§A5.20幾何の技法

1 補助線の目的

• 等しい角を増やす：平行線、角の二等分線、円周上の点。
• 相似を作る：既知の角をもう一つ再現する。
• 共円を作る：同じ弦に対する角、直角、角の和180度。
• 積や比を作る：方べき、相似、面積比。
• 長さの条件を消す：複比、反転、射影変換。

補助線は引いた瞬間に価値があるのではなく、その線から何を証明するかが明示できて初めて有効です。

2 例：垂心の反射

鋭角三角形の垂心を一辺に関して反射すると外接円上に移ることを、直角と角の和で示せます。反射で角度を保ち、$\angle BHC=180^\circ-\angle A$を使って、反射点と$B,C$を結ぶ四角形の対角の和を180度にします。座標計算も可能ですが、初等幾何の問題としてはこの角追いを主証明にします。

2.1 完全解答

$H_a$を$H$の$BC$に関する反射とする。$BH\perp AC$、$CH\perp AB$より、四角形$ABHC$の角は

$\angle BHC=180^\circ-\angle BAC.$

反射は$B,C$を固定し角度を保つので$\angle BH_aC=\angle BHC$。したがって$\angle BAC+\angle BH_aC=180^\circ$であり、$A,B,C,H_a$は同一円周上にある。

3 例：線分上の点の位置

$D$が$BC$の内部にあるとき、$\angle ABD=\angle ABC$です。しかし$D$が延長上にあるとき、同じ記号の角を通常角として扱うと誤ります。有向角を採用するか、外角として明示します。図形問題では、点の位置指定が証明の一部です。

4 発展への導線

初等幾何の競技問題で、長さの比が複雑に増えたときは、複比・極線と極点・反転を候補にします。いずれもこの単元の展望に置いてあり、初等幾何の延長として読めます。ただし、それらを導入する前に、どの条件が不変になるのかを明示します。

5 演習

1. 三角形の各頂点から引いた高さと垂心を図に描き、垂線の足まで明示せよ。
2. 円周角の定理を、点が弦の同じ側・反対側にある場合で書き分けよ。
3. 一つの幾何問題を、角追い、相似、座標の三方法で解き、補助線の役割を比較せよ。