§A5.4三平方の定理とその逆

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直角三角形では、斜辺の2乗が、残り2辺の2乗の和に等しい。 この記事では、辺の長さを正の実数とし、通常の角を半直線がつくる0°0°以上180°180°以下の小さい方の角とする。直角をはさむ2辺をa,ba, b、斜辺をccとすればa2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2。長さの関係が2乗という面積の言葉で書ける、という点に、この定理の深さがあります。

1 この記事で証明する定理

定理 1.1 (三平方の定理).∠C=90°\angle \mathrm{C} = 90°の直角三角形△ABC\triangle \mathrm{ABC}において、BC=a\mathrm{BC} = a、CA=b\mathrm{CA} = b、AB=c\mathrm{AB} = cとするとa2+b2=c2.a^2 + b^2 = c^2.

この定理を、直角の頂点から斜辺へ下ろした垂線が作る2組の相似を使って証明します。続けて、辺の長さから直角を作り出す逆も示します。まずは主張が本当に成り立ちそうかを、図で観察します。

2 動かして観察する

下の図で、頂点C\mathrm{C}を半円の上でドラッグしてください。C\mathrm{C}がどこにあっても∠ACB\angle \mathrm{ACB}は直角のまま——これは前の単元の円周角の定理（直径に対する円周角は90°90°）そのものです。直角の頂点C\mathrm{C}から斜辺へ下ろした垂線CH\mathrm{CH}が、図を3つの相似な三角形に分けます。三平方の定理は、この相似から出ます。

3 相似による証明

冒頭の定理 1.1を、垂線で作る3つの相似三角形から証明します。

証明.C\mathrm{C}から斜辺AB\mathrm{AB}へ垂線を下ろし、その足をH\mathrm{H}とする。

△ACH\triangle \mathrm{ACH}と△ABC\triangle \mathrm{ABC}を比べる。∠A\angle \mathrm{A}は共通で、∠AHC=∠ACB=90°\angle \mathrm{AHC} = \angle \mathrm{ACB} = 90°。よって§A5.1 定理 3.1の AA より△ACH∼△ABC\triangle \mathrm{ACH} \sim \triangle \mathrm{ABC}。対応する辺の比からACAB=AHAC,すなわちb2=AH⋅c.\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AC}}, \quad\text{すなわち}\quad b^2 = \mathrm{AH} \cdot c.

同様に△BCH∼△BAC\triangle \mathrm{BCH} \sim \triangle \mathrm{BAC}（∠B\angle \mathrm{B}共通、直角を共有）からBCBA=BHBC,すなわちa2=BH⋅c.\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}} = \frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{BC}}, \quad\text{すなわち}\quad a^2 = \mathrm{BH} \cdot c.

2式を足すと、AH+BH=AB=c\mathrm{AH} + \mathrm{BH} = \mathrm{AB} = cだからa2+b2=(BH+AH) c=c⋅c=c2.■a^2 + b^2 = (\mathrm{BH} + \mathrm{AH})\, c = c \cdot c = c^2. \qquad\blacksquare▨

垂線1本で三角形を相似な2つに割り、それぞれの相似比からa2a^2とb2b^2を取り出して足す—— 前項の相似が、そのまま効いています。b2=AH⋅cb^2 = \mathrm{AH}\cdot cを単独で見れば、これは「直角の頂点から下ろした垂線が斜辺を分けるとき、各脚の2乗が斜辺の分割の一方と斜辺の積になる」という、方べきの定理（発展）へつながる関係でもあります。

4 逆

三平方の定理は、そのままでは「直角ならばa2+b2=c2a^2+b^2=c^2」です。実際に測量や作図で使うのは、向き——辺の長さから直角を作り出す方——です。

定理 4.1 (三平方の定理の逆).△ABC\triangle \mathrm{ABC}の辺をBC=a>0\mathrm{BC}=a>0,CA=b>0\mathrm{CA}=b>0,AB=c>0\mathrm{AB}=c>0とし、ccが最大辺でa2+b2=c2a^2+b^2=c^2を満たすとする。このとき∠C=90°\angle\mathrm{C}=90°である。

証明. 別に、∠C′=90°\angle \mathrm{C'} = 90°、B′C′=a\mathrm{B'C'} = a、C′A′=b\mathrm{C'A'} = bである直角三角形△A′B′C′\triangle \mathrm{A'B'C'}を用意する。三平方の定理（定理 1.1）より、その斜辺はA′B′=a2+b2=c2=c=AB.\mathrm{A'B'} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{c^2} = c = \mathrm{AB}.すると△ABC\triangle \mathrm{ABC}と△A′B′C′\triangle \mathrm{A'B'C'}は3辺がそれぞれ等しい（a,b,ca, b, c）ので、 3辺相等（SSS）により合同。合同な三角形の対応する角は等しいから∠C=∠C′=90°\angle \mathrm{C} = \angle \mathrm{C'} = 90°。▨

この逆のおかげで、辺の比が3:4:53 : 4 : 5の三角形は必ず直角三角形になります（32+42=523^2 + 4^2 = 5^2）。ロープに等間隔の結び目を作れば、道具なしで直角が作れる—— 古代エジプト以来の測量の技は、この逆定理そのものです。

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