常微分方程式の一段法 | 数値解析 I

1 一段法と局所打切り誤差

定義 1.1. $d\in\NN$ とし、 $\R^d$ にノルム $\|\cdot\|$ を固定する。 $\Omega\subseteq\R\times\R^d$ を開集合、 $f\colon\Omega\to\R^d$ を連続写像とする。

集合 $D\subseteq\Omega\times(0,\infty)$ と写像 $\Phi\colon D\to\R^d$ の組を $f$ に対する増分関数 (increment function) といい、 $(t,u,h)\in D$ に対して $\Psi_h(t,u):=u+h\Phi(t,u,h)$ と置き、 $\Psi_h$ を一歩写像 (one-step map) という。 $N\in\NN$ 、格子 $t_0<t_1<\dots<t_N$ 、 $h_n:=t_{n+1}-t_n$ と初期値 $y_0\in\R^d$ に対し、 $(t_n,y_n,h_n)\in D$ である限り $y_{n+1}:=\Psi_{h_n}(t_n,y_n)$ と定める。各 $d\in\NN$ 、各開集合 $\Omega\subseteq\R\times\R^d$ と、連続写像 $f\colon\Omega\to\R^d$ のうち定められたクラスに属する各 $f$ に対して増分関数を一つずつ対応させる規則を一段法 (one-step method) という。
$t_0<T$ とし、 $J\supseteq[t_0,T]$ を開区間、 $y\colon J\to\R^d$ を、任意の $\tau\in J$ について $(\tau,y(\tau))\in\Omega$ と $y'(\tau)=f(\tau,y(\tau))$ を満たす $C^1$ 級写像とする。 $t\in[t_0,T)$ と $0<h\le T-t$ が $(t,y(t),h)\in D$ を満たすとき、 $\delta_y(t,h):=y(t+h)-\Psi_h(t,y(t))$ を、解 $y$ の点 $t$ 、刻み $h$ における局所打切り誤差 (local truncation error) という。 $[t_0,T]$ の格子 $t_0<\dots<t_N=T$ については $d_n:=\delta_y(t_n,h_n)$ と書く。
$p\in\NN$ とする。一段法が次を満たすとき、その局所次数 (local order) は $p$ 以上であるという。任意の $d\in\NN$ 、 $\R^d$ の任意のノルム、任意の開集合 $\Omega\subseteq\R\times\R^d$ 、一段法のクラスに属する任意の $f\in C^p(\Omega;\R^d)$ 、任意の $t_0<T$ と、 $[t_0,T]$ を含む開区間 $J$ 上で定義され、任意の $\tau\in J$ について $(\tau,y(\tau))\in\Omega$ と $y'(\tau)=f(\tau,y(\tau))$ を満たす任意の $C^1$ 級写像 $y$ に対して、 $C\ge0$ と $h_0>0$ が存在し、 $t\in[t_0,T)$ と $0<h\le\min\{h_0,T-t\}$ を満たす任意の $t,h$ について $(t,y(t),h)\in D$ かつ $\|\delta_y(t,h)\|\le Ch^{p+1}$ が成り立つ。局所次数が $p$ 以上であり $p+1$ 以上でないとき、局所次数は $p$ であるという。

注意 1.2. $\delta_y(t,h)/h$ を局所打切り誤差と呼ぶ文献もあり、その流儀では局所次数 $p$ の条件は $\|\delta_y(t,h)/h\|\le Ch^p$ と書かれる。格子点での誤差 $y(t_n)-y_n$ を局所打切り誤差と増分関数の状態変数に関する Lipschitz 性から評価することは「一段法の安定性と収束」で扱う。

定義 1.3. $d\in\NN$ とし、 $\Omega\subseteq\R\times\R^d$ を開集合、 $f\colon\Omega\to\R^d$ を連続写像とする。 $D:=\Omega\times(0,\infty)$ 上の増分関数 $\Phi(t,u,h):=f(t,u)$ を対応させる一段法を前進 Euler 法 (forward Euler method) という。格子 $t_0<\dots<t_N$ と初期値 $y_0$ に対する近似値は、 $(t_n,y_n)\in\Omega$ である限り

y_{n+1}=y_n+h_nf(t_n,y_n)

で定まり、一歩ごとに $f$ を1回評価する。

補題 1.4. $m\in\NN$ とし、 $\R^m$ にノルム $\|\cdot\|$ を固定する。 $K\subseteq\R^m$ をコンパクト集合とし、 $\rho\ge0$ に対して

K^\rho:=\{x\in\R^m\mid \|x-x'\|\le\rho\ \text{を満たす}\ x'\in K\ \text{が存在する}\}

と置く。このとき、任意の $\rho\ge0$ について $K^\rho$ はコンパクトである。さらに、 $U\subseteq\R^m$ が $K\subseteq U$ を満たす開集合ならば、 $K^\rho\subseteq U$ を満たす $\rho>0$ が存在する。

証明.問題 6.1の演習とする。▨

補題 1.5. $m,n\in\NN$ とし、 $\R^m$ と $\R^n$ にノルム $\|\cdot\|$ を固定する。 $r\in\N$ とする。

$J\subseteq\R$ を開区間、 $x\in C^{r+1}(J;\R^n)$ とし、 $\tau\in J$ と $h\in\R$ が $\tau+h\in J$ を満たすとする。このとき $\Bigl\|x(\tau+h)-\sum_{j=0}^r\frac{h^j}{j!}x^{(j)}(\tau)\Bigr\|\le\frac{|h|^{r+1}}{(r+1)!}\max_{0\le\theta\le1}\|x^{(r+1)}(\tau+\theta h)\|$ が成り立つ。
$U\subseteq\R^m$ を開集合、 $g\in C^{r+1}(U;\R^n)$ 、 $K'\subseteq U$ をコンパクト集合とする。このとき $C\ge0$ が存在して、 $x+\theta z\in K'$ （ $0\le\theta\le1$ ）を満たす任意の $x,z\in\R^m$ について $\Bigl\|g(x+z)-\sum_{k=0}^r\frac1{k!}D^kg(x)[z,\dots,z]\Bigr\|\le C\|z\|^{r+1}$ が成り立つ。 $k=0$ の項は $g(x)$ と読む。

証明.(1)を示す。 $J$ は区間であるから $\tau$ と $\tau+h$ を結ぶ線分は $J$ に含まれる。 $x$ の各成分に§E4.5 定理 1.1を定義域 $J\subseteq\R$ 、展開点 $\tau$ 、増分 $h$ として適用し、一変数では $D^jx_l(\tau)[h,\dots,h]=h^jx_l^{(j)}(\tau)$ であることを用いると、成分ごとの積分として

x(\tau+h)-\sum_{j=0}^r\frac{h^j}{j!}x^{(j)}(\tau)=\frac{h^{r+1}}{r!}\int_0^1(1-\theta)^rx^{(r+1)}(\tau+\theta h)\,d\theta

を得る。連続写像 $v\colon[0,1]\to\R^n$ について、Riemann 和 $S_N:=\frac1N\sum_{k=1}^Nv(k/N)$ は成分ごとに $\int_0^1v(\theta)\,d\theta$ へ収束し、 $\|S_N\|\le\frac1N\sum_{k=1}^N\|v(k/N)\|$ の右辺は $\int_0^1\|v(\theta)\|\,d\theta$ へ収束する。ノルムは連続であるから $\|\int_0^1v(\theta)\,d\theta\|\le\int_0^1\|v(\theta)\|\,d\theta$ である。これを $v(\theta)=(1-\theta)^rx^{(r+1)}(\tau+\theta h)$ へ適用し、 $\int_0^1(1-\theta)^r\,d\theta=1/(r+1)$ を用いると主張の評価を得る。

(2)を示す。 $K'=\varnothing$ ならば示すことはない。 $g$ の各成分 $g_l$ について $D^{r+1}g_l$ は連続であり、 $K'$ はコンパクトであるから、 $M_l:=\max_{y\in K'}\|D^{r+1}g_l(y)\|_{\mathrm{op}}$ は有限である。 $x+\theta z\in K'$ （ $0\le\theta\le1$ ）とすると、§E4.5 定理 1.1と§E4.5 系 1.2を $g_l$ 、展開点 $x$ 、増分 $z$ に適用して

\Bigl|g_l(x+z)-\sum_{k=0}^r\frac1{k!}D^kg_l(x)[z,\dots,z]\Bigr|\le\frac{M_l}{(r+1)!}|z|^{r+1}

を得る。ここで $|z|$ は§E4.5 系 1.2の評価に現れる $\R^m$ のノルムである。有限次元の実線形空間のノルムは互いに同値であるから、任意の $z\in\R^m$ と $w\in\R^n$ について $|z|\le\beta\|z\|$ と $\|w\|\le\beta'\max_l|w_l|$ を満たす $\beta,\beta'>0$ が存在する。 $C:=\beta'\beta^{r+1}\max_lM_l/(r+1)!$ が主張を満たす。▨

命題 1.6. $d\in\NN$ とし、 $\R^d$ にノルム $\|\cdot\|$ を固定する。 $\Omega\subseteq\R\times\R^d$ を開集合、 $f\colon\Omega\to\R^d$ を連続写像、 $t_0<T$ 、 $J\supseteq[t_0,T]$ を開区間とし、 $y\in C^2(J;\R^d)$ が任意の $\tau\in J$ について $(\tau,y(\tau))\in\Omega$ と $y'(\tau)=f(\tau,y(\tau))$ を満たすとする。このとき前進 Euler 法の局所打切り誤差は、 $t\in[t_0,T)$ と $0<h\le T-t$ を満たす任意の $t,h$ について

\|\delta_y(t,h)\|\le\frac{h^2}2\max_{\tau\in[t,t+h]}\|y''(\tau)\|

を満たす。特に $M_2:=\max_{\tau\in[t_0,T]}\|y''(\tau)\|$ と置くと、 $[t_0,T]$ の任意の格子について $\|d_n\|\le M_2h_n^2/2$ である。前進 Euler 法の局所次数は $1$ 以上である。

証明. 前進 Euler 法の増分関数の定義域は $\Omega\times(0,\infty)$ であるから $(t,y(t),h)$ はその元であり、 $y'(t)=f(t,y(t))$ により

\delta_y(t,h)=y(t+h)-y(t)-hy'(t)

である。補題 1.5 (1)を $r=1$ として適用すると第一の評価を得る。格子についての評価は $t=t_n$ 、 $h=h_n$ の場合である。局所次数 $1$ 以上の条件では $f\in C^1(\Omega;\R^d)$ であり、 $y'(\tau)=f(\tau,y(\tau))$ は $C^1$ 級写像の合成であるから $y\in C^2(J;\R^d)$ であり、 $C:=M_2/2$ と任意の $h_0>0$ が局所次数 $1$ 以上の条件を満たす。▨

例 1.7. $d=1$ 、 $\Omega=\R^2$ 、 $f(t,u)=u$ とし、解 $y(\tau)=e^\tau$ （ $\tau\in\R$ ）と $t=0$ を取る。前進 Euler 法の一歩は $\Psi_h(0,1)=1+h$ であるから $\delta_y(0,h)=e^h-1-h$ である。§E4.5 定理 1.1を $\exp$ 、展開点 $0$ 、増分 $h$ 、 $r=1$ に適用すると

e^h-1-h=h^2\int_0^1(1-\theta)e^{\theta h}\,d\theta

であり、 $h>0$ では $1\le e^{\theta h}\le e^h$ であるから $\frac{h^2}2\le e^h-1-h\le\frac{h^2}2e^h$ が成り立つ。 $e^h-1=h\int_0^1e^{\theta h}\,d\theta\le he^h$ と合わせると

0\le e^h-1-h-\frac{h^2}2\le\frac{h^2}2(e^h-1)\le\frac{h^3}2e^h

を得る。 $h=0.05$ と $h=0.025$ での値を小数第12位に丸めると次のとおりである。

$h$	$e^h-1-h$	$h^2/2$	$e^h-1-h-h^2/2$	$h^3e^h/2$
$0.05$	$0.001271096376$	$0.00125$	$0.000021096376$	$0.000065704444$
$0.025$	$0.000315120524$	$0.0003125$	$0.000002620524$	$0.000008010274$

任意の $C\ge0$ について、 $Ch<\frac12$ を満たす $h>0$ では $Ch^3<\frac{h^2}2\le\delta_y(0,h)$ である。したがって前進 Euler 法の局所次数は $2$ 以上でない。

2 Runge–Kutta 法

補題 2.1. $d,s\in\NN$ とし、 $\R^d$ にノルム $\|\cdot\|$ を固定し、 $\R\times\R^d$ にはノルム $\|(t,u)\|:=\max\{|t|,\|u\|\}$ を入れる。 $A=(a_{ij})\in\R^{s\times s}$ 、 $c:=A\mathbf1$ （ $\mathbf1$ は全成分が $1$ のベクトル）、 $\alpha:=\max_i\sum_j|a_{ij}|$ 、 $\gamma:=\max_i|c_i|$ と置く。 $\Omega\subseteq\R\times\R^d$ を開集合、 $f\in C^1(\Omega;\R^d)$ 、 $K\subseteq\Omega$ を空でないコンパクト集合、 $\rho>0$ を $K^\rho\subseteq\Omega$ を満たす数とし（ $K^\rho$ は補題 1.4の閉近傍）、 $M:=\max_{K^\rho}\|f\|$ と置く。

ある $L\ge0$ が存在して、 $(t,u)\in K$ 、 $|\sigma-t|\le\rho$ 、 $\|v-u\|\le\rho$ 、 $\|v'-u\|\le\rho$ を満たす任意の $t,u,\sigma,v,v'$ について $\|f(\sigma,v)-f(\sigma,v')\|\le L\|v-v'\|$ が成り立つ。
$L$ を(1)を満たす数とし、 $h>0$ が $h\gamma\le\rho$ 、 $h\alpha M\le\rho$ 、 $h\alpha L<1$ を満たすとする。このとき任意の $(t,u)\in K$ について、方程式 $k_i=f\Bigl(t+c_ih,\ u+h\sum_{j=1}^sa_{ij}k_j\Bigr)\qquad(1\le i\le s)$ は $\max_i\|k_i\|\le M$ を満たす解 $(k_1,\dots,k_s)\in(\R^d)^s$ をただ一つもつ。
$(K,\rho,L,h)$ と $(K_1,\rho_1,L_1,h)$ がともに(2)の条件を満たし、 $(t,u)\in K\cap K_1$ ならば、(2)が二つの組から与える解は一致する。

証明.(1)を示す。 $(t,u)\in K$ に対して $B_{t,u}:=\{(\sigma,v)\mid|\sigma-t|\le\rho,\ \|v-u\|\le\rho\}$ は $(t,u)$ を中心とする半径 $\rho$ の閉球であり、凸であって $K^\rho$ に含まれる。 $(\sigma,v),(\sigma,v')\in B_{t,u}$ を結ぶ線分は $B_{t,u}\subseteq K^\rho$ に含まれるから、補題 1.5 (2)を $r=0$ 、 $K'=K^\rho$ 、 $x=(\sigma,v)$ 、 $z=(0,v'-v)$ として適用すると、 $K^\rho$ だけで定まる $C$ について $\|f(\sigma,v')-f(\sigma,v)\|\le C\|(0,v'-v)\|=C\|v'-v\|$ を得る。 $L:=C$ が主張を満たす。

(2)を示す。 $X:=\{k\in(\R^d)^s\mid\max_i\|k_i\|\le M\}$ に距離 $\max_i\|k_i-k'_i\|$ を入れると、 $X$ は空でない完備距離空間である。 $k\in X$ に対して、点 $P_i(k):=(t+c_ih,\ u+h\sum_ja_{ij}k_j)$ は $|c_ih|\le h\gamma\le\rho$ と $\|h\sum_ja_{ij}k_j\|\le h\alpha M\le\rho$ により $B_{t,u}$ に属する。したがって $T(k)_i:=f(P_i(k))$ が定まり、 $\|T(k)_i\|\le M$ であるから $T\colon X\to X$ である。 $k,k'\in X$ について $P_i(k)$ と $P_i(k')$ は時刻が等しく $B_{t,u}$ に属するから、(1)により

\|T(k)_i-T(k')_i\|\le L\Bigl\|h\sum_ja_{ij}(k_j-k'_j)\Bigr\|\le h\alpha L\max_j\|k_j-k'_j\|

であり、 $h\alpha L<1$ により $T$ は縮小写像である。§E2.7 定理 2.2により $T$ は $X$ にただ一つの不動点をもつ。 $X$ の元が方程式の解であることと $T$ の不動点であることは同値である。

(3)を示す。 $M_1:=\max_{K_1^{\rho_1}}\|f\|$ と置き、 $M\le M_1$ とする（ $M_1\le M$ の場合は二つの組の役割を入れ替える）。 $(K,\rho,L,h)$ から得た解 $k$ は $\max_i\|k_i\|\le M\le M_1$ を満たす方程式の解であるから、 $(K_1,\rho_1,L_1,h)$ に対する(2)の一意性により、 $(K_1,\rho_1,L_1,h)$ から得た解に一致する。▨

定義 2.2. $s\in\NN$ 、 $A=(a_{ij})\in\R^{s\times s}$ 、 $b\in\R^s$ とし、 $c:=A\mathbf1$ と置く。 $d\in\NN$ とし、 $\R^d$ にノルムを固定し、 $\R\times\R^d$ にはノルム $\max\{|t|,\|u\|\}$ を入れる。

配列 $\begin{array}{c|c}c&A\\\hline&b^{\mathsf T}\end{array}$ を $(A,b)$ の Butcher 配列 (Butcher tableau) という。
$\Omega\subseteq\R\times\R^d$ を開集合、 $f\colon\Omega\to\R^d$ を連続写像、 $(t,u)\in\Omega$ 、 $h>0$ とする。 $(k_1,\dots,k_s)\in(\R^d)^s$ が、各 $i$ について $(t+c_ih,\ u+h\sum_ja_{ij}k_j)\in\Omega$ と $k_i=f\Bigl(t+c_ih,\ u+h\sum_{j=1}^sa_{ij}k_j\Bigr)\qquad(1\le i\le s)$ を満たすとき、 $(k_1,\dots,k_s)$ を $(t,u,h)$ における段の方程式 (stage equations) の解という。
$A$ が狭義下三角行列であるとき、 $(A,b)$ を陽的という。このとき段の方程式は $k_1=f(t,u)$ 、 $k_i=f(t+c_ih,\ u+h\sum_{j<i}a_{ij}k_j)$ （ $i=2,\dots,s$ ）によって $k_1,\dots,k_s$ を順に一つずつ定め、解はこれらの点がすべて $\Omega$ に属するときに限りただ一つ存在する。解が存在する $(t,u,h)$ の全体を $D$ とし、 $\Phi(t,u,h):=\sum_ib_ik_i$ と置く。一歩ごとに $f$ を $s$ 回評価する。
$A$ が狭義下三角行列でないとき、 $(A,b)$ を陰的という。このとき $f\in C^1(\Omega;\R^d)$ とし、 $(t,u)$ を含むコンパクト集合 $K$ と $\rho$ 、 $L$ が存在して $(K,\rho,L,h)$ が補題 2.1 (2)の条件を満たす $(t,u,h)$ の全体を $D$ とし、 $\Phi(t,u,h):=\sum_ib_ik_i$ と置く。ここで $(k_i)$ は補題 2.1 (2)が与える解であり、補題 2.1 (3)により $K,\rho,L$ の取り方によらない。
(3)または(4)の増分関数を対応させる一段法を、Butcher 配列 $(A,b)$ の $s$ 段 Runge–Kutta 法 (s-stage Runge–Kutta method) という。 $(A,b)$ が陽的であるものを陽的 Runge–Kutta 法 (explicit Runge–Kutta method)、陰的であるものを陰的 Runge–Kutta 法 (implicit Runge–Kutta method) という。

定義 2.3. Butcher 配列

\begin{array}{c|cc}0&0&0\\\tfrac12&\tfrac12&0\\\hline&0&1\end{array} \qquad\qquad \begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1&0\\\hline&\tfrac12&\tfrac12\end{array}

の陽的 2 段 Runge–Kutta 法を、それぞれ中点法 (explicit midpoint method)、Heun 法 (Heun's method) という。一歩はそれぞれ

k_1=f(t,u),\quad k_2=f\bigl(t+\tfrac h2,\ u+\tfrac h2k_1\bigr),\quad \Psi_h(t,u)=u+hk_2,

k_1=f(t,u),\quad k_2=f(t+h,\ u+hk_1),\quad \Psi_h(t,u)=u+\tfrac h2(k_1+k_2)

であり、いずれも一歩ごとに $f$ を2回評価する。

定義 2.4. $a_{21}=a_{32}=\tfrac12$ 、 $a_{43}=1$ 、他の $a_{ij}=0$ の $A\in\R^{4\times4}$ と $b=\tfrac16(1,2,2,1)^{\mathsf T}$ を Butcher 配列とする陽的 4 段 Runge–Kutta 法を古典的 Runge–Kutta 法 (classical Runge–Kutta method) という。 $c=A\mathbf1=(0,\tfrac12,\tfrac12,1)^{\mathsf T}$ であり、一歩は

k_1=f(t,u),\quad k_2=f\bigl(t+\tfrac h2,\ u+\tfrac h2k_1\bigr),\quad k_3=f\bigl(t+\tfrac h2,\ u+\tfrac h2k_2\bigr),\quad k_4=f(t+h,\ u+hk_3),

\Psi_h(t,u)=u+\frac h6(k_1+2k_2+2k_3+k_4)

である。一歩ごとに $f$ を4回評価する。

注意 2.5. 解 $y$ と $h>0$ について $y(t+h)=y(t)+\int_t^{t+h}f(\sigma,y(\sigma))\,d\sigma$ である。右辺の積分を $hf(t,y(t))$ で置き換えると前進 Euler 法の一歩を得る。積分を中点での値 $hf(t+\frac h2,y(t+\frac h2))$ で置き換え、 $y(t+\frac h2)$ を前進 Euler 法の半歩 $y(t)+\frac h2f(t,y(t))$ で置き換えると中点法の一歩を得る。積分を台形則 $\frac h2\{f(t,y(t))+f(t+h,y(t+h))\}$ で置き換え、 $y(t+h)$ を前進 Euler 法の一歩 $y(t)+hf(t,y(t))$ で置き換えると Heun 法の一歩を得る。 $\varphi\colon\R\to\R^d$ を $C^1$ 級写像とし、 $\Omega=\R\times\R^d$ 上で $f(t,u)=\varphi(t)$ とすると、任意の Butcher 配列 $(A,b)$ について段の方程式の解は $k_i=\varphi(t+c_ih)$ ただ一つであり、 $\Psi_h(t,u)-u=h\sum_ib_i\varphi(t+c_ih)$ は、 $\int_t^{t+h}\varphi$ を点 $t+c_ih$ での $\varphi$ の値の重み $hb_i$ による重み付き評価で置き換えた値である。このとき中点法、Heun 法、古典的 Runge–Kutta 法の一歩は、それぞれ中点での値 $h\varphi(t+\frac h2)$ 、台形則、Simpson 則 $\frac h6\{\varphi(t)+4\varphi(t+\frac h2)+\varphi(t+h)\}$ を与える。台形則と Simpson 則の誤差は「数値積分」で扱う。

3 後退 Euler 法

定義 3.1. $d\in\NN$ とし、 $\R^d$ にノルムを固定する。 $\Omega\subseteq\R\times\R^d$ を開集合、 $f\colon\Omega\to\R^d$ を連続写像、 $(t,u)\in\Omega$ 、 $h>0$ とし、 $v\in\R^d$ についての方程式

v=u+hf(t+h,v),\qquad (t+h,v)\in\Omega

を考える。 $\Psi_h(t,u)$ を次で定める。

方程式の解がただ一つ存在するとき、その解を $\Psi_h(t,u)$ とする。
$f\in C^1(\Omega;\R^d)$ であり、 $(t,u,h)$ が Butcher 配列 $\begin{array}{c|c}1&1\\\hline&1\end{array}$ の陰的 1 段 Runge–Kutta 法の増分関数の定義域に属するとき、その一歩写像の値 $u+hk$ を $\Psi_h(t,u)$ とする。

$k$ が段の方程式 $k=f(t+h,u+hk)$ の解であることと $v=u+hk$ が上の方程式の解であることは同値であるから、(1)と(2)がともに当てはまるとき両者の値は一致する。 $\Psi_h(t,u)$ が定まる $(t,u,h)$ の全体を $D$ とし、増分関数 $\Phi(t,u,h):=(\Psi_h(t,u)-u)/h$ を対応させる一段法を後退 Euler 法 (backward Euler method) という。格子上の近似値 $y_{n+1}=\Psi_{h_n}(t_n,y_n)$ は $y_{n+1}=y_n+h_nf(t_{n+1},y_{n+1})$ を満たす。

例 3.2. $d=1$ 、 $\Omega=\R^2$ 、 $f(t,v)=v^2$ 、 $t=0$ 、 $u=1$ とする。後退 Euler 法の方程式は $v=1+hv^2$ である。 $0<h<\frac14$ ならば、この方程式は二つの実数解

v_\pm:=\frac{1\pm\sqrt{1-4h}}{2h}

をもつ。 $v_-=\frac2{1+\sqrt{1-4h}}$ であり、 $0<\sqrt{1-4h}<1$ から $1<v_-<2$ である。二つの解の積は $v_+v_-=\frac1h$ であり、 $v_-<2$ であるから $v_+>\frac1{2h}>2$ である。 $h\to0$ のとき $v_-\to1$ 、 $v_+\to+\infty$ である。解が二つあるから定義 3.1 (1)は当てはまらない。

$0<h<\frac14$ とし、 $K:=\{(0,1)\}$ 、 $\rho:=1$ と置く。 $K^\rho=[-1,1]\times[0,2]$ であるから $M=\max_{K^\rho}|f|=4$ である。 $v,v'\in[0,2]$ について $|v^2-v'^2|=|v+v'||v-v'|\le4|v-v'|$ であるから、 $L:=4$ は補題 2.1 (1)を満たす。Butcher 配列 $\begin{array}{c|c}1&1\\\hline&1\end{array}$ では $\alpha=\gamma=1$ であり、 $h\gamma<\rho$ 、 $h\alpha M=4h<\rho$ 、 $h\alpha L=4h<1$ が成り立つ。したがって $(0,1,h)$ はこの配列の陰的 1 段 Runge–Kutta 法の増分関数の定義域に属し、定義 3.1 (2)により $\Psi_h(0,1)=1+hk$ である。ここで $k$ は段の方程式 $k=(1+hk)^2$ の解で $|k|\le4$ を満たすものである。段の方程式の解 $k$ と後退 Euler 法の方程式の解 $v=1+hk$ は $k=(v-1)/h=v^2$ で対応するから、段の方程式の解は $v_-^2$ と $v_+^2$ である。 $1<v_-^2<4<v_+^2$ であるから $k=v_-^2$ であり、 $\Psi_h(0,1)=1+hv_-^2=v_-$ である。

注意 3.3. $\Lambda\colon\R\to\R^{d\times d}$ と $\beta\colon\R\to\R^d$ を連続写像とし $f(t,u)=\Lambda(t)u+\beta(t)$ とすると、後退 Euler 法の方程式は線形方程式 $(I-h\Lambda(t+h))v=u+h\beta(t+h)$ であり、 $I-h\Lambda(t+h)$ が正則ならば解はただ一つである。非線形の $f$ では解を有限回の演算で求めることができるとは限らず、不動点反復や Newton 法の反復を有限回で打ち切った値が計算に用いられる。局所打切り誤差は方程式の解 $\Psi_h(t,u)$ について定まる量であり、打ち切った値と $\Psi_h(t,u)$ の差は不動点反復について命題 3.4 (1)が評価する。

任意の $u\in\R^d$ について、方程式 $v=u+hf(t+h,v)$ は $\R^d$ にただ一つの解をもち、その解は後退 Euler 法の一歩写像の値 $\Psi_h(t,u)$ である。任意の $v^{(0)}\in\R^d$ から $v^{(m+1)}:=u+hf(t+h,v^{(m)})$ で定めた列は $\Psi_h(t,u)$ に収束し、任意の $m\in\N$ について $\|\Psi_h(t,u)-v^{(m)}\|\le\frac1{1-hL}\|v^{(m+1)}-v^{(m)}\|$ が成り立つ。
$y\colon I\to\R^d$ を $y'(\sigma)=f(\sigma,y(\sigma))$ を満たす $C^1$ 級写像とし、 $\eta:=y(t+h)-y(t)-hf(t+h,y(t+h))$ と置く。このとき $\|y(t+h)-\Psi_h(t,y(t))\|\le\frac{\|\eta\|}{1-hL}$ が成り立つ。 $y$ が $C^2$ 級ならば $\|\eta\|\le\frac{h^2}2\max_{\tau\in[t,t+h]}\|y''(\tau)\|$ である。

証明.(1)を示す。 $T(v):=u+hf(t+h,v)$ は $\R^d$ からそれ自身への写像であり、 $\|T(v)-T(v')\|\le hL\|v-v'\|$ を満たす。 $\R^d$ は空でない完備距離空間であり $hL<1$ であるから、§E2.7 定理 2.2により $T$ はただ一つの不動点をもち、任意の $v^{(0)}$ から始まる反復列はその不動点に収束する。解がただ一つであるから、定義 3.1 (1)によりその解は $\Psi_h(t,u)$ である。 $v:=\Psi_h(t,u)$ と置くと、 $v=T(v)$ と $v^{(m+1)}=T(v^{(m)})$ により

\|v-v^{(m)}\|\le\|T(v)-T(v^{(m)})\|+\|v^{(m+1)}-v^{(m)}\|\le hL\|v-v^{(m)}\|+\|v^{(m+1)}-v^{(m)}\|

であり、移項すると評価を得る。

(2)を示す。 $v:=\Psi_h(t,y(t))$ と置くと $v=y(t)+hf(t+h,v)$ であるから

y(t+h)-v=\eta+h\bigl(f(t+h,y(t+h))-f(t+h,v)\bigr)

であり、 $\|y(t+h)-v\|\le\|\eta\|+hL\|y(t+h)-v\|$ を移項すると第一の評価を得る。 $y$ が $C^2$ 級ならば、 $y'(t+h)=f(t+h,y(t+h))$ により $-\eta=y(t)-y(t+h)-(-h)y'(t+h)$ である。補題 1.5 (1)を $J=I$ 、展開点 $t+h$ 、増分 $-h$ 、 $r=1$ として適用すると第二の評価を得る。▨

例 3.5. $d=1$ 、 $I=\R$ 、 $f(t,u)=-u$ （ $L=1$ ）、解 $y(\tau)=e^{-\tau}$ 、 $t=0$ 、 $h=0.1$ とする。後退 Euler 法の一歩は方程式 $v=1-0.1v$ の解 $v=\Psi_{0.1}(0,1)=1/1.1$ である。残差は $\eta=e^{-0.1}-1+0.1e^{-0.1}=1.1e^{-0.1}-1$ であり、 $y(0.1)-v=\eta-0.1(y(0.1)-v)$ から局所打切り誤差は $\eta/1.1$ に等しい。 $v^{(0)}=1$ から始まる不動点反復は $v^{(m+1)}=1-0.1v^{(m)}$ であり、 $v-v^{(m)}=(-0.1)^m(v-1)$ を満たし、 $v^{(1)}=0.9$ 、 $v^{(2)}=0.91$ 、 $v^{(3)}=0.909$ である。小数第12位に丸めた値は次のとおりである。

量	値
残差 $\eta$	$-0.004678840160$
局所打切り誤差 $y(0.1)-v$	$-0.004253491055$
命題 3.4 (2)の上界 $\lvert\eta\rvert/0.9$	$0.005198711289$
反復の誤差 $v-v^{(2)}$	$-0.000909090909$
命題 3.4 (1)の上界 $\lvert v^{(3)}-v^{(2)}\rvert/0.9$	$0.001111111111$
打ち切った値の誤差 $y(0.1)-v^{(2)}$	$-0.005162581964$

打ち切った値 $v^{(2)}$ の誤差は $y(0.1)-v^{(2)}=(y(0.1)-v)+(v-v^{(2)})$ であり、局所打切り誤差と反復の誤差の和である。

4 位数条件

補題 4.1. $s,d\in\NN$ 、 $A=(a_{ij})\in\R^{s\times s}$ 、 $c:=A\mathbf1$ 、 $b\in\R^s$ とする。 $\Omega\subseteq\R\times\R^d$ を開集合、 $f\colon\Omega\to\R^d$ を連続写像とし、 $g\colon\Omega\to\R\times\R^d$ を $g(t,u):=(1,f(t,u))$ で定める。 $(t,u)\in\Omega$ 、 $h>0$ とする。このとき $(k_i)_i\mapsto((1,k_i))_i$ は、 $(t,u,h)$ における $f$ の段の方程式の解の全体から、 $(t,u)+h\sum_ja_{ij}\xi_j\in\Omega$ と

\xi_i=g\Bigl((t,u)+h\sum_{j=1}^sa_{ij}\xi_j\Bigr)\qquad(1\le i\le s)

を満たす $(\xi_i)_i\in(\R\times\R^d)^s$ の全体への全単射であり、 $(t,u)+h\sum_ib_i(1,k_i)=(t+hb^{\mathsf T}\mathbf1,\ u+h\sum_ib_ik_i)$ が成り立つ。また、開区間 $J$ 上の $C^1$ 級写像 $y$ で任意の $\tau\in J$ について $(\tau,y(\tau))\in\Omega$ を満たすものについて、 $y'(\tau)=f(\tau,y(\tau))$ と、 $x(\tau):=(\tau,y(\tau))$ が $x'=g(x)$ を満たすことは同値である。

証明. $\xi_i=(\theta_i,k_i)$ と書く。 $g$ の第1成分は定数 $1$ であるから、方程式の第1成分は $\theta_i=1$ である。すべての $j$ について $\theta_j=1$ のとき、点 $(t,u)+h\sum_ja_{ij}\xi_j$ の第1成分は $t+h\sum_ja_{ij}=t+c_ih$ であり、方程式の第2成分は $f$ の段の方程式 $k_i=f(t+c_ih,\ u+h\sum_ja_{ij}k_j)$ に一致する。 $(t,u)+h\sum_ib_i(1,k_i)$ の第1成分は $t+h\sum_ib_i=t+hb^{\mathsf T}\mathbf1$ である。最後の主張は $x'(\tau)=(1,y'(\tau))$ による。▨

補題 4.2. $m,s,p\in\NN$ とし、 $\R^m$ にノルム $\|\cdot\|$ を固定する。 $U\subseteq\R^m$ を開集合、 $g\in C^p(U;\R^m)$ 、 $A=(a_{ij})\in\R^{s\times s}$ 、 $b\in\R^s$ 、 $\alpha:=\max_i\sum_j|a_{ij}|$ とする。 $x\in U$ に対して、 $\kappa_{i,q}(x),\zeta_{i,q}(x)\in\R^m$ （ $1\le i\le s$ 、 $0\le q\le p-1$ ）を、 $\kappa_{i,0}(x):=g(x)$ 、 $\zeta_{i,q}(x):=\sum_ja_{ij}\kappa_{j,q}(x)$ と

\kappa_{i,q}(x):=\sum_{k=1}^q\frac1{k!}\sum_{\substack{q_1,\dots,q_k\in\N\\q_1+\dots+q_k=q-k}}D^kg(x)\bigl[\zeta_{i,q_1}(x),\dots,\zeta_{i,q_k}(x)\bigr]\qquad(1\le q\le p-1)

によって $q$ の小さい順に定める。また $G_1:=g$ 、 $G_{q+1}(x):=DG_q(x)[g(x)]$ （ $1\le q\le p$ ）と置く。 $G_q\in C^{p+1-q}(U;\R^m)$ である。

$J$ を開区間、 $x\colon J\to U$ を $x'=g(x)$ を満たす $C^1$ 級写像とする。このとき $x\in C^{p+1}(J;\R^m)$ であり、 $1\le q\le p+1$ について $x^{(q)}=G_q\circ x$ である。さらに $h>0$ と $\tau,\tau+h\in J$ について $\Bigl\|x(\tau+h)-x(\tau)-\sum_{q=1}^p\frac{h^q}{q!}G_q(x(\tau))\Bigr\|\le\frac{h^{p+1}}{(p+1)!}\max_{\sigma\in[\tau,\tau+h]}\|G_{p+1}(x(\sigma))\|$ が成り立つ。
$K\subseteq U$ をコンパクト集合、 $\rho>0$ を $K^\rho\subseteq U$ を満たす数（ $K^\rho$ は補題 1.4の閉近傍）、 $M\ge0$ と $h_1>0$ を $h_1\alpha M\le\rho$ を満たす数とする。各 $x\in K$ と $h\in(0,h_1]$ に対し、 $\xi_i(x,h)=g\bigl(x+h\sum_ja_{ij}\xi_j(x,h)\bigr)$ （ $1\le i\le s$ ）と $\max_i\|\xi_i(x,h)\|\le M$ を満たす $\xi_1(x,h),\dots,\xi_s(x,h)\in\R^m$ が与えられているとする。このとき $C\ge0$ が存在して、任意の $x\in K$ と $h\in(0,h_1]$ について $\Bigl\|h\sum_ib_i\xi_i(x,h)-\sum_{q=1}^ph^q\sum_ib_i\kappa_{i,q-1}(x)\Bigr\|\le Ch^{p+1}$ が成り立つ。
$x\in U$ と $1\le q\le p$ を固定し、 $A$ と $b$ の $s^2+s$ 個の成分を変数とみなすと、 $\sum_ib_i\kappa_{i,q-1}(x)$ の各成分は次数 $q$ 以下の実係数多項式である。

証明.(1)を示す。 $x'=G_1\circ x$ である。 $1\le q\le p$ について $x\in C^q(J;\R^m)$ かつ $x^{(q)}=G_q\circ x$ であるとすると、 $G_q$ は $C^1$ 級であるから、連鎖律により $x^{(q)}$ は微分可能であり、 $x^{(q+1)}=DG_q(x)[x']=DG_q(x)[g(x)]=G_{q+1}\circ x$ は連続である。したがって $x\in C^{p+1}(J;\R^m)$ であり、補題 1.5 (1)を $r=p$ として適用すると評価を得る。

(2)を示す。 $1\le k\le p-1$ について $D^kg$ は連続であり、 $\kappa_{i,q}$ と $\zeta_{i,q}$ は連続写像であり、 $K$ はコンパクトであるから、 $B\ge1$ が存在して、任意の $x\in K$ 、 $1\le k\le p-1$ 、 $w_1,\dots,w_k\in\R^m$ 、 $i$ 、 $0\le q\le p-1$ について $\|D^kg(x)[w_1,\dots,w_k]\|\le B\|w_1\|\cdots\|w_k\|$ と $\|\zeta_{i,q}(x)\|\le B$ が成り立つ。 $E:=\max\{\alpha M,\ B\sum_{q=0}^{p-1}h_1^q\}$ と置く。 $x\in K$ と $h\in(0,h_1]$ に対し $z_i:=h\sum_ja_{ij}\xi_j(x,h)$ と置くと、 $\xi_i(x,h)=g(x+z_i)$ であり、 $\|z_i\|\le h\alpha M\le\rho$ であるから $x+\theta z_i\in K^\rho$ （ $0\le\theta\le1$ ）である。

主張 4.2.1. 各 $r\in\{0,1,\dots,p\}$ について $C_r\ge0$ が存在して、任意の $x\in K$ 、 $h\in(0,h_1]$ 、 $i$ について

\Bigl\|\xi_i(x,h)-\sum_{q=0}^{r-1}h^q\kappa_{i,q}(x)\Bigr\|\le C_rh^r

が成り立つ。

証明. $r=0$ では $C_0:=M$ が条件を満たす。 $r<p$ について $C_r$ が存在するとする。 $\hat z_i:=\sum_{q=0}^{r-1}h^{q+1}\zeta_{i,q}(x)$ と置くと、 $z_i-\hat z_i=h\sum_ja_{ij}\bigl(\xi_j(x,h)-\sum_{q=0}^{r-1}h^q\kappa_{j,q}(x)\bigr)$ であるから $\|z_i-\hat z_i\|\le\alpha C_rh^{r+1}$ であり、また $\|z_i\|\le Eh$ 、 $\|\hat z_i\|\le Eh$ である。 $g\in C^{r+1}(U;\R^m)$ であるから、補題 1.5 (2)を $K'=K^\rho$ と $r$ に適用すると、 $K^\rho$ と $r$ だけで定まる $C'$ について

\Bigl\|g(x+z_i)-\sum_{k=0}^r\frac1{k!}D^kg(x)[z_i,\dots,z_i]\Bigr\|\le C'\|z_i\|^{r+1}\le C'E^{r+1}h^{r+1}

である。 $1\le k\le r$ について、多重線形性により

D^kg(x)[z_i,\dots,z_i]-D^kg(x)[\hat z_i,\dots,\hat z_i]=\sum_{l=1}^kD^kg(x)[\underbrace{\hat z_i,\dots,\hat z_i}_{l-1},z_i-\hat z_i,\underbrace{z_i,\dots,z_i}_{k-l}]

であり、そのノルムは $kB\alpha C_rE^{k-1}h_1^{k-1}h^{r+1}$ 以下である。さらに

D^kg(x)[\hat z_i,\dots,\hat z_i]=\sum_{q_1,\dots,q_k=0}^{r-1}h^{k+q_1+\dots+q_k}D^kg(x)\bigl[\zeta_{i,q_1}(x),\dots,\zeta_{i,q_k}(x)\bigr]

であり、 $k+q_1+\dots+q_k\ge r+1$ を満たす項のノルムは $B^{k+1}h_1^{k+q_1+\dots+q_k-r-1}h^{r+1}$ 以下である。 $k+q_1+\dots+q_k=q\le r$ を満たす項では $q_l\le q-k\le r-1$ であるから、 $\kappa_{i,q}$ の定義により、これらの項に $1/k!$ を掛けて $1\le k\le r$ にわたって加えたものは $\sum_{q=1}^rh^q\kappa_{i,q}(x)$ に等しい。 $k=0$ の項は $g(x)=\kappa_{i,0}(x)$ である。以上の評価を $\xi_i(x,h)=g(x+z_i)$ に加えると、 $x$ 、 $h$ 、 $i$ によらない $C_{r+1}$ について $\|\xi_i(x,h)-\sum_{q=0}^rh^q\kappa_{i,q}(x)\|\le C_{r+1}h^{r+1}$ を得る。▨

主張 4.2.1を $r=p$ で用いると

\Bigl\|h\sum_ib_i\xi_i(x,h)-\sum_{q=0}^{p-1}h^{q+1}\sum_ib_i\kappa_{i,q}(x)\Bigr\|\le\Bigl(\sum_i|b_i|\Bigr)C_ph^{p+1}

であり、添字を $q+1$ から $q$ へ付け替えると主張を得る。

(3)を示す。 $\kappa_{i,0}(x)=g(x)$ は $A$ によらない。 $1\le q\le p-1$ とし、 $q'<q$ について $\kappa_{i,q'}(x)$ の各成分が $A$ の成分の次数 $q'$ 以下の多項式であるとすると、 $\zeta_{i,q'}(x)$ の各成分は次数 $q'+1$ 以下の多項式である。 $D^kg(x)$ は $A$ によらない多重線形写像であるから、 $D^kg(x)[\zeta_{i,q_1}(x),\dots,\zeta_{i,q_k}(x)]$ の各成分は $\zeta_{i,q_1}(x),\dots,\zeta_{i,q_k}(x)$ の成分の積の一次結合であり、次数は $\sum_l(q_l+1)=q$ 以下である。帰納法により、 $0\le q\le p-1$ について $\kappa_{i,q}(x)$ の各成分は次数 $q$ 以下の多項式であり、 $b_i\kappa_{i,q-1}(x)$ の各成分は $(A,b)$ の次数 $q$ 以下の多項式である。▨

命題 4.3. $s,p\in\NN$ 、 $A\in\R^{s\times s}$ 、 $b\in\R^s$ とする。 $d\in\NN$ 、開集合 $\Omega\subseteq\R\times\R^d$ 、 $f\in C^p(\Omega;\R^d)$ に対して $g:=(1,f)\colon\Omega\to\R\times\R^d$ と置き、補題 4.2の $\kappa_{i,q}$ と $G_q$ を $U=\Omega$ と $g$ について取り、 $\pr_2\colon\R\times\R^d\to\R^d$ を第2成分への射影として

\Delta^f_q(x):=\pr_2\Bigl(\sum_{i=1}^sb_i\kappa_{i,q-1}(x)-\frac1{q!}G_q(x)\Bigr)\qquad(x\in\Omega,\ 1\le q\le p)

と置く。任意の $d\in\NN$ 、開集合 $\Omega\subseteq\R\times\R^d$ 、 $f\in C^p(\Omega;\R^d)$ 、 $x\in\Omega$ と $1\le q\le p$ について $\Delta^f_q(x)=0$ が成り立つことは、Butcher 配列 $(A,b)$ の Runge–Kutta 法の局所次数が $p$ 以上であるための必要十分条件である。

証明. $d\in\NN$ 、 $\R^d$ のノルム、開集合 $\Omega$ 、 $f\in C^p(\Omega;\R^d)$ 、 $t_0<T$ 、開区間 $J\supseteq[t_0,T]$ 上の解 $y$ を取り、 $\R\times\R^d$ にノルム $\max\{|t|,\|u\|\}$ を入れる。 $\Gamma:=\{(\tau,y(\tau))\mid\tau\in[t_0,T]\}$ はコンパクトであり、補題 1.4により $\Gamma^\rho\subseteq\Omega$ を満たす $\rho>0$ が存在する。 $c:=A\mathbf1$ 、 $M:=\max_{\Gamma^\rho}\|f\|$ 、 $\alpha:=\max_i\sum_j|a_{ij}|$ 、 $\gamma:=\max_i|c_i|$ と置き、 $L$ を補題 2.1 (1)を $K=\Gamma$ について満たす数とし、 $h_1>0$ を $h_1\gamma\le\rho$ 、 $h_1\alpha\max\{1,M\}\le\rho$ 、 $h_1\alpha L<1$ を満たすように取る。

$t\in[t_0,T)$ と $0<h\le h_1$ について、補題 2.1 (2)は $(t,y(t),h)$ における段の方程式の解 $(k_i)$ で $\max_i\|k_i\|\le M$ を満たすものをただ一つ与える。 $A$ が陽的であれば段の方程式の解は一つしかないから、いずれの場合もこの解が Runge–Kutta 法の増分関数を与え、 $(t,y(t),h)\in D$ である。

$x:=(t,y(t))$ と置くと、補題 4.1により $\xi_i:=(1,k_i)$ は $\xi_i=g(x+h\sum_ja_{ij}\xi_j)$ と $\|\xi_i\|\le\max\{1,M\}$ を満たし、 $\pr_2(x+h\sum_ib_i\xi_i)=\Psi_h(t,y(t))$ である。補題 4.1により $\tau\mapsto(\tau,y(\tau))$ は $x'=g(x)$ を満たす。

補題 4.2 (2)を $K=\Gamma$ と $\max\{1,M\}$ について、補題 4.2 (1)を $\tau\mapsto(\tau,y(\tau))$ について適用し、 $\|\pr_2w\|\le\|w\|$ を用いると、 $C_\Gamma\ge0$ が存在して、 $t\in[t_0,T)$ と $0<h\le\min\{h_1,T-t\}$ を満たす任意の $t,h$ について

\Bigl\|\delta_y(t,h)+\sum_{q=1}^ph^q\Delta^f_q(t,y(t))\Bigr\|\le C_\Gamma h^{p+1}

(4.3.1)

が成り立つ。

十分性を示す。すべての $\Delta^f_q$ が恒等的に $0$ ならば、式 (4.3.1)により $\|\delta_y(t,h)\|\le C_\Gamma h^{p+1}$ であり、 $h_0:=h_1$ と $C:=C_\Gamma$ が局所次数 $p$ 以上の条件を満たす。

必要性を示す。局所次数が $p$ 以上であるとし、 $d$ 、 $\Omega$ 、 $f\in C^p(\Omega;\R^d)$ 、 $x_*=(t_*,u_*)\in\Omega$ を取る。 $R:=[t_*-a,t_*+a]\times\{u\mid\|u-u_*\|\le a\}\subseteq\Omega$ を満たす $a>0$ を取る。 $R$ は凸なコンパクト集合であるから、補題 1.5 (2)を $r=0$ 、 $K'=R$ 、 $z=(0,v-u)$ として適用すると、 $(\sigma,u),(\sigma,v)\in R$ について $\|f(\sigma,v)-f(\sigma,u)\|\le C_R\|v-u\|$ を満たす $C_R$ が存在する。§E10.4 系 4.1により、 $t_*$ を含む開区間 $J$ 上の $C^1$ 級の解 $y$ で $y(t_*)=u_*$ を満たすものが存在する。 $[t_*,T]\subseteq J$ を満たす $T>t_*$ を取り、 $t_0:=t_*$ として局所次数の定義と式 (4.3.1)を $t=t_*$ で用いると、 $C\ge0$ と $h_2>0$ が存在して、 $0<h\le h_2$ について $\|\sum_{q=1}^ph^q\Delta^f_q(x_*)\|\le Ch^{p+1}$ が成り立つ。 $\Delta^f_q(x_*)\ne0$ を満たす $q\le p$ が存在すると仮定し、その最小のものを $q_0$ とすると、 $\|\Delta^f_{q_0}(x_*)+\sum_{q>q_0}h^{q-q_0}\Delta^f_q(x_*)\|\le Ch^{p+1-q_0}$ において $h\to0$ とすることにより $\Delta^f_{q_0}(x_*)=0$ を得て、 $q_0$ の取り方と両立しない。したがって $1\le q\le p$ について $\Delta^f_q(x_*)=0$ である。▨

補題 4.4. $s\in\NN$ 、 $A=(a_{ij})\in\R^{s\times s}$ 、 $b\in\R^s$ 、 $c:=A\mathbf1$ 、 $C:=\operatorname{diag}(c)$ とし、 $c^q$ は成分ごとの冪（ $c^0:=\mathbf1$ ）とする。三つ組 $(c^q,1,q+1)$ （ $q\in\N$ ）から写像 $(\phi,K,n)\mapsto(C^qA\phi,\ K/n,\ n+q+1)$ （ $q\in\N$ ）を $0$ 回以上の有限回適用して得る $\R^s\times\R\times\NN$ の元の全体を $\mathcal T$ とする。 $p\in\NN$ とする。Butcher 配列 $(A,b)$ の Runge–Kutta 法の局所次数が $p$ 以上ならば、 $(\phi,K,n)\in\mathcal T$ と $n\le p$ について $b^{\mathsf T}\phi=K/n$ が成り立つ。

証明.

主張 4.4.1. 各 $(\phi,K,n)\in\mathcal T$ について、 $d\in\NN$ と多項式写像 $F\colon\R\times\R^d\to\R^d$ 、 $y\colon\R\to\R^d$ が存在して、次が成り立つ。 $y(0)=0$ 、 $y'(\tau)=F(\tau,y(\tau))$ （ $\tau\in\R$ ）であり、 $y$ の第 $d$ 成分は $K\tau^n/n$ に等しい。任意の $h>0$ について $(0,0,h)$ における $F$ の段の方程式の解はただ一つであり、その解 $(k_i)$ の第 $d$ 成分を並べたベクトル $(k_{i,d})_i$ は $h^{n-1}\phi$ に等しい。

証明. 三つ組 $(c^q,1,q+1)$ については $d=1$ 、 $F(\tau,v):=\tau^q$ 、 $y(\tau):=\tau^{q+1}/(q+1)$ が条件を満たす。段の方程式は $k_i=(c_ih)^q$ （ $q=0$ では $1$ ）であり、解はただ一つである。

$(\phi,K,n)$ について $d$ 、 $F$ 、 $y$ が条件を満たすとし、 $q\in\N$ を取る。 $v\in\R^d$ 、 $w\in\R$ について $\tilde F(\tau,(v,w)):=(F(\tau,v),\ \tau^qv_d)$ と置き、 $\tilde y(\tau):=\bigl(y(\tau),\ \frac Kn\frac{\tau^{n+q+1}}{n+q+1}\bigr)$ と置く。 $\tilde y$ の最後の成分の導関数は $\frac Kn\tau^{n+q}=\tau^qy_d(\tau)$ であるから $\tilde y'=\tilde F(\tau,\tilde y)$ であり、最後の成分は $\frac Kn\tau^{n+q+1}/(n+q+1)$ に等しい。 $(0,0,h)$ における $\tilde F$ の段の方程式は、最初の $d$ 成分については $F$ の段の方程式であり、最後の成分については

\tilde k_{i,d+1}=(c_ih)^q\,h\sum_ja_{ij}k_{j,d}=h^{n+q}(C^qA\phi)_i

である。右辺は $F$ の段の方程式の解だけで定まるから、 $\tilde F$ の段の方程式の解はただ一つであり、その最後の成分を並べたベクトルは $h^{n+q}C^qA\phi$ である。したがって三つ組 $(C^qA\phi,K/n,n+q+1)$ について条件が成り立つ。 $\mathcal T$ の各元は出発点に写像を有限回適用したものであるから、適用の回数に関する帰納法により、すべての元について条件が成り立つ。▨

$(\phi,K,n)\in\mathcal T$ と $n\le p$ を取り、主張 4.4.1の $d$ 、 $F$ 、 $y$ を取る。 $t_0:=0$ 、 $T:=1$ 、 $J:=\R$ とする。局所次数の定義により十分小さい $h>0$ について $(0,0,h)\in D$ であり、段の方程式の解はただ一つであるから、 $\Phi(0,0,h)$ はその解から定まる。このとき局所打切り誤差 $\delta_y(0,h)$ の第 $d$ 成分は

y_d(h)-h\sum_ib_ik_{i,d}=h^n\Bigl(\frac Kn-b^{\mathsf T}\phi\Bigr)

である。局所次数が $p$ 以上であり、 $\R^d$ のノルムは互いに同値であるから、 $C'\ge0$ と $h_0>0$ が存在して、 $0<h\le h_0$ について $h^n|K/n-b^{\mathsf T}\phi|\le C'h^{p+1}$ が成り立つ。 $n\le p$ であるから、 $h^n$ で割って $h\to0$ とすると $b^{\mathsf T}\phi=K/n$ を得る。▨

定理 4.5. $s\in\NN$ 、 $A\in\R^{s\times s}$ 、 $b\in\R^s$ 、 $c:=A\mathbf1$ 、 $C:=\operatorname{diag}(c)$ とし、 $c^q$ は成分ごとの冪とする。 $(A,b)$ についての次の条件を考える。

$b^{\mathsf T}\mathbf1=1$ 。
$b^{\mathsf T}c=\frac12$ 。
$b^{\mathsf T}c^2=\frac13$ かつ $b^{\mathsf T}Ac=\frac16$ 。
$b^{\mathsf T}c^3=\frac14$ 、 $b^{\mathsf T}CAc=\frac18$ 、 $b^{\mathsf T}Ac^2=\frac1{12}$ かつ $b^{\mathsf T}A^2c=\frac1{24}$ 。

各 $p\in\NN$ に対して、 $s^2+s$ 変数の実係数多項式 $P_1,\dots,P_N$ が存在し、任意の $A\in\R^{s\times s}$ と $b\in\R^s$ について、Butcher 配列 $(A,b)$ の Runge–Kutta 法の局所次数が $p$ 以上であることと $P_1(A,b)=\dots=P_N(A,b)=0$ は同値である。
$p\in\{1,2,3,4\}$ とする。Butcher 配列 $(A,b)$ の Runge–Kutta 法の局所次数が $p$ 以上であることと、上の条件の最初の $p$ 項がすべて成り立つことは同値である。

証明.(1)を示す。 $d\in\NN$ 、開集合 $\Omega$ 、 $f\in C^p(\Omega;\R^d)$ 、 $x\in\Omega$ 、 $1\le q\le p$ 、 $1\le l\le d$ の各組について、 $(A,b)$ に命題 4.3の $\Delta^f_q(x)$ の第 $l$ 成分を対応させる関数を考える。 $G_q$ は $(A,b)$ によらないから、補題 4.2 (3)によりこの関数は次数 $p$ 以下の実係数多項式である。これらの多項式全体の集合を $\mathcal S$ とする。次数 $p$ 以下の $s^2+s$ 変数実係数多項式のなす実線形空間は有限次元であるから、 $\mathcal S$ が張る部分空間も有限次元であり、 $\mathcal S$ の元 $P_1,\dots,P_N$ でその基底をなすものが存在する。 $\mathcal S$ の各元は $P_1,\dots,P_N$ の一次結合であり、各 $P_l$ は $\mathcal S$ の元であるから、 $\mathcal S$ のすべての元が $(A,b)$ で $0$ になることと $P_1(A,b)=\dots=P_N(A,b)=0$ は同値である。命題 4.3により、前者は局所次数が $p$ 以上であることと同値である。

(2)を示す。 $d$ 、 $\Omega$ 、 $f\in C^p(\Omega;\R^d)$ 、 $x\in\Omega$ を取り、 $g:=(1,f)$ とし、 $x$ で評価した値を $g:=g(x)$ 、 $g'[w]:=Dg(x)[w]$ 、 $g''[w,w']:=D^2g(x)[w,w']$ 、 $g'''[w,w',w'']:=D^3g(x)[w,w',w'']$ と略記する。 $p\ge2$ では $D^2g(x)$ は対称である。 $c=A\mathbf1$ により $\zeta_{i,0}=c_ig$ であり、補題 4.2の定義から、 $q\le p-1$ の範囲で

\kappa_{i,1}=c_ig'[g],\qquad\kappa_{i,2}=(Ac)_ig'[g'[g]]+\frac{c_i^2}2g''[g,g],

\kappa_{i,3}=(A^2c)_ig'[g'[g'[g]]]+\frac{(Ac^2)_i}2g'[g''[g,g]]+c_i(Ac)_ig''[g,g'[g]]+\frac{c_i^3}6g'''[g,g,g]

を得る。 $\kappa_{i,3}$ の第3項は $k=2$ の二つの項 $\frac12g''[\zeta_{i,0},\zeta_{i,1}]+\frac12g''[\zeta_{i,1},\zeta_{i,0}]$ を $D^2g(x)$ の対称性でまとめたものである。 $G_{q+1}=DG_q[g]$ に連鎖律と $D^2g$ の対称性を用いると

G_2=g'[g],\quad G_3=g''[g,g]+g'[g'[g]],\quad G_4=g'''[g,g,g]+3g''[g,g'[g]]+g'[g''[g,g]]+g'[g'[g'[g]]]

である。 $\sum_ib_i\kappa_{i,q-1}$ の係数を $\sum_ib_ic_i(Ac)_i=b^{\mathsf T}CAc$ 、 $\sum_ib_i(Ac^2)_i=b^{\mathsf T}Ac^2$ などの内積で書き、 $G_q/q!$ を引くと

\Delta^f_1=(b^{\mathsf T}\mathbf1-1)\pr_2g,\qquad\Delta^f_2=\Bigl(b^{\mathsf T}c-\frac12\Bigr)\pr_2g'[g],

\Delta^f_3=\Bigl(b^{\mathsf T}Ac-\frac16\Bigr)\pr_2g'[g'[g]]+\frac12\Bigl(b^{\mathsf T}c^2-\frac13\Bigr)\pr_2g''[g,g],

\begin{aligned} \Delta^f_4={}&\Bigl(b^{\mathsf T}A^2c-\frac1{24}\Bigr)\pr_2g'[g'[g'[g]]]+\frac12\Bigl(b^{\mathsf T}Ac^2-\frac1{12}\Bigr)\pr_2g'[g''[g,g]]\\ &+\Bigl(b^{\mathsf T}CAc-\frac18\Bigr)\pr_2g''[g,g'[g]]+\frac16\Bigl(b^{\mathsf T}c^3-\frac14\Bigr)\pr_2g'''[g,g,g] \end{aligned}

を得る（ $q\le p$ の範囲）。条件の最初の $p$ 項が成り立てば、任意の $d$ 、 $\Omega$ 、 $f$ 、 $x$ と $q\le p$ について $\Delta^f_q(x)=0$ であり、命題 4.3により局所次数は $p$ 以上である。

逆に局所次数が $p$ 以上であるとする。 $q=0,1,2,3$ の三つ組 $(\mathbf1,1,1)$ 、 $(c,1,2)$ 、 $(c^2,1,3)$ 、 $(c^3,1,4)$ は補題 4.4の $\mathcal T$ に属する。 $(c,1,2)$ に $q=0$ と $q=1$ の写像を適用して $(Ac,\frac12,3)$ と $(CAc,\frac12,4)$ を得る。 $(c^2,1,3)$ に $q=0$ の写像を適用して $(Ac^2,\frac13,4)$ を得る。 $(Ac,\frac12,3)$ に $q=0$ の写像を適用して $(A^2c,\frac16,4)$ を得る。第3成分が $p$ 以下のものに補題 4.4を適用すると、 $b^{\mathsf T}\mathbf1=1$ 、 $b^{\mathsf T}c=\frac12$ 、 $b^{\mathsf T}c^2=\frac13$ 、 $b^{\mathsf T}Ac=\frac16$ 、 $b^{\mathsf T}c^3=\frac14$ 、 $b^{\mathsf T}CAc=\frac18$ 、 $b^{\mathsf T}Ac^2=\frac1{12}$ 、 $b^{\mathsf T}A^2c=\frac1{24}$ のうち次数 $p$ 以下のものが成り立ち、これは条件の最初の $p$ 項である。▨

5 陽的法の段数と局所次数

補題 5.1. $s,p\in\NN$ とし、 $A\in\R^{s\times s}$ を狭義下三角行列、 $b\in\R^s$ とする。Butcher 配列 $(A,b)$ の陽的 Runge–Kutta 法の局所次数が $p$ 以上ならば $p\le s$ である。

証明. $d=1$ 、 $\Omega=\R^2$ 、 $f(t,u)=u$ 、解 $y(\tau)=e^\tau$ （ $J=\R$ ）、 $t_0=0$ 、 $T=1$ とする。 $A$ は狭義下三角であるから $A^s=0$ であり、 $I-hA$ は正則で $(I-hA)^{-1}=\sum_{j=0}^{s-1}h^jA^j$ である。 $(0,1,h)$ における段の方程式は $(I-hA)k=\mathbf1$ であるから $k=\sum_{j=0}^{s-1}h^jA^j\mathbf1$ であり、

\Psi_h(0,1)=R(h),\qquad R(h):=1+\sum_{j=1}^sh^jb^{\mathsf T}A^{j-1}\mathbf1

を得る。よって $\delta_y(0,h)=e^h-R(h)$ である。補題 1.5 (1)を $\exp$ と $r=s+1$ に適用すると

e^h-R(h)=\sum_{j=1}^sh^j\Bigl(\frac1{j!}-b^{\mathsf T}A^{j-1}\mathbf1\Bigr)+\frac{h^{s+1}}{(s+1)!}+\epsilon(h),\qquad|\epsilon(h)|\le\frac{h^{s+2}e^h}{(s+2)!}

である。局所次数が $p$ 以上であるとすると、 $C_1\ge0$ と $h_0>0$ が存在して $0<h\le h_0$ で $|e^h-R(h)|\le C_1h^{p+1}$ が成り立つ。 $j\le\min\{p,s\}$ で $h^j$ の係数が $0$ でないものがあるとし、その最小の $j$ で両辺を $h^j$ で割って $h\to0$ とすると、その係数が $0$ になり、係数が $0$ でないことと両立しない。よって $j\le\min\{p,s\}$ について $b^{\mathsf T}A^{j-1}\mathbf1=1/j!$ である。 $p\ge s+1$ と仮定すると、すべての $j\le s$ の係数が $0$ であるから $|h^{s+1}/(s+1)!+\epsilon(h)|\le C_1h^{s+2}$ となり、 $h^{s+1}$ で割って $h\to0$ とすると $1/(s+1)!=0$ を得て両立しない。したがって $p\le s$ である。▨

系 5.2.

前進 Euler 法の局所次数は $1$ である。
中点法と Heun 法の局所次数は $2$ である。
古典的 Runge–Kutta 法の局所次数は $4$ である。
後退 Euler 法の局所次数は $1$ である。

証明.(1)を示す。命題 1.6により前進 Euler 法の局所次数は $1$ 以上であり、例 1.7により $2$ 以上でない。

(2)を示す。中点法では $b^{\mathsf T}\mathbf1=0+1=1$ 、 $b^{\mathsf T}c=1\cdot\frac12=\frac12$ であり、Heun 法では $b^{\mathsf T}\mathbf1=\frac12+\frac12=1$ 、 $b^{\mathsf T}c=\frac12\cdot0+\frac12\cdot1=\frac12$ である。定理 4.5 (2)により局所次数は $2$ 以上であり、補題 5.1により $2$ 以下である。

(3)を示す。 $c=(0,\frac12,\frac12,1)^{\mathsf T}$ 、 $Ac=(0,0,\frac14,\frac12)^{\mathsf T}$ 、 $Ac^2=(0,0,\frac18,\frac14)^{\mathsf T}$ 、 $A^2c=(0,0,0,\frac14)^{\mathsf T}$ 、 $CAc=(0,0,\frac18,\frac12)^{\mathsf T}$ であり、 $b=\frac16(1,2,2,1)^{\mathsf T}$ との内積は

\begin{aligned} &b^{\mathsf T}\mathbf1=\tfrac16(1+2+2+1)=1,&&b^{\mathsf T}c=\tfrac16(1+1+1)=\tfrac12,&&b^{\mathsf T}c^2=\tfrac16(\tfrac12+\tfrac12+1)=\tfrac13,\\ &b^{\mathsf T}Ac=\tfrac16(\tfrac12+\tfrac12)=\tfrac16,&&b^{\mathsf T}c^3=\tfrac16(\tfrac14+\tfrac14+1)=\tfrac14,&&b^{\mathsf T}CAc=\tfrac16(\tfrac14+\tfrac12)=\tfrac18,\\ &b^{\mathsf T}Ac^2=\tfrac16(\tfrac14+\tfrac14)=\tfrac1{12},&&b^{\mathsf T}A^2c=\tfrac16\cdot\tfrac14=\tfrac1{24} \end{aligned}

である。定理 4.5 (2)により局所次数は $4$ 以上であり、補題 5.1により $4$ 以下である。

(4)を示す。十分小さい刻みでは、後退 Euler 法の一歩写像は Butcher 配列 $\begin{array}{c|c}1&1\\\hline&1\end{array}$ の陰的 1 段 Runge–Kutta 法の一歩写像と同じ値をとる。この配列では $b^{\mathsf T}\mathbf1=1$ 、 $b^{\mathsf T}c=1\ne\frac12$ であるから、定理 4.5 (2)により局所次数は $1$ 以上であり $2$ 以上でない。▨

例 5.3. $d=1$ 、 $\Omega=\R^2$ 、 $f(t,u)=3t^2$ 、解 $y(\tau)=\tau^3$ 、 $t=0$ とする。任意の Butcher 配列 $(A,b)$ について、段の方程式は $k_i=3(c_ih)^2$ であり解はただ一つであるから、 $\Psi_h(0,0)=3h^3b^{\mathsf T}c^2$ であり

\delta_y(0,h)=h^3-3h^3b^{\mathsf T}c^2=3h^3\Bigl(\frac13-b^{\mathsf T}c^2\Bigr)

である。前進 Euler 法は Butcher 配列 $\begin{array}{c|c}0&0\\\hline&1\end{array}$ の陽的 1 段 Runge–Kutta 法である。Butcher 配列

\begin{array}{c|cc}0&0&0\\\tfrac23&\tfrac23&0\\\hline&\tfrac14&\tfrac34\end{array}

の陽的 2 段法を含め、各方法の $b^{\mathsf T}c^2$ と $\delta_y(0,h)$ は次のとおりである。

方法	$b^{\mathsf T}c^2$	$\delta_y(0,h)$
前進 Euler 法	$0$	$h^3$
中点法	$1/4$	$h^3/4$
Heun 法	$1/2$	$-h^3/2$
上の陽的 2 段法	$1/3$	$0$
古典的 Runge–Kutta 法	$1/3$	$0$
後退 Euler 法	$1$	$-2h^3$

上の陽的 2 段法では $b^{\mathsf T}\mathbf1=1$ 、 $b^{\mathsf T}c=\frac34\cdot\frac23=\frac12$ であるから、定理 4.5 (2)と補題 5.1により局所次数は $2$ である。この方法の局所打切り誤差はこの解ではすべての $h>0$ で $0$ であるが、局所次数は $3$ 以上でない。

定理 5.4. $s\in\NN$ とし、 $A\in\R^{s\times s}$ を狭義下三角行列、 $b\in\R^s$ とする。

Butcher 配列 $(A,b)$ の陽的 Runge–Kutta 法の局所次数が $p$ 以上ならば $p\le s$ である。
$s\ge5$ ならば、Butcher 配列 $(A,b)$ の陽的 Runge–Kutta 法の局所次数は $s$ 以上でない。特に、局所次数が $5$ の陽的 5 段 Runge–Kutta 法は存在しない。

証明.(1)を示す。補題 5.1により、局所次数が $p$ 以上ならば $p\le s$ である。

(2)を示す。 $s\ge5$ とし、局所次数が $s$ 以上であると仮定する。 $c:=A\mathbf1$ 、 $C:=\operatorname{diag}(c)$ と置き、 $c^q$ は成分ごとの冪とする。 $A$ は狭義下三角であるから $c_1=0$ 、 $c_2=a_{21}$ である。補題 4.4の三つ組 $(\mathbf1,1,1)$ に $q=0$ の写像 $(\phi,K,n)\mapsto(A\phi,K/n,n+1)$ を $j$ 回適用すると $(A^j\mathbf1,1/j!,j+1)\in\mathcal T$ を得る。 $j=s-1$ とすると第3成分は $s$ であるから、補題 4.4を $p=s$ で用いて $b^{\mathsf T}A^{s-1}\mathbf1=\frac1{(s-1)!}\cdot\frac1s=\frac1{s!}$ を得る。 $(A^{s-1})_{ij}$ は $i=j_0>j_1>\dots>j_{s-1}=j$ を満たす添字の列にわたる積 $a_{j_0j_1}\cdots a_{j_{s-2}j_{s-1}}$ の和であり、そのような列は $j_l=s-l$ に限るから、 $b^{\mathsf T}A^{s-1}\mathbf1=b_sa_{s,s-1}\cdots a_{21}=1/s!$ である。特に $c_2=a_{21}\ne0$ である。

$r:=s-5$ 、 $w^{\mathsf T}:=b^{\mathsf T}A^r$ と置く。 $(A^r)_{ij}\ne0$ には $i\ge j+r$ が必要であるから、 $j>5$ について $w_j=0$ である。補題 4.4の写像を $q=0$ で $r$ 回適用すると、 $(\phi,K,n)\in\mathcal T$ から $(A^r\phi,\ K(n-1)!/(n+r-1)!,\ n+r)\in\mathcal T$ を得る。 $\beta_q:=(c^q,1,q+1)$ とし、 $\iota_q$ を写像 $(\phi,K,n)\mapsto(C^qA\phi,K/n,n+q+1)$ とすると、次の表の各行の $(\phi,K,n)$ は $\mathcal T$ に属し、 $n+r\le s$ である。補題 4.4により $w^{\mathsf T}\phi=b^{\mathsf T}A^r\phi=K(n-1)!/(n+r)!$ であり、 $n+r=s-(5-n)$ を代入すると表の最後の列を得る。

$\phi$	生成	$K$	$n$	$w^{\mathsf T}\phi$
$A^3c$	$\iota_0\iota_0\iota_0\beta_1$	$1/24$	$5$	$1/s!$
$A^2c^2$	$\iota_0\iota_0\beta_2$	$1/12$	$5$	$2/s!$
$A^2c$	$\iota_0\iota_0\beta_1$	$1/6$	$4$	$1/(s-1)!$
$CA^2c$	$\iota_1\iota_0\beta_1$	$1/6$	$5$	$4/s!$
$CAc^2$	$\iota_1\beta_2$	$1/3$	$5$	$8/s!$
$Ac^2$	$\iota_0\beta_2$	$1/3$	$4$	$2/(s-1)!$
$CAc$	$\iota_1\beta_1$	$1/2$	$4$	$3/(s-1)!$
$Ac$	$\iota_0\beta_1$	$1/2$	$3$	$1/(s-2)!$
$C^2Ac$	$\iota_2\beta_1$	$1/2$	$5$	$12/s!$
$c^4$	$\beta_4$	$1$	$5$	$24/s!$
$c^3$	$\beta_3$	$1$	$4$	$6/(s-1)!$
$c^2$	$\beta_2$	$1$	$3$	$2/(s-2)!$
$c$	$\beta_1$	$1$	$2$	$1/(s-3)!$

$\tilde c:=c^2-c_2c$ と置く。 $c_1=0$ と三角性から、 $j\le5$ の成分は

(Ac)_1=(Ac)_2=0,\ (Ac)_3=a_{32}c_2;\quad (A^2c)_j=0\ (j\le3),\ (A^2c)_4=a_{43}a_{32}c_2;\quad (A^3c)_j=0\ (j\le4),\ (A^3c)_5=a_{54}a_{43}a_{32}c_2,

\tilde c_1=\tilde c_2=0,\ \tilde c_3=c_3(c_3-c_2);\quad (A\tilde c)_j=0\ (j\le3),\ (A\tilde c)_4=a_{43}\tilde c_3;\quad (A^2\tilde c)_j=0\ (j\le4),\ (A^2\tilde c)_5=a_{54}a_{43}\tilde c_3

である。

u:=\begin{pmatrix}w_5a_{54}a_{43}\\w_4(c_4-c_5)a_{43}\\w_3(c_3-c_5)(c_3-c_4)\end{pmatrix},\qquad v:=\begin{pmatrix}a_{32}c_2&c_3(c_3-c_2)\end{pmatrix}

と置く。 $w_j=0$ （ $j>5$ ）と上の成分により、 $c_j-c_5$ が $j=5$ で、 $(c_j-c_5)(c_j-c_4)$ が $j=4,5$ で $0$ になることを用いると

uv=\begin{pmatrix} w^{\mathsf T}A^3c & w^{\mathsf T}A^2\tilde c\\ w^{\mathsf T}(C-c_5I)A^2c & w^{\mathsf T}(C-c_5I)A\tilde c\\ w^{\mathsf T}(C-c_5I)(C-c_4I)Ac & w^{\mathsf T}(C-c_5I)(C-c_4I)\tilde c \end{pmatrix}

を得る。実際、第1行の和は $j=5$ の項だけ、第2行の和は $j=4$ の項だけ、第3行の和は $j=3$ の項だけが残り、それぞれ $u_1v$ 、 $u_2v$ 、 $u_3v$ に等しい。

$M:=s!\,uv$ と置く。 $Cc^q=c^{q+1}$ を用いて

\begin{aligned} A^2\tilde c&=A^2c^2-c_2A^2c,\qquad (C-c_5I)A^2c=CA^2c-c_5A^2c,\\ (C-c_5I)A\tilde c&=CAc^2-c_2CAc-c_5Ac^2+c_2c_5Ac,\\ (C-c_5I)(C-c_4I)Ac&=C^2Ac-(c_4+c_5)CAc+c_4c_5Ac,\\ (C-c_5I)(C-c_4I)\tilde c&=c^4-(c_4+c_5)c^3+c_4c_5c^2-c_2\{c^3-(c_4+c_5)c^2+c_4c_5c\} \end{aligned}

と展開し、表の値と $s!/(s-1)!=s$ 、 $s!/(s-2)!=s(s-1)$ 、 $s!/(s-3)!=s(s-1)(s-2)$ を代入すると

M=\begin{pmatrix} 1&2-sc_2\\ 4-sc_5&8-2sc_5-c_2\{3s-s(s-1)c_5\}\\ 12-3s(c_4+c_5)+s(s-1)c_4c_5&24-6s(c_4+c_5)+2s(s-1)c_4c_5-c_2\{6s-2s(s-1)(c_4+c_5)+s(s-1)(s-2)c_4c_5\} \end{pmatrix}

である。 $M=s!\,uv$ の階数は $1$ 以下であるから、 $M$ の $2\times2$ 小行列式はすべて $0$ である。第1・2行の小行列式は

M_{11}M_{22}-M_{12}M_{21}=sc_2(1-c_5)

であり、 $c_2\ne0$ から $c_5=1$ を得る。 $c_5=1$ を代入すると $M_{31}=12-3s+s(s-4)c_4$ 、 $M_{32}=24-6s+2s(s-4)c_4+2s(s-4)c_2-s(s-1)(s-4)c_2c_4$ であり、第1・3行の小行列式は

M_{11}M_{32}-M_{12}M_{31}=s(s-4)c_2(c_4-1)

である。 $s\ge5$ と $c_2\ne0$ から $c_4=1$ を得る。

$(A^2c)_j=0$ （ $j\le3$ ）、 $w_j=0$ （ $j>5$ ）、 $c_4=c_5=1$ により、 $w^{\mathsf T}(I-C)A^2c=\sum_{j=4}^5w_j(1-c_j)(A^2c)_j=0$ である。一方、表の $A^2c$ と $CA^2c$ の行から

w^{\mathsf T}(I-C)A^2c=\frac1{(s-1)!}-\frac4{s!}=\frac{s-4}{s!}\ne0

である。二つの値は両立しないから、局所次数が $s$ 以上であるという仮定は成り立たない。▨

6 演習

問題 6.1.補題 1.4の証明を完成させよ。

解答.

$K=\varnothing$ ならば任意の $\rho$ について $K^\rho=\varnothing$ であり、主張は成り立つ。 $K\ne\varnothing$ とする。 $K$ は有界であるから $\|x'\|\le R_0$ （ $x'\in K$ ）を満たす $R_0$ が存在し、 $K^\rho$ の元 $x$ は $\|x\|\le R_0+\rho$ を満たす。 $K^\rho$ の点列 $(x_n)$ が $x\in\R^m$ に収束するとし、 $\|x_n-x'_n\|\le\rho$ を満たす $x'_n\in K$ を取る。 $K$ はコンパクトであるから、部分列 $(x'_{n_k})$ が $x'\in K$ に収束し、 $\|x-x'\|=\lim_k\|x_{n_k}-x'_{n_k}\|\le\rho$ である。したがって $x\in K^\rho$ であり、 $K^\rho$ は $\R^m$ の有界閉集合であるからコンパクトである。

$U=\R^m$ ならば任意の $\rho>0$ が条件を満たす。 $U\ne\R^m$ とし、 $\varphi(x):=\inf\{\|x-z\|\mid z\in\R^m\setminus U\}$ と置く。任意の $x,x'$ について $\varphi(x)\le\|x-x'\|+\varphi(x')$ であるから $|\varphi(x)-\varphi(x')|\le\|x-x'\|$ であり、 $\varphi$ は連続である。 $x\in U$ ならば、 $U$ は開集合であるから $\{x''\mid\|x''-x\|<\epsilon\}\subseteq U$ を満たす $\epsilon>0$ が存在し、 $\varphi(x)\ge\epsilon>0$ である。 $K$ はコンパクトであるから $\delta:=\min_{x\in K}\varphi(x)$ が存在し、 $\delta>0$ である。 $\rho:=\delta/2$ と置き、 $x\in K^\rho$ と $\|x-x'\|\le\rho$ を満たす $x'\in K$ を取る。任意の $z\in\R^m\setminus U$ について $\|x-z\|\ge\|x'-z\|-\|x-x'\|\ge\delta-\rho>0$ であるから $x\ne z$ であり、 $x\in U$ である。▨

問題 6.2. 陽的 2 段 Runge–Kutta 法

\begin{array}{c|cc}0&0&0\\a_{21}&a_{21}&0\\\hline&b_1&b_2\end{array}

について、次を示せ。局所次数が $2$ 以上であることと $b_1+b_2=1$ かつ $b_2a_{21}=\frac12$ が成り立つことは同値であり、このとき局所次数は $2$ である。さらにこのとき、 $d=1$ 、 $\Omega=\R^2$ 、 $f(t,u)=\varphi(t)$ の形の右辺を考えると、次数 $2$ 以下の任意の実係数多項式 $\varphi\colon\R\to\R$ について局所打切り誤差がすべて $0$ になることと $a_{21}=\frac23$ は同値である。

解答.

$c=(0,a_{21})^{\mathsf T}$ であるから $b^{\mathsf T}\mathbf1=b_1+b_2$ 、 $b^{\mathsf T}c=b_2a_{21}$ である。定理 4.5 (2)を $p=2$ で用いると、局所次数が $2$ 以上であることは $b_1+b_2=1$ かつ $b_2a_{21}=\frac12$ と同値である。このとき補題 5.1により局所次数は $2$ 以下であり、したがって $2$ である。

$f(t,u)=\varphi(t)$ とすると、段の方程式の解は $k_i=\varphi(t+c_ih)$ ただ一つであり、解 $y$ について

\delta_y(t,h)=\int_t^{t+h}\varphi(\sigma)\,d\sigma-h\bigl(b_1\varphi(t)+b_2\varphi(t+a_{21}h)\bigr)

である。 $\varphi(\sigma)=\sum_{j=0}^2\lambda_j(\sigma-t)^j$ と書くと

\delta_y(t,h)=\lambda_0h(1-b_1-b_2)+\lambda_1h^2\Bigl(\frac12-b_2a_{21}\Bigr)+\lambda_2h^3\Bigl(\frac13-b_2a_{21}^2\Bigr)

である。 $b_1+b_2=1$ と $b_2a_{21}=\frac12$ のもとで最初の二項は $0$ であり、 $b_2a_{21}^2=\frac12a_{21}$ であるから、任意の $\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2$ 、 $t$ 、 $h>0$ について $\delta_y(t,h)=0$ であることは $\frac13-\frac12a_{21}=0$ 、すなわち $a_{21}=\frac23$ と同値である。このとき $b_2=\frac34$ 、 $b_1=\frac14$ であり、例 5.3の陽的 2 段法に一致する。▨

§E20.27常微分方程式の一段法