Aut}(C_n)\cong(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times

である。また、 $C_n$ はアーベル群であるから

\operatorname{Inn}(C_n)=\{\operatorname{id}_{C_n}\},\qquad \operatorname{Out}(C_n)\cong(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times

である。

証明. $C_n$ の自己準同型は生成元 $x$ の像によって一意に定まり、その像は $x^a$ という形である。逆に、各整数 $a$ に対して

\alpha_a(x^m)=x^{am}

と定める。 $x^m=x^\ell$ ならば $n\mid(m-\ell)$ であるから $x^{am}=x^{a\ell}$ であり、この式は代表元によらず定まる。また、 $\alpha_a(x^{m+\ell})=\alpha_a(x^m)\alpha_a(x^\ell)$ であるから準同型である。したがって $C_n$ の自己準同型はすべてこの形である。写像 $\alpha_a$ が自己同型であることは、 $x^a$ が $C_n$ を生成すること、すなわち $\gcd(a,n)=1$ と同値である。実際、 $x^{am}=e$ は $n\mid am$ と同値であるから、

\operatorname{ord}(x^a)=\frac{n}{\gcd(a,n)}

である。 $\alpha_a(x)=x^a$ と書くと、

(\alpha_a\circ\alpha_b)(x)=\alpha_a(x^b)=x^{ab}

である。したがって

\alpha_a\longmapsto[a]_n

は $\operatorname{Aut}(C_n)$ から $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$ への全単射準同型を与える。

アーベル群では $gxg^{-1}=x$ がすべての $g,x$ について成り立つため、内部自己同型は恒等写像だけである。したがって残りの二つの等式が従う。▨

例 4.2 (Klein の四元群の自己同型). $V_4=\{e,a,b,c\}$ を Klein の四元群とする。自己同型は単位元を固定し、三つの非単位元を置換する。逆に、三つの非単位元の任意の置換は、異なる二つの非単位元の積が残りの非単位元になるという乗法規則を保つ。したがって

\operatorname{Aut}(V_4)\cong S_3

である。 $V_4$ はアーベル群であるから、

\operatorname{Inn}(V_4)=\{\operatorname{id}_{V_4}\},\qquad \operatorname{Out}(V_4)\cong S_3

が成り立つ。

5 自由アーベル群の例

例 5.1 ( $\mathbb Z^n$ の外部自己同型群). $n\geq1$ とし、 $\mathbb Z^n$ を加法群とする。標準基底を $e_1,\ldots,e_n$ と書く。群準同型 $f\colon\mathbb Z^n\to\mathbb Z^n$ は $f(e_1),\ldots,f(e_n)$ によって一意に定まり、これらを列ベクトルとして並べた整数行列を $A_f$ とすると

f(x)=A_fx\qquad(x\in\mathbb Z^n)

である。逆に、任意の整数行列はこの式によって $\mathbb Z^n$ の自己準同型を定める。

$f$ が自己同型ならば、逆写像 $f^{-1}$ にも整数行列 $A_{f^{-1}}$ が対応し、

A_fA_{f^{-1}}=A_{f^{-1}}A_f=I_n

となる。逆に、整数行列 $A$ が整数行列 $B$ を逆行列に持つならば、 $x\mapsto Ax$ と $x\mapsto Bx$ は互いに逆な自己同型である。したがって、整数係数の可逆行列全体を $\operatorname{GL}_n(\mathbb Z)$ と書けば、

\operatorname{Aut}(\mathbb Z^n)\cong\operatorname{GL}_n(\mathbb Z)

である。行列式を用いると、整数行列 $A$ が $\operatorname{GL}_n(\mathbb Z)$ に属することは $\det A=\pm1$ と同値である。実際、整数行列 $B$ が $A$ の逆行列ならば $(\det A)(\det B)=1$ であり、二つの行列式は整数なので $\det A=\pm1$ となる。逆に $\det A=\pm1$ ならば

A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)

は整数行列である。

$\mathbb Z^n$ はアーベル群であるから、すべての内部自己同型は恒等写像である。よって

\operatorname{Out}(\mathbb Z^n) \cong\operatorname{Aut}(\mathbb Z^n) \cong\operatorname{GL}_n(\mathbb Z)

が成り立つ。

6 演習

問題 6.1.

自明な自己準同型 $G\to G,\ x\mapsto e_G$ が可逆であるための必要十分条件を求めよ。
$\operatorname{Aut}(C_5)$ 、 $\operatorname{Inn}(C_5)$ 、 $\operatorname{Out}(C_5)$ をそれぞれ求めよ。
$Z(G)=\{e_G\}$ ならば、共役による準同型 $c\colon G\to\operatorname{Aut}(G)$ が単射であることを示せ。
$\alpha c_g\alpha^{-1}=c_{\alpha(g)}$ を、二つの写像の各 $x\in G$ における値を比較して確認せよ。

解答 (演習の要点).

自明な自己準同型の像は $\{e_G\}$ である。この写像が可逆ならば全射なので $G=\{e_G\}$ となる。逆に $G$ が自明群ならば、この写像は恒等写像であり可逆である。
命題 4.1により $\operatorname{Aut}(C_5)\cong(\mathbb Z/5\mathbb Z)^\times\cong C_4.$ 実際、 $[2]_5$ の位数は $4$ であるため、 $(\mathbb Z/5\mathbb Z)^\times$ は位数 $4$ の巡回群である。 $C_5$ はアーベル群なので $\operatorname{Inn}(C_5)=\{\operatorname{id}_{C_5}\},\qquad \operatorname{Out}(C_5)\cong C_4$ である。
定理 2.2により $\ker c=Z(G)$ である。 $Z(G)=\{e_G\}$ ならば $\ker c$ は自明であるから、§E7.3 命題 2.2により $c$ は単射である。
任意の $x\in G$ に対して $\begin{aligned} (\alpha\circ c_g\circ\alpha^{-1})(x) &=\alpha\bigl(g\alpha^{-1}(x)g^{-1}\bigr)\\ &=\alpha(g)x\alpha(g)^{-1} =c_{\alpha(g)}(x) \end{aligned}$ である。全ての $x$ で値が一致するため、二つの写像は等しい。

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§E7.14自己準同型と内部・外部自己同型

1 自己準同型のモノイド

2 内部自己同型

3 内部自己同型群の正規性

4 有限アーベル群の例

5 自由アーベル群の例

6 演習

参考文献

前提記事