1 この記事で証明すること この記事では、非退化な三角形を扱い、通常の角を半直線がつくる0 ° 0° 0° 180 ° 180° 180°
三角形の相似条件 ：2角相等（AA）を本文で証明します。SAS・SSSは標準的な別結果として紹介しますが、この記事では完全証明を掲げません（定理 3.1 ）。平行線による辺の比 ：三角形の1辺に平行な直線を引くと、その平行線が両側の辺を切る比と、平行線どうしの辺の比がすべて等しくなります（定理 2.1 ）。
定理 1.1 (三角形の相似と平行線（主定理）). 非退化な△ A B C \triangle\mathrm{ABC} △ ABC A B , A C \mathrm{AB},\mathrm{AC} AB , AC D , E \mathrm{D},\mathrm{E} D , E ∠ A D E = ∠ A B C \angle\mathrm{ADE}=\angle\mathrm{ABC} ∠ ADE = ∠ ABC ∠ A E D = ∠ A C B \angle\mathrm{AED}=\angle\mathrm{ACB} ∠ AED = ∠ ACB △ A D E ∼ △ A B C \triangle\mathrm{ADE}\sim\triangle\mathrm{ABC} △ ADE ∼ △ ABC D E ∥ B C \mathrm{DE}\parallel\mathrm{BC} DE ∥ BC
2 相似はどこから来るのか——平行線 相似を自分で作り出す、いちばん基本的な方法が平行線 です。三角形の1辺に平行な直線を引くと、小さな相似三角形が切り出されます。
下の図で、スライダーを動かして平行線 DE を上下させてください。D E \mathrm{DE} DE B C \mathrm{BC} BC △ A D E \triangle \mathrm{ADE} △ ADE △ A B C \triangle \mathrm{ABC} △ ABC A D A B \dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}} AB AD A E A C \dfrac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}} AC AE D E B C \dfrac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}} BC DE
この図は0 < A D / A B < 1 0<\mathrm{AD}/\mathrm{AB}<1 0 < AD / AB < 1
定理 2.1 (平行線による辺の比). △ A B C \triangle \mathrm{ABC} △ ABC A B \mathrm{AB} AB D \mathrm{D} D A C \mathrm{AC} AC E \mathrm{E} E D E ∥ B C \mathrm{DE} \parallel \mathrm{BC} DE ∥ BC A D A B = A E A C = D E B C . \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}} = \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}}. AB AD = AC AE = BC DE .
証明. 平行線D E , B C \mathrm{DE},\mathrm{BC} DE , BC B , C \mathrm{B},\mathrm{C} B , C X Y Z \mathrm{XYZ} XYZ [ X Y Z ] [\mathrm{XYZ}] [ XYZ ] △ A D E \triangle \mathrm{ADE} △ ADE △ B D E \triangle \mathrm{BDE} △ BDE A B \mathrm{AB} AB △ A D E \triangle \mathrm{ADE} △ ADE △ C D E \triangle \mathrm{CDE} △ CDE A C \mathrm{AC} AC D E ∥ B C \mathrm{DE}\parallel
\mathrm{BC} DE ∥ BC △ B D E \triangle \mathrm{BDE} △ BDE △ C D E \triangle \mathrm{CDE} △ CDE D E \mathrm{DE} DE
A D D B = [ A D E ] [ B D E ] = [ A D E ] [ C D E ] = A E E C . \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}
=\frac{[\mathrm{ADE}]}{[\mathrm{BDE}]}
=\frac{[\mathrm{ADE}]}{[\mathrm{CDE}]}
=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}. DB AD = [ BDE ] [ ADE ] = [ CDE ] [ ADE ] = EC AE . E \mathrm{E} E A B \mathrm{AB} AB B C \mathrm{BC} BC F \mathrm{F} F △ C B A \triangle \mathrm{CBA} △ CBA C E E A = C F F B \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=\frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{FB}} EA CE = FB CF r = A D / D B r=\mathrm{AD}/\mathrm{DB} r = AD / DB r = A E / E C = F B / F C r=\mathrm{AE}/\mathrm{EC}=\mathrm{FB}/\mathrm{FC} r = AE / EC = FB / FC D B F E \mathrm{DBFE} DBFE D E = B F \mathrm{DE}=\mathrm{BF} DE = BF
A B A D = r + 1 r = A C A E = B C D E . \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}
=\frac{r+1}{r}
=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AE}}
=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{DE}}. AD AB = r r + 1 = AE AC = DE BC . 各比の逆数をとれば結論を得る。▨
D E ∥ B C \mathrm{DE} \parallel \mathrm{BC} DE ∥ BC ∠ A D E = ∠ A B C \angle \mathrm{ADE} = \angle \mathrm{ABC} ∠ ADE = ∠ ABC ∠ A E D = ∠ A C B \angle \mathrm{AED} = \angle \mathrm{ACB} ∠ AED = ∠ ACB
3 相似条件 三角形が相似かどうかは、6つの要素（3辺・3角）を全部調べなくても、次のどれか1つで判定できます。
定理 3.1 (三角形の相似条件). 2つの非退化な三角形について、2組の通常の角がそれぞれ等しければ、それらは相似である（AA）。
SAS（2辺の比と間の角）および SSS（3辺の比）も相似判定条件として知られているが、この記事ではその完全証明を行わず、以下の証明と問題ではAAだけを使う。
証明. 非退化な△ A B C \triangle \mathrm{ABC} △ ABC △ A 1 B 1 C 1 \triangle \mathrm{A_1B_1C_1} △ A 1 B 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{A_1} ∠ A = ∠ A 1 ∠ B = ∠ B 1 \angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{B_1} ∠ B = ∠ B 1 A B ≥ A 1 B 1 \mathrm{AB}\geq \mathrm{A_1B_1} AB ≥ A 1 B 1 A B = A 1 B 1 \mathrm{AB}=\mathrm{A_1B_1} AB = A 1 B 1
A B > A 1 B 1 \mathrm{AB}>\mathrm{A_1B_1} AB > A 1 B 1 A B \mathrm{AB} AB A D = A 1 B 1 \mathrm{AD}=\mathrm{A_1B_1} AD = A 1 B 1 D \mathrm{D} D D \mathrm{D} D B C \mathrm{BC} BC A C \mathrm{AC} AC E \mathrm{E} E
∠ D A E = ∠ B 1 A 1 C 1 , ∠ A D E = ∠ A 1 B 1 C 1 . \angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{B_1A_1C_1},\qquad
\angle \mathrm{ADE}=\angle \mathrm{A_1B_1C_1}. ∠ DAE = ∠ B 1 A 1 C 1 , ∠ ADE = ∠ A 1 B 1 C 1 . したがって角辺角の合同条件により△ A D E ≡ △ A 1 B 1 C 1 \triangle \mathrm{ADE}\equiv\triangle \mathrm{A_1B_1C_1} △ ADE ≡ △ A 1 B 1 C 1 A E = A 1 C 1 \mathrm{AE}=\mathrm{A_1C_1} AE = A 1 C 1 D E = B 1 C 1 \mathrm{DE}=\mathrm{B_1C_1} DE = B 1 C 1 定理 2.1 を用いると
A B A 1 B 1 = A B A D = A C A E = B C D E = A C A 1 C 1 = B C B 1 C 1 . \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A_1B_1}}
=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}
=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AE}}
=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{DE}}
=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{A_1C_1}}
=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{B_1C_1}}. A 1 B 1 AB = AD AB = AE AC = DE BC = A 1 C 1 AC = B 1 C 1 BC . また、内角の和は180 ° 180° 180° △ A B C ∼ △ A 1 B 1 C 1 \triangle \mathrm{ABC}\sim\triangle \mathrm{A_1B_1C_1} △ ABC ∼ △ A 1 B 1 C 1 ▨
合同条件（SSS・SAS・ASA）と見比べてください。合同では「2辺と 間の角」でしたが、相似では「2辺の比 と間の角」。長さそのものを比に置き換えると、合同条件がそのまま相似条件になります。とくに AA が最強 です。角は2つ分かれば3つめは自動で決まる（内角の和が180 ° 180° 180°
4 相似を使った証明 相似の使いどころは、「等しい」を「比」に、あるいは「比」を「長さ」に翻訳する ときです。上で証明した定理 2.1 は、次項の中点連結定理や面積比の基礎になります。対応をA ↔ A \mathrm{A} \leftrightarrow \mathrm{A} A ↔ A D ↔ B \mathrm{D} \leftrightarrow \mathrm{B} D ↔ B E ↔ C \mathrm{E} \leftrightarrow \mathrm{C} E ↔ C
5 つまずいたら
対応の順序を崩さない。 △ A D E ∼ △ A B C \triangle \mathrm{ADE} \sim \triangle \mathrm{ABC} △ ADE ∼ △ ABC A → A \mathrm{A} \to \mathrm{A} A → A D → B \mathrm{D} \to \mathrm{B} D → B E → C \mathrm{E} \to \mathrm{C} E → C AA を狙う。 相似を示すとき、辺の比から入ると計算が重くなりがちです。まず等しい角を
2つ探す。共通の角、平行線の同位角・錯角、円周角、対頂角——等しい角の供給源は決まっています。相似比と面積比を混同しない。 相似比がk k k k 2 k^2 k 2