§A5.5円周角の定理とその逆

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円周角の定理は、同じ弧に対する円周角が中心角の半分に等しく、円周上の頂点の位置によらないことを述べます。円周角の定理とその逆では、この一定性と、線分の同じ側にある二点が両端を見込む角の等しさから四点が同一円周上にあることを判定する条件を扱います。

1 この記事で証明する定理

定理 1.1 (円周角の定理). 半径が正の円Γ\Gammaの中心をO\mathrm{O}とする。弧AB\mathrm{AB}に対する中心角とは、その弧に沿って半径OA\mathrm{OA}から半径OB\mathrm{OB}まで回す角をいい、その大きさは0°0°より大きく360°360°より小さい。長い弧に対する中心角は180°180°より大きい反射角となる。この中心角は、二つの半直線OA\mathrm{OA},OB\mathrm{OB}がつくる0°0°以上180°180°以下の通常角∠AOB\angle \mathrm{AOB}と区別する。

円Γ\Gammaの周上に相異なる3点A,B,P\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{P}をとる。P\mathrm{P}がA\mathrm{A},B\mathrm{B}で分けられる2つの弧のうち一方の上を動くとき、∠APB\angle \mathrm{APB}はP\mathrm{P}の位置によらず一定であり、P\mathrm{P}を含まない側の弧AB\mathrm{AB}に対する中心角の半分に等しい。

この定理を、半径でできる二等辺三角形と外角の定理から証明し、系として直径に対する円周角（タレスの定理）を導きます。実戦で効く逆は後半で示します。まず、主張を図で観察します。

2 動かして観察する

下の図で、点 P を円周上でドラッグしてください。P がどこへ行っても∠APB\angle \mathrm{APB}が変わりません。中心角∠AOB\angle \mathrm{AOB}との関係も見ておいてください。

図の θ が動かないことは、目盛りではなく弧の見た目で確かめてください。P を端の方へ寄せると三角形は極端に潰れますが、P\mathrm{P}での開き具合だけは変わりません。

観察はここまでです。動かして変わらなかったことは、変わらないことの証明ではありません。まだ「試した場所では変わらなかった」としか言えていない。なぜ変わらないのかを示します。

3 円周角の定理の証明

冒頭の定理 1.1を証明します。

証明. 円Γ\Gammaの中心をO\mathrm{O}とし、直線PO\mathrm{PO}と円の交点のうちP\mathrm{P}でない方をQ\mathrm{Q}とする。P\mathrm{P}を含まない弧AB\mathrm{AB}に対する中心角をω\omegaとおく。OA=OB=OP\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OP}である。

まずO\mathrm{O}が∠APB\angle \mathrm{APB}の内部にある場合を考える。△OPA\triangle \mathrm{OPA}はOP=OA\mathrm{OP} = \mathrm{OA}の二等辺三角形なので∠OPA=∠OAP\angle \mathrm{OPA} = \angle \mathrm{OAP}。これをα\alphaとおく。三角形の外角は隣り合わない2つの内角の和だから∠AOQ=α+α=2α.\angle \mathrm{AOQ} = \alpha + \alpha = 2\alpha .同じ議論を△OPB\triangle \mathrm{OPB}に適用し、∠OPB=β\angle \mathrm{OPB} = \betaとおけば∠BOQ=2β\angle \mathrm{BOQ} = 2\beta。O\mathrm{O}が∠APB\angle \mathrm{APB}の内部にあるのでQ\mathrm{Q}はP\mathrm{P}を含まない弧AB\mathrm{AB}上にある。したがって、その弧に対する中心角はω=2α+2β=2(α+β)=2 ∠APB\omega=2\alpha + 2\beta=2(\alpha+\beta)=2\,\angle \mathrm{APB}である。

O\mathrm{O}が∠APB\angle \mathrm{APB}の外部にある場合は、必要ならA,B\mathrm{A},\mathrm{B}を入れ替えてβ≥α\beta\geq\alphaとする。Q\mathrm{Q}は弧AB\mathrm{AB}の外にあり、二等辺三角形と外角の定理から得た二つの中心角は重なる。したがって和の代わりに差をとり、ω=2β−2α=2(β−α)=2 ∠APB\omega=2\beta - 2\alpha=2(\beta-\alpha)=2\,\angle \mathrm{APB}を得る。

直線PO\mathrm{PO}がA\mathrm{A}またはB\mathrm{B}を通る場合は、α\alphaまたはβ\betaが00になって片方の項が消えるだけで、結論は同じである。

P\mathrm{P}を含まない弧が小弧であるときは0°<ω<180°0°<\omega<180°、大弧であるときは180°<ω<360°180°<\omega<360°である。AB\mathrm{AB}が直径である場合はω=180°\omega=180°である。いずれの場合も∠APB=ω2\angle \mathrm{APB}=\dfrac{\omega}{2}であり、ω\omegaはP\mathrm{P}を含まない弧AB\mathrm{AB}によって定まる。したがって、∠APB\angle \mathrm{APB}は同じ側の弧上を動くP\mathrm{P}の位置によらない。▨

証明を読み返してください。P\mathrm{P}がどこにあっても、計算に入ってくるのは「OP\mathrm{OP}が半径である」ことだけです。だから円周角は動かない——これが、図を動かして見えた不変性の正体です。観察が「何を見ていたのか」が、ここで言葉になりました。

系 3.1 (タレスの定理).AB\mathrm{AB}が円の直径なら、円周上の任意の点P\mathrm{P}（A\mathrm{A},B\mathrm{B}と異なる）について∠APB=90°\angle \mathrm{APB} = 90°である。

証明.AB\mathrm{AB}が直径なら、AB\mathrm{AB}が定めるどちらの弧に対する中心角も180°180°である。したがって、定理 1.1より円周角はその半分の90°90°である。▨

覚え直す必要はありません。円周角の定理を、ひとつ特別な場合に当てはめただけです。

4 逆——ここからが本番

定理そのものより、実戦で効くのは逆の方です。

定理 4.1 (円周角の定理の逆). 相異なる点A,B\mathrm{A},\mathrm{B}と、直線AB\mathrm{AB}上にない相異なる点P,Q\mathrm{P},\mathrm{Q}をとる。P,Q\mathrm{P},\mathrm{Q}が直線AB\mathrm{AB}について同じ側にあり、∠APB=∠AQB\angle \mathrm{APB} = \angle \mathrm{AQB}が成り立つならば、4点A\mathrm{A},B\mathrm{B},P\mathrm{P},Q\mathrm{Q}は同一円周上にある。

証明. 相似変換によってA=(−1,0)\mathrm{A}=(-1,0)、B=(1,0)\mathrm{B}=(1,0)とし、直線AB\mathrm{AB}の同じ側を上半平面とする。P=(u,v)\mathrm{P}=(u,v)、Q=(x,y)\mathrm{Q}=(x,y)とおけば、同じ側であるという仮定からv>0v>0、y>0y>0である。

上半平面の点X=(s,t)\mathrm{X}=(s,t)に対してt>0t>0である。通常角∠AXB\angle \mathrm{AXB}は0°0°より大きく180°180°より小さいので、

cot⁡∠AXB=(A−X)⋅(B−X)∣det⁡(A−X,B−X)∣=s2+t2−12t\cot\angle \mathrm{AXB} =\frac{(\mathrm{A}-\mathrm{X})\mathbin{\boldsymbol{\cdot}}(\mathrm{B}-\mathrm{X})} {\left|\det(\mathrm{A}-\mathrm{X},\mathrm{B}-\mathrm{X})\right|} =\frac{s^2+t^2-1}{2t}

が成り立つ。仮定∠APB=∠AQB\angle \mathrm{APB}=\angle \mathrm{AQB}により、二つの角の cot の値をccとおくことができる。したがって、P\mathrm{P}とQ\mathrm{Q}はともにs2+(t−c)2=1+c2s^2+(t-c)^2=1+c^2を満たす。A\mathrm{A}とB\mathrm{B}もこの方程式を満たす。ゆえに、4点A\mathrm{A},B\mathrm{B},P\mathrm{P},Q\mathrm{Q}は、中心(0,c)(0,c)、半径1+c2\sqrt{1+c^2}の同一円周上にある。▨

なぜこれが有用なのでしょうか。角が等しいという情報から、円という図形を作り出すことができるからです。条件には円がどこにも出てこないのに、結論には円が現れます。以降の幾何で「四点共円を疑う」のが定石になるのは、この一手が角の情報を円の情報に変換してくれるからです。

注意 4.2 (「同じ側」を落とすと偽になる).P\mathrm{P},Q\mathrm{Q}を直線AB\mathrm{AB}の反対側にとると、∠APB=∠AQB\angle \mathrm{APB} = \angle \mathrm{AQB}からは何も言えない。反対側の場合に四点共円を与えるのは∠APB+∠AQB=180°\angle \mathrm{APB} + \angle \mathrm{AQB} = 180°の方である（円に内接する四角形の対角の和）。どちらを使うかは、点の配置を見て決める。

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