極線と極点、双対原理 | 初等幾何学

1 円の方程式から定義する

定義 1.1 (極線と極点). 円 $\Gamma:x^2+y^2=r^2$ （ $r>0$ ）に対し、 $P=(u,v)\ne(0,0)$ の極線を

\operatorname{pol}_{\Gamma}(P): ux+vy=r^2

とする。点 $P$ はこの直線の極点である。

定理 1.2 (極線の相反性（主定理）). 円 $\Gamma:x^2+y^2=r^2$ （ $r>0$ ）と、原点でない有限点 $P=(u,v)$ 、 $Q=(s,t)$ に対し、上の定義による極線を考えると、

Q\in\operatorname{pol}_{\Gamma}(P) \quad\Longleftrightarrow\quad P\in\operatorname{pol}_{\Gamma}(Q).

外部点の場合、この極線は2本の接線の接点を結ぶ直線である。

図は接点と極線の関係を実演するものであり、相反性の証明ではありません。

この式の左辺は $P$ と $X=(x,y)$ の内積である。したがって極線は、 $P$ の方べき $u^2+v^2-r^2$ を係数に含む自然な直線である。

定理 2.1 (外部点の極線). $P$ が円の外部にあるとき、 $P$ から円へ引いた2本の接線の接点を $T_1,T_2$ とすると、極線 $\operatorname{pol}_{\Gamma}(P)$ は直線 $T_1T_2$ である。

証明. 接点 $T=(x,y)$ では半径 $OT$ と接線 $PT$ が垂直なので、

(T-P)\cdot T=0

である。 $|T|^2=r^2$ を代入すると $P\cdot T=r^2$ 、すなわち $ux+vy=r^2$ となる。2つの接点はいずれもこの直線上にあり、相異なる2点なのでその直線が極線である。▨

内部点では実接線は存在しないが、同じ式の直線は存在する。この拡張が「接線を2本引ける場合」だけではない極線の利点である。

定理 3.1 (極点と極線の相反性). 相異なる原点でない点 $P=(u,v)$ と $Q=(s,t)$ について、

Q\in\operatorname{pol}_{\Gamma}(P) \quad\Longleftrightarrow\quad P\in\operatorname{pol}_{\Gamma}(Q).

証明. 左辺は $us+vt=r^2$ である。内積の対称性によりこれは $su+tv=r^2$ と同値であり、これは右辺の定義である。▨

この相反性をラ・イールの定理という。点と直線を交換しても同じ式が残るため、極線の理論には双対的な見方が現れる。

系 4.1 (円周上の極線). $P$ が円周上にあるとき、 $P$ の極線は $P$ における接線である。

証明. 円周上の $P=(u,v)$ では $u^2+v^2=r^2$ 。点 $P$ は $ux+vy=r^2$ を満たし、この直線の法線ベクトルは $P$ である。したがって半径 $OP$ に垂直な接線である。▨

2点 $P,Q$ の極線の交点を $R$ とする。相反性から $P,Q$ は $R$ の極線上にある。逆に、 $P,Q$ を通る直線の極点は、2つの極線の交点として得られる。この対応は、円に関する接線の配置を点と直線の配置へ翻訳する。