§B1数列と極限全12項目

概要

本単元は、番号を付けて並べた数の列について、項の並ぶ規則を$n$の式として書き表し、有限個の項の和を求め、番号を限りなく大きくしたときに項が近づく値があるのかを問います。同じ問いを、変数を連続的に動かす関数についても扱います。等差数列と等比数列の一般項と和から始め、$\Sigma$記号と階差数列によって複雑な和を求め、和と一般項を互いに求める方法と、漸化式によって数列を定める方法へ進みます。そのうえで数列の極限と無限級数を扱い、続いて関数の極限、連続性と中間値の定理へ移ります。最後に、直接には求めることのできない極限を不等式によって上下から評価する方法を扱います。

本単元は、極限を「いくらでも近づく値」という意味で用い、$\varepsilon$を用いた精密な定義は「ε-論法と基礎解析」に委ねます。実数の連続性は区間縮小法の形で認め、そこから、上に有界な広義単調増加数列と下に有界な広義単調減少数列の収束、および中間値の定理を導きます。ただし、上下から挟む評価のように、精密な定義に置き換えたときにもそのまま通用する論法は、本単元の段階から扱います。微分と積分は極限によって定義されるので、その定義に必要な計算を本単元で整えます。

この単元のねらい

本単元は、読者が次に掲げる能力を習得することを目標とします。

• 等差数列と等比数列の一般項と和を求め、初項、公差または公比、項数、和のうち与えられた量から残りを求めることができます。
• $\Sigma$記号の性質と和の公式を用い、階差数列によって複雑な和を計算することができます。
• 和と一般項を互いに求め、$n=1$の場合を別に扱うべき場面を判断することができます。
• 漸化式から一般項を求め、用いた変形が成り立つ範囲を確認することができます。
• 数学的帰納法を用いて、数列に関する等式、不等式、整除性の主張を証明することができます。
• 数列の極限について、収束するのか、正または負の無限大に発散するのか、振動するのかを区別して述べることができます。
• 無限級数の収束と発散を判定し、収束する場合には和を求めることができます。
• 関数の極限を求め、不定形となる式を変形して極限が定まる形へ整理することができます。
• 不等式によって上下から挟み、はさみうちの原理によって極限を決定することができます。
• $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$を単位円の不等式から導き、三角関数を含む極限を求めることができます。

前提知識

本単元は、「数と式の計算」で扱う式変形、方程式の解法、分数式の計算、および不等式の技法を用います。漸化式の変形、極限を求めるための式の整理、極限を挟むための評価は、いずれもこれらの計算に帰着します。

また本単元は、「集合と論理」で扱う数学的帰納法の論理構造を用います。

極限を扱う記事では、三角関数と指数関数の値を評価の対象として用います。一般角と弧度法による三角関数の定義は「図形と方程式」が扱います。指数関数と対数関数の性質そのものは「指数関数と対数関数」が扱うので、本単元は、上下から挟む評価の題材として指数関数を用いるにとどめます。

この単元を貫く4つの方針

本単元の各記事は、次の4点を共通の方針とします。

1. 規則を$n$の式として書き表します。 数列を、正の整数$n$に値$a_n$を対応させるものとして扱い、具体的な項の並びや漸化式から、第$n$項を$n$の式で表します。得られた一般項をいくつかの$n$に代入して、もとの規則と一致することを読者が確かめることができるようにします。
2. 何を固定し何を動かすかを明示します。$\Sigma$の中の変数と外の変数、漸化式における添字の範囲、極限を取る変数を区別します。和の上端や数列の開始番号がずれると結果が変わることを、読者が確かめることができるようにします。
3. 極限を、値が限りなく近づく値として述べます。 収束するのか、正または負の無限大に発散するのか、振動して定まらないのかを区別します。極限$\lim_{x \to a} f(x)$と関数の値$f(a)$、数列の極限値と各項の値$a_n$を、同じものとして扱いません。
4. 評価によって挟みます。 直接には計算することのできない極限は、上下からの評価によって決定します。評価に用いた不等式が、考えている範囲のすべての値で成り立つことを示します。すべての値では成り立たず、ある番号から先でのみ成り立つ場合には、その番号を明示します。

難易度区分

本単元の区分は「基礎」の一つで、12記事すべてがこれに属します。読者は、12記事を順に読みます。

基礎は、等差数列と等比数列の一般項と和から始め、$\Sigma$の計算と階差数列、和と一般項を互いに求める方法、漸化式の解法、数学的帰納法による証明へ進みます。そのうえで、番号を限りなく大きくしたときの数列の振る舞いと無限級数を扱います。区間縮小法を認めて、上に有界な広義単調増加数列と下に有界な広義単調減少数列の収束を導き、関数の極限、連続性、中間値の定理へ移ります。最後に、不等式で上下から評価して極限を決定する方法と、三角関数の微分に用いる$\sin x / x$の極限を扱います。

有限個の項を扱う計算を先に置くのは、数列そのものを十分に扱うまでは、番号を限りなく大きくしたときに何が近づいているのかを述べることができないためです。関数の極限を数列の極限の後に置くのは、番号という飛び飛びの変数についてまず収束と発散を区別し、そのうえで変数を連続的に動かす場合へ移るほうが、右からの極限と左からの極限という新しい区別を取り出しやすいためです。

基礎

読者が数列の規則を一般項として書き表し、和と極限を正確に求め、評価によって極限を決定することができるようにする段階です。各記事が扱う内容は、次のとおりです。

• 等差数列・等比数列 — 隣り合う項の差が一定である列を等差数列、比が一定である列を等比数列として定義し、一般項を導きます。等差数列の和は、項の順序を逆にした和をもとの和に足し合わせて求めます。等比数列の和は、$S$から$rS$を引いて中間の項を消して求め、公比が$1$の場合は分けて扱います。初項、公差または公比、項数、和のうち、与えられた量から残りを求める計算を練習します。
• Σ の計算と階差数列 —$\Sigma$記号の意味と線形性を確かめ、$k$、$k^2$、$k^3$の和の公式を導きます。階差数列からもとの数列を復元する関係は$n \ge 2$でしか成り立たないので、$n = 1$の場合を別に確かめます。部分分数分解によって各項を$f(k+1) - f(k)$の形へ直し、和が$f(n+1) - f(1)$に等しくなることを用いて計算します。
• 数列の和と一般項 — 和$S_n = a_1 + \cdots + a_n$から一般項を求める関係$a_n = S_n - S_{n-1}$を扱います。この関係は$n \ge 2$でしか成り立たないので、$a_1 = S_1$として初項を別に求め、両者が一つの式にまとまるかどうかを確かめます。$\Sigma$の公式を直接には用いることのできない和として、等差数列の項と等比数列の項の積の和を、$S$から$rS$を引いて求めます。数列を群に区切って番号を付け直す和では、第何群の何番目が全体の第何項にあたるかを数えます。
• 漸化式の解法（基本形） — 初項と、ひとつ前の項から次の項を定める規則が数列を決めることを確かめ、等差型、等比型、および$a_{n+1} = p\,a_n + q$の型を解きます。三つめの型では、数列が一定の値に落ち着くとすればその値にあたる$\alpha$を用いて、$a_n - \alpha$が等比数列になることを示します。$p = 1$のときは$\alpha$を定める方程式が解を持たないか一つに定まらないので、この方法を用いず、等差型として解きます。得られた一般項は、初項と漸化式に代入して確かめます。
• 漸化式の解法（発展形） —$a_{n+1} = p\,a_n + q^{\,n}$や$a_{n+1} = \dfrac{a_n}{p\,a_n + q}$の型を、等差型または等比型へ帰着させて解きます。$q^{\,n+1}$で割るには$q \ne 0$が、逆数を取るにはすべての$n$で$a_n \ne 0$が必要であり、置き換えに必要な条件と添字の範囲をそのつど確認します。二つの数列を同時に定める連立漸化式と、隣接三項間漸化式$a_{n+2} = p\,a_{n+1} + q\,a_n$も解きます。後者では$x^2 = px + q$の解を用いて等比数列を取り出し、重解のときは取り出すことのできる等比数列が一つだけになります。
• 数学的帰納法 — 数列に関する等式、不等式、整除性の主張を、数学的帰納法によって証明します。証明を、出発点となる場合を確かめる段階と、$n = k$のときの主張を仮定して$n = k+1$のときの主張を導く段階に分け、仮定をどこで用いたのかを明示します。仮定を用いずに書けてしまう証明は、帰納法による証明として成立していません。出発点は、主張が成り立つ範囲に合わせて選ぶので、$n = 1$とは限りません。隣接三項間漸化式$a_{n+2} = p\,a_{n+1} + q\,a_n$から求めた一般項を確かめるときのように、出発点を二つ取る形も扱います。帰納法が全称命題を示す仕組みそのものは「集合と論理」が扱います。
• 数列の極限 — 番号を限りなく大きくしたときの数列の振る舞いを、収束、正の無限大への発散、負の無限大への発散、振動に分けて述べます。$r^{\,n}$の極限は、$|r| < 1$、$r = 1$、$r = -1$、$r > 1$、$r < -1$の場合に分けて求めます。和、差、積、商の極限をそれぞれの極限から計算する規則と、その計算を用いることができる条件を扱い、条件を外れた計算が誤りになる例も示します。$\dfrac{\infty}{\infty}$や$\infty - \infty$の形になる式は、最高次の項で割る、有理化するなどの方法で整理します。$\Sigma$を含む式の極限は、和の公式によって$n$の式へ直してから求めます。漸化式で定まる数列については、一般項が求まる場合はその極限を求め、求まらない場合は、収束することを仮定したうえで極限値が満たす関係を導きます。あわせて、広義単調である、上に有界である、下に有界であるという語を導入します。
• 極限の存在について — 一般項を求めることができない数列について、収束するかどうかを判断する方法を扱います。縮んでいく閉区間の列に共通する実数がただ一つ存在するという区間縮小法を実数の連続性として認め、そこから、上に有界な広義単調増加数列と下に有界な広義単調減少数列が収束することを二分法によって証明します。上から押さえて収束を示す例として、根号が積み重なる数列と、平方数の逆数の和を扱います。後者では、収束することを示すことと極限値を求めることが別の作業であることを確かめます。最後に、区間の幅の評価がそのまま近似の精度になることを、二分法で$\sqrt2$を挟む計算で確かめます。
• 無限級数 — 部分和の数列の極限として無限級数の和を定義し、収束と発散を判定します。初項が$0$でない無限等比級数は$|r| < 1$に限って収束し、和が$\dfrac{a}{1-r}$になることを、部分和の式と$r^{\,n}$の極限から導きます。この和は、循環小数を分数へ直す計算と、限りなく続く図形の長さや面積の和に用います。項が打ち消し合う級数は、有限個の和を求めてから極限を取って計算します。級数が収束するならば一般項は$0$に近づくことを、発散の判定に用います。逆が成り立たないこと、すなわち一般項が$0$に近づいても級数が収束するとは限らないことは、調和級数で確かめます。
• 関数の極限 — 変数をある値に近づけたときと、限りなく大きく、または小さくしたときの関数の値の振る舞いを求めます。代入では定まらない不定形の式は、共通因数で約分する、最高次の項で割る、共役な式を掛けて有理化するという方法で整理します。根号や分母を含む式では、極限を考える前に定義域を確認します。右からの極限と左からの極限を区別し、この二つが一致するときに限って極限が存在することを確かめます。極限$\lim_{x \to a} f(x)$と関数の値$f(a)$を区別し、両者が等しいことを連続性と定めます。閉区間で連続な関数が両端の値の間のどの値も取るという中間値の定理を、区間縮小法による二分法から証明し、方程式が解を持つことを示すのに用います。
• 不等式評価とはさみうちの原理の運用 — 数列や関数を上下から挟む不等式を構成し、両側の極限が一致することから、挟まれた量の極限を決定します。下から評価した式が正の無限大に発散するときは、上にある量も正の無限大に発散します。用いる不等式が、考えている範囲のすべての値で成り立つことを示し、ある番号から先でのみ成り立つ場合には、その番号を明示します。有界な量、三角関数、指数関数を含む式を扱い、相加平均と相乗平均の関係や図形的な大小によっても評価します。
• 基本極限（sin x / x） —$\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$を、単位円における$\sin x < x < \tan x$（$0 < x < \frac{\pi}{2}$）からはさみうちによって導きます。この評価は角を弧度法で測ることに依存し、度数法で測ると極限の値が変わります。あわせて、数列$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$を二項定理で展開して、狭義単調増加であることと$3$より小さいことを示し、単調収束定理から収束することを導いて、その極限値をネイピア数と呼びます。さらに、ベルヌーイの不等式から$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$が狭義単調減少であることを示し、この二つで挟んだ区間の幅が$\dfrac{3}{n}$より小さいことを確かめて、値の評価に用います。ネイピア数をどのように定めるかと、指数関数と対数関数に関わる極限は、「指数関数と対数関数」が扱います。

学習到達点の確認方法

本単元は、扱う題材に応じて、次の点を確かめます。

• 数列の計算では、読者が一般項と和を正確に求め、添字の範囲と場合分けを保つことができるかを確かめます。和と一般項を互いに求める場面では、読者が$n=1$を別に扱うことができるかを確かめます。帰納法による証明では、読者が帰納法の仮定を用いた箇所を明示することができるかを確かめます。
• 極限と級数では、読者が収束、発散、振動を区別して述べ、極限の四則計算を用いることができる条件を確かめたうえで、不定形を整理する変形を選ぶことができるかを確かめます。級数では、読者が部分和を経由して和を定義していると説明することができるかを確かめます。
• 評価による極限の決定では、読者が評価に用いる不等式を自分で構成し、その不等式が成り立つ範囲を示すことができるかを確かめます。

本単元は、演習に、一般項、和、極限値のように答えが一意に定まる計算問題を用います。証明を伴う問題では、読者が用いた変形、その変形が成り立つ条件、挟むために用いた不等式の根拠を示すことができているかを見ます。極限については、精密な定義に基づく議論を求めず、計算の正確さと、評価が成り立つ範囲の扱いを見ます。

前後の単元との関係

• 数と式の計算 — 本単元は、同単元で扱う式変形、方程式の解法、分数式の計算、不等式の技法を、漸化式の計算と極限の評価に用います。
• 集合と論理 — 本単元は、同単元で扱う数学的帰納法の論理構造を、数列に関する主張の証明として運用します。
• 図形と方程式 — 本単元は、同単元で扱う一般角と弧度法による三角関数の定義を、$\sin x / x$の極限の評価に用います。この評価は角を弧度法で測ることに依存するため、同単元の弧度法が前提になります。
• 関数の性質 — 同単元は、微分係数を極限として定義し、三角関数の導関数を求めます。同単元は、そのために本単元が整える極限の計算と、本単元が導く$\sin x / x$の極限を用います。
• 指数関数と対数関数 — 同単元は、指数を有理数から実数へ広げ、指数関数と対数関数の性質と導関数を扱います。同単元は、実数乗を有理数乗の極限として定義するにあたって、本単元が扱う数列の極限、極限の四則計算、はさみうちの原理、および中間値の定理を用います。ネイピア数をどのように定めるかも同単元が扱います。
• 微積分 — 同単元は、区分求積法によって和の極限が定積分に等しくなることを扱い、本単元の$\Sigma$の計算と数列の極限を用います。テイラー展開では、本単元の無限級数の考え方を用います。
• 場合の数と確率統計 — 同単元は、確率漸化式、母関数、ランダムウォークを扱うにあたり、本単元の漸化式の解法と級数の計算を用います。
• ε-論法と基礎解析 — 同単元は、本単元が「いくらでも近づく値」として扱う極限を、数列については$\varepsilon$と$N$によって、関数については$\varepsilon$と$\delta$によって定義し直します。本単元は区間縮小法を認めて、漸化式で定まる代表的な数列と$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$の収束を証明します。同単元は、これらの議論を$\varepsilon$-$N$論法や実数の完備性に基づいて再構成し、極限法則を精密に証明します。

この単元で扱わないこと

第一に、本単元は、極限の精密な定義を扱いません。$\varepsilon$-$N$論法と$\varepsilon$-$\delta$論法、コーシー列、および区間縮小法そのものが成り立つことの証明は「ε-論法と基礎解析」が扱います。本単元は、区間縮小法を実数の連続性として認めたうえで、そこから収束を導きます。

第二に、本単元は、上限と下限を扱いません。上限の存在から単調収束定理や中間値の定理を導く道すじと、それらを$\varepsilon$によって証明することは「ε-論法と基礎解析」が扱います。本単元は、同じ主張を区間縮小法からの二分法によって導きます。

第三に、本単元は、級数の収束を判定する方法の体系を扱いません。絶対収束と条件収束の区別、比較判定法や比判定法、項の並べ替えによって和が変わること、一様収束と収束半径は「ε-論法と基礎解析」が扱います。

第四に、本単元は、微分の計算を扱いません。導関数の定義と、三角関数の導関数の計算は「関数の性質」が扱います。

第五に、本単元は、指数関数と対数関数の導関数を扱いません。これらの導関数の計算は「指数関数と対数関数」が扱います。

第六に、本単元は、積分を扱いません。区分求積法によって和の極限が定積分に等しくなることと、微積分学の基本定理は「微積分」が扱います。

教育課程上の位置づけと参考年次

参考年次を日本の高校の学年で示すと、「等差数列・等比数列」から「数学的帰納法」までの数列を扱う記事は数学Bの「数列」に対応し、高校2年が目安です。「数列の極限」から「基本極限（sin x / x）」までの極限を扱う記事は数学IIIの「極限」に対応し、高校3年が目安です。国によって対応する学年は異なります。

本単元の内容と各国の教育課程との主な対応は、次のとおりです。数列はほとんどの国で中等教育の後半に置かれますが、極限と無限級数の扱いには差があります。

• 日本 — 高等学校学習指導要領（平成30年告示）の「数学B 数列」と「数学III 極限」に主として対応します。数学的帰納法は数学Bで扱われます。
• 韓国 — 2022改訂教育課程では、数列を選択科目「代数（대수）」で、数列と関数の極限を微積分に関する選択科目で扱います。
• 中国 — 普通高中课程方案和语文等学科课程标准（2017年版2020年修订）の選択性必修課程「数列」に主として対応します。数列の極限と無限級数は、独立した内容として置かれていません。
• 米国 — 連邦教育省の説明のとおり、教育基準は州が定めます。比較資料として Common Core State Standards for Mathematicsを用いると、 High Schoolの「Functions」における数列の帰納的な定義、「Algebra」における有限等比級数の和に対応します。極限と無限級数は同標準に含まれず、Advanced Placementの微積分科目で扱われます。
• フランス — lycée général et technologiqueの数学課程では、 premièreの専門数学「Suites numériques」と、terminaleの「Suites et limites」に主として対応します。数学的帰納法（raisonnement par récurrence）はterminaleで導入されます。
• ドイツ — 各州が学校課程を定め、 KMKが全国共通の到達基準を示します。数列と極限は、微分の概念を導入する準備として解析（Analysis）の冒頭で扱われることが多く、独立した内容領域として置くかどうかは州によって異なります。
• イギリス（England） — GCE AS and A level mathematicsの「Sequences and series」に主として対応します。等差数列、等比数列、$\Sigma$記号、漸化式、無限等比級数の和が扱われます。数学的帰納法と、より進んだ収束の議論はFurther Mathematicsの内容として扱われます。