反転と円円対応 | 初等幾何学 | 天游ヶ丘数理学院

1 まず動かして見る

下の図では、中心 $\mathrm{O}=(0,0)$ 、反転半径 $\rho=2$ です。円 $\Gamma$ は中心 $(3,0)$ 、半径 $1$ なので、中心 $\mathrm{O}$ を通りません。円周上の点 $\mathrm{P}$ を動かすと、その反転像 $\mathrm{P}^{*}$ も動きます。 $\mathrm{P}^{*}$ は別の円の上に残ること、また3点 $\mathrm{O},\mathrm{P},\mathrm{P}^{*}$ が一直線上にあることを観察してください。

図で円周上にとどまることが見えたとしても、観察は証明ではありません。 図が表示するのは選んだ座標と有限個の位置だけです。以下では、距離の式を計算して、なぜ円が円へ移るのかをすべての点について示します。

2 反転の定義と基本性質

定義 2.1 (反転). 中心 $\mathrm{O}$ 、半径 $\rho>0$ の反転とは、 $\mathrm{O}$ 以外の各点 $\mathrm{X}$ に対し、半直線 $\mathrm{OX}$ 上のただ1つの点 $\mathrm{X}^{*}$ を

\mathrm{OX}\cdot\mathrm{OX}^{*}=\rho^{2}

となるように対応させる写像である。点 $\mathrm{X}^{*}$ を $\mathrm{X}$ の反転像と呼ぶ。

$\mathrm{OX}>0$ なので、定義から $\mathrm{OX}^{*}=\rho^{2}/\mathrm{OX}$ がただ1つ決まります。座標の原点を $\mathrm{O}$ に置き、点を位置ベクトル $\mathbf{x}$ で表すと、反転は

\mathbf{x}^{*}=\frac{\rho^{2}}{\|\mathbf{x}\|^{2}}\mathbf{x}\qquad(\mathbf{x}\ne\mathbf{0})

と書けます。

定理 2.2 (反転の基本性質). 中心 $\mathrm{O}$ 、半径 $\rho>0$ の反転について、 $\mathrm{X},\mathrm{Y}$ を $\mathrm{O}$ と異なる点とする。

$\mathrm{O},\mathrm{X},\mathrm{X}^{*}$ は一直線上にあり、 $\mathrm{OX}\cdot\mathrm{OX}^{*}=\rho^{2}$ である。
$(\mathrm{X}^{*})^{*}=\mathrm{X}$ である。特に、反転は自分自身が逆写像である。
$\mathrm{OX}=\rho$ の点は動かない。
$\mathrm{X}\ne\mathrm{Y}$ ならば $\mathrm{X}^{*}\mathrm{Y}^{*}=\frac{\rho^{2}}{\mathrm{OX}\cdot\mathrm{OY}}\,\mathrm{XY}.$

証明. 1, 2, 3 は定義を展開すればよい。 $\mathrm{X}^{*}$ は $\mathrm{OX}$ と同じ半直線上にあり、その距離は $\rho^{2}/\mathrm{OX}$ なので、1 が成り立つ。さらに

\mathrm{OX}^{*}\cdot\mathrm{OX}^{**}=\rho^{2}

であり、 $\mathrm{OX}^{*}=\rho^{2}/\mathrm{OX}$ を代入すると $\mathrm{OX}^{**}=\mathrm{OX}$ となる。同じ半直線上で中心からの距離が等しい点は同じ点だから $\mathrm{X}^{**}=\mathrm{X}$ である。また $\mathrm{OX}=\rho$ なら $\mathrm{OX}^{*}=\rho$ で、同じ半直線上にあるので $\mathrm{X}^{*}=\mathrm{X}$ である。

4 を座標で示す。 $\mathrm{O}$ を原点とし、 $\mathbf{x},\mathbf{y}$ を $\mathrm{X},\mathrm{Y}$ の位置ベクトルとする。内積を展開すると

\begin{aligned} \|\mathbf{x}^{*}-\mathbf{y}^{*}\|^{2} &=\rho^{4}\left\|\frac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|^{2}}-\frac{\mathbf{y}}{\|\mathbf{y}\|^{2}}\right\|^{2}\\ &=\frac{\rho^{4}}{\|\mathbf{x}\|^{2}\|\mathbf{y}\|^{2}} \left(\|\mathbf{x}\|^{2}+\|\mathbf{y}\|^{2}-2\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}\right)\\ &=\frac{\rho^{4}}{\|\mathbf{x}\|^{2}\|\mathbf{y}\|^{2}}\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^{2}. \end{aligned}

距離は非負なので平方根をとり、4 を得る。▨

系 2.3 (反転での距離比). 相異なる点 $\mathrm{X},\mathrm{Y},\mathrm{Z}$ がいずれも $\mathrm{O}$ と異なるならば、反転後の距離比は

\frac{\mathrm{X}^{*}\mathrm{Y}^{*}}{\mathrm{X}^{*}\mathrm{Z}^{*}} =\frac{\mathrm{XY}}{\mathrm{XZ}}\,\frac{\mathrm{OZ}}{\mathrm{OY}}

である。

証明.定理 2.2の4を、組 $(\mathrm{X},\mathrm{Y})$ と組 $(\mathrm{X},\mathrm{Z})$ に適用して割り算する。すべての距離は点の相異性と $\mathrm{O}$ からの非一致により正なので、割り算ができ、表示された式を得る。▨

4 は、1つの配置の中ではすべての距離が同じ倍率になる、という式ではありません。倍率は $\mathrm{X},\mathrm{Y}$ の中心からの距離に依存します。したがって、一般の線分比はそのまま保存されません。中心からの距離の因子を落とさないことが重要です。

3 円と直線の対応

円と直線の対応を、中心 $\mathrm{O}$ を原点としたベクトル方程式で分類します。

定理 3.1 (円と直線の反転像). 反転の中心を $\mathrm{O}$ 、半径を $\rho>0$ とする。円 $\Gamma$ の中心を $\mathrm{C}$ 、半径を $r>0$ とし、 $\mathbf{c}$ を $\mathrm{OC}$ の位置ベクトルとする。

$\mathrm{O}\notin\Gamma$ 、すなわち $d=\|\mathbf{c}\|^{2}-r^{2}\ne0$ ならば、 $\Gamma$ の $\mathrm{O}$ 以外の点の反転像は円 $\left\|\mathbf{u}-\frac{\rho^{2}}{d}\mathbf{c}\right\| =\frac{\rho^{2}r}{|d|}$ である。
$\mathrm{O}\in\Gamma$ 、すなわち $\|\mathbf{c}\|=r$ ならば、反転像は $\mathrm{O}$ を通らない直線 $\mathbf{c}\cdot\mathbf{u}=\frac{\rho^{2}}{2}$ である。この直線上のすべての点は、 $\mathrm{O}$ を除く $\Gamma$ の点の反転像として得られる。

また、直線 $\ell$ が $\mathrm{O}$ を通らず、単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ と $h\ne0$ を用いて

\mathbf{n}\cdot\mathbf{x}=h

と書けるなら、その反転像は $\mathrm{O}$ を通る円

\left\|\mathbf{u}-\frac{\rho^{2}}{2h}\mathbf{n}\right\|=\frac{\rho^{2}}{2|h|}

である。 $\mathrm{O}$ を通る直線は、 $\mathrm{O}$ を除けば同じ直線へ移る。

証明. 反転前の点を位置ベクトル $\mathbf{x}$ 、反転後の点を $\mathbf{u}$ とする。定義から

\mathbf{u}=\frac{\rho^{2}}{\|\mathbf{x}\|^{2}}\mathbf{x}, \qquad \mathbf{x}=\frac{\rho^{2}}{\|\mathbf{u}\|^{2}}\mathbf{u}

である。

円 $\Gamma$ の方程式は

\|\mathbf{x}-\mathbf{c}\|^{2}=r^{2},

すなわち

\|\mathbf{x}\|^{2}-2\mathbf{c}\cdot\mathbf{x}+\|\mathbf{c}\|^{2}-r^{2}=0

である。ここへ $\mathbf{x}=\rho^{2}\mathbf{u}/\|\mathbf{u}\|^{2}$ を代入し、 $d=\|\mathbf{c}\|^{2}-r^{2}$ とおくと

d\|\mathbf{u}\|^{2}-2\rho^{2}\mathbf{c}\cdot\mathbf{u}+\rho^{4}=0

を得る。

$d\ne0$ のとき両辺を $d$ で割り、平方完成すると

\left\|\mathbf{u}-\frac{\rho^{2}}{d}\mathbf{c}\right\|^{2} =\frac{\rho^{4}}{d^{2}}\left(\|\mathbf{c}\|^{2}-d\right) =\frac{\rho^{4}r^{2}}{d^{2}}.

右辺は正なので、1 の円の方程式である。逆向きの代入も同値変形なので、この円上の $\mathrm{O}$ でない点がちょうど像になる。

$d=0$ のときは、同じ式が

-2\rho^{2}\mathbf{c}\cdot\mathbf{u}+\rho^{4}=0

となる。よって $\mathbf{c}\cdot\mathbf{u}=\rho^{2}/2$ であり、2 の直線を得る。この直線は $\mathbf{u}=\mathbf{0}$ を満たさないので、像に中心が混ざることもない。

直線 $\mathbf{n}\cdot\mathbf{x}=h$ へ $\mathbf{x}=\rho^{2}\mathbf{u}/\|\mathbf{u}\|^{2}$ を代入すると

h\|\mathbf{u}\|^{2}-\rho^{2}\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}=0

である。 $h\ne0$ なので平方完成して

\left\|\mathbf{u}-\frac{\rho^{2}}{2h}\mathbf{n}\right\|^{2} =\frac{\rho^{4}}{4h^{2}}

となる。中心から右辺の半径を引くと $0$ なので、この円は $\mathrm{O}$ を通る。最後に $h=0$ 、すなわち直線が $\mathrm{O}$ を通る場合は、 $\mathbf{x}$ と $\mathbf{u}$ が同じ直線方向をもつことから、直線自身が集合として保たれる。▨

この定理のポイントは、円の方程式に現れる定数 $d=\mathrm{OC}^{2}-r^{2}$ です。 $d$ は§A5.7 定義 1で中心 $\mathrm{O}$ の方べきを計算した値でもあります。 $\mathrm{O}$ が円の外側なら $d>0$ 、内側なら $d<0$ 、円周上なら $d=0$ で、最後の場合だけ2次式の項が消えて直線になります。

4 角度は何が保存されるか

反転は線分の角を、対応する3点の三角形の角としてそのまま保存する写像ではありません。保存されるのは、曲線が交わる点での接線どうしの角です。これは「円が円へ移る」ことを角度の議論に使うときの正確な言い方です。

定理 4.1 (反転は交角の大きさを保存する). $\gamma_1,\gamma_2$ が点 $\mathrm{X}\ne\mathrm{O}$ で交わり、各曲線が $\mathrm{X}$ の近傍では $\mathrm{O}$ を通らない滑らかな曲線であるとする。 $\gamma_i$ の反転像を $\gamma_i^{*}$ とし、 $\mathrm{X}^{*}$ における接線が存在すると仮定する。このとき、 $\gamma_1,\gamma_2$ の $\mathrm{X}$ における接線のなす角の大きさと、 $\gamma_1^{*},\gamma_2^{*}$ の $\mathrm{X}^{*}$ における接線のなす角の大きさは等しい。向きをつけた角は符号が反転する。

証明. $\mathrm{O}$ を原点とし、反転を写す関数を

F(\mathbf{x})=\frac{\rho^{2}}{\|\mathbf{x}\|^{2}}\mathbf{x}

と書く。 $\mathbf{x}\ne\mathbf{0}$ における微分を、方向ベクトル $\mathbf{v}$ に作用させると

DF_{\mathbf{x}}(\mathbf{v}) =\frac{\rho^{2}}{\|\mathbf{x}\|^{2}} \left(\mathbf{v}-2\frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{x}\|^{2}}\mathbf{x}\right).

括弧内の写像は、 $\mathbf{x}$ 方向成分の符号だけを反転する反射である。したがって、 $\mathbf{v},\mathbf{w}$ が作る角の大きさは $DF_{\mathbf{x}}(\mathbf{v}),DF_{\mathbf{x}}(\mathbf{w})$ が作る角の大きさと等しい。曲線 $\gamma_i$ の $\mathrm{X}$ における接ベクトルにこれを適用すれば、主張を得る。反射の行列式は負なので、向きをつけた角は符号が反転する。▨

例えば、 $\mathrm{O}$ を通らない2本の直線 $\ell_1,\ell_2$ が $\mathrm{X}$ で交わるなら、各直線の像は $\mathrm{X}^{*}$ を通る円です。元の直線の角を反転後に読むときは、像の円の弧そのものではなく、その点での接線を使います。円と直線の接触、2円の接触、交わる2円の角は、この定理をそのまま適用できます。

5 典型的な使い方

反転を問題へ持ち込むときは、次の順に対象を選びます。

多くの円が通る点、または接線を調べたい点を反転中心 $\mathrm{O}$ にする。
その点を通る円を反転して直線にし、円どうしの条件を直線どうしの条件へ変える。
距離の積 $\mathrm{OX}\cdot\mathrm{OX}^{*}=\rho^{2}$ と定理 2.2の距離公式で、長さの結論を元へ戻す。
角度の結論は定理 4.1により接線の交角として戻す。

5.1 例：共通点を通る円を2本の直線へ変える

$\mathrm{O}$ を通る相異なる2円 $\Gamma_1,\Gamma_2$ が、 $\mathrm{O}$ 以外の点 $\mathrm{A}$ でも交わるとする。 $\mathrm{O}$ を中心とする任意の反転を施すと、定理定理 3.1により $\Gamma_1,\Gamma_2$ は2本の直線 $\ell_1,\ell_2$ へ移る。点 $\mathrm{A}$ の像 $\mathrm{A}^{*}$ は両直線上にあるので

\mathrm{A}^{*}=\ell_1\cap\ell_2.

つまり、元の「 $\mathrm{O}$ を通る2円のもう1つの交点」を直接探す代わりに、反転後の2直線の交点を求め、最後にもう一度反転すればよい。交点を求めるだけなら、2円の方程式を連立するより2直線の方が扱いやすいことがある。

この変換で角度も読めます。 $\Gamma_1,\Gamma_2$ が $\mathrm{A}$ で交わるとき、 $\mathrm{A}^{*}$ での $\ell_1,\ell_2$ の角は、元の2円の $\mathrm{A}$ での接線の角に等しい。これは定理 4.1を、2本の円弧へ適用したものです。円を直線へ変えたからといって、円周上の弦の角を無条件に読み替えているのではなく、接線の角を読み替えている点に注意してください。

5.2 例：方べきの積を反転で作る

円 $\Gamma$ と $\mathrm{O}$ 以外の点 $\mathrm{P}$ を固定し、 $\mathrm{P}$ を通る直線が $\Gamma$ と $\mathrm{A},\mathrm{B}$ で交わるとする。反転後には、一般に直線 $\mathrm{PAB}$ は直線のままではなく、 $\mathrm{O}$ を通る円へ移ります。したがって「反転した3点が一直線上にある」と早合点してはいけません。正しくは距離公式から

\mathrm{A}^{*}\mathrm{B}^{*} =\frac{\rho^{2}}{\mathrm{OA}\cdot\mathrm{OB}}\,\mathrm{AB}

を得て、必要なら§A5.7 定理 2.1の方べきの積と組み合わせます。反転後の図形が直線になるのは、元の直線が $\mathrm{O}$ を通る場合に限られるからです。この「何が直線として残るか」を先に判定することが、反転で長さを扱う基本手順です。

6 縮退・境界ケースと適用範囲

中心 $\mathrm{O}$ ：通常の平面反転では $\mathrm{O}$ の像は定義しない。拡張平面で「無限遠点へ移る」と表すことはできるが、この記事の距離公式は $\mathrm{OX}>0$ を仮定している。
反転円上の点： $\mathrm{OX}=\rho$ なら $\mathrm{X}^{*}=\mathrm{X}$ である。図形全体が固定されるという意味ではなく、その円周上の各点が個別に固定される。
円が中心を通る場合：円の中心が $\mathrm{O}$ と一致する、という意味ではない。円周が $\mathrm{O}$ を含むときに像が直線となる。元の円から $\mathrm{O}$ を除くので、像の直線上に「 $\mathrm{O}$ の像」という有限点は追加しない。
直線が中心を通る場合：中心を除く直線は同じ直線へ移る。中心を通らない直線だけが、中心を通る円へ移る。
円の式の分母 $d$ ： $d=\mathrm{OC}^{2}-r^{2}$ は0でない場合にだけ円の像の中心公式を使える。 $d=0$ では分母で割らず、直線の方程式を直接使う。
一致する点や角：距離公式は $\mathrm{X},\mathrm{Y}\ne\mathrm{O}$ を仮定し、角度の定理は2本の接線が定まり、接ベクトルが零でない交点を仮定する。点の一致、中心での角、曲線の尖点ではそのまま適用しない。
円周上の点の対応：反転像を同じ円の上に置くには、その円が反転で不変であるなどの追加条件が必要である。一般の円では、定理の式で求めた別の円を使う。

7 つまずいたら

まず中心 $\mathrm{O}$ を決め、各点について「同じ半直線上」と「距離の積が $\rho^{2}$ 」の2条件を書きます。図の見た目だけで像を置かないでください。
円が直線へ移るのは、円が中心 $\mathrm{O}$ を通るときだけです。中心を円の中心と取り違えず、 $\mathrm{OC}=r$ かどうかを確認します。
距離は保存されません。 $\mathrm{X}^{*}\mathrm{Y}^{*}=\rho^{2}\mathrm{XY}/(\mathrm{OX}\cdot\mathrm{OY})$ の分母を落とすと、距離比や方べきの計算が崩れます。
「角度が保存される」は、対応する3点を結んだ線分の角がいつも保存されるという意味ではありません。反転後の曲線の接線の角を比較する、と言い換えてから使います。
最後に中心を通る対象が残っていないかを確認します。中心を通る円では中心そのものを除き、中心を通る直線では中心を除いた集合として扱うのが、退化を隠さない書き方です。

§A5.19反転と円円対応