§B1.9無限級数

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無限個の項の和は、有限個までの和を作ってから、その極限として定義します。本記事では、無限等比級数、循環小数、図形の和、項が打ち消し合う級数、および調和級数を扱います。

1 部分和による定義

無限級数の和は、記号を形式的に足し続けたものではありません。

定義 1.1 (無限級数の収束と和). 数列{ak}\{a_k\}の第nn部分和を

Sn=∑k=1nakS_n=\sum_{k=1}^{n}a_k

とします。数列{Sn}\{S_n\}が有限の値SSに収束するとき、無限級数∑k=1∞ak\sum_{k=1}^{\infty}a_kは収束するといい、その和を

∑k=1∞ak=S\sum_{k=1}^{\infty}a_k=S

と定めます。部分和が有限の値に収束しないとき、級数は発散するといいます。

2 無限等比級数

有限等比数列の和から、収束条件と和を導きます。

定理 2.1 (無限等比級数). 初項a≠0a\ne0、公比rrの無限等比級数

∑k=1∞ark−1\sum_{k=1}^{\infty}ar^{k-1}

は、∣r∣<1|r|<1の場合に限って収束し、その和は

a1−r\frac{a}{1-r}

です。

証明.r≠1r\ne1のとき、第nn部分和は§B1.1 公式 2.3より

Sn=a(1−rn)1−rS_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}

です。∣r∣<1|r|<1ならばrn→0r^n\to0なので、Sn→a/(1−r)S_n\to a/(1-r)です。

r=1r=1ならばSn=naS_n=naであり、有限の値に収束しません。r=−1r=-1ならば部分和がa,0a,0を繰り返します。∣r∣>1|r|>1ならば項arn−1ar^{n-1}自体が00に近づかないので、定理 4.1に反します。▨

例 2.2 (循環小数を分数へ直す). 循環小数0.27‾=0.272727…0.\overline{27}=0.272727\ldotsは

27100+271002+271003+⋯\frac{27}{100}+\frac{27}{100^2}+\frac{27}{100^3}+\cdots

という無限等比級数です。初項は27/10027/100、公比は1/1001/100なので、

0.27‾=27/1001−1/100=2799=3110.\overline{27} =\frac{27/100}{1-1/100} =\frac{27}{99} =\frac3{11}

です。

例 2.3 (限りなく続く図形の長さ). 長さ11の線分を半分にし、残った線分をさらに半分にする操作を続けます。各段階で新しく取り出す長さは

12,14,18,…\frac12,\frac14,\frac18,\ldots

です。この総和は、初項1/21/2、公比1/21/2の無限等比級数なので

1/21−1/2=1\frac{1/2}{1-1/2}=1

です。有限段階の部分和は常に11未満であり、極限として11になります。

面積についても、各段階で加える面積が一定の比で小さくなるなら、同じ方法を用いることができます。長さの比がrrである相似図形では、面積の比はr2r^2である点を区別します。

3 項が打ち消し合う級数

各項を隣の項との差に分解することができると、部分和の中間項が消えます。

例 3.1 (望遠鏡級数). 部分分数分解により

1k(k+1)=1k−1k+1\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}

です。第nn部分和は

Sn=∑k=1n(1k−1k+1)=1−1n+1S_n=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right) =1-\frac1{n+1}

となります。したがって

∑k=1∞1k(k+1)=1\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k(k+1)}=1

です。

4 収束に必要な条件

級数が収束するなら、各項は00に近づかなければなりません。

定理 4.1 (級数の一般項に関する必要条件).∑k=1∞ak\sum_{k=1}^{\infty}a_kが収束するならば、

lim⁡n→∞an=0\lim_{n\to\infty}a_n=0

です。

証明. 第nn部分和をSnS_nとすると、an=Sn−Sn−1a_n=S_n-S_{n-1}です。級数がSSに収束するならばSn→SS_n\to SかつSn−1→SS_{n-1}\to Sなので、極限の差からan→S−S=0a_n\to S-S=0です。▨

逆は成り立ちません。一般項が00に近づいても、部分和が有限の値に収束しない場合があります。

定理 4.2 (調和級数の発散). 調和級数

∑k=1∞1k\sum_{k=1}^{\infty}\frac1k

は発散します。

証明.2m2^m項までの部分和を、項数が1,1,2,4,…,2m−11,1,2,4,\ldots,2^{m-1}個である群に分けます。第jj群

12j−1+1+⋯+12j\frac1{2^{j-1}+1}+\cdots+\frac1{2^j}

には2j−12^{j-1}個の項があり、各項は1/2j1/2^j以上です。したがって第jj群の和は1/21/2以上です。ゆえに

S2m≥1+m2S_{2^m}\ge1+\frac m2

となり、mmを大きくすると部分和はいくらでも大きくなります。よって調和級数は正の無限大へ発散します。▨

調和級数では1/n→01/n\to0ですが、級数は発散します。したがって「一般項が00に近づく」は収束の必要条件であり、十分条件ではありません。

5 演習

  • 0.135‾0.\overline{135}を無限等比級数として表し、分数へ直します。
  • 最初の正方形の一辺を11とし、一辺の長さが直前の正方形の1/31/3である正方形を順に加えるとき、面積の総和を求めます。
  • ∑k=1∞1(k+2)(k+3)\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac1{(k+2)(k+3)}の部分和を求め、その極限を計算します。
  • 一般項が00に近づくことだけでは級数の収束を結論することができない理由を、調和級数を用いて説明します。

各計算では、最初に第nn部分和を有限和として求め、その後にn→∞n\to\inftyの極限を取ります。

注意 5.1 (演習の答え).

  1. 1351000+13510002+⋯=135999=537\dfrac{135}{1000}+\dfrac{135}{1000^2}+\cdots=\dfrac{135}{999}=\dfrac5{37}です。
  2. 面積は1,1/9,1/92,…1,1/9,1/9^2,\ldotsと並ぶので、総和は11−1/9=98\dfrac1{1-1/9}=\dfrac98です。
  3. 第nn部分和は13−1n+3\dfrac13-\dfrac1{n+3}であり、級数の和は13\dfrac13です。
  4. 調和級数では一般項1/n1/nが00に近づきますが、定理 4.2のとおり部分和は正の無限大へ発散します。

例題

条件と何を求めるかを確認してから、式と答えの対応を見比べてください。

次の無限級数の和を求めよ。収束しない場合は「発散」と答えよ。

解法の型部分和 Sₙ を作ってから n →\to∞\infty。等比なら a/(1-r)、1/(n(n+d)) 型は部分分数に分けて望遠鏡和

  1. 例題 1

    ∑n=1∞4(−13)n−1\sum_{n=1}^{\infty} 4\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}

  2. 例題 2

    ∑n=1∞4n(n+1)\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{4}{n(n+1)}

  3. 例題 3

    ∑n=1∞6n(n+2)\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{6}{n(n+2)}

  4. 例題 4

    ∑n=1∞n(23)n\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}

  5. 例題 5

    ∑n=1∞4n(n+3)\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{4}{n(n+3)}

  6. 例題 6

    ∑n=1∞2n(−13)n\sum_{n=1}^{\infty} 2n\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n}

  7. 例題 7

    ∑n=1∞3(23)n−1\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}

  8. 例題 8

    ∑n=1∞3n(12)n\sum_{n=1}^{\infty} 3n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}

  9. 例題 9

    ∑n=1∞4(−34)n−1\sum_{n=1}^{\infty} 4\left(-\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}

  10. 例題 10

    ∑n=1∞3n(n+3)\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{3}{n(n+3)}

演習

問題を解いてから「解答・解説」を開けます。

次の無限級数の和を求めよ。収束しない場合は「発散」と答えよ。

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