等差数列・等比数列 | 数列と極限

1 等差数列

まず、一定の数を加えて次の項を作る数列を定義します。

定義 1.1 (等差数列). すべての正の整数 $n$ について

a_{n+1}-a_n=d

が成り立つ数列 $\{a_n\}$ を等差数列という。 $a_1$ を初項、一定の差 $d$ を公差という。

初項から第 $n$ 項までには、公差を $n-1$ 回加えます。

公式 1.2 (等差数列の一般項). 初項が $a$ 、公差が $d$ である等差数列について、すべての正の整数 $n$ に対して第 $n$ 項は

a_n=a+(n-1)d

である。

証明. 正の整数 $n$ を固定する。漸化関係 $a_{k+1}=a_k+d$ を $k=1,\ldots,n-1$ に対して順に用いると

a_n=a_1+d+\cdots+d=a+(n-1)d

となる。▨

等差数列の和は、項を逆順に並べた和を加えると導くことができます。

公式 1.3 (等差数列の和). 初項が $a$ 、公差が $d$ 、項数が正の整数 $n$ であり、末項が $l=a+(n-1)d$ である等差数列の和 $S_n$ は

S_n=\frac{n(a+l)}2 =\frac{n\{2a+(n-1)d\}}2

である。

証明. 正の整数 $n$ と初項 $a$ 、公差 $d$ 、末項 $l$ を固定し、和を順方向と逆方向に書く。

\begin{aligned} S_n&=a+(a+d)+\cdots +(l-d)+l,\\ S_n&=l+(l-d)+\cdots +(a+d)+a \end{aligned}

対応する項を加えると、どの組も $a+l$ となる。組は $n$ 個あるので

2S_n=n(a+l)

となる。両辺を $2$ で割ると公式を得る。▨

例 1.4 (初項と和から公差を求める). 等差数列の初項が $3$ 、第 $8$ 項までの和が $108$ であるとする。公差を $d$ とすると、

108=\frac82\{2\cdot3+7d\}

である。したがって $27=6+7d$ となり、 $d=3$ である。一般項 $a_n=3+3(n-1)=3n$ を用いると、最初の8項の和は $3(1+2+\cdots+8)=108$ となり、条件と一致する。

2 等比数列

次に、一定の数を掛けて次の項を作る数列を定義します。

定義 2.1 (等比数列). すべての正の整数 $n$ について

a_{n+1}=ra_n

が成り立つ数列 $\{a_n\}$ を等比数列という。 $a_1$ を初項、一定の数 $r$ を公比という。

初項から第 $n$ 項までには、公比を $n-1$ 回掛けます。

公式 2.2 (等比数列の一般項). 初項が $a$ 、公比が $r$ である等比数列について、すべての正の整数 $n$ に対して第 $n$ 項は

a_n=ar^{n-1}

である。

証明. 正の整数 $n$ を固定する。漸化関係 $a_{k+1}=ra_k$ を $k=1,\ldots,n-1$ に対して順に用いると

a_n=a_1r^{n-1}=ar^{n-1}

となる。▨

等比数列の和では、 $S_n$ と $rS_n$ の差を取ると中間の項が消えます。

公式 2.3 (等比数列の和). 初項が $a$ 、公比が $r$ 、項数が正の整数 $n$ である等比数列の和 $S_n$ は

S_n= \begin{cases} \dfrac{a(1-r^n)}{1-r} & (r\ne1),\\[6pt] na & (r=1) \end{cases}

である。

証明. $r\ne1$ とし、 $S_n$ と $rS_n$ を書く。

\begin{aligned} S_n&=a+ar+\cdots+ar^{n-1},\\ rS_n&=ar+ar^2+\cdots+ar^n \end{aligned}

二式の差を取ると

(1-r)S_n=a-ar^n=a(1-r^n)

となる。 $1-r\ne0$ なので両辺を $1-r$ で割る。 $r=1$ の場合には全項が $a$ であり、和は $na$ となる。▨

例 2.4 (項と和から公比を求める). 初項が $2$ 、第 $4$ 項が $54$ である正の項からなる等比数列を考える。公比を $r$ とすると

2r^3=54

である。各項が正であるという条件から $r>0$ なので、 $r=3$ である。第 $4$ 項までの和は

S_4=\frac{2(1-3^4)}{1-3}=80

である。実際に $2+6+18+54=80$ となる。

3 条件から未知の量を求める

初項、公差または公比、項数、末項、和の関係式を同時に用いると、未知の量を求めることができます。等差数列では一般項と和の二式、等比数列では一般項と和の二式を立て、最後に元の条件へ代入して確認します。

例 3.1 (項数を求める). 初項が $5$ 、公差が $4$ である等差数列の和が $320$ になる項数を求める。

320=\frac n2\{2\cdot5+(n-1)4\} =n(2n+3)

より、 $2n^2+3n-320=0$ である。解の公式から $n=(-3\pm\sqrt{2569})/4$ となる。正の整数にならないので、この条件を満たす項数は存在しない。和の方程式を解いた後にも、項数が正の整数であることを確認する必要がある。

最後の例は、与えられた数値から常に数列が存在するとは限らないことを示します。数値を計算するだけでなく、項数や公比に必要な条件まで確かめます。

4 演習

初項が $7$ 、公差が $-3$ である等差数列について、第 $12$ 項と第 $12$ 項までの和を求めます。
初項が $3$ 、公比が $2$ である等比数列について、第 $8$ 項と第 $8$ 項までの和を求めます。
等差数列の第 $3$ 項が $11$ 、第 $9$ 項が $35$ であるとき、初項、公差、第 $20$ 項までの和を求めます。
初項が $81$ 、公比が $\frac13$ である等比数列の和が $121$ になる項数が存在するかを調べます。

各問では、求めた一般項を初めの数項へ代入し、和は実際に小さい項数で足した値と一致するかを確認します。

注意 4.1 (演習の答え).

第 $12$ 項は $-26$ 、和は $-114$ である。
第 $8$ 項は $384$ 、和は $765$ である。
初項は $3$ 、公差は $4$ 、第 $20$ 項までの和は $820$ である。
和の公式から $3^{-n}=3^{-5}$ となるので、項数 $n=5$ が存在する。

§B1.1等差数列・等比数列

1 等差数列

2 等比数列

3 条件から未知の量を求める

4 演習

例題

演習

前提記事