1 この記事で証明すること この記事では、次を証明します。
割線の方べきの定理 ：P \mathrm{P} P 定理 2.1 ）。接線の方べきの定理 ：外部点P \mathrm{P} P P \mathrm{P} P 定理 3.2 ）。根軸が直線になること ：2円への方べきが等しい点の集合が、中心が異なるかぎり中心線に垂直なただ1本の直線になること（定理 5.1 ）。
方べきは中心までの距離だけで決まります。しかし、その値は中心を結ぶ線を測らなくても、P \mathrm{P} P
定理 1.1 (方べきの定理と根軸（主定理）). 半径r > 0 r>0 r > 0 Γ \Gamma Γ P \mathrm{P} P P \mathrm{P} P A , B \mathrm{A},\mathrm{B} A , B P A ‾ P B ‾ \overline{\mathrm{PA}}\overline{\mathrm{PB}} PA PB T \mathrm{T} T P T 2 \mathrm{PT}^2 PT 2
下の図では円と外部の点P \mathrm{P} P P \mathrm{P} P A \mathrm{A} A B \mathrm{B} B P A ⋅ P B \mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB} PA ⋅ PB 16 16 16 P T 2 = 16 \mathrm{PT}^2=16 PT 2 = 16
観察はここまでです。図を動かして積が変わらなかったことは、積がつねに一定であることの証明ではありません。 ここから相似と円周角を使って、どの割線でも成り立つことを示します。
2 割線の方べきの定理 定理 2.1 (割線の方べきの定理). 円Γ \Gamma Γ O \mathrm{O} O r > 0 r>0 r > 0 P \mathrm{P} P A \mathrm{A} A B \mathrm{B} B
P \mathrm{P} P P \mathrm{P} P A \mathrm{A} A B \mathrm{B} B P A ⋅ P B = Pow Γ ( P ) = P O 2 − r 2 . \mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=\operatorname{Pow}_{\Gamma}(\mathrm{P})=\mathrm{PO}^2-r^2. PA ⋅ PB = Pow Γ ( P ) = PO 2 − r 2 . P \mathrm{P} P A \mathrm{A} A P \mathrm{P} P B \mathrm{B} B P A ⋅ P B = − Pow Γ ( P ) = r 2 − P O 2 . \mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=-\operatorname{Pow}_{\Gamma}(\mathrm{P})=r^2-\mathrm{PO}^2. PA ⋅ PB = − Pow Γ ( P ) = r 2 − PO 2 . したがって、通常の長さで作る正の積P A ⋅ P B \mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB} PA ⋅ PB P \mathrm{P} P P \mathrm{P} P 0 0 0
証明の方針。 まずP \mathrm{P} P O \mathrm{O} O P O 2 − r 2 \mathrm{PO}^2-r^2 PO 2 − r 2 r 2 − P O 2 r^2-\mathrm{PO}^2 r 2 − PO 2
証明. P \mathrm{P} P C \mathrm{C} C D \mathrm{D} D
まずP \mathrm{P} P P \mathrm{P} P A \mathrm{A} A B \mathrm{B} B P \mathrm{P} P C \mathrm{C} C D \mathrm{D} D
三角形P A D \mathrm{PAD} PAD P C B \mathrm{PCB} PCB P A \mathrm{PA} PA P B \mathrm{PB} PB P C \mathrm{PC} PC P D \mathrm{PD} PD ∠ A P D = ∠ C P B \angle \mathrm{APD}=\angle \mathrm{CPB} ∠ APD = ∠ CPB A \mathrm{A} A C \mathrm{C} C B D \mathrm{BD} BD B D \mathrm{BD} BD ∠ B A D = ∠ B C D \angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{BCD} ∠ BAD = ∠ BCD A P \mathrm{AP} AP A B \mathrm{AB} AB C P \mathrm{CP} CP C D \mathrm{CD} CD ∠ P A D = ∠ P C B \angle \mathrm{PAD}=\angle \mathrm{PCB} ∠ PAD = ∠ PCB §A5.1 定理 3.1 の AA により△ P A D ∼ △ P C B \triangle \mathrm{PAD}\sim\triangle \mathrm{PCB} △ PAD ∼ △ PCB P A P C = P D P B , \frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{PC}}=\frac{\mathrm{PD}}{\mathrm{PB}}, PC PA = PB PD , P A ⋅ P B = P C ⋅ P D . \mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=\mathrm{PC}\cdot\mathrm{PD}. PA ⋅ PB = PC ⋅ PD .
次にP \mathrm{P} P A \mathrm{A} A P \mathrm{P} P B \mathrm{B} B C \mathrm{C} C P \mathrm{P} P D \mathrm{D} D A P C \mathrm{APC} APC D P B \mathrm{DPB} DPB ∠ A P C = ∠ D P B \angle \mathrm{APC}=\angle \mathrm{DPB} ∠ APC = ∠ DPB A \mathrm{A} A D \mathrm{D} D B C \mathrm{BC} BC B C \mathrm{BC} BC ∠ P A C = ∠ P D B \angle \mathrm{PAC}=\angle \mathrm{PDB} ∠ PAC = ∠ PDB △ A P C ∼ △ D P B \triangle \mathrm{APC}\sim\triangle \mathrm{DPB} △ APC ∼ △ DPB P A P D = P C P B , \frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{PD}}=\frac{\mathrm{PC}}{\mathrm{PB}}, PD PA = PB PC , P A ⋅ P B = P C ⋅ P D . \mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=\mathrm{PC}\cdot\mathrm{PD}. PA ⋅ PB = PC ⋅ PD .
以上で、外部でも内部でも積は割線によらない。そこでO \mathrm{O} O P \mathrm{P} P P O − r \mathrm{PO}-r PO − r P O + r \mathrm{PO}+r PO + r P A ⋅ P B = ( P O − r ) ( P O + r ) = P O 2 − r 2 . \mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=(\mathrm{PO}-r)(\mathrm{PO}+r)=\mathrm{PO}^2-r^2. PA ⋅ PB = ( PO − r ) ( PO + r ) = PO 2 − r 2 . P \mathrm{P} P r − P O r-\mathrm{PO} r − PO r + P O r+\mathrm{PO} r + PO P A ⋅ P B = ( r − P O ) ( r + P O ) = r 2 − P O 2 . \mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=(r-\mathrm{PO})(r+\mathrm{PO})=r^2-\mathrm{PO}^2. PA ⋅ PB = ( r − PO ) ( r + PO ) = r 2 − PO 2 . P = O \mathrm{P}=\mathrm{O} P = O r r r
P \mathrm{P} P P O = r \mathrm{PO}=r PO = r 0 0 0 P \mathrm{P} P 0 0 0 ▨
内部の場合にも符号を一つの式で扱いたければ、直線に向きを入れ、P A → \overrightarrow{\mathrm{PA}} PA P B → \overrightarrow{\mathrm{PB}} PB P A → P B → = Pow Γ ( P ) \overrightarrow{\mathrm{PA}}\,\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\operatorname{Pow}_{\Gamma}(\mathrm{P}) PA PB = Pow Γ ( P ) P \mathrm{P} P
3 接線の方べきの定理 接線の場合は2つの交点が接点T \mathrm{T} T
補題 3.1 (接線と弦が作る角). 円Γ \Gamma Γ T \mathrm{T} T P \mathrm{P} P T \mathrm{T} T A \mathrm{A} A B \mathrm{B} B P \mathrm{P} P B \mathrm{B} B A T \mathrm{AT} AT ∠ P T A = ∠ T B A . \angle \mathrm{PTA}=\angle \mathrm{TBA}. ∠ PTA = ∠ TBA .
証明. 中心をO \mathrm{O} O P T \mathrm{PT} PT O T \mathrm{OT} OT O \mathrm{O} O H \mathrm{H} H H ≠ T \mathrm{H}\ne\mathrm{T} H = T O H < O T = r \mathrm{OH}<\mathrm{OT}=r OH < OT = r P T \mathrm{PT} PT
0 < α ≤ 180 ° 0<\alpha\le 180° 0 < α ≤ 180° A T \mathrm{AT} AT O A T \mathrm{OAT} OAT ( 180 ° − α ) / 2 (180°-\alpha)/2 ( 180° − α ) /2 90 ° − 180 ° − α 2 = α 2 . 90°-\frac{180°-\alpha}{2}=\frac{\alpha}{2}. 90° − 2 180° − α = 2 α . §A5.5 定理 1.1 より、円周上から弦A T \mathrm{AT} AT α / 2 \alpha/2 α /2 P \mathrm{P} P B \mathrm{B} B A T \mathrm{AT} AT ∠ P T A = ∠ T B A \angle \mathrm{PTA}=\angle \mathrm{TBA} ∠ PTA = ∠ TBA ▨
定理 3.2 (接線の方べきの定理). 点P \mathrm{P} P Γ \Gamma Γ P \mathrm{P} P T \mathrm{T} T P \mathrm{P} P P \mathrm{P} P A \mathrm{A} A B \mathrm{B} B P T 2 = P A ⋅ P B = Pow Γ ( P ) . \mathrm{PT}^2=\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=\operatorname{Pow}_{\Gamma}(\mathrm{P}). PT 2 = PA ⋅ PB = Pow Γ ( P ) . P \mathrm{P} P
証明の方針。 △ P T A \triangle \mathrm{PTA} △ PTA △ P B T \triangle \mathrm{PBT} △ PBT P \mathrm{P} P P T \mathrm{PT} PT P T 2 \mathrm{PT}^2 PT 2
証明. P \mathrm{P} P A \mathrm{A} A B \mathrm{B} B P A \mathrm{PA} PA P B \mathrm{PB} PB ∠ T P A = ∠ B P T . \angle \mathrm{TPA}=\angle \mathrm{BPT}. ∠ TPA = ∠ BPT . P B \mathrm{PB} PB A T \mathrm{AT} AT A \mathrm{A} A A \mathrm{A} A P \mathrm{P} P B \mathrm{B} B P \mathrm{P} P B \mathrm{B} B A T \mathrm{AT} AT 補題 3.1 から∠ P T A = ∠ P B T \angle \mathrm{PTA}=\angle \mathrm{PBT} ∠ PTA = ∠ PBT △ P T A ∼ △ P B T \triangle \mathrm{PTA}\sim\triangle \mathrm{PBT} △ PTA ∼ △ PBT P T P B = P A P T , \frac{\mathrm{PT}}{\mathrm{PB}}=\frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{PT}}, PB PT = PT PA , P T 2 = P A ⋅ P B . \mathrm{PT}^2=\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}. PT 2 = PA ⋅ PB . 定理 2.1 により右辺はPow Γ ( P ) \operatorname{Pow}_{\Gamma}(\mathrm{P}) Pow Γ ( P )
もう一つの接点をT ′ \mathrm{T}' T ′ P T ′ 2 = Pow Γ ( P ) = P T 2 \mathrm{PT}'^2=\operatorname{Pow}_{\Gamma}(\mathrm{P})=\mathrm{PT}^2 PT ′2 = Pow Γ ( P ) = PT 2 P T ′ = P T \mathrm{PT}'=\mathrm{PT} PT ′ = PT ▨
P \mathrm{P} P P \mathrm{P} P P \mathrm{P} P P \mathrm{P} P T = P \mathrm{T}=\mathrm{P} T = P P T 2 = 0 = Pow Γ ( P ) \mathrm{PT}^2=0=\operatorname{Pow}_{\Gamma}(\mathrm{P}) PT 2 = 0 = Pow Γ ( P )
4 2円の根軸 定義 4.1 (根軸). 2円Γ 1 \Gamma_1 Γ 1 Γ 2 \Gamma_2 Γ 2 R ( Γ 1 , Γ 2 ) : = { X ∣ Pow Γ 1 ( X ) = Pow Γ 2 ( X ) } \mathcal{R}(\Gamma_1,\Gamma_2):=\{\mathrm{X}\mid \operatorname{Pow}_{\Gamma_1}(\mathrm{X})=\operatorname{Pow}_{\Gamma_2}(\mathrm{X})\} R ( Γ 1 , Γ 2 ) := { X ∣ Pow Γ 1 ( X ) = Pow Γ 2 ( X )} 根軸 という。以下では、縮退時も含めてこの等方べき点の集合をR ( Γ 1 , Γ 2 ) \mathcal{R}(\Gamma_1,\Gamma_2) R ( Γ 1 , Γ 2 )
「等しい」という条件には2次式が2つ現れますが、差をとるとx 2 + y 2 x^2+y^2 x 2 + y 2
5 別証明：座標による根軸の分類 根軸は「方べきが等しい」という円の量を、2円の中心・半径から直線の方程式へ翻訳する主題である。ここでは初等幾何の主証明とは分け、座標展開を別証明として置く。
定理 5.1 (根軸の存在と縮退). Γ i \Gamma_i Γ i O i \mathrm{O}_i O i r i > 0 r_i>0 r i > 0
O 1 ≠ O 2 \mathrm{O}_1\ne\mathrm{O}_2 O 1 = O 2 O 1 O 2 \mathrm{O}_1\mathrm{O}_2 O 1 O 2 O 1 = O 2 \mathrm{O}_1=\mathrm{O}_2 O 1 = O 2 r 1 ≠ r 2 r_1\ne r_2 r 1 = r 2 O 1 = O 2 \mathrm{O}_1=\mathrm{O}_2 O 1 = O 2 r 1 = r 2 r_1=r_2 r 1 = r 2 証明の方針。 座標を入れて2つの方べきの差を展開します。2次の項が消え、中心が異なるときは係数が同時には0 0 0
証明. O i = ( a i , b i ) \mathrm{O}_i=(a_i,b_i) O i = ( a i , b i ) X = ( x , y ) \mathrm{X}=(x,y) X = ( x , y ) ( x − a 1 ) 2 + ( y − b 1 ) 2 − r 1 2 = ( x − a 2 ) 2 + ( y − b 2 ) 2 − r 2 2 (x-a_1)^2+(y-b_1)^2-r_1^2=(x-a_2)^2+(y-b_2)^2-r_2^2 ( x − a 1 ) 2 + ( y − b 1 ) 2 − r 1 2 = ( x − a 2 ) 2 + ( y − b 2 ) 2 − r 2 2 x 2 + y 2 x^2+y^2 x 2 + y 2 2 ( a 2 − a 1 ) x + 2 ( b 2 − b 1 ) y = a 2 2 + b 2 2 − a 1 2 − b 1 2 + r 1 2 − r 2 2 2(a_2-a_1)x+2(b_2-b_1)y=a_2^2+b_2^2-a_1^2-b_1^2+r_1^2-r_2^2 2 ( a 2 − a 1 ) x + 2 ( b 2 − b 1 ) y = a 2 2 + b 2 2 − a 1 2 − b 1 2 + r 1 2 − r 2 2
O 1 ≠ O 2 \mathrm{O}_1\ne\mathrm{O}_2 O 1 = O 2 a 2 − a 1 a_2-a_1 a 2 − a 1 b 2 − b 1 b_2-b_1 b 2 − b 1 0 0 0 ( a 2 − a 1 , b 2 − b 1 ) (a_2-a_1,b_2-b_1) ( a 2 − a 1 , b 2 − b 1 ) O 1 O 2 \mathrm{O}_1\mathrm{O}_2 O 1 O 2 O 1 O 2 \mathrm{O}_1\mathrm{O}_2 O 1 O 2
O 1 = O 2 \mathrm{O}_1=\mathrm{O}_2 O 1 = O 2 0 0 0 0 = r 1 2 − r 2 2 0=r_1^2-r_2^2 0 = r 1 2 − r 2 2 ▨
系 5.2 (共通弦と根軸). 中心の異なる2円Γ 1 \Gamma_1 Γ 1 Γ 2 \Gamma_2 Γ 2 U \mathrm{U} U V \mathrm{V} V U V \mathrm{UV} UV
証明. U \mathrm{U} U 0 0 0 U \mathrm{U} U V \mathrm{V} V 定理 5.1 により根軸は1本の直線であり、異なる2点U \mathrm{U} U V \mathrm{V} V U V \mathrm{UV} UV ▨
2円が1点U \mathrm{U} U U \mathrm{U} U U \mathrm{U} U
6 つまずいたら
内部では符号が反転します。 通常の長さP A \mathrm{PA} PA P B \mathrm{PB} PB P A ⋅ P B = r 2 − P O 2 \mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=r^2-\mathrm{PO}^2 PA ⋅ PB = r 2 − PO 2 P O 2 − r 2 \mathrm{PO}^2-r^2 PO 2 − r 2 一定なのはP \mathrm{P} P 割線だけを動かせば積は一定ですが、P \mathrm{P} P P O \mathrm{PO} PO 内部点から接線は引けません。 P T 2 \mathrm{PT}^2 PT 2 T = P \mathrm{T}=\mathrm{P} T = P 0 0 0 根軸は「2円の間の線分」ではありません。 非同心なら、離れた2円にも無限に延びる直線として存在します。異なる同心円では空集合、一致する2円では平面全体です。計算では、根軸の方程式からx 2 + y 2 x^2+y^2 x 2 + y 2
7 この先：極線へ 外部点P \mathrm{P} P Γ \Gamma Γ T 1 \mathrm{T}_1 T 1 T 2 \mathrm{T}_2 T 2 O P \mathrm{OP} OP Δ \Delta Δ ∠ O T i P = 90 ° \angle \mathrm{OT}_i\mathrm{P}=90° ∠ OT i P = 90° T 1 \mathrm{T}_1 T 1 T 2 \mathrm{T}_2 T 2 Γ \Gamma Γ Δ \Delta Δ 系 5.2 より、接点を結ぶ直線T 1 T 2 \mathrm{T}_1\mathrm{T}_2 T 1 T 2
中心O \mathrm{O} O P \mathrm{P} P ( p , q ) (p,q) ( p , q ) p x + q y = r 2 px+qy=r^2 p x + q y = r 2 極線 とは、この接点を結ぶ直線を、接線が実際には引けない内部点にまで同じ方程式で拡張したものです。方べきで2つの円を比べると根軸が現れ、その特別な場合として極線が現れる、という順につながっています。