関数の極限 | 数列と極限 | 天游ヶ丘数理学院

1 右からの極限と左からの極限

定義 1.1 (片側からの極限). $x$ が $a$ より大きい値をとりながら $a$ に限りなく近づくとき $f(x)$ が値 $L$ に限りなく近づくならば、 $L$ を $x \to a$ における $f$ の右からの極限といい、 $\displaystyle\lim_{x \to a+0} f(x) = L$ と書く。 $x$ が $a$ より小さい値をとりながら近づく場合を左からの極限といい、 $\displaystyle\lim_{x \to a-0} f(x) = L$ と書く。

定理 1.2 (極限が存在するための条件). $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$ が成り立つのは、右からの極限と左からの極限がともに存在して、どちらも $L$ に等しいときであり、そのときに限る。

証明. $x\to a$ のときに $f(x)\to L$ ならば、 $x>a$ に限って近づけても、 $x<a$ に限って近づけても $f(x)$ は $L$ に近づきます。したがって二つの片側極限はともに $L$ です。

逆に、右から近づけた場合と左から近づけた場合のどちらでも $f(x)$ が $L$ に近づくとします。 $a$ と異なる $x$ は $x>a$ または $x<a$ のどちらか一方を満たすので、近づき方を片側に分けても行き先は常に $L$ です。したがって $x\to a$ のとき $f(x)\to L$ です。▨

例 1.3 (片側で値が食い違う関数). $x \ne 0$ について $f(x) = \dfrac{|x|}{x}$ と定める。 $x > 0$ では $f(x) = 1$ 、 $x < 0$ では $f(x) = -1$ であるから

$\lim_{x \to 0+0} f(x) = 1, \qquad \lim_{x \to 0-0} f(x) = -1$

である。二つが一致しないので、定理 1.2により $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$ は存在しない。

注意 1.4 (「存在しない」と「値が定まらない」を混同しない).例 1.3で存在しないのは極限であって、 $f(x)$ の値ではない。 $f$ の値は $x \ne 0$ のどこでも定まっている。逆に、 $f(a)$ が定まっていなくても $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ が存在することがある。 $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ は $x = 2$ で値をもたないが、 $x \to 2$ の極限は $4$ である。極限は $x = a$ における値と無関係に定まる。

2 変数を限りなく大きく、または小さくしたとき

$x$ を限りなく大きくしたときの $f(x)$ の行き先を $\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x)$ 、限りなく小さくしたときの行き先を $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$ と書きます。この二つも一致するとはかぎりません。

例 2.1 (正の側と負の側で行き先が違う場合). $f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ とする。 $x > 0$ では分母を $x\sqrt{1 + 1/x^2}$ と書くことができ、

$\lim_{x \to \infty} f(x) = 1$

である。 $x < 0$ では $\sqrt{x^2} = -x$ であるから分母は $-x\sqrt{1 + 1/x^2}$ となり、

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1$

である。 $\sqrt{x^2} = x$ と書いてしまうと、負の側で符号を取り違える。

3 不定形を整理する

多項式のように、考えている点で連続であることが分かっている関数では、代入によって極限を求めることができます。一般の関数では、 $f(a)$ が定まることだけから $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ を結論することはできません。連続性を確認するか、極限を別に計算する必要があります。代入すると $\dfrac00$ 、 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 、 $\infty - \infty$ のような不定形になる場合は、式を変形してから極限を取ります。

約分（ $\dfrac00$ 型）: 分子と分母を因数分解して共通因数を消します。 $\lim_{x \to 2}\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to2}(x+2) = 4$
最高次の項で割る（ $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型）: 分子と分母を最高次の項で割ります。 $\dfrac{2x^2 + 1}{3x^2 - x}$ は $\dfrac23$ に近づきます。
有理化（ $\infty - \infty$ 型や根号を含む式）: 共役な式を掛けて根号の差を消します。

注意 3.1 (変形の前に定義域を書き出す). 根号を含む式では根号の中が $0$ 以上である範囲を、分母を含む式では分母が $0$ にならない範囲を、変形の前に書き出す。 $\sqrt{x^2}$ を $x$ と書き換える操作は $x \ge 0$ でしか正しくなく、分子と分母を $x$ で割る操作は $x \ne 0$ でしか正しくない。変形が正しい範囲と、極限を考えている範囲が重なっていることを確かめる。

数列の極限で認めた§B1.7 定理 3.1と§B1.7 定理 3.3は、関数の極限についても同じ形で成り立ちます。本記事はこれらも認めて用い、 $\varepsilon$ と $\delta$ による精密な扱いは「ε-δ による関数の極限と連続性」が扱います。

4 連続性

定義 4.1 (点における連続性と、区間での連続性). $f$ が $a$ を含むある範囲で定義されており、 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ が成り立つとき、 $f$ は $a$ で連続であるという。区間に属するどの点でも連続であるとき、 $f$ はその区間で連続であるという。区間の端点では、区間の内側からの片側の極限で考える。

この定義は三つを同時に要求しています。 $f(a)$ が定まること、極限が存在すること、そして両者が等しいことです。どれか一つでも欠ければ、その点で連続ではありません。

例 4.2 (連続でない三つの型).

$f(x) = \dfrac{|x|}{x}$ （ $x \ne 0$ ）は $x = 0$ で値が定まらず、極限も存在しない。
$g(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ （ $x \ne 2$ ）は $x \to 2$ の極限が $4$ であるが、 $g(2)$ が定まっていない。 $g(2) = 4$ と定めれば連続になる。
$h(x)$ を、 $x \ne 0$ のとき $0$ 、 $x = 0$ のとき $1$ と定める。極限も値も存在するが、極限 $0$ と値 $1$ が食い違う。

多項式はどの実数でも連続であり、分数関数と無理関数は、定義域に属するどの点でも連続です。

5 中間値の定理

閉区間で連続な関数のグラフは、途切れずにつながって見えます。この見え方を主張として述べたものが中間値の定理です。そして、この定理は絵から明らかなのではなく、実数の連続性から従います。証明は、数列の極限で認めた§B1.8 定理 2.1を用います。

定理 5.1 (中間値の定理). $f$ が閉区間 $[a, b]$ で連続であり、 $f(a) \ne f(b)$ であるとする。 $k$ を $f(a)$ と $f(b)$ のあいだにある実数とすると、 $f(c) = k$ を満たす $c$ が開区間 $(a, b)$ に存在する。

証明. $f(a) < k < f(b)$ の場合を示します。 $f(b) < k < f(a)$ の場合は $-f$ と $-k$ に置き換えるとこの場合に帰着します。

閉区間の列を次のように作ります。まず $I_1 = [a, b]$ とします。 $I_j = [l_j, r_j]$ が定まったとき、その中点を $m$ として

$f(m) \le k$ ならば $I_{j+1} = [m, r_j]$ 、
$f(m) > k$ ならば $I_{j+1} = [l_j, m]$

と定めます。この作り方から、どの $j$ についても

$f(l_j) \le k \le f(r_j)$

が保たれます。 $j = 1$ では $f(a) < k < f(b)$ ですから成り立ち、 $I_{j+1}$ をどちらに選んでもこの関係は保たれます。

$I_{j+1} \subseteq I_j$ であり、長さは半分ずつになるので $r_j - l_j = \dfrac{b-a}{2^{\,j-1}}$ となり、 $0$ に近づきます。したがって§B1.8 定理 2.1により、すべての $I_j$ に属する実数 $c$ がただ一つ存在します。

$l_j$ も $r_j$ も $c$ との差が $r_j - l_j$ 以下ですから、 $j$ を限りなく大きくすると、どちらも $c$ に近づきます。 $f$ は $c$ で連続なので、定義 4.1により $f(l_j) \to f(c)$ 、 $f(r_j) \to f(c)$ です。ここで、すべての $j$ について $f(l_j) \le k \le f(r_j)$ が成り立っているので、§B1.7 定理 3.3により

$f(c) \le k \le f(c)$

が得られます。したがって $f(c) = k$ です。 $f(a) \ne k$ かつ $f(b) \ne k$ ですから $c$ は $a$ とも $b$ とも異なり、開区間 $(a, b)$ に属します。▨

注意 5.2 (仮定を一つでも外すと結論が成り立たないこと). 連続であるという仮定を外すことはできない。 $x \ne 0$ で $\dfrac{|x|}{x}$ 、 $x = 0$ で $0$ と定めた関数は $[-1, 1]$ で $-1$ と $1$ を値にとるが、 $\dfrac12$ を値にとる点は存在しない。

閉区間であることは、定理 5.1を両端の値 $f(a),f(b)$ によって述べるための仮定です。開区間 $(0,1)$ 上の $f(x)=x$ も、区間内の二点で取る値の間にあるすべての値を取ります。したがって、閉区間であることが中間値の性質そのものに必要であるとは限りません。ただし、開区間では両端の値 $f(0),f(1)$ が定まらないので、上の定理をそのまま適用することはできません。

例 5.3 (方程式に解が存在することを示す). $x^3 - 3x + 1 = 0$ が $0 < x < 1$ に解をもつことを示す。 $f(x) = x^3 - 3x + 1$ は多項式なので $[0, 1]$ で連続であり、

$f(0) = 1 > 0, \qquad f(1) = -1 < 0$

である。 $0$ は $f(1)$ と $f(0)$ のあいだにあるから、定理 5.1により $f(c) = 0$ を満たす $c$ が $(0, 1)$ に存在する。

注意 5.4 (存在を示すことと、値を求めることは別である).定理 5.1が与えるのは $c$ の存在であって、 $c$ の値ではない。証明が区間を半分ずつ狭めているので、その手順をそのまま計算に使えば $c$ を好きな精度まで求めることができる。存在の証明と、値を求める手続きが同じものになっている例である。

閑話休題：ラマヌジャンの無限に深い根号 1911 年、インドの数学雑誌に、無名の事務員から次の問題が投稿されました。

\sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + \cdots}}}} = \ ?

根号が無限に深く入れ子になった式です。数か月のあいだ解答が届かず、投稿者本人が答えを示しました。値は $3$ です。投稿者はラマヌジャンでした。

もとになるのは恒等式 $x + 1 = \sqrt{1 + x(x + 2)}$ です。 $x + 2$ の部分に同じ恒等式を（ $x$ を $x+1$ に取り替えて）代入する操作を繰り返すと、上の入れ子が現れます。 $x = 2$ とすれば値は $3$ になります。

ただし、この操作だけでは等号は正当化されません。無限に続く式は、それ自体では意味を持たず、有限で切った列の極限として初めて意味を持ちます。有限で切った式の値が $3$ に近づくことを、上下から評価して確かめる必要があります。この見方は、無限級数、無限積、連分数のいずれにも共通します。

6 つまずいたら

連続であることが分かっている関数では、まず代入します。一般の関数では、代入値と極限値を同一視せず、連続性または極限の計算を確認します。不定形になった場合には、その型（ $\dfrac00$ か $\dfrac{\infty}{\infty}$ か）に応じて変形を選びます。
$x \to \infty$ では、分子と分母のどの項が最も速く大きくなるかを判定し、その項で割ります。
根号を含む式では、 $\sqrt{x^2}$ が $x$ ではなく $|x|$ であることに注意します。 $x \to -\infty$ の計算で符号を落とす誤りが最も多く現れます。
片側の極限だけを求めて「極限が存在する」と結論することはできません。定理 1.2のとおり、両側が一致することを確かめる必要があります。
中間値の定理を使うときは、閉区間で連続であることと、 $k$ が両端の値のあいだにあることの二つを書き出します。どちらか一方でも欠けると結論が出ません。

ここでは厳密にやらないこと — 「近づく」を厳密に定義することは行いません。数列についての ε-N による定義は「ε-N による数列の収束」が、関数についての ε-δ による定義は「ε-δ による関数の極限と連続性」が扱います。

§B1.10関数の極限

1 右からの極限と左からの極限

2 変数を限りなく大きく、または小さくしたとき

3 不定形を整理する

4 連続性

5 中間値の定理

例題

演習

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