正規部分群と商群 | 群論入門 | 天游ヶ丘数理学院

1 正規部分群

定義 1.1. 群 $G$ の部分群 $N\leq G$ が正規部分群 (normal subgroup) であるとは、任意の $g\in G$ に対して

gNg^{-1}=N

が成り立つことをいう。この関係を $N\trianglelefteq G$ と表す。

可換群では $gng^{-1}=n$ が成り立つため、すべての部分群が正規部分群である。非可換群では、正規性は部分群であることとは独立の条件である。

命題 1.2. 群 $G$ と部分群 $N\leq G$ に対して、次の条件は同値である。

$N\trianglelefteq G$ である。
任意の $g\in G$ に対して $gN=Ng$ が成り立つ。
任意の $g\in G$ に対して $gNg^{-1}\subseteq N$ が成り立つ。
任意の $g\in G$ と $n\in N$ に対して $gng^{-1}\in N$ が成り立つ。

証明.(1)を仮定する。 $gNg^{-1}=N$ の両辺に右から $g$ を掛けると $gN=Ng$ を得る。したがって(1) $\Rightarrow$ (2)が従う。

(2) $\Rightarrow$ (3)を示す。(2)を仮定する。 $gN=Ng$ の両辺に右から $g^{-1}$ を掛けると $gNg^{-1}=N$ となるため、(3)が従う。

(3) $\Leftrightarrow$ (4)は、部分集合の包含関係を元ごとに書いた同じ条件である。

(3) $\Rightarrow$ (1)を示す。最後に(3)を仮定する。 $g^{-1}$ に(3)を適用すると

g^{-1}Ng\subseteq N

を得る。この包含関係の両側を $g$ と $g^{-1}$ で共役すると $N\subseteq gNg^{-1}$ となる。一方、 $g$ に対する(3)から $gNg^{-1}\subseteq N$ である。したがって $gNg^{-1}=N$ が任意の $g\in G$ に対して成り立ち、(1)を得る。▨

準同型の核は、正規部分群の基本的な供給源である。次の定理では、核の定義から正規性を直接証明する。

証明では、準同型の核が部分群であることを既知の結果から確認する。次に、核の元を任意の群の元で共役し、その像を準同型性によって計算する。像が終域の単位元になることから共役後の元も核に属する。最後に、共役による正規性の特徴づけへ帰着させる。

定理 1.3. 群準同型 $\varphi\colon G\to H$ に対して

\ker\varphi=\{g\in G\mid \varphi(g)=e_H\}

は $G$ の正規部分群である。

証明.§E7.3 命題 2.2により $\ker\varphi\leq G$ である。 $g\in G$ と $k\in\ker\varphi$ を任意に取る。準同型の性質から

\varphi(gkg^{-1}) =\varphi(g)\varphi(k)\varphi(g)^{-1} =\varphi(g)e_H\varphi(g)^{-1} =e_H

となる。したがって $gkg^{-1}\in\ker\varphi$ である。命題 1.2 (4)により $\ker\varphi\trianglelefteq G$ が従う。▨

2 商群の構成

$N\leq G$ とする。左剰余類の集合

G/N=\{gN\mid g\in G\}

に対して、候補となる積は

(gN)(hN)=ghN \tag{1}

である。同じ剰余類には複数の代表元があるため、右辺が代表元の選択に依存しないことを先に証明する必要がある。

証明では、候補となる積 $(gN)(hN)=ghN$ から始める。十分性では二つの代表元を変更し、共役で生じる元を正規性によって $N$ へ戻す。必要性では $N$ の二つの代表元を比較し、共役による正規性を回収する。演算の代表元独立性を確立した後、結合律、単位元、逆元の検証へ帰着させる。

定理 2.1. 群 $G$ と部分群 $N\leq G$ に対して、式 (1) が $G/N$ 上の演算として代表元によらず定まるための必要十分条件は $N\trianglelefteq G$ である。

$N\trianglelefteq G$ のとき、式 (1) を積とする $G/N$ は群である。単位元は $N=e_GN$ であり、 $gN$ の逆元は $g^{-1}N$ である。

証明. 初めに $N\trianglelefteq G$ を仮定する。 $gN=g'N$ および $hN=h'N$ とする。§E7.6 命題 1.2により、ある $n,m\in N$ が存在して $g'=gn$ および $h'=hm$ と書くことができる。このとき

g'h' =gnhm =gh(h^{-1}nh)m

である。正規性から $h^{-1}nh\in N$ であり、 $(h^{-1}nh)m\in N$ となる。したがって $g'h'\in ghN$ であるから、再び剰余類の一致条件により

g'h'N=ghN

を得る。ゆえに式 (1) は二つの代表元の選択に依存しない。

逆に、式 (1) が代表元によらず定まると仮定する。 $g\in G$ と $n\in N$ を任意に取る。 $N=e_GN=nN$ であるから、第一因子の代表元として $e_G$ と $n$ を選ぶことにより

gN=(e_GN)(gN)=(nN)(gN)=ngN

を得る。左剰余類の一致条件から $g^{-1}ng\in N$ である。ここで $g$ を $g^{-1}$ に置き換えると $gng^{-1}\in N$ となる。命題 1.2により $N\trianglelefteq G$ である。

以下では $N\trianglelefteq G$ とする。 $g,h,k\in G$ に対して

\bigl((gN)(hN)\bigr)(kN) =(ghN)(kN) =(gh)kN =g(hk)N =(gN)(hkN) =(gN)\bigl((hN)(kN)\bigr)

であるため、結合律が成り立つ。また

(e_GN)(gN)=gN=(gN)(e_GN)

であるから $N=e_GN$ は単位元である。さらに

(gN)(g^{-1}N)=N=(g^{-1}N)(gN)

であるから、 $g^{-1}N$ は $gN$ の逆元である。

逆元の表示も代表元に依存しない。実際、 $gN=g'N$ ならば $g'=gn$ を満たす $n\in N$ が存在し、

g'^{-1}=n^{-1}g^{-1} =g^{-1}(gn^{-1}g^{-1})\in g^{-1}N

となるため、 $g'^{-1}N=g^{-1}N$ である。以上により $G/N$ は群である。▨

証明では、元 $g\in G$ を剰余類 $gN\in G/N$ へ送る標準射影 $q_N\colon G\to G/N$ から始める。商群の積の定義を用いて、この写像が積を保つことを確認する。各剰余類が代表元をもつことから全射性を得る。最後に、単位剰余類へ移る元を調べ、核が $N$ であることへ帰着させる。

定理 2.2. $N\trianglelefteq G$ とする。写像

q_N\colon G\longrightarrow G/N,\qquad g\longmapsto gN

は全射群準同型であり、その核は $N$ である。

証明. $g,h\in G$ に対して

q_N(gh)=ghN=(gN)(hN)=q_N(g)q_N(h)

であるから、 $q_N$ は群準同型である。 $G/N$ の任意の元は定義により $gN=q_N(g)$ と表されるため、 $q_N$ は全射である。また

\ker q_N =\{g\in G\mid gN=N\} =N

である。最後の等号は、 $gN=N$ と $g\in N$ が同値であることから従う。▨

標準射影は、 $N$ のすべての元を単位元へ移す準同型のうちで普遍的である。

証明では、剰余類 $gN$ を $f(g)$ へ送る候補写像から始める。 $N\subseteq\ker f$ を用いて、代表元を変更しても値が変わらないことを示す。次に準同型性と $f=\overline f\circ q_N$ を確認する。最後に、標準射影の全射性によって候補以外の写像も同じ値を取ることへ帰着させる。

定理 2.3. $N\trianglelefteq G$ とし、群準同型 $f\colon G\to H$ が $N\subseteq\ker f$ を満たすとする。このとき、図式

f=\overline f\circ q_N

を満たす群準同型 $\overline f\colon G/N\to H$ がただ一つ存在する。具体的には

\overline f(gN)=f(g) \tag{2}

である。

証明. 最初に式 (2) が代表元によらないことを示す。 $gN=g'N$ ならば $g'=gn$ を満たす $n\in N$ が存在する。仮定 $N\subseteq\ker f$ から $f(n)=e_H$ であるため

f(g')=f(g)f(n)=f(g)

となる。したがって式 (2) は写像 $\overline f\colon G/N\to H$ を定める。

$g,h\in G$ に対して

\overline f\bigl((gN)(hN)\bigr) =\overline f(ghN) =f(gh) =f(g)f(h) =\overline f(gN)\overline f(hN)

であるから、 $\overline f$ は群準同型である。また $(\overline f\circ q_N)(g)=\overline f(gN)=f(g)$ であり、 $f=\overline f\circ q_N$ が成り立つ。

別の群準同型 $u\colon G/N\to H$ が $f=u\circ q_N$ を満たすとする。任意の $gN\in G/N$ に対して

u(gN)=u(q_N(g))=f(g)=\overline f(gN)

である。したがって $u=\overline f$ であり、一意性が示された。▨

3 正規部分群の例と反例

命題 3.1. 群 $G$ の部分群 $H\leq G$ が $[G:H]=2$ を満たすならば $H\trianglelefteq G$ である。

証明. 左剰余類は $H$ ともう一つの剰余類からなり、右剰余類も同様である。 $g\in H$ ならば $gH=H=Hg$ である。 $g\notin H$ ならば $gH$ と $Hg$ はいずれも $H$ と異なる剰余類である。左剰余類と右剰余類はそれぞれ $G$ を分割するため、いずれも集合 $G\setminus H$ に等しい。したがって任意の $g\in G$ に対して $gH=Hg$ が成り立つ。命題 1.2により $H\trianglelefteq G$ である。▨

定義 3.2. $K$ を可換体、 $n$ を正の整数とし、 $K^\times=K\setminus\{0\}$ と書く。一般線形群の非零スカラー行列からなる部分集合 (set of nonzero scalar matrices) を

Z_n(K) =\{\lambda I_n\mid\lambda\in K^\times\} \subseteq\operatorname{GL}_n(K)

と書く。また、一般線形群の中心 (center of the general linear group) を

Z(\operatorname{GL}_n(K)) =\{A\in\operatorname{GL}_n(K)\mid AB=BA\text{ がすべての }B\in\operatorname{GL}_n(K)\text{ について成り立つ}\}

と書く。

命題 3.3. $Z_n(K)$ は $\operatorname{GL}_n(K)$ の中心に等しい。特に、 $Z_n(K)$ は $\operatorname{GL}_n(K)$ の正規部分群である。

証明. $I_n=1I_n\in Z_n(K)$ である。また、 $\lambda,\mu\in K^\times$ に対して

(\lambda I_n)(\mu I_n)^{-1} =\lambda\mu^{-1}I_n \in Z_n(K)

である。したがって§E7.2 命題 1.2により $Z_n(K)\leq\operatorname{GL}_n(K)$ である。スカラー行列はすべての行列と可換であるから、 $Z_n(K)$ は $\operatorname{GL}_n(K)$ の中心に含まれる。

逆に、 $A=(a_{k\ell})$ を $\operatorname{GL}_n(K)$ の中心の元とする。 $n=1$ の場合には $A$ は非零スカラー行列である。 $n\geq2$ とし、 $i\neq j$ とする。 $(i,j)$ 成分だけが $1$ である行列単位を $E_{ij}$ と書く。 $E_{ij}^2=0$ であるから $I_n+E_{ij}$ は逆行列 $I_n-E_{ij}$ をもち、 $A$ の中心性から

A(I_n+E_{ij})=(I_n+E_{ij})A, \qquad AE_{ij}=E_{ij}A

を得る。両辺の $(k,\ell)$ 成分はそれぞれ

(AE_{ij})_{k\ell}=a_{ki}\delta_{j\ell}, \qquad (E_{ij}A)_{k\ell}=\delta_{ki}a_{j\ell}

である。 $\ell=j$ として $k\neq i$ を選ぶと $a_{ki}=0$ である。したがって $A$ は対角行列である。また、 $k=i$ 、 $\ell=j$ とすると $a_{ii}=a_{jj}$ を得る。 $i\neq j$ は任意であるから、すべての対角成分は等しい。ゆえに、ある $\lambda\in K^\times$ によって $A=\lambda I_n$ と書くことができる。

以上から $Z_n(K)=Z(\operatorname{GL}_n(K))$ である。さらに、任意の $B\in\operatorname{GL}_n(K)$ と $A\in Z_n(K)$ に対して $BAB^{-1}=A$ であるから、 $BZ_n(K)B^{-1}=Z_n(K)$ である。ゆえに $Z_n(K)\trianglelefteq\operatorname{GL}_n(K)$ である。▨

定義 3.4. $K$ を可換体、 $n$ を正の整数とする。商群

\operatorname{PGL}_n(K) =\operatorname{GL}_n(K)/Z_n(K) =\operatorname{GL}_n(K)/Z(\operatorname{GL}_n(K))

を射影一般線形群 (projective general linear group) という。

例 3.5 (整数群の商). 加法群 $\mathbb Z$ の部分群 $n\mathbb Z$ は正規部分群である。商群 $\mathbb Z/n\mathbb Z$ の積に相当する演算は

(a+n\mathbb Z)+(b+n\mathbb Z)=(a+b)+n\mathbb Z

であり、標準射影は $q_{n\mathbb Z}(a)=a+n\mathbb Z$ である。

例 3.6 (正規でない部分群). $S_3$ の部分群

H=\langle(1\,2)\rangle=\{e,(1\,2)\}

は正規部分群ではない。実際、

(1\,3)(1\,2)(1\,3)^{-1}=(2\,3)\notin H

である。このため、 $S_3/H$ 上で $(gH)(hH)=ghH$ と定めても、積は代表元の選択に依存する。

4 演習

問題 4.1.

群準同型 $\varphi\colon G\to H$ と正規部分群 $M\trianglelefteq H$ に対して、 $\varphi^{-1}(M)\trianglelefteq G$ を証明せよ。
$N\trianglelefteq G$ とし、商群の標準射影を $q_N$ とする。部分群 $K\leq G$ が $N\subseteq K$ を満たすならば $q_N^{-1}(q_N(K))=K$ を証明せよ。
$N\trianglelefteq G$ と群準同型 $f\colon G\to H$ に対して、 $f$ が $G/N$ を経由するための必要十分条件が $N\subseteq\ker f$ であることを証明せよ。

解答 (演習の解答).

$\varphi^{-1}(M)$ は準同型による部分群の逆像であるから部分群である。 $g\in G$ と $x\in\varphi^{-1}(M)$ に対して $\varphi(gxg^{-1})=\varphi(g)\varphi(x)\varphi(g)^{-1}\in M$ である。したがって $gxg^{-1}\in\varphi^{-1}(M)$ であり、共役による特徴づけから $\varphi^{-1}(M)\trianglelefteq G$ である。
$k\in K$ ならば $q_N(k)\in q_N(K)$ であるから $K\subseteq q_N^{-1}(q_N(K))$ である。逆に $g\in q_N^{-1}(q_N(K))$ ならば、ある $k\in K$ に対して $gN=kN$ である。よって $k^{-1}g\in N\subseteq K$ であり、 $g\in K$ となる。
$f=\overline f\circ q_N$ ならば、 $n\in N$ に対して $f(n)=\overline f(N)=e_H$ であるから $N\subseteq\ker f$ である。逆は定理 2.3から従う。

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§E7.7正規部分群と商群

1 正規部分群

2 商群の構成

3 正規部分群の例と反例

4 演習

参考文献

前提記事