数値微分と Richardson 外挿 | 数値解析 I

1 差分商と打切り誤差

定義 1.1. $S\subset\R$ を部分集合、 $g\colon S\to\R$ を関数とし、 $x\in\R$ 、 $h>0$ とする。

$x,x+h\in S$ のとき、 $D^+_hg(x):=\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}$ を $g$ の $x$ における刻み $h$ の前進差分 (forward difference quotient) という。
$x-h,x+h\in S$ のとき、 $D^0_hg(x):=\dfrac{g(x+h)-g(x-h)}{2h}$ を $g$ の $x$ における刻み $h$ の中心差分 (central difference quotient) という。
$x-h,x,x+h\in S$ のとき、 $D^2_hg(x):=\dfrac{g(x+h)-2g(x)+g(x-h)}{h^2}$ を $g$ の $x$ における刻み $h$ の二階中心差分 (second central difference quotient) という。
$g$ が $x$ で微分可能であるとき $D^+_hg(x)-g'(x)$ と $D^0_hg(x)-g'(x)$ を、 $g$ が $x$ で二回微分可能であるとき $D^2_hg(x)-g''(x)$ を、それぞれの差分商の打切り誤差 (truncation error) という。

定理 1.2. $x\in\R$ 、 $h>0$ とし、閉区間上の $C^k$ 級は端点で片側微分をとって定める。

$f\colon[x,x+h]\to\R$ が $C^2$ 級ならば、 $\xi\in[x,x+h]$ が存在して $D^+_hf(x)-f'(x)=\dfrac h2f''(\xi)$ が成り立つ。
$f\colon[x-h,x+h]\to\R$ が $C^3$ 級ならば、 $\xi\in[x-h,x+h]$ が存在して $D^0_hf(x)-f'(x)=\dfrac{h^2}6f'''(\xi)$ が成り立つ。
$f\colon[x-h,x+h]\to\R$ が $C^4$ 級ならば、 $\xi\in[x-h,x+h]$ が存在して $D^2_hf(x)-f''(x)=\dfrac{h^2}{12}f^{(4)}(\xi)$ が成り立つ。

証明.(1)を示す。§D1.16 定理 2.1を $a=x$ 、点 $x+h$ 、 $n=2$ として適用すると、 $\xi\in[x,x+h]$ が存在して $f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac{h^2}2f''(\xi)$ が成り立つ。両辺から $f(x)+f'(x)h$ を引いて $h$ で割れば主張の等式を得る。

(2)を示す。§D1.16 定理 2.1を $a=x$ 、 $n=3$ として点 $x+h$ と点 $x-h$ に適用すると、 $\xi_1\in[x,x+h]$ と $\xi_2\in[x-h,x]$ が存在して

f(x\pm h)=f(x)\pm f'(x)h+\frac{h^2}2f''(x)\pm\frac{h^3}6f'''(\xi_{1,2})

（複号同順、 $+$ に $\xi_1$ 、 $-$ に $\xi_2$ が対応する）が成り立つ。二式の差を $2h$ で割ると

D^0_hf(x)-f'(x)=\frac{h^2}6\cdot\frac{f'''(\xi_1)+f'''(\xi_2)}2

である。 $\xi_1=\xi_2$ ならば $\xi:=\xi_1$ とする。 $\xi_2<\xi_1$ ならば、 $f'''$ は $[\xi_2,\xi_1]$ で連続であり、 $f'''(\xi_1)$ と $f'''(\xi_2)$ の平均は二つの値の間にあるので、§D1.12 系 1.2により $f'''(\xi)$ がその平均に等しい $\xi\in[\xi_2,\xi_1]$ が存在する。

(3)を示す。§D1.16 定理 2.1を $a=x$ 、 $n=4$ として点 $x\pm h$ に適用すると、 $\xi_1\in[x,x+h]$ と $\xi_2\in[x-h,x]$ が存在して

f(x\pm h)=f(x)\pm f'(x)h+\frac{h^2}2f''(x)\pm\frac{h^3}6f'''(x)+\frac{h^4}{24}f^{(4)}(\xi_{1,2})

（複号同順）が成り立つ。二式の和から $2f(x)$ を引いて $h^2$ で割ると

D^2_hf(x)-f''(x)=\frac{h^2}{12}\cdot\frac{f^{(4)}(\xi_1)+f^{(4)}(\xi_2)}2

である。(2)の証明と同じく§D1.12 系 1.2を $f^{(4)}$ に適用して $\xi$ を得る。▨

例 1.3. $x\in\R$ 、 $h>0$ とする。 $f(y)=y^2$ について $D^+_hf(x)=2x+h$ であり、 $D^+_hf(x)-f'(x)=h$ である。 $f(y)=y^3$ について $D^0_hf(x)=3x^2+h^2$ であり、 $D^0_hf(x)-f'(x)=h^2$ である。 $f(y)=y^4$ について $D^2_hf(x)=12x^2+2h^2$ であり、 $D^2_hf(x)-f''(x)=2h^2$ である。いずれの誤差も $h$ の冪の $0$ でない定数倍に等しいので、 $q>1$ （前進差分）または $q>2$ （中心差分・二階中心差分）と $K\ge0$ をどのように選んでも、十分小さい $h>0$ で誤差は $Kh^q$ を超える。したがって定理 1.2の誤差の $h$ に関する次数 $1$ 、 $2$ 、 $2$ は、各項の仮定の下で改善されない。

2 関数値の誤差の増幅と刻み幅

命題 2.1. $x\in\R$ 、 $h>0$ 、 $\delta\ge0$ とする。前進差分、中心差分、二階中心差分のそれぞれについて、それが値を用いる点の集合を $P$ とする（順に $\{x,x+h\}$ 、 $\{x-h,x+h\}$ 、 $\{x-h,x,x+h\}$ ）。 $f$ と $\tilde f$ を $P$ を含む集合上の実数値関数とし、任意の $y\in P$ について $|\tilde f(y)-f(y)|\le\delta$ が成り立つとする。

次の評価が成り立つ。 $|D^+_h\tilde f(x)-D^+_hf(x)|\le\frac{2\delta}h,\qquad|D^0_h\tilde f(x)-D^0_hf(x)|\le\frac\delta h,\qquad|D^2_h\tilde f(x)-D^2_hf(x)|\le\frac{4\delta}{h^2}.$
各差分商について、 $P$ 上で $\tilde f(y)=f(y)+\delta\,\sigma_y$ と置く。ここで $\sigma_y\in\{1,-1\}$ は、前進差分では $\sigma_{x+h}=1$ 、 $\sigma_x=-1$ 、中心差分では $\sigma_{x+h}=1$ 、 $\sigma_{x-h}=-1$ 、二階中心差分では $\sigma_{x\pm h}=1$ 、 $\sigma_x=-1$ とする。このとき(1)の対応する評価は等号で成り立つ。
$M_2,M_3,M_4\ge0$ を実数とする。 $f$ が $[x,x+h]$ で $C^2$ 級であって $[x,x+h]$ 上で $|f''|\le M_2$ ならば、 $|D^+_h\tilde f(x)-f'(x)|\le\dfrac{M_2h}2+\dfrac{2\delta}h$ が成り立つ。 $f$ が $[x-h,x+h]$ で $C^3$ 級であって $[x-h,x+h]$ 上で $|f'''|\le M_3$ ならば、 $|D^0_h\tilde f(x)-f'(x)|\le\dfrac{M_3h^2}6+\dfrac\delta h$ が成り立つ。 $f$ が $[x-h,x+h]$ で $C^4$ 級であって $[x-h,x+h]$ 上で $|f^{(4)}|\le M_4$ ならば、 $|D^2_h\tilde f(x)-f''(x)|\le\dfrac{M_4h^2}{12}+\dfrac{4\delta}{h^2}$ が成り立つ。
$P$ の元を $y_1,\dots,y_n$ と並べ、差分商の定義式を $\sum_{i=1}^nw_ig(y_i)$ と書いたときの係数を $w_1,\dots,w_n$ とする。 $\R^n$ に最大値ノルム、 $\R$ に絶対値を入れ、線形写像 $\Phi\colon\R^n\to\R$ を $\Phi(v)=\sum_{i=1}^nw_iv_i$ で定める。任意の $v\in\R^n$ について $\kappa_{\mathrm{abs}}(\Phi,v)=\sum_{i=1}^n|w_i|$ であり、その値は前進差分で $2/h$ 、中心差分で $1/h$ 、二階中心差分で $4/h^2$ である。

証明.(1)と(2)を示す。各差分商は $\sum_{i=1}^nw_ig(y_i)$ の形であり、係数は前進差分で $(w_x,w_{x+h})=(-1/h,1/h)$ 、中心差分で $(w_{x-h},w_{x+h})=(-1/(2h),1/(2h))$ 、二階中心差分で $(w_{x-h},w_x,w_{x+h})=(1/h^2,-2/h^2,1/h^2)$ である。 $e_i:=\tilde f(y_i)-f(y_i)$ と置くと、差分商の差は $\sum_iw_ie_i$ であり、 $|e_i|\le\delta$ から

\Bigl|\sum_iw_ie_i\Bigr|\le\delta\sum_i|w_i|

が成り立つ。 $\sum_i|w_i|$ は順に $2/h$ 、 $1/h$ 、 $4/h^2$ であるから、(1)を得る。(2)の $\tilde f$ では $e_i=\delta\,\sigma_{y_i}$ であり、 $\sigma_{y_i}$ は $w_i$ の符号であるから、 $\sum_iw_ie_i=\delta\sum_i|w_i|$ である。

(3)を示す。三角不等式により、例えば前進差分について $|D^+_h\tilde f(x)-f'(x)|\le|D^+_h\tilde f(x)-D^+_hf(x)|+|D^+_hf(x)-f'(x)|$ である。第一項は(1)により $2\delta/h$ 以下であり、第二項は定理 1.2 (1)により $\frac h2|f''(\xi)|\le\frac{M_2h}2$ である。中心差分と二階中心差分についても、定理 1.2 (2)と定理 1.2 (3)を用いて同じ評価が成り立つ。

(4)を示す。 $\Phi$ は線形であるから、任意の $v,e\in\R^n$ について $\Phi(v+e)-\Phi(v)-\Phi(e)=0$ であり、 $\Phi$ は $v$ で全微分可能で $D\Phi(v)=\Phi$ である。§E20.2 命題 3.2 (2)により $\kappa_{\mathrm{abs}}(\Phi,v)=\lVert\Phi\rVert$ である。最大値ノルムが $1$ の $e$ について $|\Phi(e)|\le\sum_i|w_i|$ であり、 $e_i$ を $w_i$ の符号にとると $|\Phi(e)|=\sum_i|w_i|$ であるから、 $\lVert\Phi\rVert=\sum_i|w_i|$ である。▨

定理 2.2. $\delta>0$ を実数とする。

$M_2>0$ とし、 $\phi_+(h):=\dfrac{M_2h}2+\dfrac{2\delta}h$ （ $h>0$ ）と置く。 $\phi_+$ は $h^*_+:=2\sqrt{\delta/M_2}$ で最小値 $\phi_+(h^*_+)=2\sqrt{M_2\delta}$ をとり、 $(0,h^*_+]$ で狭義単調減少、 $[h^*_+,\infty)$ で狭義単調増加である。
$M_3>0$ とし、 $\phi_0(h):=\dfrac{M_3h^2}6+\dfrac\delta h$ （ $h>0$ ）と置く。 $\phi_0$ は $h^*_0:=(3\delta/M_3)^{1/3}$ で最小値 $\phi_0(h^*_0)=\dfrac{3^{2/3}}2M_3^{1/3}\delta^{2/3}$ をとり、 $(0,h^*_0]$ で狭義単調減少、 $[h^*_0,\infty)$ で狭義単調増加である。

$f$ と $\tilde f$ が命題 2.1 (3)の前進差分の仮定を $h=h^*_+$ で満たすならば $|D^+_{h^*_+}\tilde f(x)-f'(x)|\le2\sqrt{M_2\delta}$ であり、中心差分の仮定を $h=h^*_0$ で満たすならば $|D^0_{h^*_0}\tilde f(x)-f'(x)|\le\frac{3^{2/3}}2M_3^{1/3}\delta^{2/3}$ である。 $h^*_+$ と $h^*_0$ は命題 2.1 (3)の上界の最小点であり、同じ仮定を満たす $f,\tilde f$ に対する実際の誤差 $|D^+_h\tilde f(x)-f'(x)|$ 、 $|D^0_h\tilde f(x)-f'(x)|$ の最小点と一致するとは限らない（例 2.3）。

証明.(1)を示す。 $\phi_+'(h)=\frac{M_2}2-\frac{2\delta}{h^2}=\frac{M_2}{2h^2}\bigl(h^2-(h^*_+)^2\bigr)$ は $0<h<h^*_+$ で負、 $h>h^*_+$ で正である。§D1.14 定理 3.1により $\phi_+$ は $(0,h^*_+]$ で狭義単調減少、 $[h^*_+,\infty)$ で狭義単調増加であり、 $h^*_+$ で最小値をとる。 $\frac{M_2h^*_+}2=\sqrt{M_2\delta}$ 、 $\frac{2\delta}{h^*_+}=\sqrt{M_2\delta}$ であるから $\phi_+(h^*_+)=2\sqrt{M_2\delta}$ である。

(2)を示す。 $\phi_0'(h)=\frac{M_3h}3-\frac\delta{h^2}=\frac{M_3}{3h^2}\bigl(h^3-(h^*_0)^3\bigr)$ は $0<h<h^*_0$ で負、 $h>h^*_0$ で正であり、§D1.14 定理 3.1により単調性と最小性が従う。 $M_3(h^*_0)^3=3\delta$ から $\frac{M_3(h^*_0)^2}6=\frac\delta{2h^*_0}$ であり、

\phi_0(h^*_0)=\frac{3\delta}{2h^*_0}=\frac32\delta\Bigl(\frac{M_3}{3\delta}\Bigr)^{1/3}=\frac{3^{2/3}}2M_3^{1/3}\delta^{2/3}

である。

誤差の評価は命題 2.1 (3)を $h=h^*_+$ 、 $h=h^*_0$ に適用したものである。▨

例 2.3. $\delta>0$ とし、 $f(y)=y^2/2$ 、 $x=0$ とする。 $f''=1$ であるから $M_2=1$ とし、定理 2.2 (1)により $h^*_+=2\sqrt\delta$ 、 $\phi_+(h^*_+)=2\sqrt\delta$ である。 $f'(0)=0$ である。

$\tilde f(0):=0$ 、 $y>0$ で $\tilde f(y):=f(y)-\delta$ と置く。任意の $h>0$ で $|\tilde f-f|\le\delta$ が $\{0,h\}$ 上で成り立ち、 $D^+_h\tilde f(0)-f'(0)=\frac{h^2/2-\delta}h=\frac h2-\frac\delta h$ である。実際の誤差は $h=\sqrt{2\delta}$ で $0$ になり、 $\sqrt{2\delta}\ne h^*_+$ である。 $h=h^*_+$ での実際の誤差は $\sqrt\delta-\sqrt\delta/2=\sqrt\delta/2$ であり、上界 $\phi_+(h^*_+)=2\sqrt\delta$ の $1/4$ である。
$\tilde f:=f+\delta$ と置く。関数値の誤差は差分商の分子で打ち消し合い、 $D^+_h\tilde f(0)-f'(0)=h/2$ である。実際の誤差は $h$ について狭義単調増加で、 $h\to+0$ で $0$ に近づき、 $h>0$ の範囲に最小点を持たない。他方、上界 $\phi_+(h)$ は $h\to+0$ で $+\infty$ に発散する。

例 2.4. $F=F(2,53,-1022,1023)$ 、 $\operatorname{fl}$ を最近接偶数丸め、 $u=2^{-53}$ とし、 $f(y)=1/y$ 、 $x=3$ 、 $h=2^{-k}$ （ $k$ は $1\le k\le51$ の整数）とする。 $f'(3)=-1/9$ であり、 $[3,3+h]$ 上で $|f''(y)|=2/y^3\le2/27=:M_2$ である。 $3+h=(3\cdot2^k+1)2^{-k}$ は $2^{52}\le(3\cdot2^k+1)2^{51-k}\le2^{53}-1$ を満たすので、§E20.1 補題 1.2 (1)により $F$ に属する。関数値を $\tilde f(y):=\operatorname{fl}(1/y)$ （ $y=3,3+h$ ）で与える。 $1/y\in(1/4,1/3]$ は正規範囲にあるから、§E20.1 定理 2.2 (2)により $|\tilde f(y)-f(y)|\le u/y\le u/3=:\delta$ である。 $\tilde f(3),\tilde f(3+h)\in[1/4,1/2)$ であるから、§E20.1 補題 1.2 (1)により、整数 $j$ が存在して $\tilde f(3+h)-\tilde f(3)=j\,2^{-54}$ 、 $|j|<2^{52}$ が成り立つ。§E20.1 補題 1.3 (1)によりこの差と、それを $h$ で割った $j\,2^{k-54}$ は $F$ に属する。したがって§E20.1 系 3.2 (1)により、binary64 で計算した $\operatorname{fl}\bigl(\operatorname{fl}(\tilde f(3+h)-\tilde f(3))/h\bigr)$ は $D^+_h\tilde f(3)$ に等しい。打切り誤差は $D^+_hf(3)-f'(3)=h/(9(3+h))$ である。定理 2.2 (1)の上界は $\phi_+(h)=h/27+2^{-52}/(3h)$ であり、 $h^*_+=3\cdot2^{-26}\approx4.47\times10^{-8}$ 、 $\phi_+(h^*_+)=2^{-25}/9\approx3.31\times10^{-9}$ である。各 $k$ について $\tilde f(3+h)$ を有理数の演算で最近接偶数丸めとして求め、実際の誤差 $D^+_h\tilde f(3)-f'(3)$ を有理数として計算した値の上3桁は次のとおりである。

$k$	$h$	実際の誤差	打切り誤差	$\phi_+(h)$
4	$6.25\times10^{-2}$	$2.27\times10^{-3}$	$2.27\times10^{-3}$	$2.31\times10^{-3}$
12	$2.44\times10^{-4}$	$9.04\times10^{-6}$	$9.04\times10^{-6}$	$9.04\times10^{-6}$
20	$9.54\times10^{-7}$	$3.53\times10^{-8}$	$3.53\times10^{-8}$	$3.54\times10^{-8}$
24	$5.96\times10^{-8}$	$2.90\times10^{-9}$	$2.21\times10^{-9}$	$3.45\times10^{-9}$
25	$2.98\times10^{-8}$	$1.03\times10^{-9}$	$1.10\times10^{-9}$	$3.59\times10^{-9}$
26	$1.49\times10^{-8}$	$2.90\times10^{-9}$	$5.52\times10^{-10}$	$5.52\times10^{-9}$
27	$7.45\times10^{-9}$	$-8.28\times10^{-10}$	$2.76\times10^{-10}$	$1.02\times10^{-8}$
28	$3.73\times10^{-9}$	$6.62\times10^{-9}$	$1.38\times10^{-10}$	$2.00\times10^{-8}$
32	$2.33\times10^{-10}$	$1.85\times10^{-7}$	$8.62\times10^{-12}$	$3.18\times10^{-7}$
40	$9.09\times10^{-13}$	$2.71\times10^{-5}$	$3.37\times10^{-14}$	$8.14\times10^{-5}$
48	$3.55\times10^{-15}$	$1.74\times10^{-3}$	$1.32\times10^{-16}$	$2.08\times10^{-2}$

$1\le k\le18$ では実際の誤差と打切り誤差が上3桁で一致する。 $28\le k\le51$ では、関数値の誤差による項 $D^+_h\tilde f(3)-D^+_hf(3)$ の実際の誤差に対する比が $0.97$ 以上である。 $1\le k\le51$ の範囲で実際の誤差の絶対値が最小になるのは $k=27$ であり、 $h=2^{-27}$ は $h^*_+$ と異なり、そこでの実際の誤差の絶対値 $8.28\times10^{-10}$ は $\phi_+(h^*_+)$ より小さい。

3 差分商の計算の丸め

命題 3.1. $F=F(\beta,p,e_{\min},e_{\max})$ を浮動小数点数系、 $u$ をその単位丸め誤差、 $\operatorname{fl}$ を $F$ の最近接丸めとし、 $3u<1$ とする。 $y_0,y_1\in F$ が $y_0<y_1$ と $y_1-y_0\le N_{\max}$ を満たし、 $a,b\in F$ が $|a-b|\le N_{\max}$ を満たすとする。 $S:=(a-b)/(y_1-y_0)$ 、 $d:=\operatorname{fl}(a-b)$ 、 $e:=\operatorname{fl}(y_1-y_0)$ と置く。このとき $e\ne0$ である。さらに実数 $d/e$ が $0$ に等しいか正規範囲にあると仮定し、 $\hat S:=\operatorname{fl}(d/e)$ と置く。

$|\theta|\le\gamma_3=3u/(1-3u)$ を満たす実数 $\theta$ が存在して $\hat S=S(1+\theta)$ が成り立つ。
さらに $y_1-y_0\in F$ ならば、 $|\theta|\le\gamma_2=2u/(1-2u)$ を満たす実数 $\theta$ が存在して $\hat S=S(1+\theta)$ が成り立つ。

証明. $F=-F$ であるから $-b,-y_0\in F$ であり、§E20.1 系 3.3を $a+(-b)$ と $y_1+(-y_0)$ に適用すると、 $|\delta_1|,|\delta_3|\le u$ を満たす実数 $\delta_1,\delta_3$ により $d=(a-b)(1+\delta_1)$ 、 $e=(y_1-y_0)(1+\delta_3)$ が成り立つ。 $u<1$ であるから $1+\delta_3>0$ であり、 $e\ne0$ である。 $d/e=0$ ならば $d=0$ であり、 $1+\delta_1>0$ から $a=b$ 、 $S=0$ である。§E20.1 系 3.2 (1)により $\hat S=0$ であり、 $\theta:=0$ とすればよい。 $d/e$ が正規範囲にあるならば、§E20.1 系 3.2 (2)により $|\delta_2|\le u$ を満たす実数が存在して $\hat S=(d/e)(1+\delta_2)$ であり、

\hat S=S\,(1+\delta_1)(1+\delta_2)(1+\delta_3)^{-1}

である。§E20.1 補題 4.1を $k=3$ 、 $\varepsilon=(1,1,-1)$ に適用して(1)を得る。 $y_1-y_0\in F$ ならば、§E20.1 系 3.2 (1)により $e=y_1-y_0$ であり $\delta_3=0$ としてよいので、§E20.1 補題 4.1を $k=2$ に適用して(2)を得る。▨

系 3.2. $F$ 、 $u$ 、 $\operatorname{fl}$ を命題 3.1のとおりとし、 $\delta\ge0$ 、 $M_2,M_3\ge0$ を実数とする。

$y_0,y_1\in F$ 、 $y_0<y_1$ とし、 $x:=y_0$ 、 $h:=y_1-y_0$ と置く。 $f\colon[x,x+h]\to\R$ が $C^2$ 級であって $[x,x+h]$ 上で $|f''|\le M_2$ を満たし、 $a,b\in F$ が $|a-f(y_1)|\le\delta$ 、 $|b-f(y_0)|\le\delta$ を満たすとする。 $y_0,y_1,a,b$ が命題 3.1の仮定を満たすならば、同命題の $\hat S$ について $|\hat S-f'(x)|\le(1+\gamma_3)\Bigl(\frac{M_2h}2+\frac{2\delta}h\Bigr)+\gamma_3|f'(x)|$ が成り立つ。
$y_0,y_1\in F$ 、 $y_0<y_1$ とし、 $x:=(y_0+y_1)/2$ 、 $h:=(y_1-y_0)/2$ と置く。 $f\colon[x-h,x+h]\to\R$ が $C^3$ 級であって $[x-h,x+h]$ 上で $|f'''|\le M_3$ を満たし、 $a,b\in F$ が $|a-f(y_1)|\le\delta$ 、 $|b-f(y_0)|\le\delta$ を満たすとする。 $y_0,y_1,a,b$ が命題 3.1の仮定を満たすならば、同命題の $\hat S$ について $|\hat S-f'(x)|\le(1+\gamma_3)\Bigl(\frac{M_3h^2}6+\frac\delta h\Bigr)+\gamma_3|f'(x)|$ が成り立つ。

どちらの項でも、 $y_1-y_0\in F$ ならば $\gamma_3$ を $\gamma_2$ に替えた評価が成り立つ。

証明. $\tilde f(y_1):=a$ 、 $\tilde f(y_0):=b$ と置く。(1)では $S=D^+_h\tilde f(x)$ 、(2)では $S=D^0_h\tilde f(x)$ であり、どちらの場合も $\phi$ を括弧内の量とすると命題 2.1 (3)により $|S-f'(x)|\le\phi$ である。命題 3.1により $\hat S-f'(x)=(S-f'(x))+\theta S$ 、 $|\theta|\le\gamma_3$ であり、 $|S|\le|f'(x)|+\phi$ であるから

|\hat S-f'(x)|\le\phi+\gamma_3(|f'(x)|+\phi)

が成り立つ。 $y_1-y_0\in F$ の場合は命題 3.1 (2)を用いて同じ計算を行う。▨

例 3.3. $F=F(2,53,-1022,1023)$ 、 $\operatorname{fl}$ を最近接偶数丸めとし、 $f(y)=y$ 、 $x=1$ とする。 $f'=1$ であり、差分商の打切り誤差は $0$ である。刻みとして $\hat h:=\operatorname{fl}(10^{-10})$ を選び、評価点を $y_0:=1$ 、 $y_1:=\operatorname{fl}(1+\hat h)$ とすると、 $y_1-1=450360\cdot2^{-52}\approx1.0000000827\times10^{-10}$ であり、 $(y_1-1)/\hat h-1\approx8.27\times10^{-8}$ である。関数値を $a:=y_1$ 、 $b:=1$ で与えると $\delta=0$ である。 $a-b=y_1-y_0=450360\cdot2^{-52}\in F$ であるから、§E20.1 系 3.2 (1)により $d=e=y_1-y_0$ であり、 $\hat S=\operatorname{fl}(1)=1=f'(1)$ である。分母に評価点の差 $e$ ではなく $\hat h$ を用いると、計算値は $\operatorname{fl}\bigl((y_1-1)/\hat h\bigr)\approx1+8.27\times10^{-8}$ であり、その誤差は系 3.2 (1)の上界 $\gamma_2\approx2.22\times10^{-16}$ の $10^8$ 倍を超える。分母に $\hat h$ を用いた計算値は命題 3.1の $\hat S$ ではない。

4 Richardson 外挿

定義 4.1. $h_0>0$ とし、 $A\colon(0,h_0]\to\R$ を関数とする。

$L\in\R$ 、整数 $m\ge0$ 、実数 $0<p_1<\dots<p_{m+1}$ とする。実数 $c_1,\dots,c_m$ と $C\ge0$ が存在して、任意の $0<h\le h_0$ について $\Bigl|A(h)-L-\sum_{r=1}^mc_rh^{p_r}\Bigr|\le Ch^{p_{m+1}}$ が成り立つとき、 $A$ は極限 $L$ 、係数 $c_1,\dots,c_m$ 、定数 $C$ の、指数 $p_1,\dots,p_{m+1}$ の誤差の漸近展開 (asymptotic error expansion) をもつという。
実数 $t>1$ 、 $q>0$ に対して、関数 $T_{t,q}A\colon(0,h_0]\to\R$ を $(T_{t,q}A)(h):=\frac{t^qA(h/t)-A(h)}{t^q-1}=A(h/t)+\frac{A(h/t)-A(h)}{t^q-1}$ で定め、比 $t$ 、指数 $q$ の Richardson 外挿 (Richardson extrapolation) という。 $0<h\le h_0$ ならば $0<h/t<h_0$ であるから、右辺は定まる。

補題 4.2. $h_0>0$ 、 $t>1$ 、 $q>0$ とし、 $(0,h_0]$ 上の実数値関数 $A$ に $T_{t,q}A$ を対応させる写像 $T_{t,q}$ を考える。

$T_{t,q}$ は線形であり、定数関数 $L$ に対して $T_{t,q}L=L$ である。
実数 $s$ について、関数 $h\mapsto h^s$ の像は $h\mapsto\dfrac{t^{q-s}-1}{t^q-1}h^s$ である。特に $s=q$ ならば像は $0$ である。
実数 $s$ 、 $C\ge0$ と $(0,h_0]$ 上の実数値関数 $R$ について、任意の $0<h\le h_0$ で $|R(h)|\le Ch^s$ ならば、任意の $0<h\le h_0$ で $|(T_{t,q}R)(h)|\le\frac{t^{q-s}+1}{t^q-1}Ch^s$ が成り立つ。

証明. 線形性は定義の式から従い、 $T_{t,q}L=(t^qL-L)/(t^q-1)=L$ である。 $h\mapsto h^s$ に対して $t^q(h/t)^s-h^s=(t^{q-s}-1)h^s$ であるから(2)が成り立つ。 $|t^qR(h/t)-R(h)|\le t^qC(h/t)^s+Ch^s=(t^{q-s}+1)Ch^s$ を $t^q-1>0$ で割って(3)を得る。▨

定理 4.3. $h_0>0$ 、 $t>1$ 、 $0<p<p'$ とし、 $A\colon(0,h_0]\to\R$ が極限 $L$ 、係数 $c$ 、定数 $C$ の、指数 $p,p'$ の誤差の漸近展開をもつとする。 $A_1:=T_{t,p}A$ 、 $E(h):=\dfrac{A(h/t)-A(h)}{t^p-1}$ 、 $K:=\dfrac{t^{p-p'}+1}{t^p-1}$ と置く。

任意の $0<h\le h_0$ について $|A_1(h)-L|\le KCh^{p'}$ が成り立つ。
任意の $0<h\le h_0$ について $\bigl|\bigl(L-A(h/t)\bigr)-E(h)\bigr|\le KCh^{p'}$ が成り立つ。
$c\ne0$ とし、 $C>0$ のとき $h_1:=\min\bigl\{h_0,\ \bigl(|c|t^{p'-p}/(2C)\bigr)^{1/(p'-p)}\bigr\}$ 、 $C=0$ のとき $h_1:=h_0$ と置く。任意の $0<h\le h_1$ について $L-A(h/t)\ne0$ かつ $\left|\frac{E(h)}{L-A(h/t)}-1\right|\le\frac{2KCt^p}{|c|}h^{p'-p}$ が成り立ち、特に $h\to+0$ のとき $E(h)/(L-A(h/t))\to1$ である。

証明. $R(h):=A(h)-L-ch^p$ と置くと、仮定により $0<h\le h_0$ で $|R(h)|\le Ch^{p'}$ である。補題 4.2 (1)と補題 4.2 (2)により $T_{t,p}L=L$ 、 $T_{t,p}(h\mapsto ch^p)=0$ であるから、 $A_1-L=T_{t,p}R$ である。補題 4.2 (3)を $s=p'$ として適用すると(1)を得る。

定義 4.1の第二の表示により $A_1(h)=A(h/t)+E(h)$ であるから、 $(L-A(h/t))-E(h)=L-A_1(h)$ であり、(1)から(2)が従う。

(3)を示す。 $0<h\le h_1$ とする。 $L-A(h/t)=-c(h/t)^p-R(h/t)$ であり、 $|R(h/t)|\le Ct^{-p'}h^{p'}$ である。 $h_1$ の定め方から $Ct^{-p'}h^{p'}\le\frac12|c|t^{-p}h^p$ であるから、

|L-A(h/t)|\ge|c|t^{-p}h^p-Ct^{-p'}h^{p'}\ge\frac12|c|t^{-p}h^p>0

である。 $(L-A(h/t))-E(h)=L-A_1(h)$ の両辺を $L-A(h/t)$ で割ると

\frac{E(h)}{L-A(h/t)}-1=-\frac{L-A_1(h)}{L-A(h/t)}

であり、(1)と上の下界から右辺の絶対値は $KCh^{p'}\big/\bigl(\frac12|c|t^{-p}h^p\bigr)=\frac{2KCt^p}{|c|}h^{p'-p}$ 以下である。 $p'-p>0$ であるから、右辺は $h\to+0$ で $0$ に収束する。▨

定理 4.4. $h_0>0$ 、 $t>1$ 、整数 $m\ge1$ 、実数 $0<p_1<\dots<p_{m+1}$ とし、 $A\colon(0,h_0]\to\R$ が極限 $L$ 、係数 $c_1,\dots,c_m$ 、定数 $C$ の、指数 $p_1,\dots,p_{m+1}$ の誤差の漸近展開をもつとする。 $A_0:=A$ 、 $A_j:=T_{t,p_j}A_{j-1}$ （ $1\le j\le m$ ）と置き、 $0\le j\le m$ と $j<r\le m$ に対して

c_r^{(j)}:=c_r\prod_{i=1}^j\frac{t^{p_i-p_r}-1}{t^{p_i}-1},\qquad C_j:=C\prod_{i=1}^j\frac{t^{p_i-p_{m+1}}+1}{t^{p_i}-1}

と置く（ $j=0$ の積は $1$ とする）。このとき各 $0\le j\le m$ について、 $A_j$ は極限 $L$ 、係数 $c_{j+1}^{(j)},\dots,c_m^{(j)}$ 、定数 $C_j$ の、指数 $p_{j+1},\dots,p_{m+1}$ の誤差の漸近展開をもつ。特に、任意の $0<h\le h_0$ について $|A_m(h)-L|\le C_mh^{p_{m+1}}$ である。

証明. $j=0$ では主張は仮定そのものである。 $1\le j\le m$ とし、 $A_{j-1}$ について主張が成り立つと仮定して、 $A_{j-1}(h)=L+\sum_{r=j}^mc_r^{(j-1)}h^{p_r}+R_{j-1}(h)$ 、 $|R_{j-1}(h)|\le C_{j-1}h^{p_{m+1}}$ （ $0<h\le h_0$ ）と書く。補題 4.2 (1)と補題 4.2 (2)を $q=p_j$ として適用すると、 $T_{t,p_j}L=L$ 、 $T_{t,p_j}(h\mapsto h^{p_j})=0$ であり、 $j<r\le m$ について $h\mapsto h^{p_r}$ の像は $\frac{t^{p_j-p_r}-1}{t^{p_j}-1}h^{p_r}$ である。 $c_r^{(j-1)}\cdot\frac{t^{p_j-p_r}-1}{t^{p_j}-1}=c_r^{(j)}$ であるから

A_j(h)=L+\sum_{r=j+1}^mc_r^{(j)}h^{p_r}+(T_{t,p_j}R_{j-1})(h)

である。補題 4.2 (3)を $s=p_{m+1}$ として適用すると、 $|(T_{t,p_j}R_{j-1})(h)|\le\frac{t^{p_j-p_{m+1}}+1}{t^{p_j}-1}C_{j-1}h^{p_{m+1}}=C_jh^{p_{m+1}}$ である。したがって $A_j$ について主張が成り立つ。▨

注意 4.5. 「数値積分」の Romberg 積分は、複合台形則が指数 $2,4,\dots,2m+2$ の誤差の漸近展開をもつことを示し、定理 4.4を $p_r=2r$ 、 $t=2$ として適用する。

例 4.6. $L\in\R$ とし、 $E(h)$ を定理 4.3のとおりとする。

$t=2$ 、 $h_0=1/2$ とし、 $A(h):=L+h-h^2$ は極限 $L$ 、係数 $1$ 、定数 $1$ の、指数 $1,2$ の誤差の漸近展開をもつ。 $L-A(h/2)=-(h/2-h^2/4)$ 、 $E(h)=A(h/2)-A(h)=-(h/2-3h^2/4)$ であり、 $0<h\le1/2$ で $|E(h)|=|L-A(h/2)|-h^2/2<|L-A(h/2)|$ である。比 $E(h)/(L-A(h/2))$ は $(2-3h)/(2-h)<1$ であり、 $h\to+0$ で $1$ に近づく。
$t>1$ 、 $0<p<p'$ 、 $h_0>0$ とし、 $A(h):=L+h^{p'}$ は係数 $c=0$ 、定数 $1$ の、指数 $p,p'$ の誤差の漸近展開をもつ。 $L-A(h/t)=-t^{-p'}h^{p'}$ 、 $E(h)=(t^{-p'}-1)h^{p'}/(t^p-1)$ であり、任意の $h$ で $\frac{E(h)}{L-A(h/t)}=\frac{t^{p'}-1}{t^p-1}$ である。 $t^{p'}-1>t^p-1$ であるからこの値は $1$ より大きく、 $t=2$ 、 $p=2$ 、 $p'=4$ では $5$ である。

5 外挿の仮定が破れる例

例 5.1. $L\in\R$ 、 $h_0>0$ 、 $t>1$ 、 $p>0$ とし、 $0<h\le h_0$ に対して $n(h)$ を $t^{n(h)}\le h_0/h<t^{n(h)+1}$ を満たす整数とする。 $A(h):=L+(-1)^{n(h)}h^p$ と置くと、任意の $0<h\le h_0$ で $|A(h)-L|=h^p$ である。 $n(h/t)=n(h)+1$ であるから

(T_{t,p}A)(h)-L=\frac{t^p(-1)^{n(h)+1}(h/t)^p-(-1)^{n(h)}h^p}{t^p-1}=\frac{-2(-1)^{n(h)}h^p}{t^p-1}

であり、 $|(T_{t,p}A)(h)-L|=2h^p/(t^p-1)$ である。 $p'>p$ と $K'\ge0$ をどのように選んでも十分小さい $h$ で $2h^p/(t^p-1)>K'h^{p'}$ であるから、定理 4.3 (1)により、 $A$ は指数 $p,p'$ の誤差の漸近展開をもたない。上界 $|A(h)-L|\le h^p$ だけからは、外挿値の誤差が $h^p$ より高い次数になることは従わない。

例 5.2. $f(y)=y|y|$ 、 $x=0$ 、 $h_0>0$ とする。 $f$ は $C^1$ 級で $f'(y)=2|y|$ であり、 $f'$ は $0$ で微分可能でない。 $f'(0)=0$ である。 $A(h):=D^0_hf(0)=(h^2+h^2)/(2h)=h$ であり、中心差分の誤差は $h$ に等しい。 $A$ が極限 $f'(0)$ 、係数 $c$ 、定数 $C$ の、指数 $2,p'$ （ $p'>2$ ）の誤差の漸近展開をもつならば、 $0<h\le h_0$ で $h=|A(h)-f'(0)|\le(|c|+Ch_0^{p'-2})h^2$ となり、 $h\to+0$ で成り立たない。したがって $A$ はそのような誤差の漸近展開をもたない。指数 $2$ を仮定して $t=2$ の外挿を行うと $(T_{2,2}A)(h)=(4\cdot h/2-h)/3=h/3$ であり、誤差の次数は $1$ のままである。

6 中心差分への外挿

命題 6.1. $x\in\R$ 、 $h_0>0$ 、整数 $m\ge0$ とし、 $f\colon[x-h_0,x+h_0]\to\R$ が $C^{2m+3}$ 級であって、実数 $M$ が $[x-h_0,x+h_0]$ 上で $|f^{(2m+3)}|\le M$ を満たすとする。このとき $A(h):=D^0_hf(x)$ （ $0<h\le h_0$ ）は極限 $f'(x)$ 、係数 $c_r=f^{(2r+1)}(x)/(2r+1)!$ （ $1\le r\le m$ ）、定数 $M/(2m+3)!$ の、指数 $2,4,\dots,2m+2$ の誤差の漸近展開をもつ。

証明. $0<h\le h_0$ とする。§D1.16 定理 2.1を $a=x$ 、 $n=2m+3$ として点 $x\pm h$ に適用すると、 $\xi_\pm$ が存在して

f(x\pm h)=\sum_{k=0}^{2m+2}\frac{f^{(k)}(x)}{k!}(\pm h)^k+\frac{f^{(2m+3)}(\xi_\pm)}{(2m+3)!}(\pm h)^{2m+3}

が成り立つ。差をとると偶数次の項は消え、

D^0_hf(x)=\sum_{r=0}^m\frac{f^{(2r+1)}(x)}{(2r+1)!}h^{2r}+\frac{f^{(2m+3)}(\xi_+)+f^{(2m+3)}(\xi_-)}{2\,(2m+3)!}h^{2m+2}

である。 $r=0$ の項は $f'(x)$ であり、最後の項の絶対値は $Mh^{2m+2}/(2m+3)!$ 以下である。▨

系 6.2. $x\in\R$ 、 $h_0>0$ 、 $t>1$ 、整数 $j\ge0$ とし、 $f\colon[x-h_0,x+h_0]\to\R$ が $C^{2j+3}$ 級であって、実数 $M$ が $[x-h_0,x+h_0]$ 上で $|f^{(2j+3)}|\le M$ を満たすとする。 $A_0(h):=D^0_hf(x)$ 、 $A_i:=T_{t,2i}A_{i-1}$ （ $1\le i\le j$ ）と置くと、任意の $0<h\le h_0$ について

|A_j(h)-f'(x)|\le\frac{M}{(2j+3)!}\prod_{i=1}^j\frac{t^{2i-2j-2}+1}{t^{2i}-1}\,h^{2j+2}

が成り立つ。

証明.命題 6.1を $m=j$ として適用すると、 $A_0$ は指数 $2,4,\dots,2j+2$ の誤差の漸近展開を定数 $M/(2j+3)!$ でもつ。 $j=0$ ならばこれが主張である。 $j\ge1$ ならば、定理 4.4を $m=j$ 、 $p_r=2r$ として適用し、 $|A_j(h)-f'(x)|\le C_jh^{2j+2}$ を得る。 $C_j$ の式に $p_i=2i$ 、 $p_{j+1}=2j+2$ を代入すると主張の定数になる。▨

命題 6.3. $x\in\R$ 、 $h>0$ 、 $\delta\ge0$ とする。 $f$ と $\tilde f$ を $P:=\{x-h,x-h/2,x+h/2,x+h\}$ を含む集合上の実数値関数とし、任意の $y\in P$ について $|\tilde f(y)-f(y)|\le\delta$ が成り立つとする。 $A(s):=D^0_sf(x)$ 、 $\tilde A(s):=D^0_s\tilde f(x)$ （ $s\in\{h/2,h\}$ ）と置き、定義 4.1の式に従って $(T_{2,2}A)(h):=(4A(h/2)-A(h))/3$ 、 $(T_{2,2}\tilde A)(h):=(4\tilde A(h/2)-\tilde A(h))/3$ と置く。

$|(T_{2,2}\tilde A)(h)-(T_{2,2}A)(h)|\le\dfrac{3\delta}h$ が成り立つ。 $P$ 上で $\tilde f(y)=f(y)+\delta\,\sigma_y$ 、 $(\sigma_{x-h},\sigma_{x-h/2},\sigma_{x+h/2},\sigma_{x+h})=(1,-1,1,-1)$ と置くと、この評価は等号で成り立つ。
$M\ge0$ を実数とし、 $f$ が $[x-h,x+h]$ で $C^5$ 級であって $[x-h,x+h]$ 上で $|f^{(5)}|\le M$ を満たすならば、 $|(T_{2,2}\tilde A)(h)-f'(x)|\le\dfrac{Mh^4}{288}+\dfrac{3\delta}h$ が成り立つ。

証明.(1)を示す。 $R(s):=\tilde A(s)-A(s)$ と置くと、定義の式から $(T_{2,2}\tilde A)(h)-(T_{2,2}A)(h)=(4R(h/2)-R(h))/3$ である。命題 2.1 (1)を刻み $h/2$ と $h$ の中心差分に適用すると $|R(h/2)|\le2\delta/h$ 、 $|R(h)|\le\delta/h$ であるから

\Bigl|\frac{4R(h/2)-R(h)}3\Bigr|\le\frac13\Bigl(\frac{8\delta}h+\frac\delta h\Bigr)=\frac{3\delta}h

が成り立つ。主張の $\tilde f$ では $R(h/2)=(\delta+\delta)/h=2\delta/h$ 、 $R(h)=(-\delta-\delta)/(2h)=-\delta/h$ であり、 $(4R(h/2)-R(h))/3=3\delta/h$ である。

(2)を示す。系 6.2を $h_0=h$ 、 $t=2$ 、 $j=1$ として適用すると、その定数は $\frac M{5!}\cdot\frac{2^{-2}+1}{2^2-1}=\frac M{288}$ であり、 $|(T_{2,2}A)(h)-f'(x)|\le Mh^4/288$ である。三角不等式と(1)から主張の評価を得る。▨

例 6.4. $f(y)=1/(1-y)$ 、 $x=0$ 、 $h_0=1/4$ 、 $t=2$ とする。 $f^{(k)}(y)=k!/(1-y)^{k+1}$ であるから $f'(0)=1$ であり、 $f^{(2r+1)}(0)/(2r+1)!=1$ である。 $A_0(h):=D^0_hf(0)=1/(1-h^2)$ であり、 $A_1:=T_{2,2}A_0$ 、 $A_2:=T_{2,4}A_1$ 、 $A_3:=T_{2,6}A_2$ と置く。有理数として計算した値は次のとおりである。

$h$	$A_0(h)-1$	$A_1(h)-1$	$A_2(h)-1$	$A_3(h)-1$
$1/4$	$1/15\approx6.67\times10^{-2}$	$-1/945\approx-1.06\times10^{-3}$	$1/240975\approx4.15\times10^{-6}$	$-1/246517425\approx-4.06\times10^{-9}$
$1/8$	$1/63\approx1.59\times10^{-2}$	$-1/16065\approx-6.22\times10^{-5}$	$1/16434495\approx6.08\times10^{-8}$
$1/16$	$1/255\approx3.92\times10^{-3}$	$-1/260865\approx-3.83\times10^{-6}$

定理 4.4の係数は $c_2^{(1)}=(2^{-2}-1)/3=-1/4$ 、 $c_3^{(2)}=\frac{2^{-4}-1}3\cdot\frac{2^{-2}-1}{15}=1/64$ であり、 $h=1/16$ で $A_1(h)-1$ と $-h^4/4\approx-3.81\times10^{-6}$ 、 $h=1/8$ で $A_2(h)-1$ と $h^6/64\approx5.96\times10^{-8}$ の比はそれぞれ $1.005$ 、 $1.021$ （小数第3位に丸めた値）である。定理 4.3の $E(h)=(A_0(h/2)-A_0(h))/3$ は $h=1/4,1/8,1/16$ で $-16/945$ 、 $-64/16065$ 、 $-256/260865$ であり、 $1-A_0(h/2)$ との比は順に $16/15$ 、 $64/63$ 、 $256/255$ である。

7 演習

問題 7.1. $\delta>0$ 、 $M_4>0$ とし、 $\phi_2(h):=\dfrac{M_4h^2}{12}+\dfrac{4\delta}{h^2}$ （ $h>0$ ）と置く。 $\phi_2$ を最小にする $h>0$ がただ一つ存在することを示し、その刻み $h^*_2$ と最小値を求めよ。

解答.

$\phi_2'(h)=\frac{M_4h}6-\frac{8\delta}{h^3}=\frac{M_4}{6h^3}\bigl(h^4-48\delta/M_4\bigr)$ は $0<h<(48\delta/M_4)^{1/4}$ で負、 $h>(48\delta/M_4)^{1/4}$ で正である。§D1.14 定理 3.1により $\phi_2$ はこの点の左で狭義単調減少、右で狭義単調増加であり、最小点は $h^*_2:=(48\delta/M_4)^{1/4}$ ただ一つである。 $(h^*_2)^2=4\sqrt{3\delta/M_4}$ であるから

\phi_2(h^*_2)=\frac{M_4}{12}\cdot4\sqrt{\frac{3\delta}{M_4}}+\frac{4\delta}{4\sqrt{3\delta/M_4}}=\sqrt{\frac{M_4\delta}3}+\sqrt{\frac{M_4\delta}3}=2\sqrt{\frac{M_4\delta}3}

である。▨

問題 7.2. $x\in\R$ 、 $h_0>0$ とし、 $f\colon[x,x+h_0]\to\R$ が $C^3$ 級であって、実数 $M_3$ が $[x,x+h_0]$ 上で $|f'''|\le M_3$ を満たすとする。 $A(h):=D^+_hf(x)$ （ $0<h\le h_0$ ）について、次を示せ。

$A$ は極限 $f'(x)$ 、係数 $f''(x)/2$ 、定数 $M_3/6$ の、指数 $1,2$ の誤差の漸近展開をもつ。
$(T_{2,1}A)(h)=\dfrac{-3f(x)+4f(x+h/2)-f(x+h)}h$ であり、任意の $0<h\le h_0$ について $|(T_{2,1}A)(h)-f'(x)|\le\dfrac{M_3h^2}4$ である。
$f(y)=y^3$ 、 $x=0$ のとき $(T_{2,1}A)(h)-f'(0)=-h^2/2$ である。

解答.

§D1.16 定理 2.1を $a=x$ 、点 $x+h$ 、 $n=3$ として適用すると、 $\xi\in[x,x+h]$ が存在して $f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac{f''(x)}2h^2+\frac{f'''(\xi)}6h^3$ であり、 $A(h)=f'(x)+\frac{f''(x)}2h+\frac{f'''(\xi)}6h^2$ である。 $|f'''(\xi)|\le M_3$ から(1)が成り立つ。

$(T_{2,1}A)(h)=2A(h/2)-A(h)=\frac{4(f(x+h/2)-f(x))}h-\frac{f(x+h)-f(x)}h$ であり、整理すると(2)の表示を得る。定理 4.3を $t=2$ 、 $p=1$ 、 $p'=2$ 、 $C=M_3/6$ として適用すると、 $K=(2^{-1}+1)/(2-1)=3/2$ であり、定理 4.3 (1)により $|(T_{2,1}A)(h)-f'(x)|\le\frac32\cdot\frac{M_3}6h^2=\frac{M_3h^2}4$ である。

$f(y)=y^3$ 、 $x=0$ では $f(0)=0$ 、 $f(h/2)=h^3/8$ 、 $f(h)=h^3$ であり、 $(T_{2,1}A)(h)=(4h^3/8-h^3)/h=-h^2/2$ 、 $f'(0)=0$ である。このとき $M_3=6$ であり、誤差の絶対値 $h^2/2$ は(2)の上界 $3h^2/2$ の $1/3$ である。▨

§E20.19数値微分と Richardson 外挿