極限・余極限の特殊な場合 | 圏論 I

1 終対象と始対象

もっとも小さい添字圏から始める。

定義 1.1. 対象も射ももたない圏を空圏 (empty category) という。§E21.1 定義 1.1の結合律と単位律は射について課される条件であり、射が存在しないので空虚に満たされる。したがって空圏は圏である。対象の全体と射の全体はともに空集合であるから、空圏は小さい圏である。

空圏を添字圏とする図式は、対象にも射にも値をもたないので、ただ一つしか存在しない。この図式の極限と余極限が、次に定める対象にほかならないことを示す。

定義 1.2. $\mathcal C$ を圏とする。 $\mathcal C$ の対象 $T$ が終対象 (terminal object) であるとは、 $\mathcal C$ の任意の対象 $X$ について $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X, T)$ がただ一つの元からなることをいう。 $\mathcal C$ の対象 $I$ が始対象 (initial object) であるとは、 $\mathcal C$ の任意の対象 $X$ について $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(I, X)$ がただ一つの元からなることをいう。

命題 1.3. $\mathcal J$ を空圏（定義 1.1）とし、 $D : \mathcal J \to \mathcal C$ を唯一の図式とする。 $\mathcal C$ の対象 $T$ について、次の二つは同値である。

$T$ は $\mathcal C$ の終対象である。
$T$ を頂点とし、射の族を空の族とする組が $D$ の極限である。

双対に、 $\mathcal C$ の対象 $I$ が始対象であることと、 $I$ を頂点とする組が $D$ の余極限であることは同値である。

証明. $\operatorname{Ob}(\mathcal J) = \emptyset$ であるから、 $D$ 上の錐の定義に現れる射の族 $(\psi_j)_{j \in \operatorname{Ob}(\mathcal J)}$ は空の族である。また錐の等式は $\mathcal J$ の射について課されるが、 $\mathcal J$ には射が存在しないので、課される等式は一つもない。したがって $D$ 上の錐は $\mathcal C$ の対象と同じものであり、どの対象 $X$ も錐の頂点になる。

このもとで極限の条件を書き下す。組 $(T, ())$ が $D$ の極限であることは、 $\mathcal C$ の任意の対象 $X$ に対して、条件を一つも課されない射 $t : X \to T$ がただ一つ存在することである。射に課される条件が空であるから、この条件は $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X, T)$ がただ一つの元からなることに等しい。ゆえに(1) $\Leftrightarrow$ (2)は同値である。

双対の主張を示す。§E21.4 命題 2.2により、 $I$ が $D$ の余極限であることと、 $I$ が $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ における図式 $D^{\mathrm{op}}$ の極限であることは同値である。 $\mathcal J^{\mathrm{op}}$ も空圏であるから、いま示したことを $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ へ適用すると、この条件は $I$ が $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の終対象であることと同値である。反対圏の定義により $\operatorname{Hom}_{\mathcal C^{\mathrm{op}}}(X, I) = \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(I, X)$ であるから、これは $I$ が $\mathcal C$ の始対象であることにほかならない。▨

系 1.4. $\mathcal C$ を圏とする。 $T$ と $T'$ がともに $\mathcal C$ の終対象であれば、 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(T, T')$ はただ一つの元からなり、その元は同型射である。 $I$ と $I'$ がともに $\mathcal C$ の始対象であれば、 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(I, I')$ はただ一つの元からなり、その元は同型射である。すなわち始対象と終対象は、存在すれば一意な同型を除いて一意である。

証明. 終対象の場合を示す。命題 1.3により、 $T$ と $T'$ はともに空圏 $\mathcal J$ を添字圏とする図式 $D$ の極限である。§E21.4 定理 3.1を適用すると、 $\pi'_j \circ t = \pi_j$ をすべての $j \in \operatorname{Ob}(\mathcal J)$ について満たす射 $t : T \to T'$ がただ一つ存在し、その $t$ は同型射である。 $\operatorname{Ob}(\mathcal J) = \emptyset$ であるから、 $t$ に課される等式は一つもない。したがって主張は、射 $t : T \to T'$ がただ一つ存在してそれが同型射であること、すなわち $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(T, T')$ がただ一つの元からなり、その元が同型射であることになる。

始対象の場合は、同じ図式の余極限として§E21.4 系 3.2を適用する。得られる射は $t : I \to I'$ であり、課される等式が一つもないことは終対象の場合と同じである。▨

例 1.5 ( $\mathbf{Set}$ の終対象と始対象). 集合と写像のなす圏 $\mathbf{Set}$ （§E21.1 例 2.1）を考える。

一点集合 $\{\ast\}$ は $\mathbf{Set}$ の終対象である。実際、任意の集合 $X$ から $\{\ast\}$ への写像は、各 $x \in X$ に対して値を $\{\ast\}$ の中から選ぶことで定まるが、選択肢が $\ast$ ただ一つであるから、写像は $x \mapsto \ast$ ただ一つである。

空集合 $\emptyset$ は $\mathbf{Set}$ の始対象である。写像は定義域の各元に値を与えるものであり（§E1.1 定義 1.1）、 $\emptyset$ には元が存在しないので、 $\emptyset$ から任意の集合 $X$ への写像は、値を一つも与えない写像ただ一つである。

系 1.4により、 $\mathbf{Set}$ の終対象と始対象は、それぞれ一意な同型を除いて一意である。

2 直積と余積

次に、射をもたない添字圏を取る。

定義 2.1. $I$ を集合とする。対象を $I$ の元とし、対象 $i$ について $\operatorname{Hom}(i, i) = \{\mathrm{id}_i\}$ 、相異なる対象の間の射の集まりを空集合とし、合成を $\mathrm{id}_i \circ \mathrm{id}_i = \mathrm{id}_i$ と定めた圏を、 $I$ 上の離散圏 (discrete category) という。合成できる射の組は $(\mathrm{id}_i, \mathrm{id}_i)$ の形しかないので、結合律と単位律はいずれも $\mathrm{id}_i \circ \mathrm{id}_i = \mathrm{id}_i$ に帰着し、成り立つ。対象の全体は $I$ であり、射の全体は $I$ と一対一に対応するので、離散圏は小さい圏である。

離散圏からの関手 $D$ を与えることは、各 $i \in I$ に対象 $D(i)$ を与えることと同じである。恒等射の像は恒等射でなければならず（§E21.2 定義 1.1）、それ以外に射がないからである。

定義 2.2. $\mathcal C$ を圏、 $I$ を集合、 $(A_i)_{i \in I}$ を $\mathcal C$ の対象の族とする。 $I$ 上の離散圏（定義 2.1）を添字圏とし、 $i \in I$ に $A_i$ を対応させる図式を $D$ とする。

$D$ の極限が存在するとき、その極限を族 $(A_i)_{i \in I}$ の直積 (product) といい、頂点を $\prod_{i \in I} A_i$ と書く。極限錐の射影を $p_i : \prod_{i \in I} A_i \to A_i$ と書き、第 $i$ 成分への射影 (projection) という。

$D$ の余極限が存在するとき、その余極限を族 $(A_i)_{i \in I}$ の余積 (coproduct) といい、頂点を $\coprod_{i \in I} A_i$ と書く。余極限余錐の入射を $\iota_i : A_i \to \coprod_{i \in I} A_i$ と書き、第 $i$ 成分からの入射 (injection) という。

命題 2.3. $\mathcal C$ を圏、 $(A_i)_{i \in I}$ を $\mathcal C$ の対象の族とする。

対象 $P$ と射の族 $(p_i : P \to A_i)_{i \in I}$ について、 $(P, (p_i))$ が $(A_i)_{i \in I}$ の直積であることと、次が成り立つことは同値である。 $\mathcal C$ の任意の対象 $X$ と任意の射の族 $(f_i : X \to A_i)_{i \in I}$ に対して、

p_i \circ t = f_i \qquad (i \in I)

をすべて満たす射 $t : X \to P$ がただ一つ存在する。

対象 $S$ と射の族 $(\iota_i : A_i \to S)_{i \in I}$ について、 $(S, (\iota_i))$ が $(A_i)_{i \in I}$ の余積であることと、次が成り立つことは同値である。 $\mathcal C$ の任意の対象 $X$ と任意の射の族 $(g_i : A_i \to X)_{i \in I}$ に対して、

t \circ \iota_i = g_i \qquad (i \in I)

をすべて満たす射 $t : S \to X$ がただ一つ存在する。

証明. 離散圏の射は恒等射 $\mathrm{id}_i$ （ $i \in I$ ）だけである。関手の条件により $D(\mathrm{id}_i) = \mathrm{id}_{A_i}$ であるから、錐の等式 $D(\mathrm{id}_i) \circ \psi_i = \psi_i$ は、 $\mathcal C$ の単位律により任意の射の族について成り立つ。したがって $D$ 上の錐は、対象 $X$ と射の族 $(\psi_i : X \to A_i)_{i \in I}$ の組そのものであり、追加の条件は課されない。この事実を極限の定義へ代入すると、直積の主張が得られる。

余積の主張は、余錐の等式 $\varphi_i \circ D(\mathrm{id}_i) = \varphi_i$ が同じ理由で自動的に成り立つことから、余極限の定義を書き下して得られる。▨

系 2.4. $(P, (p_i))$ と $(P', (p'_i))$ がともに $(A_i)_{i \in I}$ の直積であれば、 $p'_i \circ t = p_i$ をすべての $i \in I$ について満たす射 $t : P \to P'$ がただ一つ存在し、その $t$ は同型射である。 $(S, (\iota_i))$ と $(S', (\iota'_i))$ がともに余積であれば、 $t \circ \iota_i = \iota'_i$ をすべての $i \in I$ について満たす射 $t : S \to S'$ がただ一つ存在し、その $t$ は同型射である。

証明. 直積は離散圏を添字圏とする図式の極限であるから、§E21.4 定理 3.1を適用すればよい。余積は同じ図式の余極限であるから、§E21.4 系 3.2を適用すればよい。▨

二項の直積または余積で同じ対象を二度用いると、恒等射の組から標準的な射が定まる。この構成は随伴を用いず、直積と余積の普遍性だけから得られる。

定義 2.5. $\mathcal C$ と $\mathcal D$ を圏とする。対象を組 $(A,B)$ 、射を組 $(f,g):(A,B)\to(A',B')$ とし、合成と恒等射を成分ごとに定めた圏を $\mathcal C\times\mathcal D$ と書き、二つの圏の直積 (product category) という。

定義 2.6. $\mathcal C$ を圏とする。対象 $A$ に $(A,A)$ 、射 $f$ に $(f,f)$ を対応させる関手 $\Delta:\mathcal C\to\mathcal C\times\mathcal C$ を対角関手 (diagonal functor) という。

合成と恒等射は $\mathcal C\times\mathcal D$ で成分ごとに定まるため、圏の直積の結合律と単位律、および対角関手が合成と恒等射を保つことは、各成分における対応する条件から従う。

命題 2.7. $\mathcal C$ を圏、 $A$ をその対象とする。

$A$ と $A$ の直積 $(A\times A,p_1,p_2)$ が存在するとき、

p_1\circ\delta_A=\operatorname{id}_A, \qquad p_2\circ\delta_A=\operatorname{id}_A

を満たす射 $\delta_A:A\to A\times A$ がただ一つ存在する。この射を $A$ の対角射といい、 $\delta_A=\langle\operatorname{id}_A,\operatorname{id}_A\rangle$ と書く。

$A$ と $A$ の余積 $(A\sqcup A,\iota_1,\iota_2)$ が存在するとき、

\nabla_A\circ\iota_1=\operatorname{id}_A, \qquad \nabla_A\circ\iota_2=\operatorname{id}_A

を満たす射 $\nabla_A:A\sqcup A\to A$ がただ一つ存在する。この射を $A$ の余対角射という。

証明.命題 2.3の直積に関する主張を、 $X=A$ 、 $f_1=f_2=\operatorname{id}_A$ として適用すると $\delta_A$ の存在と一意性を得る。同じ命題の余積に関する主張を、 $X=A$ 、 $g_1=g_2=\operatorname{id}_A$ として適用すると $\nabla_A$ の存在と一意性を得る。▨

命題 2.8. $\mathcal C$ を圏、 $\mathcal J$ を小さい圏、 $D:\mathcal J\to\mathcal C$ を図式とする。 $(L,(\pi_j))$ が $D$ の極限ならば、 $\bigl(\Delta(L),(\Delta(\pi_j))\bigr)$ は $\Delta\circ D$ の極限である。

証明. $\Delta\circ D$ 上で頂点が $(X_1,X_2)$ である錐は、 $D$ 上で頂点が $X_1$ である錐と、頂点が $X_2$ である錐との組にほかならない。実際、 $\mathcal C\times\mathcal C$ の射と等式は成分ごとに定まる。

二つの錐から極限錐 $(L,(\pi_j))$ への一意な射をそれぞれ $t_1:X_1\to L$ 、 $t_2:X_2\to L$ とする。組 $(t_1,t_2):(X_1,X_2)\to(L,L)$ は $\Delta\circ D$ の錐の射であり、各成分の一意性から一意である。したがって $\bigl(\Delta(L),(\Delta(\pi_j))\bigr)$ は極限である。▨

例 2.9 ( $\mathbf{Set}$ の対角射と余対角射). 集合 $A$ では、対角射は $a\mapsto(a,a)$ である。余対角射は、直和 $A\sqcup A$ のどちらの成分に属する元も、その元自身へ送る写像である。対角射の像は $\{(a,a)\mid a\in A\}$ であり、余対角射は二つの成分を重ね合わせる。

2.1 集合の圏における直積

例 2.10 ( $\mathbf{Set}$ の直積). $(A_i)_{i \in I}$ を集合の族とする。「集合族」で定めた直積 $\prod_{i \in I} A_i$ 、すなわち $I$ を添字集合とし、各 $i \in I$ における値 $x_i$ が $A_i$ に属する族 $x=(x_i)_{i\in I}$ の全体と、射影 $p_i(x)=x_i$ を取る（§E1.2 定義 5.1）。この組が $\mathbf{Set}$ における直積であることを示す。

$X$ を集合、 $(h_i : X \to A_i)_{i \in I}$ を写像の族とする。各 $x\in X$ に対して、 $t(x)$ を

(t(x))_i = h_i(x) \qquad (i \in I)

を満たす $I$ を添字集合とする族として定める。各 $i$ について $h_i(x) \in A_i$ であるから $t(x)$ は直積の元であり、これにより写像 $t : X \to \prod_{i \in I} A_i$ が定まる。定義から $p_i(t(x)) = (t(x))_i = h_i(x)$ であり、 $p_i \circ t = h_i$ がすべての $i$ について成り立つ。

一意性を示す。 $t' : X \to \prod_{i \in I} A_i$ が $p_i \circ t' = h_i$ をすべての $i$ について満たすとする。各 $x \in X$ と各 $i \in I$ について $(t'(x))_i = p_i(t'(x)) = h_i(x) = (t(x))_i$ であるから、 $I$ を添字集合とする族 $t'(x)$ と $t(x)$ は一致する。したがって $t' = t$ である。

命題 2.3により、 $\left(\prod_{i \in I} A_i, (p_i)\right)$ は $\mathbf{Set}$ における族 $(A_i)_{i \in I}$ の直積である。

2.2 集合の圏における余積

集合の余積にあたる構成は、上流の単元では定義されていない。互いに素な和として本文で構成する。

定義 2.11. $(A_i)_{i \in I}$ を集合の族とする。順序対（§E1.2 定義 1.1）、二つの集合の直積（§E1.2 定義 1.3）および任意和（§E1.2 定義 2.1）を用いて

\coprod_{i \in I} A_i = \bigcup_{i \in I} \bigl( A_i \times \{i\} \bigr) = \{\, (a, i) \ \mid \ i \in I,\ a \in A_i \,\}

と定め、この集合を族 $(A_i)_{i \in I}$ の直和 (disjoint union) という。写像 $\iota_i : A_i \to \coprod_{i \in I} A_i$ を $\iota_i(a) = (a, i)$ で定める。

とくに $I = \{0, 1\}$ 、 $A_0 = A$ 、 $A_1 = B$ の場合を

A \sqcup B = \bigl( A \times \{0\} \bigr) \cup \bigl( B \times \{1\} \bigr)

と書く。

順序対は二つの成分を決定するので、 $\coprod_{i \in I} A_i$ の元 $(a, i)$ に対して添字 $i$ と元 $a \in A_i$ は一意に定まる。 $A_i$ どうしが共通の元をもつ場合でも、第二成分によって出自が区別される。

命題 2.12. $(A_i)_{i \in I}$ を集合の族とする。定義 2.11の $\left(\coprod_{i \in I} A_i, (\iota_i)\right)$ は、 $\mathbf{Set}$ における族 $(A_i)_{i \in I}$ の余積である。

証明. $X$ を集合、 $(g_i : A_i \to X)_{i \in I}$ を写像の族とする。写像 $t : \coprod_{i \in I} A_i \to X$ を

t(a, i) = g_i(a)

で定める。 $\coprod_{i \in I} A_i$ の各元は $(a, i)$ （ $i \in I$ 、 $a \in A_i$ ）の形にただ一通りに書くことができるので、この対応は写像を定める。定義から $t(\iota_i(a)) = t(a, i) = g_i(a)$ であり、 $t \circ \iota_i = g_i$ がすべての $i$ について成り立つ。

一意性を示す。 $t' : \coprod_{i \in I} A_i \to X$ が $t' \circ \iota_i = g_i$ をすべての $i$ について満たすとする。 $\coprod_{i \in I} A_i$ の任意の元は $\iota_i(a) = (a, i)$ の形であるから、 $t'(a, i) = t'(\iota_i(a)) = g_i(a) = t(a, i)$ となり $t' = t$ である。

命題 2.3の余積の条件が満たされたので、主張が従う。▨

添字集合を $I = \{0, 1\}$ とし、 $A_0 = A$ 、 $A_1 = B$ をともに一点集合とする。例 2.10が与える直積 $\prod_{i \in I} A_i$ の元は、各 $i \in I$ に $A_i$ の唯一の元を対応させる族だけであるから、この直積は一点集合である。一方、定義 2.11の直和 $A \sqcup B$ は相異なる二つの元 $(a, 0)$ と $(b, 1)$ をもつ。したがって直積と余積は、同じ図式の極限と余極限として定義されるが、一般には一致しない。

2.3 群と位相空間と順序集合の圏における直積

例 2.13 ( $\mathbf{Grp}$ の直積). 群と群準同型のなす圏 $\mathbf{Grp}$ （§E21.1 例 2.2）を考える。群 $A$ と $B$ に対し、「直積群」で定めた外部直積 $A \times B$ （§E7.13 定義 1.1）を取る。演算は成分ごとであるから、射影 $p_1(a, b) = a$ と $p_2(a, b) = b$ はいずれも群準同型である。

$X$ を群、 $f : X \to A$ と $g : X \to B$ を群準同型とする。写像 $t : X \to A \times B$ を $t(x) = (f(x), g(x))$ で定めると、 $X$ の任意の元 $x, y$ について

t(xy) = \bigl( f(xy), g(xy) \bigr) = \bigl( f(x) f(y), g(x) g(y) \bigr) = \bigl( f(x), g(x) \bigr) \bigl( f(y), g(y) \bigr) = t(x) t(y)

であるから、 $t$ は群準同型である。 $p_1 \circ t = f$ と $p_2 \circ t = g$ は定義から従う。

一意性を示す。群準同型 $t'$ が $p_1 \circ t' = f$ と $p_2 \circ t' = g$ を満たすとすると、各 $x \in X$ について $t'(x)$ の第一成分は $f(x)$ 、第二成分は $g(x)$ であるから $t'(x) = t(x)$ である。したがって命題 2.3により $(A \times B, (p_1, p_2))$ は $\mathbf{Grp}$ における直積である。

例 2.14 ( $\mathbf{Top}$ の直積は積位相である). 位相空間と連続写像のなす圏 $\mathbf{Top}$ （§E21.1 例 2.3）を考える。位相空間の族 $(X_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ に対し、集合 $\prod_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda$ に「直積集合上の位相」で定めた積位相（§E2.14 定義 1.1）を入れる。射影 $\pi_\mu$ は連続である（§E2.14 命題 1.2）。

$Z$ を位相空間、 $(h_\lambda : Z \to X_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ を連続写像の族とする。例 2.10により、 $\pi_\lambda \circ t = h_\lambda$ をすべての $\lambda$ について満たす写像 $t : Z \to \prod_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda$ がただ一つ存在する。この $t$ について、すべての $\lambda$ で $\pi_\lambda \circ t = h_\lambda$ が連続であるから、§E2.14 定理 1.6により $t$ は連続である。

一意性は写像としての一意性から従う。連続写像は写像でもあるから、条件を満たす連続写像は高々一つである。したがって命題 2.3により、積位相を入れた $\prod_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda$ と射影の組は $\mathbf{Top}$ における直積である。

例 2.15 (半順序集合の直積は下限であり、余積は上限である). $(P, \le)$ を半順序集合（§E1.8 定義 1.2）とする。半順序集合は前順序集合であるから（§E1.8 定義 1.1）、§E21.1 命題 3.1により圏 $\mathcal P$ が定まる。「圏と反対圏」で示したとおり、 $x \le y$ のとき $\operatorname{Hom}_{\mathcal P}(x, y)$ はただ一つの元からなり、そうでないとき空集合である。

$a, b \in P$ を取る。添字集合を $I = \{1, 2\}$ とし、 $A_1 = a$ 、 $A_2 = b$ とおいて、族 $(A_i)_{i \in I}$ を考える。命題 2.3により、対象 $c$ と射 $c \to a$ 、 $c \to b$ の組が直積であることは、 $c \le a$ かつ $c \le b$ であり、 $x \le a$ かつ $x \le b$ を満たす任意の $x \in P$ について $x \le c$ が成り立つことである。射の一意性は、 $\mathcal P$ の hom 集合が高々一つの元しかもたないことから自動的に成り立つ。すなわち $\mathcal P$ における直積は下限（§E1.8 定義 2.1） $a \wedge b$ にほかならない。双対に、余積は上限 $a \vee b$ である。反対称律により、下限と上限はいずれも一つに定まる（§E1.8 命題 2.3）。

「関係・同値関係・順序集合」は、任意の二元が上限と下限をもつ半順序集合を束と定めている（§D2.5 定義 4.1）。したがって、半順序集合を圏とみなしたとき、任意の二つの対象が直積と余積をもつことと、その半順序集合が束であることは同値である。

3 equalizer と coequalizer

次に、二本の非恒等射を平行に並べた添字圏を取る。

定義 3.1. 対象が $1$ と $2$ の二つ、射が $\mathrm{id}_1$ 、 $\mathrm{id}_2$ および二本の射 $u, v : 1 \to 2$ の四つからなり、合成を単位律によって定めた圏を、平行な二射の圏 (parallel pair category) という。合成できる二つの非恒等射の組が存在するためには、終域が $1$ である非恒等射が必要であるが、そのような射はないので、非恒等射どうしの合成は現れない。したがって合成は単位律だけで定まり、結合律と単位律が成り立つ。対象の全体と射の全体は有限集合であるから、平行な二射の圏は小さい圏である。

平行な二射の圏からの関手 $D$ を与えることは、 $\mathcal C$ の平行な二射、すなわち始域と終域を共有する二つの射を与えることと同じである。

定義 3.2. $\mathcal C$ を圏、 $f, g : A \to B$ を $\mathcal C$ の平行な二射とする。 $\mathcal J$ を平行な二射の圏（定義 3.1）とし、図式 $D : \mathcal J \to \mathcal C$ を

D(1) = A, \qquad D(2) = B, \qquad D(u) = f, \qquad D(v) = g

で定める。 $D$ の極限が存在するとき、その極限を $f$ と $g$ のequalizer (equalizer) という。 $D$ の余極限が存在するとき、その余極限を $f$ と $g$ のcoequalizer (coequalizer) という。

命題 3.3. $f, g : A \to B$ を圏 $\mathcal C$ の平行な二射とする。

対象 $E$ と射 $e : E \to A$ について、 $\bigl(E, (e, f \circ e)\bigr)$ が $f$ と $g$ の equalizer であることと、次の二つがともに成り立つことは同値である。

$f \circ e = g \circ e$ である。
$f \circ w = g \circ w$ を満たす任意の射 $w : X \to A$ に対して、 $e \circ t = w$ を満たす射 $t : X \to E$ がただ一つ存在する。

対象 $C$ と射 $c : B \to C$ について、 $\bigl(C, (c \circ f, c)\bigr)$ が $f$ と $g$ の coequalizer であることと、次の二つがともに成り立つことは同値である。

$c \circ f = c \circ g$ である。
$w \circ f = w \circ g$ を満たす任意の射 $w : B \to Y$ に対して、 $t \circ c = w$ を満たす射 $t : C \to Y$ がただ一つ存在する。

証明. 以下、 $\mathcal J$ と $D$ は定義 3.2で定めたものとする。

equalizer の場合を示す。 $D$ 上の錐は、対象 $X$ と射 $\psi_1 : X \to A$ 、 $\psi_2 : X \to B$ の組であって、 $\mathcal J$ の非恒等射 $u$ と $v$ に対する等式

f \circ \psi_1 = \psi_2, \qquad g \circ \psi_1 = \psi_2

を満たすものである。恒等射に対する等式は自動的に成り立つ。二つの等式から $\psi_2$ は $\psi_1$ によって定まり、残る条件は $f \circ \psi_1 = g \circ \psi_1$ である。したがって $D$ 上の錐は、 $f \circ w = g \circ w$ を満たす射 $w : X \to A$ と一対一に対応する。

この対応のもとで極限の条件を書き下す。 $\bigl(E, (e, f \circ e)\bigr)$ が錐であることは(1)に等しい。極限であることは、 $f \circ w = g \circ w$ を満たす任意の $w : X \to A$ に対して、 $e \circ t = w$ かつ $(f \circ e) \circ t = f \circ w$ を満たす $t : X \to E$ がただ一つ存在することである。第二の等式は第一の等式から結合律によって従うので、条件は(2)に等しい。

coequalizer の場合を示す。§E21.4 命題 2.2により、 $f$ と $g$ の coequalizer は、 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ における $f$ と $g$ の equalizer にほかならない。 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ では $f$ と $g$ は $B$ から $A$ への平行な二射である。いま示した equalizer の特徴づけを $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ へ適用すると、 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の対象 $C$ と $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の射 $c : C \to B$ について、次の二つが条件になる。

$f \circ^{\mathrm{op}} c = g \circ^{\mathrm{op}} c$ である。
$f \circ^{\mathrm{op}} w = g \circ^{\mathrm{op}} w$ を満たす $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の任意の射 $w : Y \to B$ に対して、 $c \circ^{\mathrm{op}} t = w$ を満たす $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の射 $t : Y \to C$ がただ一つ存在する。

これらを $\mathcal C$ の言葉へ戻す。§E21.1 定義 5.1により、 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の射 $c : C \to B$ は $\mathcal C$ の射 $c : B \to C$ であり、 $f \circ^{\mathrm{op}} c$ は $\mathcal C$ の合成としては $c \circ f$ である。同様に $g \circ^{\mathrm{op}} c$ は $c \circ g$ であるから、(1)は $c \circ f = c \circ g$ になる。

(2)について、 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の射 $w : Y \to B$ は $\mathcal C$ の射 $w : B \to Y$ であり、 $f \circ^{\mathrm{op}} w$ と $g \circ^{\mathrm{op}} w$ は $\mathcal C$ の合成としては $w \circ f$ と $w \circ g$ である。したがって仮定は $w \circ f = w \circ g$ になる。また $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の射 $t : Y \to C$ は $\mathcal C$ の射 $t : C \to Y$ であり、 $c \circ^{\mathrm{op}} t$ は $\mathcal C$ の合成としては $t \circ c$ である。ゆえに結論は、 $t \circ c = w$ を満たす $\mathcal C$ の射 $t : C \to Y$ がただ一つ存在することになる。

最後に余錐の形を確かめる。余錐の条件は $\varphi_2 \circ D(u) = \varphi_1$ 、すなわち $c \circ f = \varphi_1$ であるから、 $c$ を第二成分とする余錐は $\bigl(C, (c \circ f, c)\bigr)$ である。以上が主張の後半である。▨

系 3.4. $\bigl(E, (e, f \circ e)\bigr)$ と $\bigl(E', (e', f \circ e')\bigr)$ がともに $f$ と $g$ の equalizer であれば、 $e' \circ t = e$ を満たす射 $t : E \to E'$ がただ一つ存在し、その $t$ は同型射である。 $\bigl(C, (c \circ f, c)\bigr)$ と $\bigl(C', (c' \circ f, c')\bigr)$ がともに coequalizer であれば、 $t \circ c = c'$ を満たす射 $t : C \to C'$ がただ一つ存在し、その $t$ は同型射である。

証明. equalizer は平行な二射の圏を添字圏とする図式の極限であるから、§E21.4 定理 3.1を適用する。得られる主張は、 $e' \circ t = e$ と $(f \circ e') \circ t = f \circ e$ をともに満たす射 $t$ がただ一つ存在し、その $t$ が同型射であることである。第二の等式は、第一の等式へ左から $f$ を合成すれば得られる。したがって条件は $e' \circ t = e$ だけになる。

coequalizer については、同じ図式の余極限として§E21.4 系 3.2を適用する。余錐の成分は $\iota_1 = c \circ f$ 、 $\iota_2 = c$ であるから、得られる条件は $t \circ (c \circ f) = c' \circ f$ と $t \circ c = c'$ である。第一の等式は、第二の等式へ右から $f$ を合成すれば得られる。したがって条件は $t \circ c = c'$ だけになる。▨

例 3.5 ( $\mathbf{Set}$ の equalizer). $f, g : A \to B$ を写像とする。

E = \{\, a \in A \ \mid \ f(a) = g(a) \,\}

とおき、 $e : E \to A$ を $e(a) = a$ で定める。定義から $E$ の各元 $a$ について $f(e(a)) = f(a) = g(a) = g(e(a))$ であるから $f \circ e = g \circ e$ が成り立つ。

$w : X \to A$ を $f \circ w = g \circ w$ を満たす写像とする。各 $x \in X$ について $f(w(x)) = g(w(x))$ であるから $w(x) \in E$ である。そこで $t : X \to E$ を $t(x) = w(x)$ で定めると $e \circ t = w$ が成り立つ。 $e$ は単射であるから、 $e \circ t' = e \circ t$ を満たす $t'$ は $t$ に限る。したがって命題 3.3により $\bigl(E, (e, f \circ e)\bigr)$ は $f$ と $g$ の equalizer である。

具体的に確かめる。 $A = \{1, 2, 3\}$ 、 $B = \{x, y\}$ とし、 $f(1) = x$ 、 $f(2) = x$ 、 $f(3) = y$ 、 $g(1) = x$ 、 $g(2) = y$ 、 $g(3) = y$ とする。 $f$ と $g$ の値が一致するのは $1$ と $3$ であり、 $2$ については $f(2) = x \ne y = g(2)$ である。したがって $E = \{1, 3\}$ であり、普遍射 $t$ は $w$ の終域を $E$ へ制限した写像である。

$\mathbf{Set}$ における coequalizer は、 $f(a) = g(a)$ という関係が生成する同値関係による商集合として与えられる。この構成は「極限・余極限の計算」が扱う。

4 pullback と pushout

最後に、三つの対象からなる添字圏を取る。

定義 4.1. 対象が $1$ 、 $2$ 、 $3$ の三つ、射が三つの恒等射と $a : 1 \to 3$ 、 $b : 2 \to 3$ の五つからなり、合成を単位律によって定めた圏を、終域を共有する二射の圏 (cospan category) という。合成できる二つの非恒等射の組が存在するためには、終域が $1$ または $2$ である非恒等射が必要であるが、そのような射はないので、非恒等射どうしの合成は現れない。したがって合成は単位律だけで定まり、結合律と単位律が成り立つ。対象の全体と射の全体は有限集合であるから、この圏は小さい圏である。

その反対圏を始域を共有する二射の圏 (span category) という。§E21.1 定義 5.1により、反対圏の非恒等射は $a : 3 \to 1$ と $b : 3 \to 2$ である。

終域を共有する二射の圏からの関手 $D$ を与えることは、 $\mathcal C$ の二つの射 $D(a) : D(1) \to D(3)$ と $D(b) : D(2) \to D(3)$ 、すなわち終域を共有する二つの射を与えることと同じである。始域を共有する二射の圏についても同様である。

定義 4.2. $\mathcal C$ を圏、 $f : A \to C$ と $g : B \to C$ を終域を共有する二つの射とする。 $\mathcal J$ を終域を共有する二射の圏（定義 4.1）とし、図式 $D : \mathcal J \to \mathcal C$ を

D(1) = A, \qquad D(2) = B, \qquad D(3) = C, \qquad D(a) = f, \qquad D(b) = g

で定める。この図式を $A \xrightarrow{f} C \xleftarrow{g} B$ と書く。 $D$ の極限が存在するとき、その極限を $f$ と $g$ のpullback (pullback) といい、頂点を $A \times_C B$ と書く。

$f : C \to A$ と $g : C \to B$ が始域を共有する二つの射であるときは、始域を共有する二射の圏 $\mathcal J^{\mathrm{op}}$ を添字圏として同じ規則で図式を定め、これを $A \xleftarrow{f} C \xrightarrow{g} B$ と書く。この図式の余極限が存在するとき、その余極限を $f$ と $g$ のpushout (pushout) といい、頂点を $A \sqcup_C B$ と書く。

命題 4.3. $f : A \to C$ と $g : B \to C$ を終域を共有する二つの射とする。対象 $P$ と射 $p : P \to A$ 、 $q : P \to B$ について、 $\bigl(P, (p, q, f \circ p)\bigr)$ が $f$ と $g$ の pullback であることと、次の二つがともに成り立つことは同値である。

$f \circ p = g \circ q$ である。
$f \circ w_1 = g \circ w_2$ を満たす任意の射の組 $w_1 : X \to A$ 、 $w_2 : X \to B$ に対して、 $p \circ t = w_1$ かつ $q \circ t = w_2$ を満たす射 $t : X \to P$ がただ一つ存在する。

$f : C \to A$ と $g : C \to B$ を始域を共有する二つの射とする。対象 $S$ と射 $\iota_1 : A \to S$ 、 $\iota_2 : B \to S$ について、 $\bigl(S, (\iota_1, \iota_2, \iota_1 \circ f)\bigr)$ が $f$ と $g$ の pushout であることと、次の二つがともに成り立つことは同値である。

$\iota_1 \circ f = \iota_2 \circ g$ である。
$w_1 \circ f = w_2 \circ g$ を満たす任意の射の組 $w_1 : A \to Y$ 、 $w_2 : B \to Y$ に対して、 $t \circ \iota_1 = w_1$ かつ $t \circ \iota_2 = w_2$ を満たす射 $t : S \to Y$ がただ一つ存在する。

証明. 以下、 $\mathcal J$ と $D$ は定義 4.2で定めたものとする。

pullback の場合を示す。添字圏の非恒等射は $a : 1 \to 3$ と $b : 2 \to 3$ であるから、 $D$ 上の錐は、対象 $X$ と射 $\psi_1 : X \to A$ 、 $\psi_2 : X \to B$ 、 $\psi_3 : X \to C$ の組であって

f \circ \psi_1 = \psi_3, \qquad g \circ \psi_2 = \psi_3

を満たすものである。二つの等式から $\psi_3$ は $\psi_1$ によって定まり、残る条件は $f \circ \psi_1 = g \circ \psi_2$ である。したがって $D$ 上の錐は、 $f \circ w_1 = g \circ w_2$ を満たす射の組 $(w_1 : X \to A,\ w_2 : X \to B)$ と一対一に対応する。

この対応のもとで極限の条件を書き下すと、 $\bigl(P, (p, q, f \circ p)\bigr)$ が錐であることは(1)に等しい。極限であることは、条件を満たす任意の組 $(w_1, w_2)$ に対して $p \circ t = w_1$ 、 $q \circ t = w_2$ 、 $(f \circ p) \circ t = f \circ w_1$ を満たす $t$ がただ一つ存在することであり、第三の等式は第一から結合律によって従う。ゆえに条件は(2)に等しい。

pushout の場合を示す。§E21.4 命題 2.2により、 $f$ と $g$ の pushout は、 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ における $f$ と $g$ の pullback にほかならない。 $\mathcal C$ の射 $f : C \to A$ と $g : C \to B$ は、 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ では $f : A \to C$ と $g : B \to C$ 、すなわち終域を共有する二つの射である。いま示した pullback の特徴づけを $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ へ適用すると、 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の対象 $S$ と $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の射 $\iota_1 : S \to A$ 、 $\iota_2 : S \to B$ について、次の二つが条件になる。

$f \circ^{\mathrm{op}} \iota_1 = g \circ^{\mathrm{op}} \iota_2$ である。
$f \circ^{\mathrm{op}} w_1 = g \circ^{\mathrm{op}} w_2$ を満たす $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の任意の射の組 $w_1 : Y \to A$ 、 $w_2 : Y \to B$ に対して、 $\iota_1 \circ^{\mathrm{op}} t = w_1$ かつ $\iota_2 \circ^{\mathrm{op}} t = w_2$ を満たす $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の射 $t : Y \to S$ がただ一つ存在する。

これらを $\mathcal C$ の言葉へ戻す。§E21.1 定義 5.1により、 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の射 $\iota_1 : S \to A$ と $\iota_2 : S \to B$ は $\mathcal C$ の射 $\iota_1 : A \to S$ と $\iota_2 : B \to S$ であり、 $f \circ^{\mathrm{op}} \iota_1$ と $g \circ^{\mathrm{op}} \iota_2$ は $\mathcal C$ の合成としては $\iota_1 \circ f$ と $\iota_2 \circ g$ である。したがって(1)は $\iota_1 \circ f = \iota_2 \circ g$ になる。

(2)について、 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の射 $w_1 : Y \to A$ 、 $w_2 : Y \to B$ は $\mathcal C$ の射 $w_1 : A \to Y$ 、 $w_2 : B \to Y$ であり、 $f \circ^{\mathrm{op}} w_1$ と $g \circ^{\mathrm{op}} w_2$ は $\mathcal C$ の合成としては $w_1 \circ f$ と $w_2 \circ g$ である。したがって仮定は $w_1 \circ f = w_2 \circ g$ になる。また $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の射 $t : Y \to S$ は $\mathcal C$ の射 $t : S \to Y$ であり、 $\iota_1 \circ^{\mathrm{op}} t$ と $\iota_2 \circ^{\mathrm{op}} t$ は $\mathcal C$ の合成としては $t \circ \iota_1$ と $t \circ \iota_2$ である。ゆえに結論は、 $t \circ \iota_1 = w_1$ かつ $t \circ \iota_2 = w_2$ を満たす $\mathcal C$ の射 $t : S \to Y$ がただ一つ存在することになる。

余錐の第三成分は、余錐の条件 $\varphi_1 \circ D(a) = \varphi_3$ から $\iota_1 \circ f$ と定まる。以上が主張の後半である。▨

系 4.4. $f : A \to C$ 、 $g : B \to C$ とする。 $\bigl(P, (p, q, f \circ p)\bigr)$ と $\bigl(P', (p', q', f \circ p')\bigr)$ がともに $f$ と $g$ の pullback であれば、 $p' \circ t = p$ かつ $q' \circ t = q$ を満たす射 $t : P \to P'$ がただ一つ存在し、その $t$ は同型射である。

$f : C \to A$ 、 $g : C \to B$ とする。 $\bigl(S, (\iota_1, \iota_2, \iota_1 \circ f)\bigr)$ と $\bigl(S', (\iota'_1, \iota'_2, \iota'_1 \circ f)\bigr)$ がともに $f$ と $g$ の pushout であれば、 $t \circ \iota_1 = \iota'_1$ かつ $t \circ \iota_2 = \iota'_2$ を満たす射 $t : S \to S'$ がただ一つ存在し、その $t$ は同型射である。

証明. pullback は終域を共有する二射の圏を添字圏とする図式の極限であるから§E21.4 定理 3.1を適用し、pushout は始域を共有する二射の圏を添字圏とする図式の余極限であるから§E21.4 系 3.2を適用する。pullback では第三成分に関する等式 $(f \circ p') \circ t = f \circ p$ が、第一成分に関する等式 $p' \circ t = p$ へ左から $f$ を合成して得られる。pushout では第三成分に関する等式 $t \circ (\iota_1 \circ f) = \iota'_1 \circ f$ が、第一成分に関する等式 $t \circ \iota_1 = \iota'_1$ へ右から $f$ を合成して得られる。いずれの場合も第三成分に関する等式を条件から落とすことができる。▨

例 4.5 ( $\mathbf{Set}$ の pullback). $f : A \to C$ と $g : B \to C$ を写像とする。直積 $A \times B$ の部分集合

P = \{\, (a, b) \in A \times B \ \mid \ f(a) = g(b) \,\}

を取り、 $p(a, b) = a$ 、 $q(a, b) = b$ と定める。定義から $f(p(a, b)) = f(a) = g(b) = g(q(a, b))$ であるから $f \circ p = g \circ q$ が成り立つ。

$w_1 : X \to A$ と $w_2 : X \to B$ が $f \circ w_1 = g \circ w_2$ を満たすとする。各 $x \in X$ について $f(w_1(x)) = g(w_2(x))$ であるから $(w_1(x), w_2(x)) \in P$ である。そこで $t : X \to P$ を $t(x) = (w_1(x), w_2(x))$ で定めると $p \circ t = w_1$ と $q \circ t = w_2$ が成り立つ。逆に $t'$ が同じ二つの等式を満たすとすると、 $t'(x)$ の第一成分は $w_1(x)$ 、第二成分は $w_2(x)$ であるから $t' = t$ である。したがって命題 4.3により $P$ は $f$ と $g$ の pullback である。

$A$ と $B$ がともに $C$ の部分集合で、 $f$ と $g$ が包含写像である場合を考える。このとき $P = \{(a, b) \in A \times B \mid a = b\}$ であり、 $(a, a) \mapsto a$ は $P$ から $A \cap B$ への全単射である。すなわち共通部分は pullback の特別な場合である。

$\mathbf{Set}$ における pushout の構成、および位相空間の圏における pushout による貼り合わせは「極限・余極限の計算」が扱う。

5 直積と equalizer による極限の構成

ここまでは、添字圏を指定して極限の特殊な場合を取り出した。逆に、二種類の特殊な場合をもつことが分かっている圏では、任意の小さい図式の極限を作ることができる。

証明の方針は次のとおりである。図式 $D : \mathcal J \to \mathcal C$ に対して、二つの直積を用意する。第一の直積 $P$ は $\mathcal J$ の対象について取り、第二の直積 $Q$ は $\mathcal J$ の射について取る。 $Q$ の第 $u$ 成分は、射 $u$ の終域に対応する対象 $D(\operatorname{cod} u)$ とする。次に $P$ から $Q$ への射を二つ作る。一方は各成分で $u$ の終域の座標をそのまま取り出す射、他方は $u$ の始域の座標を取り出してから $D(u)$ を施す射である。錐の等式は、この二つの射が一致することにほかならない。したがって二つの射の equalizer が極限の頂点を与える。本質的な一手は、錐の等式の全体を一本の等式へまとめるために、 $\mathcal J$ の射の全体を添字集合とする直積を導入することである。

$\mathcal J$ が小さい圏であることは、この構成でちょうど必要になる。 $\operatorname{Ob}(\mathcal J)$ と $\mathcal J$ の射の全体が集合でなければ、二つの直積を取ることができない。

定理 5.1. 圏 $\mathcal C$ が次の二つの条件を満たすとする。

任意の集合 $I$ と $\mathcal C$ の対象の任意の族 $(A_i)_{i \in I}$ に対して、直積 $\prod_{i \in I} A_i$ が存在する。
$\mathcal C$ の任意の平行な二射に対して、その equalizer が存在する。

このとき、任意の小さい圏 $\mathcal J$ と任意の図式 $D : \mathcal J \to \mathcal C$ に対して、 $D$ の極限が存在する。

証明. $\mathcal J$ の射の全体を $M$ と書く。 $\mathcal J$ は小さい圏であるから、 $\operatorname{Ob}(\mathcal J)$ と $M$ はともに集合である。 $u \in M$ の始域を $\operatorname{dom} u$ 、終域を $\operatorname{cod} u$ と書く。

(1)により、二つの直積

P = \prod_{j \in \operatorname{Ob}(\mathcal J)} D(j), \qquad Q = \prod_{u \in M} D(\operatorname{cod} u)

が存在する。 $P$ の射影を $p_j : P \to D(j)$ 、 $Q$ の射影を $r_u : Q \to D(\operatorname{cod} u)$ と書く。記号 $q$ は命題 4.3で pullback の射影に用いているので、ここでは別の文字を当てる。

射の族 $\bigl( p_{\operatorname{cod} u} : P \to D(\operatorname{cod} u) \bigr)_{u \in M}$ と、射の族 $\bigl( D(u) \circ p_{\operatorname{dom} u} : P \to D(\operatorname{cod} u) \bigr)_{u \in M}$ を考える。第二の族については、 $p_{\operatorname{dom} u} : P \to D(\operatorname{dom} u)$ と $D(u) : D(\operatorname{dom} u) \to D(\operatorname{cod} u)$ の合成であるから、確かに $P$ から $D(\operatorname{cod} u)$ への射である。命題 2.3を $Q$ へ適用すると、

r_u \circ \alpha = p_{\operatorname{cod} u}, \qquad r_u \circ \beta = D(u) \circ p_{\operatorname{dom} u} \qquad (u \in M)

をそれぞれ満たす射 $\alpha : P \to Q$ と $\beta : P \to Q$ が、それぞれただ一つ存在する。

(2)により、 $\alpha$ と $\beta$ の equalizer が存在する。それを $e : E \to P$ とし、 $\pi_j = p_j \circ e : E \to D(j)$ と定める。以下、 $(E, (\pi_j))$ が $D$ の極限であることを示す。

第一に、 $(E, (\pi_j))$ は $D$ 上の錐である。 $u : i \to j$ を $\mathcal J$ の射とすると $\operatorname{dom} u = i$ 、 $\operatorname{cod} u = j$ である。命題 3.3 (1)により $\alpha \circ e = \beta \circ e$ であるから、結合律を用いて

D(u) \circ \pi_i = D(u) \circ p_{\operatorname{dom} u} \circ e = (r_u \circ \beta) \circ e = r_u \circ (\beta \circ e) = r_u \circ (\alpha \circ e) = (r_u \circ \alpha) \circ e = p_{\operatorname{cod} u} \circ e = \pi_j

を得る。

第二に、普遍性を示す。 $(X, (\psi_j))$ を $D$ 上の錐とする。命題 2.3を $P$ へ適用すると、 $p_j \circ w = \psi_j$ をすべての $j \in \operatorname{Ob}(\mathcal J)$ について満たす射 $w : X \to P$ がただ一つ存在する。

この $w$ について $\alpha \circ w = \beta \circ w$ が成り立つことを示す。各 $u \in M$ について

r_u \circ (\alpha \circ w) = p_{\operatorname{cod} u} \circ w = \psi_{\operatorname{cod} u}

であり、また錐の等式 $D(u) \circ \psi_{\operatorname{dom} u} = \psi_{\operatorname{cod} u}$ を用いて

r_u \circ (\beta \circ w) = D(u) \circ p_{\operatorname{dom} u} \circ w = D(u) \circ \psi_{\operatorname{dom} u} = \psi_{\operatorname{cod} u}

である。すなわち $\alpha \circ w$ と $\beta \circ w$ はともに、族 $(\psi_{\operatorname{cod} u})_{u \in M}$ に対して命題 2.3が与える条件を満たす射 $X \to Q$ である。同条件を満たす射は一つしかないので $\alpha \circ w = \beta \circ w$ である。

命題 3.3 (2)により、 $e \circ t = w$ を満たす射 $t : X \to E$ がただ一つ存在する。この $t$ について、各 $j$ で

\pi_j \circ t = p_j \circ e \circ t = p_j \circ w = \psi_j

が成り立つ。

最後に $t$ の一意性を示す。射 $t' : X \to E$ が $\pi_j \circ t' = \psi_j$ をすべての $j$ について満たすとする。すると $p_j \circ (e \circ t') = \pi_j \circ t' = \psi_j$ であるから、 $w$ の一意性により $e \circ t' = w$ である。equalizer が与える射の一意性により $t' = t$ となる。

以上により $(E, (\pi_j))$ は $D$ の極限であり、 $D$ の極限が存在する。▨

系 5.2. 圏 $\mathcal C$ が、任意の集合を添字集合とする余積をすべてもち、かつ任意の平行な二射の coequalizer をもつとする。このとき、任意の小さい圏 $\mathcal J$ と任意の図式 $D : \mathcal J \to \mathcal C$ に対して、 $D$ の余極限が存在する。

証明. $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ が定理 5.1の二つの条件を満たすことを示す。

離散圏（定義 2.1）は恒等射しかもたないので、§E21.1 定義 5.1によりその反対圏は自分自身に等しい。したがって§E21.4 命題 2.2により、 $\mathcal C$ における族 $(A_i)_{i \in I}$ の余積は $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ における同じ族の直積である。仮定により $\mathcal C$ は任意の集合を添字集合とする余積をもつので、 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ は定理 5.1 (1)を満たす。

次に equalizer を見る。 $\alpha, \beta$ を $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の平行な二射 $Q \to P$ とすると、これらは $\mathcal C$ の平行な二射 $P \to Q$ である。命題 3.3の条件を $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ で書き下し、合成の順序を反転して $\mathcal C$ の言葉へ戻すと、 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ における $\alpha$ と $\beta$ の equalizer は、 $\mathcal C$ における $\alpha$ と $\beta$ の coequalizer にほかならない。仮定により $\mathcal C$ は任意の平行な二射の coequalizer をもつので、 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ は定理 5.1 (2)を満たす。

したがって定理 5.1により、 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ は小さい図式の極限をすべてもつ。 $D : \mathcal J \to \mathcal C$ を小さい図式とすると、§E21.4 命題 2.2の $D^{\mathrm{op}} : \mathcal J^{\mathrm{op}} \to \mathcal C^{\mathrm{op}}$ は小さい図式であるから、その極限が存在する。同命題により、その極限は $D$ の余極限である。▨

例 5.3 ( $\mathbf{Set}$ における小さい図式の極限).例 2.10により $\mathbf{Set}$ は任意の集合を添字集合とする直積をもち、例 3.5により任意の平行な二射の equalizer をもつ。したがって定理 5.1により、 $\mathbf{Set}$ は小さい図式の極限をすべてもつ。

構成を書き下す。 $\mathcal J$ を小さい圏、 $D : \mathcal J \to \mathbf{Set}$ を図式、 $M$ を $\mathcal J$ の射の全体とする。 $P = \prod_{j} D(j)$ の元 $x$ は、各 $j \in \operatorname{Ob}(\mathcal J)$ における値 $x_j$ が $D(j)$ に属する族である。証明で定めた二つの射は

\alpha(x)_u = x_{\operatorname{cod} u}, \qquad \beta(x)_u = D(u)\bigl( x_{\operatorname{dom} u} \bigr) \qquad (u \in M)

で与えられる。したがって equalizer は

E = \Bigl\{\, x \in \prod_{j \in \operatorname{Ob}(\mathcal J)} D(j) \ \Bigm| \ \forall u \in M,\ D(u)\bigl( x_{\operatorname{dom} u} \bigr) = x_{\operatorname{cod} u} \,\Bigr\}

であり、射影は $\pi_j(x) = x_j$ である。すなわち $\mathbf{Set}$ における極限は、図式のすべての射と両立する成分の族の集合である。

6 演習

問題 6.1.

命題 1.3を、空圏には射が存在しないという事実を用いる箇所をすべて明示して再現せよ。あわせて系 1.4の証明で、§E21.4 定理 3.1が与える条件が空になる理由を述べよ。
命題 2.3の証明で、離散圏の射が恒等射だけであることをどこで用いたかを特定し、その箇所で関手の条件と圏の単位律のどちらを用いたかを区別せよ。
$A$ と $B$ をともに一点集合とする。 $\mathbf{Set}$ における直積例 2.10と余積命題 2.12の元の個数を数え、両者が一致しないことを確かめよ。
命題 3.3の coequalizer に関する主張を、§E21.4 命題 2.2を用いて equalizer に関する主張から導く手順を、合成の順序の反転を各段階で明示して書け。
定理 5.1の証明で定めた二つの射 $\alpha$ と $\beta$ について、 $r_u \circ \alpha$ と $r_u \circ \beta$ の定義を書き、 $u$ が恒等射である場合に両者が一致することを確かめよ。
例 5.3の記述を、 $\mathcal J$ が平行な二射の圏である場合について書き下せ。得られる集合は $\{ x \in \prod_{j \in \{1, 2\}} D(j) \mid f(x_1) = x_2 = g(x_1) \}$ であり、例 3.5の $E = \{ a \in A \mid f(a) = g(a) \}$ とは集合として等しくない。両者が系 3.4の与える一意な同型で移り合うことを、その同型を具体的に書いて確かめよ。
例 2.14の証明で、写像としての一意性から連続写像としての一意性を導いた箇所を特定し、逆向きの推論が成り立たない理由を述べよ。

7 扱った範囲と次の記事

本記事では、添字圏を空圏、離散圏、平行な二射の圏および終域を共有する二射の圏へ順に取り替えることで、終対象と始対象、直積と余積、equalizer と coequalizer、pullback と pushout を極限と余極限として導いた。各構成の普遍性を、錐の等式を添字圏の射に沿って書き下すことによって証明し、同型を除く一意性は「極限と余極限」の一意性の系として述べた。 $\mathbf{Set}$ については終対象、始対象、直積、余積、equalizer、pullback を、 $\mathbf{Grp}$ と $\mathbf{Top}$ については直積を、半順序集合を圏とみなしたものについては直積と余積を具体的に構成した。最後に、直積と equalizer をもつ圏が小さい図式の極限をすべてもつことを証明し、双対に余積と coequalizer から余極限が構成されることを導いた。

集合、群、ベクトル空間、位相空間および順序集合の圏を横断して極限と余極限を比べる作業は「極限・余極限の計算」が扱う。とくに、 $\mathbf{Set}$ の coequalizer、 $\mathbf{Grp}$ の余積が自由積であること、 $\mathbf{Vect}_k$ で直積と余積が無限個の場合に分かれること、 $\mathbf{Top}$ の coequalizer が商位相であることは同記事が扱う。

関手が極限を保つ条件は本記事では扱わない。右随伴が存在する極限を保ち、左随伴が存在する余極限を保つことは「右随伴と極限」が証明する。極限の存在に関する定理のうち随伴関手定理を要するもの、およびフィルター余極限による表示は「圏論 II」が扱う。

§E21.5極限・余極限の特殊な場合