§E21.7モノ射とエピ射

証明.(2)$\Leftrightarrow$(3)が同じ主張であることを示す。§E21.6 定義 3.1により$y(f)$の成分は$y(f)_X(u) = f \circ u$で与えられ、§E21.6 定義 1.3により$\operatorname{Hom}(X, f)(u) = f \circ u$である。二つは始域も終域も対応の規則も一致するので、$y(f)_X = \operatorname{Hom}(X, f)$である。したがって(2)$\Leftrightarrow$(3)は同じ条件を述べている。

(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$f$をモノ射とし、$X$を対象、$g, h \in \operatorname{Hom}(X, A)$を$\operatorname{Hom}(X, f)(g) = \operatorname{Hom}(X, f)(h)$を満たす二つの射とする。この等式は$f \circ g = f \circ h$であるから、定義 1.1 (1)により$g = h$である。ゆえに$\operatorname{Hom}(X, f)$は単射である（単射性の定義は§E1.1 定義 3.1）。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。$X$を対象、$g, h : X \to A$を$f \circ g = f \circ h$を満たす二つの射とする。この等式は$\operatorname{Hom}(X, f)(g) = \operatorname{Hom}(X, f)(h)$であり、仮定により$\operatorname{Hom}(X, f)$は単射であるから$g = h$である。ゆえに$f$はモノ射である。▨

証明.§E21.6 定義 1.3により$\operatorname{Hom}(f, Y)(v) = v \circ f$である。

(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$f$をエピ射とし、$g, h \in \operatorname{Hom}(B, Y)$が$\operatorname{Hom}(f, Y)(g) = \operatorname{Hom}(f, Y)(h)$を満たすとする。この等式は$g \circ f = h \circ f$であるから、定義 1.1 (2)により$g = h$である。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。$Y$を対象、$g, h : B \to Y$を$g \circ f = h \circ f$を満たす二つの射とする。この等式は$\operatorname{Hom}(f, Y)(g) = \operatorname{Hom}(f, Y)(h)$であり、仮定により$\operatorname{Hom}(f, Y)$は単射であるから$g = h$である。▨

証明.§E21.1 定義 5.1により、$\mathcal C^{\mathrm{op}}$の対象は$\mathcal C$の対象であり、$\operatorname{Hom}_{\mathcal C^{\mathrm{op}}}(X, Y) = \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(Y, X)$であって、合成は$q \circ^{\mathrm{op}} p = p \circ q$で与えられる。

$f^{\mathrm{op}}$が$\mathcal C^{\mathrm{op}}$のエピ射であることは、$\mathcal C^{\mathrm{op}}$の任意の対象$X$と任意の射$g, h \in \operatorname{Hom}_{\mathcal C^{\mathrm{op}}}(A, X)$について、$g \circ^{\mathrm{op}} f^{\mathrm{op}} = h \circ^{\mathrm{op}} f^{\mathrm{op}}$ならば$g = h$であることをいう。ここで$\operatorname{Hom}_{\mathcal C^{\mathrm{op}}}(A, X) = \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X, A)$であり、$g \circ^{\mathrm{op}} f^{\mathrm{op}} = f \circ g$である。したがってこの条件は、$\mathcal C$の任意の対象$X$と任意の射$g, h : X \to A$について$f \circ g = f \circ h$ならば$g = h$であること、すなわち$f$が$\mathcal C$のモノ射であることと同じである。

もう一方の同値も同様である。$f^{\mathrm{op}}$が$\mathcal C^{\mathrm{op}}$のモノ射であることは、$g, h \in \operatorname{Hom}_{\mathcal C^{\mathrm{op}}}(Y, B) = \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(B, Y)$について$f^{\mathrm{op}} \circ^{\mathrm{op}} g = f^{\mathrm{op}} \circ^{\mathrm{op}} h$、すなわち$g \circ f = h \circ f$から$g = h$が従うことであり、これは$f$が$\mathcal C$のエピ射であることと同じである。▨

証明.(1)を示す。$f$が単射であるとする。$X$を集合、$g, h : X \to A$を$f \circ g = f \circ h$を満たす写像とすると、任意の$x \in X$について$f(g(x)) = f(h(x))$であり、$f$の単射性から$g(x) = h(x)$である。$x$は任意であるから$g = h$である。ゆえに$f$はモノ射である。

逆に$f$がモノ射であるとする。$a, b \in A$が$f(a) = f(b)$を満たすとする。一元集合$\{\ast\}$をとり、写像$g, h : \{\ast\} \to A$を$g(\ast) = a$、$h(\ast) = b$で定める。$(f \circ g)(\ast) = f(a) = f(b) = (f \circ h)(\ast)$であり、$\{\ast\}$の元は$\ast$だけであるから$f \circ g = f \circ h$である。$f$はモノ射であるから$g = h$であり、$a = g(\ast) = h(\ast) = b$である。ゆえに$f$は単射である。

(2)を示す。$f$が全射であるとする。$Y$を集合、$g, h : B \to Y$を$g \circ f = h \circ f$を満たす写像とする。任意の$y \in B$について、全射性から$f(x) = y$を満たす$x \in A$が存在し、

である。ゆえに$g = h$であり、$f$はエピ射である。

逆を対偶で示す。$f$が全射でないとすると、$f(x) = y_0$を満たす$x \in A$が存在しないような$y_0 \in B$が存在する。$Y = \{0, 1\}$とし、写像$g, h : B \to Y$を、$g$はすべての元を$0$へ写す写像、$h$は$h(y_0) = 1$かつ$y \ne y_0$のとき$h(y) = 0$となる写像として定める。任意の$x \in A$について$f(x) \ne y_0$であるから$h(f(x)) = 0 = g(f(x))$であり、$g \circ f = h \circ f$である。しかし$g(y_0) = 0$と$h(y_0) = 1$は異なるので$g \ne h$である。ゆえに$f$はエピ射でない。▨

証明.$f : A \to B$を§E21.1 定義 6.1の意味で同型射とし、$f^{-1} : B \to A$をその逆射とする。逆射がただ一つであることは§E21.1 命題 6.2による。

モノ射であることを示す。$g, h : X \to A$が$f \circ g = f \circ h$を満たすとする。両辺に左から$f^{-1}$を合成すると、結合律と単位律により

である。

エピ射であることを示す。$g, h : B \to Y$が$g \circ f = h \circ f$を満たすとする。両辺に右から$f^{-1}$を合成すると、同様に

である。▨

証明. 全射でないことを示す。$1/2 \in \mathbb Q$は整数でないから、$\iota$の像$\mathbb Z$に属さない。

モノ射であることを示す。$R$を環、$g, h : R \to \mathbb Z$を$\iota \circ g = \iota \circ h$を満たす環準同型とする。任意の$r \in R$について$g(r)$と$h(r)$は整数であり、$\iota$は写像として単射であるから$g(r) = h(r)$である。ゆえに$g = h$である。

エピ射であることを示す。$R$を環、$g, h : \mathbb Q \to R$を$g \circ \iota = h \circ \iota$を満たす環準同型とする。仮定は、任意の整数$n$について$g(n) = h(n)$が成り立つことである。

$b$を$0$でない整数とする。$\mathbb Q$において$b \cdot (1/b) = (1/b) \cdot b = 1$であるから、$g$が環準同型であることにより

が成り立つ。したがって$g(b)$は$R$の可逆元であり、その逆元は$g(1/b)$である。同じ議論により$h(b)$も可逆元であり、その逆元は$h(1/b)$である。

環において、可逆元の逆元は一意である。実際、$u$に対して$vu = uv = 1_R$と$wu = uw = 1_R$が成り立つならば、

である。いま$b$は整数であるから仮定により$g(b) = h(b)$であり、この元の逆元は一意であるから$g(1/b) = h(1/b)$である。

任意の$q \in \mathbb Q$をとり、整数$a$と$0$でない整数$b$によって$q = a \cdot (1/b)$と表す。$a$が整数であることから$g(a) = h(a)$であり、上で示したことから$g(1/b) = h(1/b)$であるから、乗法の保存により

である。$q$は任意であるから$g = h$であり、$\iota$はエピ射である。

最後に、$\iota$が同型射であるとすると、逆射$\sigma : \mathbb Q \to \mathbb Z$について$\iota \circ \sigma = \mathrm{id}_{\mathbb Q}$が成り立ち、$\iota$は全射となる。これは既に示したことに反する。ゆえに$\iota$は同型射でない。▨

証明.§E21.5 命題 3.3により、$e$は次の二つを満たす。

1. $f \circ e = g \circ e$が成り立つ。
2. $f \circ w = g \circ w$を満たす任意の射$w : X \to A$に対して、$e \circ t = w$を満たす射$t : X \to E$がただ一つ存在する。

$t_1, t_2 : X \to E$を$e \circ t_1 = e \circ t_2$を満たす二つの射とし、$w = e \circ t_1$とおく。§E21.5 命題 3.3 (1)と結合律により

であるから、$w$は§E21.5 命題 3.3 (2)の仮定を満たす射である。したがって$e \circ t = w$を満たす射$t : X \to E$はただ一つである。$t_1$はこの等式を満たし、$t_2$も$e \circ t_2 = e \circ t_1 = w$により満たすので、一意性から$t_1 = t_2$である。ゆえに$e$はモノ射である。▨