§E20.36区間演算と誤差の包含

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丸め誤差の解析は、浮動小数点数による計算値と真の値との差を、単位丸め誤差を用いて上から評価する。しかし、最近接丸めの誤差評価は誤差の大きさだけを与えて符号を定めないので、計算値だけからは、真の値が計算値のどちら側にあるかは定まらない。

計算の対象を数から閉区間へ替え、除数の区間が零を含まない場合に商を定め、二つの区間の元どうしの四則演算の結果全体を再び区間として求める演算を区間演算という。端点の丸め先が存在する範囲では、下端を下向き、上端を上向きに丸める外向き丸めによって、浮動小数点数を端点とする区間も元の区間を含む。たとえば1/31/3を小数第一位まで丸めるとき、最近接丸めは3/103/10を与え、外向き丸めは1/31/3を含む区間[3/10, 4/10][3/10,\ 4/10]を与える。

区間演算によって得た包含区間の幅は、その区間に属する近似値の誤差の上界を与える。一方で、同じ変数が式に複数回現れると区間演算はそれらを独立な値として扱うので、X=[0,1]X=[0,1]に対するX−XX-Xが[−1,1][-1,1]となるように、区間は値の集合より広くなりうる。

本記事では、区間演算と外向き丸めを定義し、真の値の包含とその精度について解説する。

1 区間と箱

定義 1.1.

  1. a≤ba\le bを満たす実数a,ba,bに対する閉区間[a,b]={x∈R∣a≤x≤b}[a,b]=\{x\in\R\mid a\le x\le b\}を 有限閉区間 (finite closed interval) といい、その全体をIR\mathbb{I}\Rと書く。a=ba=bのとき[a,a]={a}[a,a]=\{a\}を 退化区間 (degenerate interval) という。X∈IRX\in\mathbb{I}\Rに対してinf⁡X\inf Xとsup⁡X\sup XをXXの端点といい、 w(X):=sup⁡X−inf⁡X,mid⁡X:=inf⁡X+sup⁡X2,rad⁡X:=w(X)2,mag⁡X:=max⁡{∣inf⁡X∣,∣sup⁡X∣}w(X):=\sup X-\inf X,\qquad \operatorname{mid}X:=\frac{\inf X+\sup X}{2},\qquad \operatorname{rad}X:=\frac{w(X)}{2},\qquad \operatorname{mag}X:=\max\{|\inf X|,|\sup X|\} をそれぞれXXの 幅 (width)、中点 (midpoint)、半径 (radius)、大きさ (magnitude) という。
  2. n∈N≥1n\in\NNとX1,…,Xn∈IRX_1,\dots,X_n\in\mathbb{I}\Rに対する直積X=X1×⋯×Xn⊂RnX=X_1\times\cdots\times X_n\subset\R^nを 箱 (box) といい、mid⁡X:=(mid⁡X1,…,mid⁡Xn)\operatorname{mid}X:=(\operatorname{mid}X_1,\dots,\operatorname{mid}X_n)と置く。各XiX_iは空でないので、XiX_iはXXの第ii座標への射影としてXXから定まり、箱X′X'とXXについてX′⊂XX'\subset Xであることと、すべてのiiに対してXi′⊂XiX'_i\subset X_iであることは同値である。n=1n=1のとき、箱はIR\mathbb{I}\Rの元である。
  3. 空でない有界集合V⊂RV\subset\Rに対して□V:=[inf⁡V,sup⁡V]∈IR\square V:=[\inf V,\sup V]\in\mathbb{I}\RをVVの 区間包 (interval hull) という。
  4. 集合V⊂RV\subset\Rに対して、V⊂YV\subset Yを満たすY∈IRY\in\mathbb{I}\RをVVの 包含区間 (enclosure) という。集合SS上の関数f ⁣:S→Rf\colon S\to\Rについては、値の集合f(S)={f(s)∣s∈S}f(S)=\{f(s)\mid s\in S\}の包含区間をSS上のffの値の包含区間という。

補題 1.2.Y∈IRY\in\mathbb{I}\Rとする。

  1. 空でない集合V⊂YV\subset Yに対して□V⊂Y\square V\subset Yが成り立つ。
  2. y∈Yy\in Yならば、任意のy^∈R\hat y\in\Rに対して ∣y^−y∣≤max⁡{∣y^−inf⁡Y∣, ∣y^−sup⁡Y∣}|\hat y-y|\le\max\{|\hat y-\inf Y|,\ |\hat y-\sup Y|\} が成り立つ。特に∣mid⁡Y−y∣≤rad⁡Y|\operatorname{mid}Y-y|\le\operatorname{rad}Yであり、y^∈Y\hat y\in Yならば∣y^−y∣≤w(Y)|\hat y-y|\le w(Y)である。

証明.VVの各元vvはinf⁡Y≤v≤sup⁡Y\inf Y\le v\le\sup Yを満たすので、VVは有界であり、inf⁡Y≤inf⁡V\inf Y\le\inf Vかつsup⁡V≤sup⁡Y\sup V\le\sup Yである。これで(1)は示された。

y∈Yy\in Yとy^∈R\hat y\in\Rに対してinf⁡Y−y^≤y−y^≤sup⁡Y−y^\inf Y-\hat y\le y-\hat y\le\sup Y-\hat yであるから、∣y−y^∣|y-\hat y|は∣inf⁡Y−y^∣|\inf Y-\hat y|と∣sup⁡Y−y^∣|\sup Y-\hat y|の大きい方以下である。y^=mid⁡Y\hat y=\operatorname{mid}Yならば両者はともにrad⁡Y\operatorname{rad}Yに等しく、y^∈Y\hat y\in Yならば両者はともにw(Y)w(Y)以下である。▨

2 四則演算

補題 2.1.X,Y∈IRX,Y\in\mathbb{I}\Rとし、φ ⁣:X×Y→R\varphi\colon X\times Y\to\Rを次の条件を満たす関数とする。各y∈Yy\in Yに対して実数α,β\alpha,\betaが存在して、任意のx∈Xx\in Xでφ(x,y)=α+βx\varphi(x,y)=\alpha+\beta xである。各x∈Xx\in Xに対して実数γ,δ\gamma,\deltaが存在して、任意のy∈Yy\in Yでφ(x,y)=γ+δy\varphi(x,y)=\gamma+\delta yである。

C:={φ(x,y)∣x∈{inf⁡X,sup⁡X}, y∈{inf⁡Y,sup⁡Y}}C:=\{\varphi(x,y)\mid x\in\{\inf X,\sup X\},\ y\in\{\inf Y,\sup Y\}\}

と置くと、φ(X×Y)=[min⁡C,max⁡C]\varphi(X\times Y)=[\min C,\max C]が成り立つ。

証明. 実数p≤qp\le qとα,β\alpha,\betaに対してg(t):=α+βtg(t):=\alpha+\beta tと置く。t∈[p,q]t\in[p,q]はあるλ∈[0,1]\lambda\in[0,1]によりt=(1−λ)p+λqt=(1-\lambda)p+\lambda qと書くことができ、このときg(t)=(1−λ)g(p)+λg(q)g(t)=(1-\lambda)g(p)+\lambda g(q)である。逆に任意のλ∈[0,1]\lambda\in[0,1]に対して(1−λ)p+λq∈[p,q](1-\lambda)p+\lambda q\in[p,q]である。したがって

g([p,q])={(1−λ)g(p)+λg(q)∣λ∈[0,1]}=[min⁡{g(p),g(q)}, max⁡{g(p),g(q)}]g([p,q])=\{(1-\lambda)g(p)+\lambda g(q)\mid\lambda\in[0,1]\}=[\min\{g(p),g(q)\},\ \max\{g(p),g(q)\}]

である。

X=[a,b]X=[a,b]、Y=[c,d]Y=[c,d]、m:=min⁡Cm:=\min C、M:=max⁡CM:=\max Cと置き、(x,y)∈X×Y(x,y)\in X\times Yをとる。前段の等式をYY上の関数y′↦φ(a,y′)y'\mapsto\varphi(a,y')とy′↦φ(b,y′)y'\mapsto\varphi(b,y')に適用すると、φ(a,y)\varphi(a,y)とφ(b,y)\varphi(b,y)はそれぞれCCの二元の間にあるので[m,M][m,M]に属する。前段の等式をXX上の関数x′↦φ(x′,y)x'\mapsto\varphi(x',y)に適用すると、φ(x,y)\varphi(x,y)はφ(a,y)\varphi(a,y)とφ(b,y)\varphi(b,y)の間にあるので[m,M][m,M]に属する。したがってφ(X×Y)⊂[m,M]\varphi(X\times Y)\subset[m,M]である。

x0,x1∈{a,b}x_0,x_1\in\{a,b\}とy0,y1∈{c,d}y_0,y_1\in\{c,d\}をφ(x0,y0)=m\varphi(x_0,y_0)=m、φ(x1,y1)=M\varphi(x_1,y_1)=Mとなるようにとる。x0x_0とx1x_1を端点とする閉区間はXXに含まれ、第一段の等式によりx′↦φ(x′,y0)x'\mapsto\varphi(x',y_0)はその上でmmとφ(x1,y0)\varphi(x_1,y_0)の間のすべての値をとる。y0y_0とy1y_1を端点とする閉区間はYYに含まれ、第一段の等式によりy′↦φ(x1,y′)y'\mapsto\varphi(x_1,y')はその上でφ(x1,y0)\varphi(x_1,y_0)とMMの間のすべての値をとる。第二段によりm≤φ(x1,y0)≤Mm\le\varphi(x_1,y_0)\le Mであるから、[m,M][m,M]の各元はこの二つの関数のいずれかの値であり、[m,M]⊂φ(X×Y)[m,M]\subset\varphi(X\times Y)が成り立つ。▨

定義 2.2 (区間演算).X,Y∈IRX,Y\in\mathbb{I}\Rに対して

X+Y:={x+y∣x∈X, y∈Y},X−Y:={x−y∣x∈X, y∈Y},X⋅Y:={xy∣x∈X, y∈Y}X+Y:=\{x+y\mid x\in X,\ y\in Y\},\qquad X-Y:=\{x-y\mid x\in X,\ y\in Y\},\qquad X\cdot Y:=\{xy\mid x\in X,\ y\in Y\}

と定め、0∉Y0\notin YのときX/Y:={x/y∣x∈X, y∈Y}X/Y:=\{x/y\mid x\in X,\ y\in Y\}と定める。これらを 区間演算 (interval arithmetic) という。

定理 2.3.X=[a,b]X=[a,b]、Y=[c,d]Y=[c,d]をIR\mathbb{I}\Rの元とし、∘\circを+,−,⋅,/+,-,\cdot,/のいずれかとする。

  1. X+Y=[a+c, b+d]X+Y=[a+c,\ b+d]、X−Y=[a−d, b−c]X-Y=[a-d,\ b-c]であり、S:={ac,ad,bc,bd}S:=\{ac,ad,bc,bd\}と置くとX⋅Y=[min⁡S, max⁡S]X\cdot Y=[\min S,\ \max S]である。0∉Y0\notin Yならばc>0c>0またはd<0d<0であり、X/Y=X⋅[1/d, 1/c]X/Y=X\cdot[1/d,\ 1/c]である。特にこれらはIR\mathbb{I}\Rの元であり、w(X+Y)=w(X−Y)=w(X)+w(Y)w(X+Y)=w(X-Y)=w(X)+w(Y)が成り立つ。
  2. ∘=/\circ={/}のときは0∉Y0\notin Yとする。x∈Xx\in X、y∈Yy\in Yならばx∘y∈X∘Yx\circ y\in X\circ Yである。
  3. X′,Y′∈IRX',Y'\in\mathbb{I}\RがX⊂X′X\subset X'、Y⊂Y′Y\subset Y'を満たし、∘=/\circ={/}のときは0∉Y′0\notin Y'であるとする。このときX∘YX\circ Yが定まり、X∘Y⊂X′∘Y′X\circ Y\subset X'\circ Y'が成り立つ。

証明.(1)を示す。(x,y)↦x+y(x,y)\mapsto x+y、x−yx-y、xyxyはいずれも補題 2.1の仮定を満たす。x+yx+yの四隅の値a+c,a+d,b+c,b+da+c,a+d,b+c,b+dの最小はa+ca+c、最大はb+db+dであり、x−yx-yの四隅の値a−c,a−d,b−c,b−da-c,a-d,b-c,b-dの最小はa−da-d、最大はb−cb-cであるから、補題 2.1により和・差・積の等式が成り立つ。幅の等式はこの端点表示から従う。0∉Y0\notin Yならばc≤0≤dc\le0\le dではないので、c>0c>0またはd<0d<0であり、YYの元はすべて同符号である。同符号のy<y′y<y'に対して1/y−1/y′=(y′−y)/(yy′)>01/y-1/y'=(y'-y)/(yy')>0であるから、y↦1/yy\mapsto1/yはYY上で狭義単調減少であり、YYを[1/d,1/c][1/d,1/c]へ写す。t∈[1/d,1/c]t\in[1/d,1/c]はc,dc,dと同符号であって1/t∈[c,d]1/t\in[c,d]を満たすから、この写像は[1/d,1/c][1/d,1/c]への全射である。したがってX/Y={xt∣x∈X, t∈[1/d,1/c]}=X⋅[1/d,1/c]X/Y=\{xt\mid x\in X,\ t\in[1/d,1/c]\}=X\cdot[1/d,1/c]である。

(2)は定義 2.2から従う。(3)を示す。∘=/\circ={/}ならば、Y⊂Y′Y\subset Y'と0∉Y′0\notin Y'から0∉Y0\notin Yである。X∘YX\circ Yの各元はx∈X⊂X′x\in X\subset X'とy∈Y⊂Y′y\in Y\subset Y'によるx∘yx\circ yであるから、X′∘Y′X'\circ Y'に属する。▨

例 2.4.

  1. [−1,2]⋅[−3,1][-1,2]\cdot[-3,1]では四隅の積が3,−1,−6,23,-1,-6,2であるから、定理 2.3 (1)により[−1,2]⋅[−3,1]=[−6,3][-1,2]\cdot[-3,1]=[-6,3]である。
  2. 負の除数について、定理 2.3 (1)により[1,2]/[−4,−2]=[1,2]⋅[−1/2,−1/4][1,2]/[-4,-2]=[1,2]\cdot[-1/2,-1/4]であり、四隅の積−1/2,−1/4,−1,−1/2-1/2,-1/4,-1,-1/2から[1,2]/[−4,−2]=[−1,−1/4][1,2]/[-4,-2]=[-1,-1/4]である。
  3. c∈Rc\in\RとY∈IRY\in\mathbb{I}\Rについて、退化区間[c,c][c,c]との演算は[c,c]+Y=[c+inf⁡Y, c+sup⁡Y][c,c]+Y=[c+\inf Y,\ c+\sup Y]、[0,0]⋅Y=[0,0][0,0]\cdot Y=[0,0]である。
  4. X=[0,1]X=[0,1]ならばX−X=[−1,1]X-X=[-1,1]であるが、{x−x∣x∈X}={0}\{x-x\mid x\in X\}=\{0\}である。X=[−1,1]X=[-1,1]ならばX⋅X=[−1,1]X\cdot X=[-1,1]であるが、{x2∣x∈X}=[0,1]\{x^2\mid x\in X\}=[0,1]である。X=[1,2]X=[1,2]ならばX/X=[1,2]⋅[1/2,1]=[1/2,2]X/X=[1,2]\cdot[1/2,1]=[1/2,2]であるが、{x/x∣x∈X}={1}\{x/x\mid x\in X\}=\{1\}である。
  5. X,Y,Z∈IRX,Y,Z\in\mathbb{I}\Rに対して、X⋅(Y+Z)X\cdot(Y+Z)の元x(y+z)x(y+z)はxy+xz∈X⋅Y+X⋅Zxy+xz\in X\cdot Y+X\cdot Zを満たすので、X⋅(Y+Z)⊂X⋅Y+X⋅ZX\cdot(Y+Z)\subset X\cdot Y+X\cdot Zである。X=[−1,1]X=[-1,1]、Y=[1,1]Y=[1,1]、Z=[−1,−1]Z=[-1,-1]ではX⋅(Y+Z)=X⋅[0,0]=[0,0]X\cdot(Y+Z)=X\cdot[0,0]=[0,0]、X⋅Y+X⋅Z=[−1,1]+[−1,1]=[−2,2]X\cdot Y+X\cdot Z=[-1,1]+[-1,1]=[-2,2]であり、包含は真である。

3 外向き丸め

定義 3.1.F=F(β,p,emin⁡,emax⁡)F=F(\beta,p,e_{\min},e_{\max})を浮動小数点数系とする（§E20.1 定義 1.1）。§E20.1 補題 1.2 (1)によりNmax⁡N_{\max}はFFの最大元であり、F=−FF=-Fであるから−Nmax⁡-N_{\max}はFFの最小元である。

  1. z∈[−Nmax⁡,Nmax⁡]z\in[-N_{\max},N_{\max}]に対して、有限集合{x∈F∣x≤z}\{x\in F\mid x\le z\}と{x∈F∣x≥z}\{x\in F\mid x\ge z\}はそれぞれ−Nmax⁡-N_{\max}とNmax⁡N_{\max}を含むので空でない。 fl⁡↓(z):=max⁡{x∈F∣x≤z},fl⁡↑(z):=min⁡{x∈F∣x≥z}\operatorname{fl}_\downarrow(z):=\max\{x\in F\mid x\le z\},\qquad \operatorname{fl}_\uparrow(z):=\min\{x\in F\mid x\ge z\} と置き、写像fl⁡↓,fl⁡↑ ⁣:[−Nmax⁡,Nmax⁡]→F\operatorname{fl}_\downarrow,\operatorname{fl}_\uparrow\colon[-N_{\max},N_{\max}]\to FをそれぞれFFの 下向き丸め (rounding downward)、上向き丸め (rounding upward) という。
  2. X∈IRX\in\mathbb{I}\RがX⊂[−Nmax⁡,Nmax⁡]X\subset[-N_{\max},N_{\max}]を満たすとき、out⁡F(X):=[fl⁡↓(inf⁡X), fl⁡↑(sup⁡X)]\operatorname{out}_F(X):=[\operatorname{fl}_\downarrow(\inf X),\ \operatorname{fl}_\uparrow(\sup X)]をXXの 外向き丸め (outward rounding) という。
  3. ∘\circを+,−,⋅,/+,-,\cdot,/のいずれかとする。X,Y∈IRX,Y\in\mathbb{I}\RについてX∘YX\circ Yが定まりX∘Y⊂[−Nmax⁡,Nmax⁡]X\circ Y\subset[-N_{\max},N_{\max}]であるとき、X∘FY:=out⁡F(X∘Y)X\circ_FY:=\operatorname{out}_F(X\circ Y)と置く。X∘FYX\circ_FYをXXとYYの 外向き丸めの区間演算 (outwardly rounded interval operation) という。

命題 3.2.F=F(β,p,emin⁡,emax⁡)F=F(\beta,p,e_{\min},e_{\max})を浮動小数点数系、uuをその単位丸め誤差、fl⁡\operatorname{fl}をFFの最近接丸めとし、z,z′∈[−Nmax⁡,Nmax⁡]z,z'\in[-N_{\max},N_{\max}]とする。0≤t≤Nmax⁡0\le t\le N_{\max}に対する整数e(t)e(t)とse=βe+1−ps_e=\beta^{e+1-p}は§E20.1 補題 1.2のものとする。

  1. fl⁡↓(z)≤z≤fl⁡↑(z)\operatorname{fl}_\downarrow(z)\le z\le\operatorname{fl}_\uparrow(z)が成り立ち、fl⁡↓(z)=z\operatorname{fl}_\downarrow(z)=zであることとz∈Fz\in Fであることとfl⁡↑(z)=z\operatorname{fl}_\uparrow(z)=zであることは同値である。z≤z′z\le z'ならばfl⁡↓(z)≤fl⁡↓(z′)\operatorname{fl}_\downarrow(z)\le\operatorname{fl}_\downarrow(z')かつfl⁡↑(z)≤fl⁡↑(z′)\operatorname{fl}_\uparrow(z)\le\operatorname{fl}_\uparrow(z')である。さらにfl⁡↓(−z)=−fl⁡↑(z)\operatorname{fl}_\downarrow(-z)=-\operatorname{fl}_\uparrow(z)が成り立つ。
  2. fl⁡(z)∈{fl⁡↓(z), fl⁡↑(z)}\operatorname{fl}(z)\in\{\operatorname{fl}_\downarrow(z),\ \operatorname{fl}_\uparrow(z)\}が成り立つ。
  3. z−fl⁡↓(z)≤se(∣z∣)z-\operatorname{fl}_\downarrow(z)\le s_{e(|z|)}かつfl⁡↑(z)−z≤se(∣z∣)\operatorname{fl}_\uparrow(z)-z\le s_{e(|z|)}が成り立つ。zzが正規範囲にあるならばse(∣z∣)≤2u∣z∣s_{e(|z|)}\le2u|z|である。

証明. 演習とする（問題 8.1）。▨

定理 3.3.F=F(β,p,emin⁡,emax⁡)F=F(\beta,p,e_{\min},e_{\max})を浮動小数点数系とし、∘\circを+,−,⋅,/+,-,\cdot,/のいずれかとする。

  1. X∈IRX\in\mathbb{I}\RがX⊂[−Nmax⁡,Nmax⁡]X\subset[-N_{\max},N_{\max}]を満たすならば、out⁡F(X)\operatorname{out}_F(X)は端点がFFに属するIR\mathbb{I}\Rの元であり、X⊂out⁡F(X)X\subset\operatorname{out}_F(X)が成り立つ。out⁡F(X)=X\operatorname{out}_F(X)=Xであることと、XXの端点がともにFFに属することは同値である。X⊂X′⊂[−Nmax⁡,Nmax⁡]X\subset X'\subset[-N_{\max},N_{\max}]を満たすX′∈IRX'\in\mathbb{I}\Rに対してout⁡F(X)⊂out⁡F(X′)\operatorname{out}_F(X)\subset\operatorname{out}_F(X')が成り立つ。
  2. X,Y∈IRX,Y\in\mathbb{I}\RについてX∘FYX\circ_FYが定まるならば、任意のx∈Xx\in X、y∈Yy\in Yに対してx∘y∈X∘FYx\circ y\in X\circ_FYである。X′,Y′∈IRX',Y'\in\mathbb{I}\RがX⊂X′X\subset X'、Y⊂Y′Y\subset Y'を満たし、X′∘FY′X'\circ_FY'が定まるならば、X∘FYX\circ_FYも定まり、X∘FY⊂X′∘FY′X\circ_FY\subset X'\circ_FY'が成り立つ。

証明.(1)を示す。命題 3.2 (1)によりfl⁡↓(inf⁡X)≤inf⁡X≤sup⁡X≤fl⁡↑(sup⁡X)\operatorname{fl}_\downarrow(\inf X)\le\inf X\le\sup X\le\operatorname{fl}_\uparrow(\sup X)であるから、out⁡F(X)\operatorname{out}_F(X)はXXを含むIR\mathbb{I}\Rの元であり、端点はFFに属する。同じ主張の等号の条件により、out⁡F(X)=X\operatorname{out}_F(X)=Xであることとinf⁡X,sup⁡X∈F\inf X,\sup X\in Fであることは同値である。X⊂X′X\subset X'ならばinf⁡X′≤inf⁡X\inf X'\le\inf Xかつsup⁡X≤sup⁡X′\sup X\le\sup X'であり、命題 3.2 (1)の単調性によりfl⁡↓(inf⁡X′)≤fl⁡↓(inf⁡X)\operatorname{fl}_\downarrow(\inf X')\le\operatorname{fl}_\downarrow(\inf X)かつfl⁡↑(sup⁡X)≤fl⁡↑(sup⁡X′)\operatorname{fl}_\uparrow(\sup X)\le\operatorname{fl}_\uparrow(\sup X')である。

(2)を示す。定理 2.3 (2)と(1)によりx∘y∈X∘Y⊂out⁡F(X∘Y)=X∘FYx\circ y\in X\circ Y\subset\operatorname{out}_F(X\circ Y)=X\circ_FYである。X′∘FY′X'\circ_FY'が定まるならば、定理 2.3 (3)によりX∘YX\circ Yが定まり、X∘Y⊂X′∘Y′⊂[−Nmax⁡,Nmax⁡]X\circ Y\subset X'\circ Y'\subset[-N_{\max},N_{\max}]であるからX∘FYX\circ_FYが定まる。(1)の単調性によりX∘FY⊂X′∘FY′X\circ_FY\subset X'\circ_FY'が成り立つ。▨

例 3.4.F=F(10,1,−1,1)F=F(10,1,-1,1)とする。s−1=10−1s_{-1}=10^{-1}、s0=1s_0=1であるから、1,3∈F1,3\in Fであり、F∩[10−1,1)={m/10∣m∈Z, 1≤m≤9}F\cap[10^{-1},1)=\{m/10\mid m\in\Z,\ 1\le m\le9\}である。1/31/3は正規範囲にあって3/103/10と4/104/10の間にあり、∣1/3−3/10∣=1/30<1/15=∣4/10−1/3∣|1/3-3/10|=1/30<1/15=|4/10-1/3|であるから、fl⁡(1/3)=3/10\operatorname{fl}(1/3)=3/10、fl⁡↓(1/3)=3/10\operatorname{fl}_\downarrow(1/3)=3/10、fl⁡↑(1/3)=4/10\operatorname{fl}_\uparrow(1/3)=4/10である。したがって

[1,1]/F[3,3]=out⁡F([1/3,1/3])=[3/10, 4/10][1,1]\mathbin{/_F}[3,3]=\operatorname{out}_F([1/3,1/3])=[3/10,\ 4/10]

は1/31/3を含む。一方、端点を最近接丸めした[fl⁡(1/3),fl⁡(1/3)]={3/10}[\operatorname{fl}(1/3),\operatorname{fl}(1/3)]=\{3/10\}は1/31/3を含まない。§E20.1 定理 2.2 (2)はfl⁡(1/3)=(1/3)(1+δ)\operatorname{fl}(1/3)=(1/3)(1+\delta)、∣δ∣≤u=1/2|\delta|\le u=1/2を満たすδ\deltaの存在を与えるが、δ\deltaの符号を定めないので、fl⁡\operatorname{fl}の値だけからは1/31/3が3/103/10のどちら側にあるかは定まらない。

4 自然区間拡張

定義 4.1.n∈N≥1n\in\NNとする。

  1. nn変数の 式 (arithmetic expression) を次の規則で帰納的に定める。記号ξ1,…,ξn\xi_1,\dots,\xi_nは式である。各実数ccについて、ccを表す記号は式であり、これを 定数 (constant) という。式E′,E′′E',E''と∘∈{+,−,⋅,/}\circ\in\{+,-,\cdot,/\}に対して、記号列(E′∘E′′)(E'\circ E'')は式である。ξi\xi_iが式EEに現れる回数を、E=ξiE=\xi_iならば11、EEが他の変数または定数ならば00、E=(E′∘E′′)E=(E'\circ E'')ならばE′E'とE′′E''に現れる回数の和と定める。括弧は、⋅\cdotと//を++と−-より先に結合し、同じ順位の演算を左から結合する規約で省く。
  2. 式EEに対して集合DE⊂RnD_E\subset\R^nと関数fE ⁣:DE→Rf_E\colon D_E\to\Rを帰納的に定める。Dξi:=RnD_{\xi_i}:=\R^n、fξi(x):=xif_{\xi_i}(x):=x_iとし、定数ccについてDc:=RnD_c:=\R^n、fc(x):=cf_c(x):=cとする。∘∈{+,−,⋅}\circ\in\{+,-,\cdot\}ならばD(E′∘E′′):=DE′∩DE′′D_{(E'\circ E'')}:=D_{E'}\cap D_{E''}、f(E′∘E′′)(x):=fE′(x)∘fE′′(x)f_{(E'\circ E'')}(x):=f_{E'}(x)\circ f_{E''}(x)とし、D(E′/E′′):={x∈DE′∩DE′′∣fE′′(x)≠0}D_{(E'/E'')}:=\{x\in D_{E'}\cap D_{E''}\mid f_{E''}(x)\ne0\}、f(E′/E′′)(x):=fE′(x)/fE′′(x)f_{(E'/E'')}(x):=f_{E'}(x)/f_{E''}(x)とする。fEf_EをEEの定める関数という。
  3. Rn\R^nの箱XXと式EEに対して、区間E(X)∈IRE(X)\in\mathbb{I}\Rが定まるかどうかとその値を帰納的に定める。ξi(X):=Xi\xi_i(X):=X_iとし、定数ccについてc(X):=[c,c]c(X):=[c,c]とする。E=(E′∘E′′)E=(E'\circ E'')のときは、E′(X)E'(X)とE′′(X)E''(X)が定まり、∘=/\circ={/}ならばさらに0∉E′′(X)0\notin E''(X)である場合に限ってE(X):=E′(X)∘E′′(X)E(X):=E'(X)\circ E''(X)と定める。E(X)E(X)をXXにおけるEEの 自然区間拡張 (natural interval extension) という。
  4. FFを浮動小数点数系とし、XXをX⊂[−Nmax⁡,Nmax⁡]nX\subset[-N_{\max},N_{\max}]^nを満たす箱とする。E=ξiE=\xi_iならばEF(X):=out⁡F(Xi)E_F(X):=\operatorname{out}_F(X_i)とし、EEが定数ccならば、∣c∣≤Nmax⁡|c|\le N_{\max}のときEF(X):=out⁡F([c,c])E_F(X):=\operatorname{out}_F([c,c])と定め、∣c∣>Nmax⁡|c|>N_{\max}のときEF(X)E_F(X)を定めない。E=(E′∘E′′)E=(E'\circ E'')のときは、EF′(X)E'_F(X)とEF′′(X)E''_F(X)が定まり、EF′(X)∘FEF′′(X)E'_F(X)\circ_FE''_F(X)が定まる場合に限ってEF(X):=EF′(X)∘FEF′′(X)E_F(X):=E'_F(X)\circ_FE''_F(X)と定める。EF(X)E_F(X)をXXにおけるEEの外向き丸めの自然区間拡張という。

定理 4.2.n∈N≥1n\in\NNとし、EEをnn変数の式、XXをRn\R^nの箱とする。

  1. E(X)E(X)が定まるならば、X⊂DEX\subset D_Eであり、fE(X)⊂E(X)f_E(X)\subset E(X)が成り立つ。
  2. E(X)E(X)が定まるならば、任意の箱X′⊂XX'\subset Xに対してE(X′)E(X')も定まり、E(X′)⊂E(X)E(X')\subset E(X)が成り立つ。
  3. FFを浮動小数点数系とし、X⊂[−Nmax⁡,Nmax⁡]nX\subset[-N_{\max},N_{\max}]^nとする。EF(X)E_F(X)が定まるならば、X⊂DEX\subset D_EかつfE(X)⊂EF(X)f_E(X)\subset E_F(X)であり、任意の箱X′⊂XX'\subset Xに対してEF(X′)E_F(X')も定まり、EF(X′)⊂EF(X)E_F(X')\subset E_F(X)が成り立つ。

証明.(1)と(2)を示す場合には、E~(X)\widetilde E(X)でE(X)E(X)を表し、⊙\odotで区間演算∘\circを表す。(3)を示す場合には、E~(X)\widetilde E(X)でEF(X)E_F(X)を表し、⊙\odotで∘F\circ_Fを表し、箱はすべて[−Nmax⁡,Nmax⁡]n[-N_{\max},N_{\max}]^nに含まれるものとする。どちらの場合も次の二つが成り立つ。

(a) 箱X′⊂XX'\subset Xとx∈Xx\in Xに対して、xi∈ξi~(X)x_i\in\widetilde{\xi_i}(X)かつξi~(X′)⊂ξi~(X)\widetilde{\xi_i}(X')\subset\widetilde{\xi_i}(X)であり、c~(X)\widetilde c(X)が定まるならばc∈c~(X)=c~(X′)c\in\widetilde c(X)=\widetilde c(X')である。前者の場合は定義から、後者の場合は定理 3.3 (1)から従う。

(b)A,B∈IRA,B\in\mathbb{I}\RについてA⊙BA\odot Bが定まるならば、y∈Ay\in A、y′∈By'\in Bに対してy∘y′∈A⊙By\circ y'\in A\odot Bである。A⊂A′A\subset A'、B⊂B′B\subset B'でありA′⊙B′A'\odot B'が定まるならば、A⊙BA\odot Bも定まりA⊙B⊂A′⊙B′A\odot B\subset A'\odot B'である。前者の場合は定理 2.3 (2)と定理 2.3 (3)から、後者の場合は定理 3.3 (2)から従う。

式EEの構成に関する帰納法で、任意の箱X′⊂XX'\subset Xについて、E~(X)\widetilde E(X)が定まるならばX⊂DEX\subset D_E、fE(X)⊂E~(X)f_E(X)\subset\widetilde E(X)であり、E~(X′)\widetilde E(X')が定まってE~(X′)⊂E~(X)\widetilde E(X')\subset\widetilde E(X)であることを示す。EEが変数または定数ならばDE=RnD_E=\R^nであり、(a) から従う。E=(E′∘E′′)E=(E'\circ E'')とし、E′E'とE′′E''について主張が成り立つとする。E~(X)\widetilde E(X)が定まるならば、E′~(X)\widetilde{E'}(X)とE′′~(X)\widetilde{E''}(X)が定まり、E~(X)=E′~(X)⊙E′′~(X)\widetilde E(X)=\widetilde{E'}(X)\odot\widetilde{E''}(X)である。帰納法の仮定によりX⊂DE′∩DE′′X\subset D_{E'}\cap D_{E''}であり、x∈Xx\in Xに対してfE′(x)∈E′~(X)f_{E'}(x)\in\widetilde{E'}(X)、fE′′(x)∈E′′~(X)f_{E''}(x)\in\widetilde{E''}(X)である。∘=/\circ={/}ならば、⊙\odotが定まることから0∉E′′~(X)0\notin\widetilde{E''}(X)であるのでfE′′(x)≠0f_{E''}(x)\ne0であり、x∈DEx\in D_Eである。(b) によりfE(x)=fE′(x)∘fE′′(x)∈E~(X)f_E(x)=f_{E'}(x)\circ f_{E''}(x)\in\widetilde E(X)である。帰納法の仮定によりE′~(X′)⊂E′~(X)\widetilde{E'}(X')\subset\widetilde{E'}(X)かつE′′~(X′)⊂E′′~(X)\widetilde{E''}(X')\subset\widetilde{E''}(X)であり、(b) によりE~(X′)=E′~(X′)⊙E′′~(X′)\widetilde E(X')=\widetilde{E'}(X')\odot\widetilde{E''}(X')が定まってE~(X)\widetilde E(X)に含まれる。▨

命題 4.3.n∈N≥1n\in\NNとし、EEを各変数ξ1,…,ξn\xi_1,\dots,\xi_nが高々一回しか現れないnn変数の式、XXをRn\R^nの箱とする。E(X)E(X)が定まるならば、fE(X)=E(X)f_E(X)=E(X)が成り立つ。

証明.fE(X)⊂E(X)f_E(X)\subset E(X)は定理 4.2 (1)による。EEに現れる変数の添字の集合をJ(E)J(E)と置く。EEの構成に関する帰納法により、x,x~∈DEx,\tilde x\in D_Eがすべてのi∈J(E)i\in J(E)でxi=x~ix_i=\tilde x_iを満たすならばfE(x)=fE(x~)f_E(x)=f_E(\tilde x)である。

E(X)⊂fE(X)E(X)\subset f_E(X)をEEの構成に関する帰納法で示す。E=ξiE=\xi_iならば、各XjX_jは空でないのでfE(X)=Xi=E(X)f_E(X)=X_i=E(X)である。EEが定数ccならばfE(X)={c}=E(X)f_E(X)=\{c\}=E(X)である。E=(E′∘E′′)E=(E'\circ E'')とする。E′E'とE′′E''の各変数は高々一回しか現れず、各変数が現れる回数はE′E'とE′′E''での回数の和であるからJ(E′)∩J(E′′)=∅J(E')\cap J(E'')=\varnothingである。E′(X)E'(X)とE′′(X)E''(X)は定まり、帰納法の仮定によりE′(X)=fE′(X)E'(X)=f_{E'}(X)、E′′(X)=fE′′(X)E''(X)=f_{E''}(X)である。定理 4.2 (1)によりX⊂DE⊂DE′∩DE′′X\subset D_E\subset D_{E'}\cap D_{E''}である。E(X)=E′(X)∘E′′(X)E(X)=E'(X)\circ E''(X)の元zzはy′∈E′(X)y'\in E'(X)とy′′∈E′′(X)y''\in E''(X)によりz=y′∘y′′z=y'\circ y''と書け、x′,x′′∈Xx',x''\in XをfE′(x′)=y′f_{E'}(x')=y'、fE′′(x′′)=y′′f_{E''}(x'')=y''となるようにとる。i∈J(E′′)i\in J(E'')ならばx^i:=xi′′\hat x_i:=x''_i、それ以外ならばx^i:=xi′\hat x_i:=x'_iと置くと、XXは箱であるからx^∈X⊂DE\hat x\in X\subset D_Eである。x^\hat xはJ(E′)J(E')上でx′x'と一致し、J(E′′)J(E'')上でx′′x''と一致するので、fE′(x^)=y′f_{E'}(\hat x)=y'、fE′′(x^)=y′′f_{E''}(\hat x)=y''であり、z=fE(x^)∈fE(X)z=f_E(\hat x)\in f_E(X)である。▨

例 4.4.p(x):=x3−xp(x):=x^3-xとX:=[0,1]X:=[0,1]について、fE=pf_E=pを満たす一変数の三つの式

E1:=ξ1⋅ξ1⋅ξ1−ξ1,E2:=(ξ1−1)⋅ξ1⋅(ξ1+1),E3:=((1⋅ξ1+0)⋅ξ1+(−1))⋅ξ1+0E_1:=\xi_1\cdot\xi_1\cdot\xi_1-\xi_1,\qquad E_2:=(\xi_1-1)\cdot\xi_1\cdot(\xi_1+1),\qquad E_3:=((1\cdot\xi_1+0)\cdot\xi_1+(-1))\cdot\xi_1+0

を比べる。E3E_3は係数の列(1,0,−1,0)(1,0,-1,0)を Horner 法と同じ順序で組み合わせた式である。定理 2.3 (1)により次の値を得る。

  1. E1(X)E_1(X):X⋅X=[0,1]X\cdot X=[0,1]、[0,1]⋅X=[0,1][0,1]\cdot X=[0,1]、[0,1]−X=[−1,1][0,1]-X=[-1,1]である。
  2. E2(X)E_2(X):X−[1,1]=[−1,0]X-[1,1]=[-1,0]、[−1,0]⋅X=[−1,0][-1,0]\cdot X=[-1,0]、X+[1,1]=[1,2]X+[1,1]=[1,2]、[−1,0]⋅[1,2]=[−2,0][-1,0]\cdot[1,2]=[-2,0]である。
  3. E3(X)E_3(X):[1,1]⋅X+[0,0]=[0,1][1,1]\cdot X+[0,0]=[0,1]、[0,1]⋅X=[0,1][0,1]\cdot X=[0,1]、[0,1]+[−1,−1]=[−1,0][0,1]+[-1,-1]=[-1,0]、[−1,0]⋅X=[−1,0][-1,0]\cdot X=[-1,0]、[−1,0]+[0,0]=[−1,0][-1,0]+[0,0]=[-1,0]である。

p′(x)=3x2−1p'(x)=3x^2-1であるからppは[0,1/3][0,1/\sqrt3]で減少し、[1/3,1][1/\sqrt3,1]で増加し、p(0)=p(1)=0p(0)=p(1)=0である。したがってp(X)=[−23/9, 0]p(X)=[-2\sqrt3/9,\ 0]であり、(23/9)2=4/27<0.392(2\sqrt3/9)^2=4/27<0.39^2であるから、その幅は23/9<0.392\sqrt3/9<0.39を満たす。定理 4.2 (1)により三つの区間はいずれもp(X)p(X)を含み、幅はそれぞれ2,2,12,2,1である。E3(X)E_3(X)の下端−1-1は、[−1,0]⋅X[-1,0]\cdot Xでx2−1x^2-1の値−1-1（x=0x=0）と最後のξ1\xi_1の値11（x=1x=1）の積として生じる。この二つの値は異なるxxからとられており、ξ1\xi_1の三回の出現を独立な値として扱うことが幅を増す。三つの式はいずれもξ1\xi_1を複数回含むので、命題 4.3は適用されない。

5 中心形式

定義 5.1 (中心形式).n∈N≥1n\in\NNとし、XXをRn\R^nの箱、c∈Xc\in X、Y0,D1,…,Dn∈IRY_0,D_1,\dots,D_n\in\mathbb{I}\Rとし、D:=(D1,…,Dn)D:=(D_1,\dots,D_n)と置く。2n+12n+1変数の式

Gc:=ξ1+ξ2⋅(ξn+2−c1)+⋯+ξn+1⋅(ξ2n+1−cn)G_c:=\xi_1+\xi_2\cdot(\xi_{n+2}-c_1)+\cdots+\xi_{n+1}\cdot(\xi_{2n+1}-c_n)

と箱Z:=Y0×D1×⋯×Dn×X1×⋯×Xn⊂R2n+1Z:=Y_0\times D_1\times\cdots\times D_n\times X_1\times\cdots\times X_n\subset\R^{2n+1}に対して

cen⁡c(X;Y0,D):=Gc(Z)=Y0+D1⋅(X1−[c1,c1])+⋯+Dn⋅(Xn−[cn,cn])\operatorname{cen}_c(X;Y_0,D):=G_c(Z)=Y_0+D_1\cdot(X_1-[c_1,c_1])+\cdots+D_n\cdot(X_n-[c_n,c_n])

を 中心形式 (centered form) という。GcG_cは除算を含まないので、Gc(Z)G_c(Z)は定まる。

定理 5.2.n∈N≥1n\in\NNとし、U⊂RnU\subset\R^nを開集合、f ⁣:U→Rf\colon U\to\RをC1C^1級関数、X⊂UX\subset Uを箱、c∈Xc\in Xとする。Y0∈IRY_0\in\mathbb{I}\Rはf(c)∈Y0f(c)\in Y_0を満たし、D1,…,Dn∈IRD_1,\dots,D_n\in\mathbb{I}\Rは任意のx∈Xx\in Xとiiに対して∂if(x)∈Di\partial_if(x)\in D_iを満たすとし、D:=(D1,…,Dn)D:=(D_1,\dots,D_n)と置く。GcG_cとZZは定義 5.1のものとする。

  1. 任意のx∈Xx\in Xに対して、mi∈Dim_i\in D_i（i=1,…,ni=1,\dots,n）が存在してf(x)=f(c)+∑i=1nmi(xi−ci)f(x)=f(c)+\sum_{i=1}^nm_i(x_i-c_i)が成り立つ。
  2. f(X)⊂cen⁡c(X;Y0,D)f(X)\subset\operatorname{cen}_c(X;Y_0,D)が成り立つ。
  3. FFを浮動小数点数系とし、Z⊂[−Nmax⁡,Nmax⁡]2n+1Z\subset[-N_{\max},N_{\max}]^{2n+1}とする。(Gc)F(Z)(G_c)_F(Z)が定まるならば、f(X)⊂(Gc)F(Z)f(X)\subset(G_c)_F(Z)が成り立つ。

証明.(1)を示す。x∈Xx\in Xとt∈[0,1]t\in[0,1]に対して、各座標(1−t)ci+txi(1-t)c_i+tx_iはXiX_iに属するのでc+t(x−c)∈X⊂Uc+t(x-c)\in X\subset Uである。§E4.5 定理 1.1をr=0r=0、a=ca=c、h=x−ch=x-cとして適用し、全微分を偏導関数でDf(y)[h]=∑i=1n∂if(y)hiDf(y)[h]=\sum_{i=1}^n\partial_if(y)h_iと表すと、

f(x)−f(c)=∫01Df(c+t(x−c))[x−c] dt=∑i=1n(xi−ci)∫01gi(t) dt,gi(t):=∂if(c+t(x−c))f(x)-f(c)=\int_0^1Df(c+t(x-c))[x-c]\,dt=\sum_{i=1}^n(x_i-c_i)\int_0^1g_i(t)\,dt,\qquad g_i(t):=\partial_if(c+t(x-c))

を得る。ffはC1C^1級であるからgig_iは[0,1][0,1]上で連続であり、任意のttに対してgi(t)∈Dig_i(t)\in D_iであるから、mi:=∫01gi(t) dtm_i:=\int_0^1g_i(t)\,dtはinf⁡Di≤mi≤sup⁡Di\inf D_i\le m_i\le\sup D_iを満たす。

(2)と(3)を示す。x∈Xx\in Xに対して(1)のmim_iをとると、(f(c),m1,…,mn,x1,…,xn)∈Z(f(c),m_1,\dots,m_n,x_1,\dots,x_n)\in Zであり、f(x)f(x)はこの点におけるfGcf_{G_c}の値に等しい。DGc=R2n+1D_{G_c}=\R^{2n+1}であるから、定理 4.2 (1)によりf(x)∈Gc(Z)=cen⁡c(X;Y0,D)f(x)\in G_c(Z)=\operatorname{cen}_c(X;Y_0,D)であり、定理 4.2 (3)により(Gc)F(Z)(G_c)_F(Z)が定まるならばf(x)∈(Gc)F(Z)f(x)\in(G_c)_F(Z)である。▨

注意 5.3.EEをU⊂DEU\subset D_EかつfE∣U=ff_E|_U=fを満たすnn変数の式とし、c∈[−Nmax⁡,Nmax⁡]nc\in[-N_{\max},N_{\max}]^nとする。退化区間の箱C:=[c1,c1]×⋯×[cn,cn]C:=[c_1,c_1]\times\cdots\times[c_n,c_n]についてEF(C)E_F(C)が定まるならば、定理 4.2 (3)によりf(c)∈EF(C)f(c)\in E_F(C)であり、Y0:=EF(C)Y_0:=E_F(C)は定理 5.2の仮定を満たす。各iiについてEiE_iをnn変数の式とし、Ei(X)E_i(X)が定まるとする。定理 4.2 (1)によりX⊂DEiX\subset D_{E_i}かつfEi(X)⊂Ei(X)f_{E_i}(X)\subset E_i(X)であるから、任意のx∈Xx\in XでfEi(x)=∂if(x)f_{E_i}(x)=\partial_if(x)であるならば、Di:=Ei(X)D_i:=E_i(X)は定理 5.2の仮定を満たす。

命題 5.4.定理 5.2の仮定のもとでc=mid⁡Xc=\operatorname{mid}Xとする。

  1. w(cen⁡c(X;Y0,D))=w(Y0)+∑i=1nmag⁡(Di) w(Xi)w(\operatorname{cen}_c(X;Y_0,D))=w(Y_0)+\sum_{i=1}^n\operatorname{mag}(D_i)\,w(X_i)が成り立つ。
  2. ∑i=1n∣∂if(c)∣ w(Xi)−∑i=1nw(Di) w(Xi)≤w(□f(X))\sum_{i=1}^n|\partial_if(c)|\,w(X_i)-\sum_{i=1}^nw(D_i)\,w(X_i)\le w(\square f(X))が成り立つ。
  3. 次の不等式が成り立つ。 w(cen⁡c(X;Y0,D))≤w(Y0)+∑i=1n∣∂if(c)∣ w(Xi)+∑i=1nw(Di) w(Xi)≤w(□f(X))+w(Y0)+2∑i=1nw(Di) w(Xi)w(\operatorname{cen}_c(X;Y_0,D))\le w(Y_0)+\sum_{i=1}^n|\partial_if(c)|\,w(X_i)+\sum_{i=1}^nw(D_i)\,w(X_i)\le w(\square f(X))+w(Y_0)+2\sum_{i=1}^nw(D_i)\,w(X_i)

証明.ri:=rad⁡Xir_i:=\operatorname{rad}X_i、gi:=∂if(c)g_i:=\partial_if(c)と置く。定理 5.2 (2)によりf(X)f(X)は有界であり、□f(X)\square f(X)が定まる。

(1)を示す。定理 2.3 (1)によりXi−[ci,ci]=[−ri,ri]X_i-[c_i,c_i]=[-r_i,r_i]であり、Di⋅[−ri,ri]D_i\cdot[-r_i,r_i]の四隅の積は±riinf⁡Di\pm r_i\inf D_i、±risup⁡Di\pm r_i\sup D_iであるから、Di⋅[−ri,ri]=[−rimag⁡Di, rimag⁡Di]D_i\cdot[-r_i,r_i]=[-r_i\operatorname{mag}D_i,\ r_i\operatorname{mag}D_i]であり、その幅はmag⁡(Di) w(Xi)\operatorname{mag}(D_i)\,w(X_i)である。和の幅は幅の和であるから（定理 2.3 (1)）、等式が成り立つ。

(2)を示す。gi≥0g_i\ge0ならばσi:=1\sigma_i:=1、gi<0g_i<0ならばσi:=−1\sigma_i:=-1と置き、x±:=c±(σ1r1,…,σnrn)x^\pm:=c\pm(\sigma_1r_1,\dots,\sigma_nr_n)と置くとx±∈Xx^\pm\in Xである。定理 5.2 (1)によりmi±∈Dim_i^\pm\in D_iが存在してf(x±)=f(c)±∑imi±σirif(x^\pm)=f(c)\pm\sum_i m_i^\pm\sigma_ir_iである。c∈Xc\in Xであるからgi∈Dig_i\in D_iであり、∣mi±−gi∣≤w(Di)|m_i^\pm-g_i|\le w(D_i)である。したがって

f(x+)−f(x−)=∑i=1n(mi++mi−)σiri=∑i=1n2∣gi∣ri+∑i=1n((mi+−gi)+(mi−−gi))σiri≥∑i=1n∣gi∣ w(Xi)−∑i=1nw(Di) w(Xi)f(x^+)-f(x^-)=\sum_{i=1}^n(m_i^++m_i^-)\sigma_ir_i=\sum_{i=1}^n2|g_i|r_i+\sum_{i=1}^n\bigl((m_i^+-g_i)+(m_i^--g_i)\bigr)\sigma_ir_i\ge\sum_{i=1}^n|g_i|\,w(X_i)-\sum_{i=1}^nw(D_i)\,w(X_i)

であり、f(x±)∈□f(X)f(x^\pm)\in\square f(X)であるから左辺はw(□f(X))w(\square f(X))以下である。

(3)を示す。DiD_iの端点ddは∣d∣≤∣gi∣+∣d−gi∣≤∣gi∣+w(Di)|d|\le|g_i|+|d-g_i|\le|g_i|+w(D_i)を満たすので、mag⁡Di≤∣gi∣+w(Di)\operatorname{mag}D_i\le|g_i|+w(D_i)であり、(1)から一つ目の不等式を得る。二つ目の不等式は(2)から従う。▨

注意 5.5.命題 5.4の仮定のもとで、Rn\R^nにノルム∥h∥∞=max⁡i∣hi∣\lVert h\rVert_\infty=\max_i|h_i|、R\Rに絶対値を入れ、∂if(c)≥0\partial_if(c)\ge0ならばσi:=1\sigma_i:=1、∂if(c)<0\partial_if(c)<0ならばσi:=−1\sigma_i:=-1と置く。∣Df(c)[h]∣≤∑i∣∂if(c)∣ ∥h∥∞|Df(c)[h]|\le\sum_i|\partial_if(c)|\,\lVert h\rVert_\inftyであり、h=(σ1,…,σn)h=(\sigma_1,\dots,\sigma_n)で等号が成り立つので、Df(c)Df(c)の作用素ノルムは∑i∣∂if(c)∣\sum_i|\partial_if(c)|に等しい。ffはC1C^1級であるからccで全微分可能であり、§E20.2 命題 3.2 (2)により∑i∣∂if(c)∣=κabs(f,c)\sum_i|\partial_if(c)|=\kappa_{\mathrm{abs}}(f,c)である。すべてのXiX_iの幅が2r2rに等しいとき、命題 5.4 (2)と命題 5.4 (3)の一つ目の不等式は

2rκabs(f,c)−2r∑iw(Di)≤w(□f(X)),w(cen⁡c(X;Y0,D))≤w(Y0)+2rκabs(f,c)+2r∑iw(Di)2r\kappa_{\mathrm{abs}}(f,c)-2r\sum_iw(D_i)\le w(\square f(X)),\qquad w(\operatorname{cen}_c(X;Y_0,D))\le w(Y_0)+2r\kappa_{\mathrm{abs}}(f,c)+2r\sum_iw(D_i)

となる。定理 5.2 (2)と補題 1.2 (1)によりw(□f(X))≤w(cen⁡c(X;Y0,D))w(\square f(X))\le w(\operatorname{cen}_c(X;Y_0,D))であるから、WWをw(□f(X))w(\square f(X))とw(cen⁡c(X;Y0,D))w(\operatorname{cen}_c(X;Y_0,D))のいずれとしても∣W−2rκabs(f,c)∣≤w(Y0)+2r∑iw(Di)|W-2r\kappa_{\mathrm{abs}}(f,c)|\le w(Y_0)+2r\sum_iw(D_i)が成り立つ。

例 5.6.

  1. p(x):=x2−x=(x−1/2)2−1/4p(x):=x^2-x=(x-1/2)^2-1/4とし、0<h≤1/20<h\le1/2に対してXh:=[1/2−h, 1/2+h]⊂[0,1]X_h:=[1/2-h,\ 1/2+h]\subset[0,1]と置く。p(Xh)=[−1/4, −1/4+h2]p(X_h)=[-1/4,\ -1/4+h^2]であり、その幅はh2h^2である。定理 2.3 (1)により、展開形の式ξ1⋅ξ1−ξ1\xi_1\cdot\xi_1-\xi_1は Xh⋅Xh−Xh=[(1/2−h)2,(1/2+h)2]−Xh=[h2−2h−1/4, h2+2h−1/4]X_h\cdot X_h-X_h=[(1/2-h)^2,(1/2+h)^2]-X_h=[h^2-2h-1/4,\ h^2+2h-1/4] を与え、その幅は4h4hである。因数形の式ξ1⋅(ξ1−1)\xi_1\cdot(\xi_1-1)は、Xh⊂[0,1]X_h\subset[0,1]とXh−[1,1]=[−1/2−h,−1/2+h]⊂[−1,0]X_h-[1,1]=[-1/2-h,-1/2+h]\subset[-1,0]から[−(1/2+h)2, −(1/2−h)2][-(1/2+h)^2,\ -(1/2-h)^2]を与え、その幅は2h2hである。Horner 法と同じ順序の式(1⋅ξ1+(−1))⋅ξ1+0(1\cdot\xi_1+(-1))\cdot\xi_1+0は(Xh−[1,1])⋅Xh(X_h-[1,1])\cdot X_hを経由して因数形と同じ区間を与える。中心c=1/2c=1/2、Y0=[−1/4,−1/4]Y_0=[-1/4,-1/4]とし、p′p'を表す式2⋅ξ1−12\cdot\xi_1-1はξ1\xi_1を一回だけ含むので、命題 4.3によりD1:=[2,2]⋅Xh−[1,1]=[−2h,2h]=p′(Xh)D_1:=[2,2]\cdot X_h-[1,1]=[-2h,2h]=p'(X_h)である。中心形式は cen⁡1/2(Xh;Y0,D1)=[−1/4,−1/4]+[−2h,2h]⋅[−h,h]=[−1/4−2h2, −1/4+2h2]\operatorname{cen}_{1/2}(X_h;Y_0,D_1)=[-1/4,-1/4]+[-2h,2h]\cdot[-h,h]=[-1/4-2h^2,\ -1/4+2h^2] であり、その幅は4h24h^2である。0<h<1/20<h<1/2ならば4h2<2h<4h4h^2<2h<4hである。w(D1)=4hw(D_1)=4h、w(Xh)=2hw(X_h)=2hであるから、命題 5.4 (3)の右辺はh2+0+16h2=17h2h^2+0+16h^2=17h^2である。
  2. p(x):=x3−xp(x):=x^3-x、X:=[0,1]X:=[0,1]、c=1/2c=1/2とする。p(1/2)=−3/8p(1/2)=-3/8であり、p′p'を表す式3⋅ξ1⋅ξ1−13\cdot\xi_1\cdot\xi_1-1は[3,3]⋅X⋅X−[1,1]=[−1,2][3,3]\cdot X\cdot X-[1,1]=[-1,2]を与える。中心形式は[−3/8,−3/8]+[−1,2]⋅[−1/2,1/2]=[−3/8,−3/8]+[−1,1]=[−11/8, 5/8][-3/8,-3/8]+[-1,2]\cdot[-1/2,1/2]=[-3/8,-3/8]+[-1,1]=[-11/8,\ 5/8]であり、その幅22は例 4.4のE3(X)E_3(X)の幅11より大きい。w(X)=1w(X)=1、w(D1)=3w(D_1)=3であり、命題 5.4 (3)の右辺の項2w(D1)w(X)=62w(D_1)w(X)=6はw(□p(X))=23/9w(\square p(X))=2\sqrt3/9より大きい。

6 分割による評価

定理 6.1.n∈N≥1n\in\NNとし、XXとX(1),…,X(K)X^{(1)},\dots,X^{(K)}をX=X(1)∪⋯∪X(K)X=X^{(1)}\cup\cdots\cup X^{(K)}を満たすRn\R^nの箱とする。

  1. f ⁣:X→Rf\colon X\to\Rを関数とし、各kkについてYk∈IRY_k\in\mathbb{I}\Rがf(X(k))⊂Ykf(X^{(k)})\subset Y_kを満たすとする。このとき f(X)⊂Y1∪⋯∪YK⊂□(Y1∪⋯∪YK)=[min⁡kinf⁡Yk, max⁡ksup⁡Yk]f(X)\subset Y_1\cup\cdots\cup Y_K\subset\square(Y_1\cup\cdots\cup Y_K)=\Bigl[\min_k\inf Y_k,\ \max_k\sup Y_k\Bigr] が成り立つ。
  2. EEをnn変数の式とし、E(X)E(X)が定まるとする。このとき各E(X(k))E(X^{(k)})が定まり、 fE(X)⊂□(E(X(1))∪⋯∪E(X(K)))⊂E(X)f_E(X)\subset\square\bigl(E(X^{(1)})\cup\cdots\cup E(X^{(K)})\bigr)\subset E(X) が成り立つ。FFを浮動小数点数系とし、X⊂[−Nmax⁡,Nmax⁡]nX\subset[-N_{\max},N_{\max}]^nであってEF(X)E_F(X)が定まるならば、EEをEFE_Fに置き換えた主張も成り立つ。

証明.(1)を示す。x∈Xx\in XはあるX(k)X^{(k)}に属するのでf(x)∈Ykf(x)\in Y_kである。有限個の区間の和集合は有界であり、その下限と上限はmin⁡kinf⁡Yk\min_k\inf Y_kとmax⁡ksup⁡Yk\max_k\sup Y_kである。

(2)を示す。各X(k)X^{(k)}はXXに含まれるので、定理 4.2 (2)によりE(X(k))E(X^{(k)})が定まってE(X(k))⊂E(X)E(X^{(k)})\subset E(X)である。定理 4.2 (1)によりX⊂DEX\subset D_EかつfE(X(k))⊂E(X(k))f_E(X^{(k)})\subset E(X^{(k)})であるから、(1)をfE∣Xf_E|_Xに適用して一つ目の包含を得る。E(X(1))∪⋯∪E(X(K))⊂E(X)E(X^{(1)})\cup\cdots\cup E(X^{(K)})\subset E(X)と補題 1.2 (1)から二つ目の包含を得る。EF(X)E_F(X)が定まる場合は、定理 4.2 (3)によりEF(X(k))E_F(X^{(k)})が定まってEF(X(k))⊂EF(X)E_F(X^{(k)})\subset E_F(X)であり、X⊂DEX\subset D_EかつfE(X(k))⊂EF(X(k))f_E(X^{(k)})\subset E_F(X^{(k)})であるから、(1)と補題 1.2 (1)により二つの包含を得る。▨

例 6.2.E:=ξ1⋅ξ1−ξ1E:=\xi_1\cdot\xi_1-\xi_1、X:=[0,2]X:=[0,2]とする。E(X)=[0,4]−[0,2]=[−2,4]E(X)=[0,4]-[0,2]=[-2,4]である。X=[0,1]∪[1,2]X=[0,1]\cup[1,2]と分割すると、E([0,1])=[0,1]−[0,1]=[−1,1]E([0,1])=[0,1]-[0,1]=[-1,1]、E([1,2])=[1,4]−[1,2]=[−1,3]E([1,2])=[1,4]-[1,2]=[-1,3]であり、定理 6.1 (2)の区間包は[−1,3][-1,3]である。fE(X)=[−1/4, 2]f_E(X)=[-1/4,\ 2]であるから、幅は66から44へ減り、値域の幅は9/49/4である。NN等分したときの評価は問題 8.3で扱う。

注意 6.3.EEをnn変数の式、X′⊂[−Nmax⁡,Nmax⁡]nX'\subset[-N_{\max},N_{\max}]^nをEF(X′)E_F(X')が定まる箱とする。定理 3.3 (1)によりEF(X′)E_F(X')の端点はFFに属し、定理 4.2 (3)によりfE(X′)⊂EF(X′)f_E(X')\subset E_F(X')である。x∈X′x\in X'でz:=fE(x)∉Fz:=f_E(x)\notin Fならば、inf⁡EF(X′)\inf E_F(X')はzz以下のFFの元であるからfl⁡↓(z)\operatorname{fl}_\downarrow(z)以下であり、sup⁡EF(X′)\sup E_F(X')はfl⁡↑(z)\operatorname{fl}_\uparrow(z)以上であるので、命題 3.2 (1)によりw(EF(X′))≥fl⁡↑(z)−fl⁡↓(z)>0w(E_F(X'))\ge\operatorname{fl}_\uparrow(z)-\operatorname{fl}_\downarrow(z)>0である。この下界はxxを含む箱X′X'の大きさによらないので、固定したFFのもとでは、分割を細かくしてもxxを含む小箱の評価の幅はこの値より小さくならない。たとえば例 3.4のFFと、定数11と33の商である式1/31/3について、[−Nmax⁡,Nmax⁡]n[-N_{\max},N_{\max}]^nに含まれる任意の箱X′X'でEF(X′)=[3/10, 4/10]E_F(X')=[3/10,\ 4/10]であり、どの分割でも区間包の幅は1/101/10である。

7 零を含む区間

命題 7.1.SSを集合、f ⁣:S→Rf\colon S\to\Rを関数とし、Y∈IRY\in\mathbb{I}\Rがf(S)⊂Yf(S)\subset Yを満たすとする。inf⁡Y>0\inf Y>0ならば任意のs∈Ss\in Sでf(s)>0f(s)>0であり、sup⁡Y<0\sup Y<0ならば任意のs∈Ss\in Sでf(s)<0f(s)<0である。特に0∉Y0\notin Yならば、任意のs∈Ss\in Sでf(s)≠0f(s)\ne0である。

証明.s∈Ss\in Sに対してinf⁡Y≤f(s)≤sup⁡Y\inf Y\le f(s)\le\sup Yであるから、前半の二つが成り立つ。0∉Y0\notin Yならばinf⁡Y>0\inf Y>0またはsup⁡Y<0\sup Y<0であり、前半からf(s)≠0f(s)\ne0である。▨

注意 7.2.0∈Y0\in Yのとき、集合{x/y∣x∈X, y∈Y∖{0}}\{x/y\mid x\in X,\ y\in Y\setminus\{0\}\}はIR\mathbb{I}\Rに属するとは限らない。たとえばX=[1,1]X=[1,1]、Y=[−1,1]Y=[-1,1]ならば、この集合は(−∞,−1]∪[1,∞)(-\infty,-1]\cup[1,\infty)であり、有界でない。除数の評価区間が零を含むと、真の除数がXX上で零をとらない場合でも、その式の自然区間拡張は定まらない（例 7.3）。また、包含区間が零を含むことは零点の存在を意味しない。零点の存在と一意性は、区間 Newton 法や Krawczyk の算法による別の判定を必要とする。

例 7.3.q(x):=x2−x+1=(x−1/2)2+3/4q(x):=x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4、X:=[0,2]X:=[0,2]、E:=ξ1⋅ξ1−ξ1+1E:=\xi_1\cdot\xi_1-\xi_1+1とする。qqは零点をもたず、q(X)=[3/4, 3]q(X)=[3/4,\ 3]である。

  1. E(X)=[0,4]−[0,2]+[1,1]=[−1,5]E(X)=[0,4]-[0,2]+[1,1]=[-1,5]は00を含む。Horner 法と同じ順序の式(1⋅ξ1+(−1))⋅ξ1+1(1\cdot\xi_1+(-1))\cdot\xi_1+1は[−1,1]⋅[0,2]+[1,1]=[−1,3][-1,1]\cdot[0,2]+[1,1]=[-1,3]を与え、c=1c=1、Y0=[1,1]Y_0=[1,1]、D1=[2,2]⋅X−[1,1]=[−1,3]D_1=[2,2]\cdot X-[1,1]=[-1,3]の中心形式は[1,1]+[−1,3]⋅[−1,1]=[−2,4][1,1]+[-1,3]\cdot[-1,1]=[-2,4]を与える。いずれも00を含むので命題 7.1を適用することができず、定数11をEEで割った式1/E1/EはX⊂D1/EX\subset D_{1/E}を満たすにもかかわらず、XXにおける自然区間拡張が定まらない。
  2. X=[0,1]∪[1,2]X=[0,1]\cup[1,2]と分割するとE([0,1])=[0,2]E([0,1])=[0,2]、E([1,2])=[0,4]E([1,2])=[0,4]であり、どちらも00を端点に含む。
  3. XXを幅1/21/2の四つの区間X(1)=[0,1/2]X^{(1)}=[0,1/2]、X(2)=[1/2,1]X^{(2)}=[1/2,1]、X(3)=[1,3/2]X^{(3)}=[1,3/2]、X(4)=[3/2,2]X^{(4)}=[3/2,2]に分割すると E([0,1/2])=[1/2, 5/4],E([1/2,1])=[1/4, 3/2],E([1,3/2])=[1/2, 9/4],E([3/2,2])=[5/4, 7/2]E([0,1/2])=[1/2,\ 5/4],\quad E([1/2,1])=[1/4,\ 3/2],\quad E([1,3/2])=[1/2,\ 9/4],\quad E([3/2,2])=[5/4,\ 7/2] である。定理 6.1 (2)によりq(X)⊂[1/4, 7/2]q(X)\subset[1/4,\ 7/2]であり、命題 7.1によりXX上でq>0q>0である。四つの値はいずれも00を含まないので、各小区間X(k)X^{(k)}で式1/E1/Eの自然区間拡張が定まり、その値は順に[4/5,2][4/5,2]、[2/3,4][2/3,4]、[4/9,2][4/9,2]、[2/7,4/5][2/7,4/5]である。定理 4.2 (1)により各X(k)X^{(k)}で{1/q(x)∣x∈X(k)}\{1/q(x)\mid x\in X^{(k)}\}はこの値に含まれ、定理 6.1 (1)により{1/q(x)∣x∈X}=[1/3, 4/3]\{1/q(x)\mid x\in X\}=[1/3,\ 4/3]は[2/7, 4][2/7,\ 4]に含まれる。

8 演習

問題 8.1.命題 3.2の証明を完成させよ。

解答.

命題 3.2 (1)を示す。fl⁡↓(z)\operatorname{fl}_\downarrow(z)はzz以下のFFの元であり、fl⁡↑(z)\operatorname{fl}_\uparrow(z)はzz以上のFFの元であるから、fl⁡↓(z)≤z≤fl⁡↑(z)\operatorname{fl}_\downarrow(z)\le z\le\operatorname{fl}_\uparrow(z)である。z∈Fz\in Fならばzzは{x∈F∣x≤z}\{x\in F\mid x\le z\}の最大元であり{x∈F∣x≥z}\{x\in F\mid x\ge z\}の最小元であるから、fl⁡↓(z)=z=fl⁡↑(z)\operatorname{fl}_\downarrow(z)=z=\operatorname{fl}_\uparrow(z)である。逆にfl⁡↓(z)=z\operatorname{fl}_\downarrow(z)=zまたはfl⁡↑(z)=z\operatorname{fl}_\uparrow(z)=zならば、左辺はFFの元であるからz∈Fz\in Fである。z≤z′z\le z'ならば{x∈F∣x≤z}⊂{x∈F∣x≤z′}\{x\in F\mid x\le z\}\subset\{x\in F\mid x\le z'\}かつ{x∈F∣x≥z′}⊂{x∈F∣x≥z}\{x\in F\mid x\ge z'\}\subset\{x\in F\mid x\ge z\}であるから、最大元と最小元について単調性が成り立つ。F=−FF=-Fであるからx↦−xx\mapsto-xは{x∈F∣x≥z}\{x\in F\mid x\ge z\}から{x∈F∣x≤−z}\{x\in F\mid x\le-z\}への順序を逆にする全単射であり、fl⁡↓(−z)=−fl⁡↑(z)\operatorname{fl}_\downarrow(-z)=-\operatorname{fl}_\uparrow(z)である。

命題 3.2 (2)を示す。fl⁡(z)≤z\operatorname{fl}(z)\le zならば、fl⁡(z)\operatorname{fl}(z)はzz以下のFFの元であるからfl⁡(z)≤fl⁡↓(z)≤z\operatorname{fl}(z)\le\operatorname{fl}_\downarrow(z)\le zである。fl⁡(z)\operatorname{fl}(z)はzzの最近接点であるからz−fl⁡(z)≤z−fl⁡↓(z)z-\operatorname{fl}(z)\le z-\operatorname{fl}_\downarrow(z)であり、fl⁡(z)=fl⁡↓(z)\operatorname{fl}(z)=\operatorname{fl}_\downarrow(z)である。fl⁡(z)≥z\operatorname{fl}(z)\ge zならば、fl⁡(z)\operatorname{fl}(z)はzz以上のFFの元であるからz≤fl⁡↑(z)≤fl⁡(z)z\le\operatorname{fl}_\uparrow(z)\le\operatorname{fl}(z)であり、最近接点であることからfl⁡(z)−z≤fl⁡↑(z)−z\operatorname{fl}(z)-z\le\operatorname{fl}_\uparrow(z)-zであるので、fl⁡(z)=fl⁡↑(z)\operatorname{fl}(z)=\operatorname{fl}_\uparrow(z)である。

命題 3.2 (3)を示す。t:=∣z∣t:=|z|、s:=se(t)s:=s_{e(t)}と置く。§E20.1 補題 1.2 (5)により、a≤t<a+sa\le t<a+sを満たすa∈Fa\in Fが存在し、a+s∈Fa+s\in Fであるかt=a=Nmax⁡t=a=N_{\max}である。z≥0z\ge0の場合、a≤za\le zであるからa≤fl⁡↓(z)a\le\operatorname{fl}_\downarrow(z)であり、z−fl⁡↓(z)≤t−a<sz-\operatorname{fl}_\downarrow(z)\le t-a<sである。a+s∈Fa+s\in Fならばa+s>za+s>zであるからfl⁡↑(z)≤a+s\operatorname{fl}_\uparrow(z)\le a+sであり、fl⁡↑(z)−z≤a+s−t≤s\operatorname{fl}_\uparrow(z)-z\le a+s-t\le sである。t=at=aならばz∈Fz\in Fであり、fl⁡↑(z)−z=0\operatorname{fl}_\uparrow(z)-z=0である。z<0z<0の場合、命題 3.2 (1)によりz−fl⁡↓(z)=fl⁡↑(t)−tz-\operatorname{fl}_\downarrow(z)=\operatorname{fl}_\uparrow(t)-t、fl⁡↑(z)−z=t−fl⁡↓(t)\operatorname{fl}_\uparrow(z)-z=t-\operatorname{fl}_\downarrow(t)であり、z≥0z\ge0の場合をttに適用して二つの不等式を得る。zzが正規範囲にあるならばβe(t)≤t\beta^{e(t)}\le tであり、§E20.1 定義 1.4のu=β1−p/2u=\beta^{1-p}/2によりse(t)=βe(t)+1−p=2uβe(t)≤2u∣z∣s_{e(t)}=\beta^{e(t)+1-p}=2u\beta^{e(t)}\le2u|z|である。▨

問題 8.2.FFを浮動小数点数系、fl⁡\operatorname{fl}をFFの最近接丸めとし、n∈N≥1n\in\NN、a0,…,an∈Fa_0,\dots,a_n\in F、x∈Fx\in F、p(x):=∑i=0naixip(x):=\sum_{i=0}^na_ix^iとする。Qn:=[an,an]Q_n:=[a_n,a_n]と置き、k=n−1,…,0k=n-1,\dots,0の順にQk:=(Qk+1⋅F[x,x])+F[ak,ak]Q_k:=(Q_{k+1}\cdot_F[x,x])+_F[a_k,a_k]と置く。Q0Q_0まで定まるならば、Horner 法による計算値q0q_0（§E20.3 定義 6.1）が定まり、p(x)∈Q0p(x)\in Q_0、q0∈Q0q_0\in Q_0、∣q0−p(x)∣≤w(Q0)|q_0-p(x)|\le w(Q_0)が成り立つことを示せ。

解答.

一変数の式E:=(⋯((an⋅ξ1+an−1)⋅ξ1+an−2)⋯ )⋅ξ1+a0E:=(\cdots((a_n\cdot\xi_1+a_{n-1})\cdot\xi_1+a_{n-2})\cdots)\cdot\xi_1+a_0を考える。x,ak∈Fx,a_k\in Fであるから、定理 3.3 (1)によりout⁡F([x,x])=[x,x]\operatorname{out}_F([x,x])=[x,x]、out⁡F([ak,ak])=[ak,ak]\operatorname{out}_F([a_k,a_k])=[a_k,a_k]であり、EF([x,x])=Q0E_F([x,x])=Q_0である。fE(x)=p(x)f_E(x)=p(x)であるから、定理 4.2 (3)によりp(x)∈Q0p(x)\in Q_0である。

A∈IRA\in\mathbb{I}\RがA⊂[−Nmax⁡,Nmax⁡]A\subset[-N_{\max},N_{\max}]を満たし、y∈Ay\in Aならば、fl⁡(y)∈out⁡F(A)\operatorname{fl}(y)\in\operatorname{out}_F(A)である。実際、命題 3.2 (2)によりfl⁡(y)\operatorname{fl}(y)はfl⁡↓(y)\operatorname{fl}_\downarrow(y)またはfl⁡↑(y)\operatorname{fl}_\uparrow(y)であり、命題 3.2 (1)によりfl⁡↓(inf⁡A)≤fl⁡↓(y)≤y≤fl⁡↑(y)≤fl⁡↑(sup⁡A)\operatorname{fl}_\downarrow(\inf A)\le\operatorname{fl}_\downarrow(y)\le y\le\operatorname{fl}_\uparrow(y)\le\operatorname{fl}_\uparrow(\sup A)である。

kkの降順の帰納法で、qkq_kが定まりqk∈Qkq_k\in Q_kであることを示す。qn=an∈Qnq_n=a_n\in Q_nである。qk+1∈Qk+1q_{k+1}\in Q_{k+1}とする。定理 2.3 (2)によりqk+1x∈Qk+1⋅[x,x]q_{k+1}x\in Q_{k+1}\cdot[x,x]であり、Qk+1⋅F[x,x]Q_{k+1}\cdot_F[x,x]が定まることからQk+1⋅[x,x]⊂[−Nmax⁡,Nmax⁡]Q_{k+1}\cdot[x,x]\subset[-N_{\max},N_{\max}]であるので、fl⁡(qk+1x)\operatorname{fl}(q_{k+1}x)が定まり、fl⁡(y)∈out⁡F(A)\operatorname{fl}(y)\in\operatorname{out}_F(A)をA=Qk+1⋅[x,x]A=Q_{k+1}\cdot[x,x]に適用してPk:=Qk+1⋅F[x,x]P_k:=Q_{k+1}\cdot_F[x,x]に属する。定理 2.3 (2)によりfl⁡(qk+1x)+ak∈Pk+[ak,ak]\operatorname{fl}(q_{k+1}x)+a_k\in P_k+[a_k,a_k]であり、Qk=Pk+F[ak,ak]Q_k=P_k+_F[a_k,a_k]が定まることからPk+[ak,ak]⊂[−Nmax⁡,Nmax⁡]P_k+[a_k,a_k]\subset[-N_{\max},N_{\max}]であるので、qk=fl⁡(fl⁡(qk+1x)+ak)q_k=\operatorname{fl}(\operatorname{fl}(q_{k+1}x)+a_k)が定まり、fl⁡(y)∈out⁡F(A)\operatorname{fl}(y)\in\operatorname{out}_F(A)をA=Pk+[ak,ak]A=P_k+[a_k,a_k]に適用してqk∈Qkq_k\in Q_kである。

q0∈Q0q_0\in Q_0とp(x)∈Q0p(x)\in Q_0から、補題 1.2 (2)により∣q0−p(x)∣≤w(Q0)|q_0-p(x)|\le w(Q_0)である。▨

問題 8.3.N∈N≥1N\in\NNとし、E:=ξ1⋅ξ1−ξ1E:=\xi_1\cdot\xi_1-\xi_1、X:=[0,2]X:=[0,2]、h:=2/Nh:=2/N、X(k):=[(k−1)h, kh]X^{(k)}:=[(k-1)h,\ kh]（k=1,…,Nk=1,\dots,N）と置く。HN:=□(E(X(1))∪⋯∪E(X(N)))H_N:=\square\bigl(E(X^{(1)})\cup\cdots\cup E(X^{(N)})\bigr)について、sup⁡HN=2+h\sup H_N=2+hとinf⁡HN≥−1/4−h\inf H_N\ge-1/4-hを示し、w(HN)≤w(□fE(X))+4/Nw(H_N)\le w(\square f_E(X))+4/Nを導け。

解答.

a:=(k−1)ha:=(k-1)hと置くとa≥0a\ge0であり、定理 2.3 (1)によりX(k)⋅X(k)=[a2,(a+h)2]X^{(k)}\cdot X^{(k)}=[a^2,(a+h)^2]、

E(X(k))=[a2−a−h, (a+h)2−a]E(X^{(k)})=[a^2-a-h,\ (a+h)^2-a]

である。ϕ(a):=(a+h)2−a=a2+(2h−1)a+h2\phi(a):=(a+h)^2-a=a^2+(2h-1)a+h^2はaaの下に凸な二次関数であるから、0≤a≤2−h0\le a\le2-hでの最大値はϕ(0)=h2\phi(0)=h^2とϕ(2−h)=2+h\phi(2-h)=2+hの大きい方である。0<h≤20<h\le2からh2−h−2=(h−2)(h+1)≤0h^2-h-2=(h-2)(h+1)\le0であり、h2≤2+hh^2\le2+hである。a=2−ha=2-hはk=Nk=Nで実現されるので、sup⁡HN=2+h\sup H_N=2+hである。またa2−a−h=(a−1/2)2−1/4−h≥−1/4−ha^2-a-h=(a-1/2)^2-1/4-h\ge-1/4-hであるから、inf⁡HN≥−1/4−h\inf H_N\ge-1/4-hである。fE(x)=(x−1/2)2−1/4f_E(x)=(x-1/2)^2-1/4はXX上でx=1/2x=1/2において−1/4-1/4を、x=2x=2において22をとり、XX上で−1/4≤fE(x)≤2-1/4\le f_E(x)\le2であるから、□fE(X)=[−1/4, 2]\square f_E(X)=[-1/4,\ 2]である。したがってw(HN)≤(2+h)−(−1/4−h)=9/4+2h=w(□fE(X))+4/Nw(H_N)\le(2+h)-(-1/4-h)=9/4+2h=w(\square f_E(X))+4/Nである。▨

前提記事