§E21.3自然変換と関手圏

証明.$\mathrm{id}_{F(A)}$は$F(A)$から$F(A)$への射であるから、成分の型は正しい。$\mathcal C$の任意の射$f : A \to B$について、$\mathcal D$の単位律により

が成り立つ。これは$\mathrm{id}_F$の$f$に対する自然性の等式であるから、$\mathrm{id}_F$は自然変換$F \Rightarrow F$である。各成分は同型射である（§E21.1 命題 6.3）から、$\mathrm{id}_F$は自然同型である。▨

証明.$\theta_A \circ \eta_A$は$F(A)$から$H(A)$への射であるから、成分の型は正しい。$f : A \to B$を$\mathcal C$の射とする。

が成り立つ。第一の等号は$\theta$の$f$に対する自然性の等式、第二の等号は$\eta$の$f$に対する自然性の等式による。両端を成分の記号で書くと$H(f) \circ (\theta\eta)_A = (\theta\eta)_B \circ F(f)$であり、これは$\theta\eta$の$f$に対する自然性の等式である。▨

証明. 各$\eta_A$は同型射なので、逆射$(\eta_A)^{-1} : G(A) \to F(A)$が一意に定まる（§E21.1 命題 6.2）。したがって成分の型は正しい。

$f : A \to B$を$\mathcal C$の射とする。$\eta$の自然性の等式$G(f) \circ \eta_A = \eta_B \circ F(f)$の両辺に、左から$(\eta_B)^{-1}$を、右から$(\eta_A)^{-1}$を合成する。左辺は

となり、右辺は

となる。したがって

が成り立ち、これは$\eta^{-1} : G \Rightarrow F$の$f$に対する自然性の等式である。各成分は同型射である（§E21.1 命題 6.3）から、$\eta^{-1}$は自然同型である。

垂直合成については、各対象$A$について

が成り立つ。自然変換は成分の族であるから、すべての成分が一致すれば等しい。▨

証明.§E3.5 命題 4.1は、線形空間$V$に対する写像$\iota_V : V \to V^{\vee\vee}$、$\iota_V(v)(\varphi) = \varphi(v)$について、$\iota_V$が基底の選び方によらず定まる線形単射であること、$V$が有限次元ならば$\iota_V$が同型であること、および任意の線形写像$f : V \to W$について

が成り立つことを示している。§E21.2 例 3.3の記号では$V^{\vee} = V^*$かつ$f^{\vee} = f^*$であるから、$\iota_V$は本記事の$\eta_V$であり、上の等式は$(f^*)^* \circ \eta_V = \eta_W \circ f$である。以後$\eta_V$と書く。

各$\eta_V$は$\mathbf{Vect}_k$の射$\mathrm{id}_{\mathbf{Vect}_k}(V) \to (-)^{**}(V)$であり、上の等式は$F = \mathrm{id}_{\mathbf{Vect}_k}$、$G = (-)^{**}$としたときの$f$に対する自然性の等式そのものである。したがって$\eta$は自然変換$\mathrm{id}_{\mathbf{Vect}_k} \Rightarrow (-)^{**}$である。

制限の主張を示す。$\mathbf{Vect}_k^{\mathrm{fd}}$は$\mathbf{Vect}_k$の充満部分圏（§E21.1 例 4.3）であるから、§E21.2 命題 1.4により$J$と$(-)^{**}|_{\mathbf{Vect}_k^{\mathrm{fd}}}$はともに関手$\mathbf{Vect}_k^{\mathrm{fd}} \to \mathbf{Vect}_k$であり、対象$V$をそれぞれ$V$と$V^{**}$へ、射$f$をそれぞれ$f$と$(f^*)^*$へ送る。したがって$\mathbf{Vect}_k^{\mathrm{fd}}$の射に対する自然性の等式は、$\mathbf{Vect}_k$における同じ等式であり、すでに示されている。$\mathbf{Vect}_k^{\mathrm{fd}}$の対象はすべて有限次元であるから、各成分$\eta_V$は$\mathbf{Vect}_k$の同型射である。ゆえにこの族は自然同型である。▨

証明. まず二つの表示が一致することを示す。$\eta_A$は$\mathcal D$の射$F(A) \to G(A)$である。$\theta$は$\mathcal D$から$\mathcal E$への二つの関手の間の自然変換であるから、$\mathcal D$の射$\eta_A$に対する自然性の等式

が成り立つ。これが求める等式である。両辺はいずれも$F'(F(A))$から$G'(G(A))$への射であるから、$(\theta * \eta)_A$の型は正しい。

次に$\theta * \eta$が自然変換であることを示す。$f : A \to B$を$\mathcal C$の射とし、

を示す。左辺で$(\theta * \eta)_A = \theta_{G(A)} \circ F'(\eta_A)$の表示を用いると

である。$\theta$の$\mathcal D$の射$G(f) : G(A) \to G(B)$に対する自然性の等式

を用いると、上の式は

に等しい。最後の等号は$F'$が合成を保つことによる。$\eta$の$f$に対する自然性の等式$G(f) \circ \eta_A = \eta_B \circ F(f)$を代入し、再び$F'$が合成を保つことを用いると

を得る。これは示すべき等式の右辺である。▨

証明.命題 1.3により、自然変換の垂直合成は自然変換である。命題 1.2により、恒等自然変換は自然変換である。したがって合成と恒等射は$[\mathcal C, \mathcal D]$の中で定まる。

自然変換は成分の族であるから、二つの自然変換が等しいことは、すべての成分が一致することである。以下ではこの判定を用いる。

結合律を示す。$\eta : F \Rightarrow G$、$\theta : G \Rightarrow H$、$\zeta : H \Rightarrow K$を自然変換とする。$\mathcal C$の各対象$A$について

が成り立つ。中央の等号は$\mathcal D$の結合律による。したがって$(\zeta\theta)\eta = \zeta(\theta\eta)$である。

単位律を示す。$\eta : F \Rightarrow G$を自然変換とする。$\mathcal C$の各対象$A$について

が成り立つ。いずれも$\mathcal D$の単位律による。したがって$\eta \, \mathrm{id}_F = \eta = \mathrm{id}_G \, \eta$である。▨

証明.$\eta$が自然同型であるとする。命題 1.4により、$\eta^{-1}$は自然変換$G \Rightarrow F$であり、垂直合成について$\eta^{-1}\eta = \mathrm{id}_F$と$\eta\eta^{-1} = \mathrm{id}_G$が成り立つ。垂直合成は$[\mathcal C, \mathcal D]$の合成であり、恒等自然変換は$[\mathcal C, \mathcal D]$の恒等射であるから、この二つの等式は§E21.1 定義 6.1が要求する条件そのものである。したがって$\eta$は$[\mathcal C, \mathcal D]$の同型射である。

逆に、$\eta$が$[\mathcal C, \mathcal D]$の同型射であるとする。$\theta : G \Rightarrow F$を、$\theta\eta = \mathrm{id}_F$かつ$\eta\theta = \mathrm{id}_G$を満たす自然変換とする。$\mathcal C$の各対象$A$について成分を比べると、垂直合成と恒等自然変換の定義により

が成り立つ。したがって各$\eta_A$は$\mathcal D$の同型射であり、$\eta$は自然同型である。▨