Monte Carlo 積分 | 数値解析 I | 天游ヶ丘数理学院

定義 1.1 (一様分布). $(\Omega,\mathcal F,P)$ を確率空間とする。 $d\in\NN$ とし、 $\lambda$ を $\R^d$ 上の Lebesgue 測度、 $D\subset\R^d$ を $0<\lambda(D)<\infty$ を満たす Lebesgue 可測集合とする。 $\mathcal A$ を、 $D$ に含まれる Lebesgue 可測集合だけからなる $D$ 上のシグマ加法族とする。写像 $U\colon\Omega\to D$ が $\mathcal A$ に関して $D$ 上の一様分布 (uniform distribution) に従うとは、任意の $A\in\mathcal A$ に対して $U^{-1}(A)\in\mathcal F$ であり、

P(U\in A)=\frac{\lambda(A)}{\lambda(D)}

が成り立つことをいう。

命題 1.2. $(\Omega,\mathcal F,P)$ を確率空間、 $(E,\mathcal E,\rho)$ を測度空間とし、 $p\colon E\to[0,\infty)$ を $\int_Ep\,d\rho=1$ を満たす可測関数とする。可測写像 $X\colon(\Omega,\mathcal F)\to(E,\mathcal E)$ が、任意の $B\in\mathcal E$ に対して

P(X\in B)=\int_Bp\,d\rho

を満たすとする。 $h\colon E\to\R$ を $\int_E|h|p\,d\rho<\infty$ を満たす可測関数とする。このとき $h(X)$ は可積分であり、

E[h(X)]=\int_Ehp\,d\rho,\qquad E[h(X)^2]=\int_Eh^2p\,d\rho

が成り立つ。第二の等式は $[0,\infty]$ における等式である。

証明. $X$ の法則を $\mu$ と書く。仮定により、任意の $B\in\mathcal E$ に対して $\mu(B)=\int_Bp\,d\rho$ である。§E9.15 命題 4.3を $g=p$ として適用すると、任意の可測関数 $k\colon E\to[0,\infty]$ に対して

\int_Ek\,d\mu=\int_Ekp\,d\rho

が成り立つ。 $k=|h|$ とすると $\int_E|h|\,d\mu=\int_E|h|p\,d\rho<\infty$ であるから、 $h$ は $\mu$ に関して可積分である。§E9.6 定理 5.3 (2)を $T=X$ に適用すると、 $h(X)=h\circ X$ は可積分であり、 $E[h(X)]=\int_Eh\,d\mu$ である。 $p\ge0$ であるから $(hp)^+=h^+p$ 、 $(hp)^-=h^-p$ であり、上の等式を $k=h^+$ と $k=h^-$ に適用すると、いずれの積分も $\int_E|h|p\,d\rho$ 以下の有限値であって

\int_Eh\,d\mu=\int_Eh^+p\,d\rho-\int_Eh^-p\,d\rho=\int_Ehp\,d\rho

を得る。最後に、§E9.6 定理 5.3 (1)を $T=X$ と非負関数 $h^2$ に適用し、上の等式を $k=h^2$ に適用すると、 $E[h(X)^2]=\int_Eh^2\,d\mu=\int_Eh^2p\,d\rho$ を得る。▨

注意 1.3. $\mu$ を $(E,\mathcal E)$ 上の確率測度とし、 $\rho=\mu$ 、 $p\equiv1$ として命題 1.2を適用すると、法則 $\mu$ の $X$ と $\mu$ に関して可積分な $h$ に対して $E[h(X)]=\int_Eh\,d\mu$ を得る。

系 1.4. $(\Omega,\mathcal F,P)$ を確率空間とする。 $d\in\NN$ とし、 $D\subset\R^d$ を $0<\lambda(D)<\infty$ を満たす Lebesgue 可測集合、 $\mathcal A$ を $D$ に含まれる Lebesgue 可測集合だけからなる $D$ 上のシグマ加法族とし、 $U\colon\Omega\to D$ は $\mathcal A$ に関して $D$ 上の一様分布に従うとする。 $f\colon D\to\R$ を $\mathcal A$ に関して可測であり $\int_D|f|\,d\lambda<\infty$ を満たす関数とし、 $Y:=\lambda(D)f(U)$ と置く。このとき $Y$ は可積分であり、

E[Y]=\int_Df\,d\lambda,\qquad E[Y^2]=\lambda(D)\int_Df^2\,d\lambda

が成り立つ。第二の等式は $[0,\infty]$ における等式である。特に、 $Y\in L^2(P)$ であることは $\int_Df^2\,d\lambda<\infty$ と同値であり、このとき

\operatorname{Var}(Y)=\lambda(D)\int_Df^2\,d\lambda-\Bigl(\int_Df\,d\lambda\Bigr)^2

である。

証明. $D$ に含まれる Lebesgue 可測集合全体を $\mathcal L_D$ 、その上への $\lambda$ の制限を $\lambda_D$ とし、 $(D,\mathcal A)$ 上の測度 $\rho$ を $\rho(A):=\lambda(A)$ で定める。 $\mathcal A\subset\mathcal L_D$ であるから包含写像 $\iota\colon(D,\mathcal L_D)\to(D,\mathcal A)$ は可測であり、 $\iota^{-1}(A)=A$ から $\iota_{\#}\lambda_D=\rho$ である。したがって§E9.6 定理 5.3 (1)と§E9.6 定理 5.3 (2)を $T=\iota$ に適用すると、 $\mathcal A$ に関して可測な関数 $k\colon D\to[0,\infty]$ と $\rho$ に関して可積分な関数 $k\colon D\to\R$ に対して

\int_Dk\,d\rho=\int_Dk\,d\lambda

が成り立つ。

$p\equiv\lambda(D)^{-1}$ 、 $h:=\lambda(D)f$ と置く。 $\int_Dp\,d\rho=\rho(D)/\lambda(D)=1$ であり、任意の $A\in\mathcal A$ に対して $P(U\in A)=\lambda(A)/\lambda(D)=\int_Ap\,d\rho$ である。さらに $\int_D|h|p\,d\rho=\int_D|f|\,d\lambda<\infty$ である。命題 1.2を $(E,\mathcal E,\rho)=(D,\mathcal A,\rho)$ 、 $X=U$ に適用すると、 $Y=h(U)$ は可積分であり、

E[Y]=\int_Df\,d\rho=\int_Df\,d\lambda,\qquad E[Y^2]=\lambda(D)\int_Df^2\,d\rho=\lambda(D)\int_Df^2\,d\lambda

を得る。 $Y\in L^2(P)$ ならば、§E11.4 命題 2.3の $\operatorname{Var}(Y)=E[Y^2]-E[Y]^2$ に代入して分散の式を得る。▨

注意 1.5. $\mathcal A=\mathcal L_D$ とすると、系 1.4は $\int_D|f|\,d\lambda<\infty$ を満たす任意の Lebesgue 可測関数 $f$ に適用される。 $D$ が Borel 集合であり、 $V\colon\Omega\to D$ が確率ベクトルであって $D$ に含まれる任意の Borel 集合 $B$ に対して $P(V\in B)=\lambda(B)/\lambda(D)$ を満たすとき、 $V$ は $D$ に含まれる Borel 集合全体を $\mathcal A$ として一様分布に従い、系 1.4は Borel 可測な $f$ に適用される。この $V$ について、Borel 集合でない Lebesgue 可測集合 $A\subset D$ の逆像 $V^{-1}(A)$ が $\mathcal F$ に属することは仮定から従わない。

定義 2.1 (Monte Carlo 推定量). $(\Omega,\mathcal F,P)$ を確率空間とし、 $Y_1,Y_2,\ldots$ を独立同分布な実確率変数列とする。 $n\in\NN$ に対して

I_n:=\frac1n\sum_{i=1}^nY_i

と置き、 $I_n$ を Monte Carlo 推定量 (Monte Carlo estimator)、各 $Y_i$ を出力 (output)、 $n$ を標本数 (sample size) という。 $Y_1$ が可積分であるとき $I:=E[Y_1]$ と置く。 $Y_1\in L^2(P)$ であるとき、 $E[(I_n-I)^2]$ を $I_n$ の平均二乗誤差 (mean squared error)、その非負の平方根を二乗平均平方根誤差 (root mean squared error) という。

命題 2.2. $(\Omega,\mathcal F,P)$ を確率空間、 $(E,\mathcal E)$ を可測空間とし、 $X_1,X_2,\ldots\colon\Omega\to E$ を可測写像とする。 $\sigma(X_i):=\{X_i^{-1}(B)\mid B\in\mathcal E\}$ と置き、部分シグマ加法族の族 $(\sigma(X_i))_{i\in\NN}$ は相互独立であり、すべての $i\in\NN$ で $X_i$ の法則は同じ確率測度 $\mu$ であるとする。 $h\colon E\to\R$ を可測関数とし、 $Y_i:=h(X_i)$ と置く。このとき $Y_1,Y_2,\ldots$ は独立同分布な実確率変数列である。 $h$ が $\mu$ に関して可積分ならば、 $E[Y_1]=\int_Eh\,d\mu$ である。

証明. $B\subset\R$ を Borel 集合とする。 $h^{-1}(B)\in\mathcal E$ であるから $Y_i^{-1}(B)=X_i^{-1}(h^{-1}(B))\in\sigma(X_i)$ であり、 $P(Y_i\in B)=\mu(h^{-1}(B))$ は $i$ によらない。よって $\sigma(Y_i)\subset\sigma(X_i)$ である。相異なる $i_1,\ldots,i_k\in\NN$ と $A_r\in\sigma(Y_{i_r})$ に対して $A_r\in\sigma(X_{i_r})$ であるから、 $(\sigma(X_i))_{i\in\NN}$ の相互独立性により $P\bigl(\bigcap_{r=1}^kA_r\bigr)=\prod_{r=1}^kP(A_r)$ が成り立つ。§E11.7 定義 1.1により $Y_1,Y_2,\ldots$ は相互独立である。最後の等式は、命題 1.2を $\rho=\mu$ 、 $p\equiv1$ 、 $X=X_1$ に適用して得られる。▨

補題 2.3. $(\Omega,\mathcal F,P)$ を確率空間とする。 $Z\in L^2(P)$ と $c\in\R$ に対して

E[(Z-c)^2]=\operatorname{Var}(Z)+(E[Z]-c)^2

が成り立つ。

証明. 定数関数 $c$ は $L^2(P)$ に属するから $Z-c\in L^2(P)$ であり、§E11.4 命題 1.2により $E[Z-c]=E[Z]-c$ である。§E11.4 命題 2.3により $\operatorname{Var}(Z-c)=E[(Z-c)^2]-(E[Z]-c)^2$ かつ $\operatorname{Var}(Z-c)=\operatorname{Var}(Z)$ であるから、主張の等式を得る。▨

定理 2.4. $Y_1,Y_2,\ldots$ を独立同分布な実確率変数列とし、 $n\in\NN$ に対して $I_n:=n^{-1}\sum_{i=1}^nY_i$ と置く。

$Y_1$ が可積分であり $I:=E[Y_1]$ ならば、任意の $n\in\NN$ に対して $E[I_n]=I$ である。
$Y_1\in L^2(P)$ であり $I:=E[Y_1]$ 、 $\sigma^2:=\operatorname{Var}(Y_1)$ ならば、任意の $n\in\NN$ に対して $\operatorname{Var}(I_n)=\frac{\sigma^2}n,\qquad E[(I_n-I)^2]=\frac{\sigma^2}n,\qquad \bigl(E[(I_n-I)^2]\bigr)^{1/2}=\frac{\sigma}{\sqrt n}$ が成り立つ。ここで $\sigma:=(\sigma^2)^{1/2}$ であり、 $\sigma^2=0$ の場合も含む。
$Y_1$ が可積分であり $I:=E[Y_1]$ ならば、任意の $\ep>0$ に対して $P(|I_n-I|>\ep)\to0$ $(n\to\infty)$ である。

証明.(1)と $\operatorname{Var}(I_n)=\sigma^2/n$ は、§E14.2 命題 1.5を $Y_1,\ldots,Y_n$ に適用して得られる。 $I_n$ は $L^2(P)$ の元の有限一次結合であるから $I_n\in L^2(P)$ であり、補題 2.3を $Z=I_n$ 、 $c=I$ に適用すると、 $E[I_n]=I$ から $E[(I_n-I)^2]=\operatorname{Var}(I_n)=\sigma^2/n$ である。その非負の平方根は $\sigma/\sqrt n$ である。(3)は§E14.2 定理 4.1を $Y_1,Y_2,\ldots$ に適用して得られる。▨

命題 2.5. $\tilde Y_1,\tilde Y_2,\ldots$ を独立同分布な $L^2(P)$ 確率変数列とし、 $\tilde I:=E[\tilde Y_1]$ 、 $\tilde\sigma^2:=\operatorname{Var}(\tilde Y_1)$ 、 $\tilde I_n:=n^{-1}\sum_{i=1}^n\tilde Y_i$ と置く。 $I\in\R$ とする。

任意の $n\in\NN$ に対して $E[(\tilde I_n-I)^2]=\frac{\tilde\sigma^2}n+(\tilde I-I)^2$ が成り立つ。特に $E[(\tilde I_n-I)^2]$ は $n$ について単調非増加であり、 $n\to\infty$ のとき $(\tilde I-I)^2$ に収束する。
$\ep>0$ と $n\in\NN$ に対して、 $E[(\tilde I_n-I)^2]\le\ep^2$ であることは $\tilde\sigma^2\le n\bigl(\ep^2-(\tilde I-I)^2\bigr)$ と同値である。

証明.定理 2.4 (1)と定理 2.4 (2)を $\tilde Y_1,\tilde Y_2,\ldots$ に適用すると $E[\tilde I_n]=\tilde I$ 、 $\operatorname{Var}(\tilde I_n)=\tilde\sigma^2/n$ である。補題 2.3を $Z=\tilde I_n$ 、 $c=I$ に適用すると(1)の等式を得る。 $\tilde\sigma^2/n$ は $n$ について単調非増加で $0$ に収束するから、残りの主張も従う。(2)は、(1)の等式の両辺に $n>0$ を掛けて移項して得られる。▨

注意 2.6. $e,d\in\NN$ とし、 $V_1,V_2,\ldots$ を $\R^e$ に値をとる確率ベクトルであって、 $(\sigma(V_i))_{i\in\NN}$ が相互独立であり、すべての $V_i$ の法則が等しいものとする。Borel 可測写像 $G,\tilde G\colon\R^e\to\R^d$ と Borel 可測関数 $h\colon\R^d\to\R$ をとり、 $h(G(V_1))$ と $h(\tilde G(V_1))$ はともに $L^2(P)$ に属するとする。 $G$ が理想的な変換、 $\tilde G$ が有限格子や求根による近似である場合がこの設定に当たる。命題 2.2により、 $Y_i:=h(G(V_i))$ と $\tilde Y_i:=h(\tilde G(V_i))$ はそれぞれ独立同分布な列である。 $I:=E[Y_1]$ 、 $\tilde I:=E[\tilde Y_1]$ と置き、ある $\beta\ge0$ についてすべての $v\in\R^e$ で $|h(\tilde G(v))-h(G(v))|\le\beta$ が成り立つならば、§E11.4 命題 1.2と積分の単調性から $|\tilde I-I|\le E[|\tilde Y_1-Y_1|]\le\beta$ であり、命題 2.5 (1)により $E[(\tilde I_n-I)^2]\le\tilde\sigma^2/n+\beta^2$ である。

定理 3.1. $Y_1,Y_2,\ldots$ を独立同分布な $L^2(P)$ 確率変数列とし、 $I:=E[Y_1]$ 、 $\sigma^2:=\operatorname{Var}(Y_1)$ 、 $I_n:=n^{-1}\sum_{i=1}^nY_i$ と置く。実数 $v$ は $v\ge\sigma^2$ を満たすとする。

任意の $n\in\NN$ と $\ep>0$ に対して $P(|I_n-I|\ge\ep)\le\frac{\sigma^2}{n\ep^2}\le\frac v{n\ep^2}$ が成り立つ。
$\ep>0$ 、 $0<\delta<1$ とし、 $n\in\NN$ は $n\ge v/(\delta\ep^2)$ を満たすとする。このとき $P(|I_n-I|\ge\ep)\le\delta$ である。この条件を満たす最小の $n\in\NN$ は $\max\{1,\lceil v/(\delta\ep^2)\rceil\}$ である。 $v=0$ ならば、任意の $n\in\NN$ に対して $P(|I_n-I|\ge\ep)=0$ である。

証明.(1)を示す。 $I_n\in L^2(P)$ であり、定理 2.4により $E[I_n]=I$ 、 $\operatorname{Var}(I_n)=\sigma^2/n$ である。§E11.4 系 3.2を $X=I_n$ 、 $t=\ep$ に適用すると第一の不等式を得る。 $\sigma^2\le v$ から第二の不等式を得る。

(2)を示す。 $n\ge v/(\delta\ep^2)$ ならば $v/(n\ep^2)\le\delta$ であるから、(1)により $P(|I_n-I|\ge\ep)\le\delta$ である。 $n\ge v/(\delta\ep^2)$ を満たす $n\in\NN$ の全体は $n\ge\max\{1,\lceil v/(\delta\ep^2)\rceil\}$ を満たす整数の全体である。 $v=0$ ならば(1)の右辺は $0$ である。▨

定理 3.2. $Y_1,Y_2,\ldots$ を独立同分布な実確率変数列とし、実数 $\ell\le u$ は $P(\ell\le Y_1\le u)=1$ を満たすとする。 $I:=E[Y_1]$ 、 $I_n:=n^{-1}\sum_{i=1}^nY_i$ と置く。

$\ell<u$ ならば、任意の $n\in\NN$ と $\ep>0$ に対して $P(|I_n-I|\ge\ep)\le2\exp\!\left(-\frac{2n\ep^2}{(u-\ell)^2}\right)$ が成り立つ。
$\ell<u$ 、 $\ep>0$ 、 $0<\delta<1$ とし、 $n\in\NN$ は $n\ge\frac{(u-\ell)^2}{2\ep^2}\log\frac2\delta$ を満たすとする。このとき $P(|I_n-I|\ge\ep)\le\delta$ である。
$\ell=u$ ならば、任意の $n\in\NN$ に対して $P(I_n=I)=1$ である。

証明. $Y_1$ はほとんど確実に有界であるから可積分であり、 $I$ は定まる。各 $Y_i$ の法則は $Y_1$ の法則に等しいから $P(\ell\le Y_i\le u)=1$ である。 $n\in\NN$ を固定し、§E11.18 定理 3.1を独立な $Y_1,\ldots,Y_n$ と $a_i=\ell$ 、 $b_i=u$ に適用する。このとき $V=n(u-\ell)^2$ であり、 $T_n=\sum_{i=1}^n(Y_i-E[Y_i])=n(I_n-I)$ である。

(1)を示す。 $\ell<u$ ならば $V>0$ であり、 $\{|I_n-I|\ge\ep\}=\{|T_n|\ge n\ep\}$ に両側の評価を適用すると

P(|I_n-I|\ge\ep)\le2\exp\!\left(-\frac{2n^2\ep^2}{n(u-\ell)^2}\right)=2\exp\!\left(-\frac{2n\ep^2}{(u-\ell)^2}\right)

を得る。

(2)を示す。 $n$ に関する仮定は $2n\ep^2/(u-\ell)^2\ge\log(2/\delta)$ と同値であるから、(1)の右辺は $2\exp(-\log(2/\delta))=\delta$ 以下である。

(3)を示す。 $\ell=u$ ならば $V=0$ であるから、 $T_n=0$ 、すなわち $I_n=I$ がほとんど確実に成り立つ。▨

補題 3.3. $(\Omega,\mathcal F,P)$ を確率空間とし、実数 $\ell\le u$ と実確率変数 $Y$ が $P(\ell\le Y\le u)=1$ を満たすとする。このとき $Y\in L^2(P)$ であり、 $\operatorname{Var}(Y)\le(u-\ell)^2/4$ である。

証明. 演習とする（問題 8.1）。▨

例 3.4. $Y_1,Y_2,\ldots$ を独立同分布な実確率変数列とし、 $P(0\le Y_1\le1)=1$ とする。 $I:=E[Y_1]$ 、 $I_n:=n^{-1}\sum_{i=1}^nY_i$ と置き、 $\ep>0$ 、 $0<\delta<1$ とする。

補題 3.3により $\operatorname{Var}(Y_1)\le1/4$ であるから、定理 3.1 (2)を $v=1/4$ として適用すると、 $n\ge1/(4\delta\ep^2)$ ならば $P(|I_n-I|\ge\ep)\le\delta$ である。定理 3.2 (2)を $\ell=0$ 、 $u=1$ として適用すると、 $n\ge\log(2/\delta)/(2\ep^2)$ ならば同じ不等式が成り立つ。二つの十分条件の右辺の比は $\frac{\log(2/\delta)/(2\ep^2)}{1/(4\delta\ep^2)}=2\delta\log\frac2\delta$ である。 $\delta=0.05$ のときこの比は約 $0.369$ であり、 $\ep=0.01$ に対して十分条件は Chebyshev 評価で $n\ge50000$ 、Hoeffding 評価で $n\ge18445$ である。 $\delta=0.5$ のときこの比は約 $1.386$ であり、 $\ep=0.01$ に対して十分条件は Chebyshev 評価で $n\ge5000$ 、Hoeffding 評価で $n\ge6932$ である。
分散の上界 $v=0.01$ が別に分かっているとき、定理 3.1 (2)により、 $\delta=0.05$ 、 $\ep=0.01$ に対して $n\ge2000$ で $P(|I_n-I|\ge\ep)\le\delta$ である。この十分条件は、値域 $[0,1]$ だけを用いた(1)のいずれの十分条件よりも小さい。

定理 4.1. $Y_1,Y_2,\ldots$ を独立同分布な $L^2(P)$ 確率変数列とし、 $I:=E[Y_1]$ 、 $\sigma^2:=\operatorname{Var}(Y_1)$ 、 $I_n:=n^{-1}\sum_{i=1}^nY_i$ と置く。整数 $n\ge2$ に対して

S_n^2:=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(Y_i-I_n)^2,\qquad S_n:=(S_n^2)^{1/2}

と置く。 $\Phi$ を標準正規分布の分布関数とし、 $0<\delta<1$ に対して $z\in\R$ を $\Phi(z)=1-\delta/2$ を満たす実数とする。整数 $n\ge2$ に対して閉区間

C_n:=\Bigl[I_n-\frac{zS_n}{\sqrt n},\ I_n+\frac{zS_n}{\sqrt n}\Bigr]

を定める。

任意の整数 $n\ge2$ に対して $E[S_n^2]=\sigma^2$ であり、 $n\to\infty$ のとき $S_n^2\xrightarrow{P}\sigma^2$ である。
$\sigma^2>0$ ならば、 $n\to\infty$ のとき $P(I\in C_n)\to1-\delta$ である。
$\sigma^2=0$ ならば、任意の整数 $n\ge2$ に対して $P(I\in C_n)=1$ である。

証明. 標準正規分布の密度 $x\mapsto(2\pi)^{-1/2}e^{-x^2/2}$ は正値かつ偶関数であるから、 $\Phi$ は連続かつ狭義単調増加であり、すべての $x\in\R$ で $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$ を満たす。したがって $z$ はただ一つ定まる。

(1)を示す。§E14.2 命題 1.6と§E14.2 命題 5.3を $Y_1,Y_2,\ldots$ に適用すると主張を得る。

(2)を示す。 $\sigma^2>0$ とする。整数 $n\ge2$ に対して、 $S_n>0$ の事象上で $R_n:=\sqrt n(I_n-I)/S_n$ 、 $S_n=0$ の事象上で $R_n:=0$ と置く。§E14.2 命題 5.3により $R_n\xrightarrow{d}N(0,1)$ である。 $\Phi$ はすべての点で連続であるから、任意の $x\in\R$ に対して $P(R_n\le x)\to\Phi(x)$ である。 $\eta>0$ に対して

P(R_n\le-z-\eta)\le P(R_n<-z)\le P(R_n\le-z)

であるから、 $\Phi(-z-\eta)\le\liminf_nP(R_n<-z)\le\limsup_nP(R_n<-z)\le\Phi(-z)$ であり、 $\eta\downarrow0$ として $\Phi$ の連続性から $P(R_n<-z)\to\Phi(-z)$ を得る。したがって

P(|R_n|\le z)=P(R_n\le z)-P(R_n<-z)\to\Phi(z)-\Phi(-z)=2\Phi(z)-1=1-\delta

である。 $S_n>0$ の事象上では、 $I\in C_n$ であることは $|I_n-I|\le zS_n/\sqrt n$ 、すなわち $|R_n|\le z$ と同値である。よって事象 $\{I\in C_n\}$ と $\{|R_n|\le z\}$ は $\{S_n=0\}$ の外で一致し、

\bigl|P(I\in C_n)-P(|R_n|\le z)\bigr|\le P(S_n=0)

である。 $\{S_n=0\}\subset\{|S_n^2-\sigma^2|>\sigma^2/2\}$ であり、(1)により右辺の事象の確率は $0$ に収束する。したがって $P(I\in C_n)\to1-\delta$ である。

(3)を示す。 $\sigma^2=0$ とする。各 $i$ について $Y_i$ の法則は $Y_1$ の法則に等しいから $\operatorname{Var}(Y_i)=0$ であり、§E11.4 系 3.2により任意の $k\in\NN$ に対して $P(|Y_i-I|\ge1/k)=0$ である。 $k$ について和事象をとると $P(Y_i\ne I)=0$ である。よって $I_n=I$ がほとんど確実に成り立つ。 $zS_n/\sqrt n\ge0$ であるから $I_n\in C_n$ であり、 $P(I\in C_n)=1$ を得る。▨

注意 4.2.定理 4.1の設定で $n\ge2$ を固定する。 $Y_1$ の法則を固定し、 $\theta\in\R$ に対して $P_\theta$ を $(Y_1-I+\theta,\ldots,Y_n-I+\theta)$ の $\R^n$ 上の法則とする。 $x\in\R^n$ に対して $\bar x:=n^{-1}\sum_{i=1}^nx_i$ 、 $s(x):=\bigl((n-1)^{-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2\bigr)^{1/2}$ 、 $C(x):=[\bar x-zs(x)/\sqrt n,\ \bar x+zs(x)/\sqrt n]$ と置くと、 $C(x)$ は空でない閉区間であり、 $\bar x$ と $s$ は連続であるから $\{x\mid\theta\in C(x)\}$ は閉集合である。すべての座標に同じ実数を加えると $\bar x$ はその実数だけずれ、 $s(x)$ は変わらないので、§E14.18 定義 1.1の意味の被覆確率 $P_\theta(\{x\mid\theta\in C(x)\})$ は、すべての $\theta$ において $P(I\in C_n)$ に等しい。定理 4.1 (2)はこの被覆確率の極限を与え、命題 5.2 (1)は固定した $n$ で被覆確率が $1-\delta$ より小さくなる出力の法則を与える。区間の幅 $2zS_n/\sqrt n$ は標本から計算される確率変数であり、定理 3.1と定理 3.2が用いる $v$ 、 $\ell$ 、 $u$ は標本によらない実数である。

例 5.1. $d\in\NN$ とし、 $D\subset\R^d$ を $0<\lambda(D)<\infty$ を満たす Lebesgue 可測集合、 $\mathcal A$ を $D$ に含まれる Lebesgue 可測集合だけからなる $D$ 上のシグマ加法族とする。 $U_1,U_2,\ldots\colon\Omega\to D$ はそれぞれ $\mathcal A$ に関して $D$ 上の一様分布に従い、 $(\sigma(U_i))_{i\in\NN}$ は相互独立であるとする。ここで $\sigma(U_i):=\{U_i^{-1}(A)\mid A\in\mathcal A\}$ である。 $A\in\mathcal A$ と $0<p<1$ は $\lambda(A)=p\lambda(D)$ を満たすとし、 $Y_i:=\mathbf 1_A(U_i)$ 、 $I_n:=n^{-1}\sum_{i=1}^nY_i$ と置き、整数 $n\ge2$ に対して $S_n$ を定理 4.1と同じく定める。たとえば $D=(0,1]^d$ 、 $A=(0,a]^d$ （ $0<a<1$ ）とすると $p=a^d$ である。

すべての $U_i$ の法則は $A'\mapsto\lambda(A')/\lambda(D)$ $(A'\in\mathcal A)$ に等しいから、命題 2.2により $Y_1,Y_2,\ldots$ は独立同分布である。 $P(Y_1=1)=P(U_1\in A)=p$ 、 $P(Y_1=0)=1-p$ であり、 $Y_1^2=Y_1$ から $E[Y_1]=E[Y_1^2]=p$ 、§E11.4 命題 2.3により $\operatorname{Var}(Y_1)=p(1-p)$ である。定理 2.4 (2)により $E[(I_n-p)^2]=\frac{p(1-p)}n,\qquad\frac{E[(I_n-p)^2]}{p^2}=\frac{1-p}{np}$ である。相対的な二乗平均平方根誤差 $\bigl(E[(I_n-p)^2]\bigr)^{1/2}/p$ が $r>0$ 以下であることは $n\ge(1-p)/(pr^2)$ と同値である。 $p=10^{-6}$ 、 $r=0.1$ では、この条件は $n\ge10^8-100$ である。
事象 $E_0:=\{Y_1=\cdots=Y_n=0\}$ の確率は、 $\{Y_i=0\}\in\sigma(Y_i)$ と相互独立性から $(1-p)^n$ である。 $E_0$ 上では $I_n=0$ であり、 $n\ge2$ ならば $S_n=0$ である。 $E_0$ 上で相対誤差 $|I_n-p|/p$ は $1$ に等しい。 $0<y$ に対する $\log y\le y-1$ を $y=1-p$ と $y=1/(1-p)$ に適用すると $-p/(1-p)\le\log(1-p)\le-p$ であるから、 $e^{-np/(1-p)}\le(1-p)^n\le e^{-np}$ である。 $p=10^{-6}$ 、 $n=10^6$ ではこの確率は $e^{-1/(1-10^{-6})}$ 以上 $e^{-1}$ 以下であり、約 $0.368$ である。

命題 5.2. $0<p<1$ とし、 $Y_1,Y_2,\ldots$ を独立同分布な実確率変数列で $P(Y_1=1)=p$ 、 $P(Y_1=0)=1-p$ を満たすものとする。整数 $n\ge2$ に対して $I_n$ 、 $S_n$ を定理 4.1のとおりに定め、 $0<\delta<1$ とする。

任意の実数 $c\ge0$ に対して $P\bigl(p\in[I_n-cS_n,\ I_n+cS_n]\bigr)\le1-(1-p)^n$ が成り立つ。特に $p<1-\delta^{1/n}$ ならば、左辺は $1-\delta$ より小さい。
実数 $v>0$ が $v\ge p(1-p)$ を満たすならば、 $P\Bigl(p\in\Bigl[I_n-\sqrt{\frac v{\delta n}},\ I_n+\sqrt{\frac v{\delta n}}\Bigr]\Bigr)\ge1-\delta$ が成り立つ。

証明.(1)を示す。 $E_0:=\{Y_1=\cdots=Y_n=0\}$ と置く。例 5.1 (2)と同じく、 $P(E_0)=(1-p)^n$ であり、 $E_0$ 上では $I_n=0$ 、 $S_n=0$ であるから区間 $[I_n-cS_n,I_n+cS_n]$ は $\{0\}$ に等しい。 $p\ne0$ であるから $E_0\subset\{p\notin[I_n-cS_n,I_n+cS_n]\}$ であり、主張の不等式を得る。 $p<1-\delta^{1/n}$ ならば $(1-p)^n>\delta$ であるから、右辺は $1-\delta$ より小さい。

(2)を示す。 $\operatorname{Var}(Y_1)=p(1-p)\le v$ である。 $\ep:=\sqrt{v/(\delta n)}$ と置くと $n=v/(\delta\ep^2)$ であるから、定理 3.1 (2)により $P(|I_n-p|\ge\ep)\le\delta$ である。 $\{|I_n-p|<\ep\}$ は $p$ が主張の閉区間に属する事象に含まれるから、主張を得る。▨

注意 5.3. $c=z/\sqrt n$ とした命題 5.2 (1)の区間は定理 4.1の $C_n$ であり、 $c=1/\sqrt{\delta n}$ とした命題 5.2 (1)の区間は命題 5.2 (2)の区間で $v$ を $S_n^2$ に置き換えたものである。命題 5.2 (1)の $p$ は $n$ に応じて選ばれており、 $p$ を固定すると $(1-p)^n\to0$ $(n\to\infty)$ である。

命題 6.1. $n\in\NN$ とし、 $c_0,c_f,c_a\ge0$ を実数とする。 $I_n$ の計算は、前処理を1回、出力の元になる標本の生成を $n$ 個、関数 $h$ の評価を $n$ 回、 $n-1$ 回の加算と1回の除算を行うものとし、前処理の費用を $c_0$ 、 $h$ の評価1回の費用を $c_f$ 、加算または除算1回の費用を $c_a$ とする。

標本1個の生成費用が定数 $c_s\ge0$ であるとき、 $I_n$ の計算費用は $c_0+n(c_s+c_f+c_a)$ である。
$d\in\NN$ とし、 $q,g\colon\R^d\to[0,\infty)$ 、 $M>0$ 、確率ベクトル $Z_k$ と確率変数 $V_k$ $(k\in\NN)$ は、§E20.34 定理 2.2の $f,g,M,Y_k,V_k$ に対する仮定を $f=q$ 、 $Y_k=Z_k$ として満たすとし、同定理の $T_s$ 、 $X_s$ $(s\in\NN)$ を用いる。 $h\colon\R^d\to\R$ は Borel 可測であり $\int_{\R^d}|h(x)|q(x)\,dx<\infty$ を満たすとする。このとき $h(X_1),h(X_2),\ldots$ は独立同分布であり、 $E[h(X_1)]=\int_{\R^d}h(x)q(x)\,dx$ である。試行1回の費用が定数 $c\ge0$ であるとき、 $h(X_1),\ldots,h(X_n)$ から $I_n$ を計算する費用 $W_n:=c_0+cT_n+n(c_f+c_a)$ は確率変数であり、 $E[W_n]=c_0+nMc+n(c_f+c_a)$ が成り立つ。
(2)の設定で $M>1$ 、 $c>0$ ならば、任意の実数 $w$ に対して $P(W_n>w)>0$ である。

証明.(1)を示す。費用は前処理の $c_0$ 、生成の $nc_s$ 、評価の $nc_f$ 、加算と除算の $(n-1)c_a+c_a$ の和である。

(2)を示す。§E20.34 定理 2.2 (3)により、各 $r\in\NN$ に対して $\sigma(X_1),\ldots,\sigma(X_r)$ は相互独立であり、各 $X_s$ は密度 $q$ をもつ。相異なる有限個の添字はある $\{1,\ldots,r\}$ に含まれるから、§E11.7 定義 1.1により $(\sigma(X_s))_{s\in\NN}$ は相互独立である。各 $X_s$ の法則は Borel 集合 $B$ に $\int_Bq(x)\,dx$ を対応させる確率測度 $\mu$ である。命題 2.2により $h(X_1),h(X_2),\ldots$ は独立同分布である。命題 1.2を $\R^d$ の Borel 集合族上の Lebesgue 測度 $\rho$ 、 $p=q$ 、 $X=X_1$ に適用すると、 $E[h(X_1)]=\int_{\R^d}h(x)q(x)\,dx$ である。§E20.34 定理 2.2 (2)により $T_n$ は確率変数であり、 $W_n$ も確率変数である。§E20.34 定理 2.2 (4)により $E[T_n]=nM$ であるから、§E11.4 命題 1.2により $E[W_n]=c_0+nMc+n(c_f+c_a)$ である。

(3)を示す。 $k\in\NN$ とする。§E20.34 定理 2.2 (2)を $r=1$ 、 $B_1=\R^d$ として適用すると、 $j\in\NN$ に対して $P(T_1=j)=(1-1/M)^{j-1}M^{-1}$ であるから

P(T_1>k)=\sum_{j=k+1}^\infty\Bigl(1-\frac1M\Bigr)^{j-1}\frac1M=\Bigl(1-\frac1M\Bigr)^k>0

である。 $T_1,T_2,\ldots$ の定義に用いた集合 $K(\omega)$ が無限集合となる事象は確率 $1$ であり（§E20.34 定理 2.2 (2)）、その事象上では $T_n\ge T_1$ である。よって $P(T_n>k)\ge P(T_1>k)>0$ である。実数 $w$ に対して $k\in\NN$ を $ck\ge w-c_0-n(c_f+c_a)$ を満たすようにとると、 $\{T_n>k\}\subset\{W_n>w\}$ であるから $P(W_n>w)>0$ である。▨

注意 6.2.定理 2.4 (2)により、 $\sigma^2>0$ と $\ep>0$ に対して $E[(I_n-I)^2]\le\ep^2$ を満たす最小の $n\in\NN$ は $\lceil\sigma^2/\ep^2\rceil$ である。出力1個あたりの期待費用を $\kappa$ とすると、この $n$ に対する期待仕事量は $c_0+\lceil\sigma^2/\ep^2\rceil\kappa$ であり、命題 6.1 (1)では $\kappa=c_s+c_f+c_a$ 、命題 6.1 (2)では $\kappa=Mc+c_f+c_a$ である。 $\kappa\ge0$ と $\lceil x\rceil<x+1$ から $\sigma^2\kappa/\ep^2\le\lceil\sigma^2/\ep^2\rceil\kappa\le\sigma^2\kappa/\ep^2+\kappa$ である。同じ $I$ を与え、分散と期待費用がそれぞれ $\sigma_1^2,\kappa_1$ と $\sigma_2^2,\kappa_2$ である二つの出力が $\sigma_1^2\kappa_1<\sigma_2^2\kappa_2$ を満たすとき、 $\ep^2\kappa_1<\sigma_2^2\kappa_2-\sigma_1^2\kappa_1$ を満たす任意の $\ep>0$ に対して、上の両側の評価から $\lceil\sigma_1^2/\ep^2\rceil\kappa_1<\lceil\sigma_2^2/\ep^2\rceil\kappa_2$ である。固定した $\ep$ ではこの順序は積 $\sigma^2\kappa$ の順序と一致するとは限らず、 $\sigma_1^2=1.1$ 、 $\kappa_1=1$ 、 $\sigma_2^2=0.6$ 、 $\kappa_2=1.9$ 、 $\ep=1$ では $\sigma_1^2\kappa_1<\sigma_2^2\kappa_2$ であるが $\lceil\sigma_1^2\rceil\kappa_1=2>1.9=\lceil\sigma_2^2\rceil\kappa_2$ である。命題 6.1 (2)で $M>1$ かつ $c>0$ ならば、命題 6.1 (3)により仕事量 $W_n$ は確定した上界をもたない。

補題 7.1. $d\in\NN$ とし、 $V_1,\ldots,V_d$ を実確率変数とする。 $\sigma(V_1),\ldots,\sigma(V_d)$ は相互独立であり、各 $V_j$ は $U[0,1]$ に従う、すなわち任意の $t\in\R$ に対して $P(V_j\le t)=\min\{\max\{t,0\},1\}$ を満たすとする。 $V:=(V_1,\ldots,V_d)$ と置く。

$V$ は確率ベクトルであり、任意の Borel 集合 $B\subset\R^d$ に対して $P(V\in B)=\lambda(B\cap(0,1]^d)$ が成り立つ。
$\lambda([0,1]^d\setminus(0,1]^d)=0$ である。Borel 可測関数 $h\colon\R^d\to\R$ が $\int_{[0,1]^d}|h|\,d\lambda<\infty$ を満たすならば、 $h(V)$ は可積分であり、 $E[h(V)]=\int_{[0,1]^d}h\,d\lambda,\qquad E[h(V)^2]=\int_{[0,1]^d}h^2\,d\lambda$ が成り立つ。第二の等式は $[0,\infty]$ における等式である。

証明.(1)を示す。半開直方体 $Q=\prod_{j=1}^d(a_j,b_j]$ に対して $V^{-1}(Q)=\bigcap_{j=1}^d\{a_j<V_j\le b_j\}\in\mathcal F$ である。 $V^{-1}(B)\in\mathcal F$ を満たす Borel 集合 $B$ の全体はシグマ加法族であり、半開直方体をすべて含むから、半開直方体の有限非交和の全体 $\mathcal R_d$ を含む。§E9.4 定理 3.3により、このシグマ加法族は $\mathcal B(\R^d)$ に等しく、 $V$ は確率ベクトルである。

Borel 集合 $B$ に対して $\mu(B):=P(V\in B)$ 、 $\nu(B):=\lambda(B\cap(0,1]^d)$ と置く。 $\lambda$ は§E9.4 定理 3.4の $\lambda_d^B$ の完備化であり Borel 集合上で $\lambda_d^B$ に一致するから、 $\nu$ は $\mathcal B(\R^d)$ 上の測度であり、 $\nu(\R^d)=1$ である。 $F(t):=\min\{\max\{t,0\},1\}$ と置くと、 $a<b$ に対して $F(b)-F(a)=\max\{\min\{b,1\}-\max\{a,0\},0\}$ である。半開直方体 $Q=\prod_{j=1}^d(a_j,b_j]$ に対して、 $\sigma(V_1),\ldots,\sigma(V_d)$ の相互独立性から

\mu(Q)=\prod_{j=1}^dP(a_j<V_j\le b_j)=\prod_{j=1}^d\bigl(F(b_j)-F(a_j)\bigr)

である。 $Q\cap(0,1]^d$ は、すべての $j$ で $\max\{a_j,0\}<\min\{b_j,1\}$ ならば半開直方体 $\prod_{j=1}^d(\max\{a_j,0\},\min\{b_j,1\}]$ であり、そうでなければ空集合であるから、§E9.4 定理 3.4により $\nu(Q)=\prod_{j=1}^d\max\{\min\{b_j,1\}-\max\{a_j,0\},0\}=\mu(Q)$ である。半開直方体と空集合からなる族 $\mathcal P$ は、二つの半開直方体の共通部分が半開直方体または空集合であるから π 系である。 $\mu$ と $\nu$ はともに全質量 $1$ の測度であるから、 $\mu(B)=\nu(B)$ を満たす Borel 集合 $B$ の全体 $\mathcal D$ は Dynkin 系であり、 $\mathcal P\subset\mathcal D$ である。§E9.1 定理 4.8により $\sigma(\mathcal P)\subset\mathcal D$ であり、 $\mathcal P\subset\mathcal R_d\subset\sigma(\mathcal P)$ と§E9.4 定理 3.3により $\sigma(\mathcal P)=\mathcal B(\R^d)$ である。よって $\mu=\nu$ である。

(2)を示す。任意の $\eta>0$ に対して $(0,1]^d\subset[0,1]^d\subset(-\eta,1]^d$ であるから、§E9.4 定理 3.4により $1\le\lambda([0,1]^d)\le(1+\eta)^d$ である。 $\eta>0$ は任意であるから $\lambda([0,1]^d)=1=\lambda((0,1]^d)$ であり、 $\lambda([0,1]^d\setminus(0,1]^d)=0$ である。 $\mathcal L_d$ を Lebesgue 可測集合全体、 $\rho$ を $\lambda$ の $\mathcal B(\R^d)$ への制限とすると、恒等写像 $(\R^d,\mathcal L_d)\to(\R^d,\mathcal B(\R^d))$ は可測であり $\lambda$ を $\rho$ に写す。§E9.6 定理 5.3 (1)と§E9.6 定理 5.3 (2)により、Borel 可測関数の $\rho$ に関する積分と $\lambda$ に関する積分は、非負の場合と可積分な場合に一致する。 $p:=\mathbf 1_{(0,1]^d}$ と置くと、(1)により任意の Borel 集合 $B$ に対して $P(V\in B)=\int_Bp\,d\rho$ であり、 $\lambda([0,1]^d\setminus(0,1]^d)=0$ から $\int_{\R^d}|h|p\,d\rho=\int_{[0,1]^d}|h|\,d\lambda<\infty$ である。命題 1.2を適用すると、主張の二つの等式を得る。▨

例 7.2. $d\in\NN$ とする。実確率変数 $V_{i,j}$ $(i\in\NN,\ 1\le j\le d)$ について、 $(\sigma(V_{i,j}))_{(i,j)\in\NN\times\{1,\ldots,d\}}$ は相互独立であり、各 $V_{i,j}$ は $U[0,1]$ に従うとする。 $V_i:=(V_{i,1},\ldots,V_{i,d})$ 、 $Y_i:=V_{i,1}V_{i,2}\cdots V_{i,d}$ 、 $I_n:=n^{-1}\sum_{i=1}^nY_i$ と置く。

§E20.34 命題 2.1 (2)を添字の組 $\{(i,1),\ldots,(i,d)\}$ $(i\in\NN)$ と恒等写像に適用すると、 $(\sigma(V_i))_{i\in\NN}$ は相互独立である。補題 7.1 (1)により、すべての $V_i$ の法則は $B\mapsto\lambda(B\cap(0,1]^d)$ に等しい。命題 2.2を Borel 可測関数 $x\mapsto x_1\cdots x_d$ に適用すると $Y_1,Y_2,\ldots$ は独立同分布であり、補題 7.1 (2)により $I:=E[Y_1]=\int_{[0,1]^d}x_1\cdots x_d\,dx,\qquad E[Y_1^2]=\int_{[0,1]^d}x_1^2\cdots x_d^2\,dx$ である。補題 7.1 (2)を $d=1$ として適用すると、 $E[V_{1,j}]=\int_{[0,1]}t\,dt=1/2$ 、 $E[V_{1,j}^2]=\int_{[0,1]}t^2\,dt=1/3$ である。 $2\le k\le d$ に対して§E20.34 命題 2.1 (2)を添字の組 $\{(1,1),\ldots,(1,k-1)\}$ と $\{(1,k)\}$ および Borel 可測写像 $(x_1,\ldots,x_{k-1})\mapsto x_1\cdots x_{k-1}$ と恒等写像に適用すると、 $V_{1,1}\cdots V_{1,k-1}$ と $V_{1,k}$ は独立である。どちらもほとんど確実に $[0,1]$ に値をとるから可積分であり、§E11.7 定理 3.1を $k=2,\ldots,d$ の順に適用すると $I=2^{-d}$ である。写像を $(x_1,\ldots,x_{k-1})\mapsto x_1^2\cdots x_{k-1}^2$ と $x\mapsto x^2$ に替えて同じく適用すると、 $E[Y_1^2]=3^{-d}$ である。§E11.4 命題 2.3により $\operatorname{Var}(Y_1)=3^{-d}-4^{-d}$ である。
定理 2.4 (2)により $E[(I_n-2^{-d})^2]=\frac{3^{-d}-4^{-d}}n,\qquad\frac{E[(I_n-2^{-d})^2]}{4^{-d}}=\frac{(4/3)^d-1}n$ である。相対的な二乗平均平方根誤差を $r>0$ 以下にする条件は $n\ge((4/3)^d-1)/r^2$ である。 $r=0.1$ のとき、この右辺は $d=1$ で約 $33.3$ 、 $d=10$ で約 $1675.8$ 、 $d=50$ で約 $1.766\times10^8$ である。
出力1個の計算は $U[0,1]$ に従う値 $d$ 個の生成と $d-1$ 回の乗算からなる。値1個の生成費用を $c_u$ 、乗算・加算・除算1回の費用を $c_a$ とすると、命題 6.1 (1)において $c_s+c_f=dc_u+(d-1)c_a$ であり、前処理のない $I_n$ の計算費用は $nd(c_u+c_a)$ である。

注意 7.3. $a<b$ を実数、 $f\colon[a,b]\to\R$ を $C^2$ 級の関数、 $N\in\NN$ 、 $h:=(b-a)/N$ とする。合成台形則 $T_h(f)$ は $f$ の $m:=N+1$ 回の評価を用い、§E20.20 定理 2.3 (2)により

\Bigl|\int_a^bf(x)\,dx-T_h(f)\Bigr|\le\frac{(b-a)^3}{12N^2}\max_{[a,b]}|f''|=\frac{(b-a)^3}{12(m-1)^2}\max_{[a,b]}|f''|

が成り立つ。この上界は確定的であり、 $m$ について $(m-1)^{-2}$ の割合で減少する。分散 $\sigma^2$ の独立同分布な出力 $m$ 個を用いる $I_m$ の二乗平均平方根誤差は定理 2.4 (2)により $\sigma/\sqrt m$ であり、 $m$ について $m^{-1/2}$ の割合で減少する。 $[0,1]^d$ の各座標に $N+1$ 個の節点をとる直積格子の点数は $(N+1)^d$ であり、 $N=1$ でも $2^d$ 点、 $d=50$ では約 $1.126\times10^{15}$ 点である。 $\sigma/\sqrt m$ の指数 $-1/2$ は $d$ によらないが、例 7.2 (2)の相対分散 $(4/3)^d-1$ と例 7.2 (3)の出力1個あたりの費用は $d$ とともに増加する。

問題 8.1.補題 3.3の証明を完成させよ。

問題 8.2.例 5.1の設定で $p\le1/2$ とする。 $n\in\NN$ が $np\le1$ を満たすならば $P(|I_n-p|\ge p)\ge e^{-2}$ であることを示せ。

§E20.35Monte Carlo 積分

1 積分の期待値表示

2 Monte Carlo 推定量と平均二乗誤差

3 有限標本の確率上界

4 標本分散による漸近区間

5 希少事象

6 標本生成を含む費用

7 次元と求積との比較

8 演習

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