§A5.8三角形の五心

証明. 中線$\mathrm{AM}$と$\mathrm{BN}$の交点を$\mathrm{G}$とする。ただし$\mathrm{M},\mathrm{N}$はそれぞれ$\mathrm{BC},\mathrm{CA}$の中点である。$\mathrm{G}$を内部にとる面積を$[XYZ]$と書く。$\mathrm{M}$が中点なので$[ABM]=[ACM]$であり、$\mathrm{G}$が$\mathrm{AM}$上にあることから$[ABG]+[BGM]=[ACG]+[CGM].$$[BGM]=[CGM]$だから$[ABG]=[ACG]$を得る。同様に、$\mathrm{N}$が中点であることから$[ABG]=[BCG]$も得る。したがって3つの小三角形の面積をすべて$u$と書ける。

$[ABM]=\frac12[ABC]=\frac32u$なので$[BGM]=u/2$。同じ直線$\mathrm{AM}$を底辺とし、共通の高さをもつ三角形の面積比から$\frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{GM}}=\frac{[ABG]}{[BGM]}=2.$同じ議論を他の2本の中線にも巡回して適用するので、3本は$\mathrm{G}$で共点し、比はすべて$2:1$である。▨

証明. 原点を任意にとり、$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$の位置ベクトルを$\vec a,\vec b,\vec c$とする。辺$\mathrm{BC}$の中点は$\vec m_A=(\vec b+\vec c)/2$である。$\vec g:=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}$とおくと

したがって$\mathrm{G}$は中線$\mathrm{AM_A}$上にあり、頂点から中点へ向かって$2/3$の位置にある。$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$を巡回すれば、同じ$\mathrm{G}$が残り2本の中線にも乗る。

異なる2本の中線が同一直線なら3頂点が同一直線上になってしまうので、非退化な三角形では交点はただ1つである。比も上の係数から$\mathrm{AG}:\mathrm{GM_A}=2:1$。▨

証明.$\mathrm{M}$を$\mathrm{PQ}$の中点とする。点$\mathrm{X}$が垂直二等分線上にあれば、直角三角形$\triangle\mathrm{XMP},\triangle\mathrm{XMQ}$は、$\mathrm{XM}$が共通で$\mathrm{MP}=\mathrm{MQ}$だから合同であり、$\mathrm{XP}=\mathrm{XQ}$。

逆に$\mathrm{XP}=\mathrm{XQ}$なら、$\triangle\mathrm{XMP},\triangle\mathrm{XMQ}$は3辺相等で合同である。よって$\angle\mathrm{XMP}=\angle\mathrm{XMQ}$。この2角は一直線上に並ぶのでともに$90°$となり、$\mathrm{X}$は垂直二等分線上にある。$\mathrm{X}=\mathrm{M}$の場合も自明である。▨

証明. 辺$\mathrm{AB}$と$\mathrm{AC}$の垂直二等分線は平行ではない。もし平行なら、それぞれに垂直な$\mathrm{AB}$と$\mathrm{AC}$も平行になり、$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$が同一直線上に並ぶからである。よって2直線はただ1点$\mathrm{O}$で交わる。

補題 8.1より$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$かつ$\mathrm{OA}=\mathrm{OC}$。したがって$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$でもあるから、同じ補題の逆向きにより$\mathrm{O}$は辺$\mathrm{BC}$の垂直二等分線上にもある。3点までの共通距離は正なので、$\mathrm{O}$を中心とする円は3頂点を通る。最初の2直線の交点が一意だから、外心も外接円も一意である。▨

証明.$\mathrm{P}$から$\ell,m$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{L},\mathrm{M}$、2直線の交点を$\mathrm{V}$とする。$\mathrm{P}$がある角の二等分線上なら、直角三角形$\triangle\mathrm{PVL},\triangle\mathrm{PVM}$は斜辺$\mathrm{PV}$が共通で、$\mathrm{V}$の角も等しいため合同である。よって$\mathrm{PL}=\mathrm{PM}$。

逆に$\mathrm{PL}=\mathrm{PM}$なら、二つの直角三角形は斜辺と一辺がそれぞれ等しいので合同であり、$\mathrm{P}$を含む角領域の二つの角が等しい。したがって$\mathrm{VP}$はその領域の二等分線である。▨

証明.$\angle\mathrm{A}$と$\angle\mathrm{B}$の内角の二等分線の交点を$\mathrm{I}$とする。2直線から等距離な点の軌跡の補題より、$\mathrm{I}$から$\mathrm{AB}$と$\mathrm{AC}$までの距離は等しく、また$\mathrm{AB}$と$\mathrm{BC}$までの距離も等しい。したがって3辺を含む直線までの距離は共通の値$r>0$であり、同じ補題の逆から$\mathrm{CI}$も$\angle\mathrm{C}$の二等分線上にある。 2本の異なる内角の二等分線の交点は一意なので、3本はただ1点で共点となる。

3つの三角形$\mathrm{IAB},\mathrm{IBC},\mathrm{ICA}$の面積を底辺と高さで足すと$S=\frac12r(c+a+b)$である。よって$r=2S/(a+b+c)$。この距離を半径とする円は3辺に接するので内接円である。▨

証明. 位置ベクトルを用いて$\vec i:=\frac{a\vec a+b\vec b+c\vec c}{a+b+c}$とおく。係数はすべて正で和が1だから、$\mathrm{I}$は三角形の内部にある。

辺$\mathrm{BC}$から頂点$\mathrm{A}$までの高さは$2S/a$である。直線までの符号つき距離は位置ベクトルの一次式なので、$\mathrm{B},\mathrm{C}$の距離が0であることと合わせると、$\mathrm{I}$から$\mathrm{BC}$までの距離は$\frac{a}{a+b+c}\cdot\frac{2S}{a}=\frac{2S}{a+b+c}.$同様に、$\mathrm{CA}$と$\mathrm{AB}$までの距離もそれぞれ$\dfrac{b}{a+b+c}\dfrac{2S}{b}$、$\dfrac{c}{a+b+c}\dfrac{2S}{c}$で、同じ値になる。

補題 9.1より$\mathrm{I}$は各頂点の二等分線上にある。$\mathrm{I}$は三角形の内部なので、いずれも内角の二等分線である。異なる2本の内角の二等分線は平行でないため共通点は一意である。また各辺の両端で内角の内部にあるため、$\mathrm{I}$から辺を含む直線へ下ろした垂線の足は2頂点の間にある。したがって3辺までの共通距離を半径とする円は 3辺すべてに接する。$S>0$だから$r>0$である。▨

証明. まず三角形が直角三角形なら、直角をはさむ2辺そのものが他の2頂点からの垂線であり、直角の頂点で交わる。残る頂点から斜辺への垂線もその頂点を通るので、垂心は直角の頂点である。

以下、直角三角形でないとする。$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{D}$、$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{CA}$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{E}$とする。直線$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BE}$は平行でないので、ただ1点$\mathrm{H}$で交わる。

$\angle\mathrm{ADB}=\angle\mathrm{AEB}=90°$だから、$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{D},\mathrm{E}$は直径$\mathrm{AB}$の同一円周上にある。また$\angle\mathrm{CDH}=\angle\mathrm{CEH}=90°$だから、$\mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{H}$は直径$\mathrm{CH}$の同一円周上にある。これは直径を直角に見込む点の判定であり、円周角の定理の逆 (§A5.5 定理 4.1と§A5.5 注意 4.2) の同じ側・反対側の両場合を含む。

ここからは直線どうしの有向角を$180°$を法として測る。後者の円で同じ弦$\mathrm{HE}$を見込む円周角、前者の円で同じ弦$\mathrm{EB}$を見込む円周角を順に使うと

したがって

よって$\mathrm{CH}\perp\mathrm{AB}$であり、$\mathrm{H}$は$\mathrm{C}$からの垂線上にもある。最初の2本の交点が一意なので、3本の共通点もただ1つである。有向角を使ったため、$\mathrm{D},\mathrm{E}$が辺の延長上に出る鈍角の場合も同じ計算に含まれる。▨

証明.$\angle\mathrm{A}$の内角二等分線と$\angle\mathrm{B}$の外角二等分線の交点を$\mathrm{I_A}$とする。二直線からの距離の補題により、$\mathrm{I_A}$から$\mathrm{AB}$と$\mathrm{AC}$までの距離の絶対値は等しく、$\mathrm{AB}$と$\mathrm{BC}$までの距離の絶対値も等しい。したがって$\mathrm{I_A}$は$\angle\mathrm{C}$の外角二等分線上にもあり、3本は共点となる。$\mathrm{I_A}$は$\mathrm{BC}$の反対側の領域にあるので三角形の外部にある。

3辺を含む直線までの距離の共通絶対値を$r_A$とする。符号付き面積を用いて$S=\frac12(-a+b+c)r_A$となるので、三角不等式$-a+b+c>0$と合わせて$r_A=\frac{2S}{-a+b+c}.$この半径の円は$\mathrm{BC}$と$\mathrm{AB},\mathrm{AC}$の延長に接する。他の傍心も頂点を巡回して得られる。▨

証明. 三角不等式より$q_A:=-a+b+c>0$である。位置ベクトルを用いて$\vec i_A:=\frac{-a\vec a+b\vec b+c\vec c}{q_A}$とおく。辺$\mathrm{BC}$までの符号つき距離を$\mathrm{A}$側で正、$\mathrm{CA}$までを$\mathrm{B}$側で正、$\mathrm{AB}$までを$\mathrm{C}$側で正にとる。内心の証明と同じ一次性により、$\mathrm{I_A}$の3直線までの符号つき距離は順に

絶対値はすべて$r_A=2S/q_A$である。

符号から、$\mathrm{I_A}$は$\mathrm{BC}$を越えた三角形の外部にあり、直線$\mathrm{AB},\mathrm{AC}$については三角形の内部と同じ側にある。したがって$\mathrm{I_A}$は$\mathrm{A}$の内角領域、$\mathrm{B},\mathrm{C}$の外角領域にある。補題 9.1により、それぞれ対応する二等分線上にある。

中心$\mathrm{I_A}$、半径$r_A$の円は3本の辺を含む直線に接する。接点がどの部分にあるかも、符号から確認できる。実際、$\mathrm{BC}$を$x$軸、$\mathrm{B}=(0,0)$、$\mathrm{C}=(a,0)$、$\mathrm{A}=(u,v)$（$v>0$）とすると

である。$\mathrm{I_A}$の$\mathrm{BC}$への垂足は$\bigl(a(c-u)/q_A,0\bigr)$だから線分$\mathrm{BC}$上にある。一方、$\mathrm{AB}$への垂足を$\mathrm{B}$から$\mathrm{A}$へ向かうパラメータで表すと$a(u-c)/(q_Ac)<0$となり、$\mathrm{B}$の外側にある。$\mathrm{AC}$についても同様に$\mathrm{C}$の外側にある。したがって辺$\mathrm{BC}$と$\mathrm{AB},\mathrm{AC}$の延長に接する。二等分線2本の交点は一意だから$\mathrm{I_A}$も一意である。$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$を巡回して$\mathrm{I_B},\mathrm{I_C}$が得られる。▨

証明.$\mathrm{G}$は3頂点の係数が$1/3$の凸結合、$\mathrm{I}$は正の係数$a/(a+b+c),b/(a+b+c),c/(a+b+c)$の凸結合なので内部にある。傍心が外部にあることは定理 13.1の距離の符号から従う。

$\mathrm{BC}$の中点を原点とし、$\mathrm{B}=(-u,0)$、$\mathrm{C}=(u,0)$、$\mathrm{A}=(p,q)$（$u,q>0$）とおく。$\mathrm{BC}$の垂直二等分線上の外心を$(0,t)$とすると、$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$から$t=\frac{p^2+q^2-u^2}{2q}.$一方、$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=p^2+q^2-u^2$だから、$t$の符号は$\angle\mathrm{A}$が鋭角・直角・鈍角であるのに応じて正・0・負になる。各辺について同じ議論をすると、外心は3角が鋭角なら各辺の内側、直角なら斜辺上、鈍角なら鈍角の向かいの辺の外側にある。直角の場合、斜辺の垂直二等分線との交点はその中点である。

垂心については、鋭角なら各垂線の足が辺の内部にあり、2本の垂線の線分が三角形の内部で交わる。直角の場合は定理 12.1の証明の通り直角の頂点である。鈍角が$\mathrm{A}$なら、$\mathrm{B},\mathrm{C}$からの垂線の足はそれぞれ$\mathrm{CA},\mathrm{AB}$の$\mathrm{A}$側の延長上にあり、2本は三角形の外側で交わる。他の頂点が鈍角の場合も同様である。▨

証明.$\mathrm{O}$を原点とし、3頂点の位置ベクトルを$\vec a,\vec b,\vec c$とする。外心の定義から$|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|$。$\vec h':=\vec a+\vec b+\vec c$とおくと

よって$\mathrm{AH'}\perp\mathrm{BC}$。文字を巡回すれば$\mathrm{H'}$は3本の垂線上にあるので、定理 12.1の一意性から$\mathrm{H'}=\mathrm{H}$である。一方定理 5.1より$\vec g=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}=\frac{\vec h}{3}.$したがって$\mathrm{G}$は$\mathrm{OH}$を$1:2$に内分する。正三角形では$\mathrm{O}=\mathrm{G}=\mathrm{H}$となり、2点で直線を定められず比も$0:0$になるため除いた。▨