競技数学：初等幾何 | 初等幾何学

1 問題1：相似から積の関係を得る

三角形 $ABC$ の辺 $BC$ 上に点 $D$ を、 $D$ が $B,C$ の間にあるように取る。さらに

$\angle BAD=\angle ACB$

とする。このとき $AB^2=BD\cdot BC$ を示せ。

通常の小さい方の角を取り、 $D$ が線分 $BC$ の内部にあることを使います。 $\angle ABD=\angle ABC$ であり、仮定から $\angle BAD=\angle ACB$ 。よって

$\triangle ABD\sim\triangle CBA.$

対応は $A\leftrightarrow C$ , $B\leftrightarrow B$ , $D\leftrightarrow A$ です。したがって

$\frac{AB}{CB}=\frac{BD}{BA},$

ゆえに $AB^2=BD\cdot BC$ 。点 $D$ が線分の外にある場合は角の取り方と有向比を改めて指定する必要があり、この結論をそのまま使ってはいけません。

鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とする。 $H$ を辺 $BC$ に関して反射した点を $H_a$ とする。このとき $A,B,C,H_a$ が同一円周上にあることを示せ。

$BH$ は $AC$ に垂直、 $CH$ は $AB$ に垂直なので、四角形 $ABHC$ で

$\angle BHC=180^\circ-\angle A.$

$H$ を $BC$ に関して反射すると、 $B,C$ は動かず、角の大きさも保たれるから

$\angle BH_aC=\angle BHC=180^\circ-\angle A.$

したがって

$\angle BH_aC+\angle BAC=180^\circ,$

より、四角形 $ABCH_a$ は円に内接します。反射で得られる点を図に描くときは、反射軸 $BC$ と垂線 $HH_a$ 、その足まで明記します。点だけを置くと、構成の意味が視覚的に失われます。

三角形 $ABC$ の辺 $BC$ の内部に点 $D$ を取る。 $AB/AC=BD/DC$ なら、 $AD$ は $\angle A$ の二等分線であることを示せ。

三角形 $ABD$ と $ACD$ は共通の高さをもつので、面積比は

$\frac{[ABD]}{[ACD]}=\frac{BD}{DC}.$

一方、面積を2辺とその間の角で表すと

$\frac{[ABD]}{[ACD]}=\frac{AB\sin\angle BAD}{AC\sin\angle CAD}.$

仮定から $BD/DC=AB/AC$ なので

$\sin\angle BAD=\sin\angle CAD.$

$D$ が $BC$ の内部にあるため、2角はともに $0^\circ$ と $180^\circ$ の間で、和は $\angle A<180^\circ$ 。この範囲で、等しい正弦と角の配置から $\angle BAD=\angle CAD$ が従います。よって $AD$ は角の二等分線です。

ここでは、面積比から角へ戻すときに、外角や線分外の点を混ぜていないことが重要です。

図の観察は予想を作るために使い、証明では角の位置、点の内部・外部、向きを言葉と式で固定します。