一段法の安定性と収束 | 数値解析 I

定義 1.1. $d\in\NN$ とし、 $\R^d$ にノルム $\|\cdot\|$ を固定する。 $\Omega\subseteq\R\times\R^d$ を開集合、 $f\colon\Omega\to\R^d$ を連続写像とし、一段法が $f$ に対応させる増分関数の定義域を $D$ 、一歩写像を $\Psi_h$ とする。 $t_0<T$ とし、 $J\supseteq[t_0,T]$ を開区間、 $y\colon J\to\R^d$ を、任意の $\tau\in J$ について $(\tau,y(\tau))\in\Omega$ と $y'(\tau)=f(\tau,y(\tau))$ を満たす $C^1$ 級写像とする。 $[t_0,T]$ の格子 $t_0<t_1<\dots<t_N=T$ に対して $h_n:=t_{n+1}-t_n$ 、 $H:=\max_nh_n$ と置く。

$y_0,\dots,y_N\in\R^d$ に対して、 $e_n:=y_n-y(t_n)$ を格子点 $t_n$ における大域誤差 (global error) といい、 $E:=\max_{0\le n\le N}\|e_n\|$ を大域誤差の大きさ (magnitude of the global error) という。
次の条件を満たすとき、一段法は解 $y$ に対して収束する (convergent) という。 $H_1>0$ が存在して、 $H\le H_1$ を満たす $[t_0,T]$ の任意の格子について、初期値 $y_0=y(t_0)$ から $y_{n+1}:=\Psi_{h_n}(t_n,y_n)$ で定まる近似値 $y_0,\dots,y_N$ がすべて定まり、任意の $\varepsilon>0$ に対して $H_2\in(0,H_1]$ が存在して、 $H\le H_2$ を満たす任意の格子について $E\le\varepsilon$ が成り立つ。
$p\in\NN$ とする。 $C\ge0$ と $H_1>0$ が存在して、 $H\le H_1$ を満たす $[t_0,T]$ の任意の格子について、初期値 $y_0=y(t_0)$ から近似値 $y_0,\dots,y_N$ がすべて定まり $E\le CH^p$ が成り立つとき、一段法は解 $y$ に対して $p$ 次で収束する (convergent of order $p$ ) という。

補題 1.2 (離散 Grönwall 不等式). $\Lambda\ge0$ 、 $N\in\NN$ とし、実数 $t_0<t_1<\dots<t_N$ に対して $h_n:=t_{n+1}-t_n$ と置く。 $E_0\ge0$ と $a_0,\dots,a_{N-1}\ge0$ に対して

B_n:=e^{\Lambda(t_n-t_0)}E_0+\sum_{j=0}^{n-1}e^{\Lambda(t_n-t_{j+1})}a_j\qquad(0\le n\le N)

と置く。

$m\in\{0,1,\dots,N\}$ とし、 $E_1,\dots,E_m\ge0$ が $0\le n<m$ について $E_{n+1}\le(1+\Lambda h_n)E_n+a_n$ を満たすならば、 $0\le n\le m$ について $E_n\le B_n$ が成り立つ。
$B_0\le B_1\le\dots\le B_N$ である。
$\alpha\ge0$ が $0\le j<N$ について $a_j\le\alpha h_j$ を満たすならば、 $0\le n\le N$ について $B_n\le e^{\Lambda(t_n-t_0)}E_0+\alpha\,\varphi_\Lambda(t_n-t_0)$ が成り立つ。ここで $\tau\ge0$ に対して、 $\Lambda>0$ ならば $\varphi_\Lambda(\tau):=(e^{\Lambda\tau}-1)/\Lambda$ 、 $\Lambda=0$ ならば $\varphi_0(\tau):=\tau$ である。

証明. $0\le n<N$ について $B_{n+1}=e^{\Lambda h_n}B_n+a_n$ である。

(1)を示す。 $B_0=E_0$ である。 $n<m$ について $E_n\le B_n$ であるとすると、 $1+\Lambda h_n\le e^{\Lambda h_n}$ により

E_{n+1}\le(1+\Lambda h_n)B_n+a_n\le e^{\Lambda h_n}B_n+a_n=B_{n+1}

である。 $n$ についての帰納法により主張を得る。

(2)は $e^{\Lambda h_n}\ge1$ 、 $B_n\ge0$ 、 $a_n\ge0$ と $B_{n+1}=e^{\Lambda h_n}B_n+a_n$ による。

(3)を示す。 $j<n$ と $s\in[t_j,t_{j+1}]$ について $e^{\Lambda(t_n-t_{j+1})}\le e^{\Lambda(t_n-s)}$ であるから

\sum_{j=0}^{n-1}e^{\Lambda(t_n-t_{j+1})}h_j\le\sum_{j=0}^{n-1}\int_{t_j}^{t_{j+1}}e^{\Lambda(t_n-s)}\,ds=\int_{t_0}^{t_n}e^{\Lambda(t_n-s)}\,ds=\varphi_\Lambda(t_n-t_0)

であり、 $a_j\le\alpha h_j$ を代入すると主張を得る。▨

定理 1.3. $d\in\NN$ とし、 $\R^d$ にノルム $\|\cdot\|$ を固定する。 $\Omega\subseteq\R\times\R^d$ を開集合、 $f\colon\Omega\to\R^d$ を連続写像、 $\Phi\colon D\to\R^d$ を $f$ に対する増分関数、 $\Psi_h$ をその一歩写像とする。 $t_0<T$ とし、 $J\supseteq[t_0,T]$ を開区間、 $y\colon J\to\R^d$ を、任意の $\tau\in J$ について $(\tau,y(\tau))\in\Omega$ と $y'(\tau)=f(\tau,y(\tau))$ を満たす $C^1$ 級写像とする。 $[t_0,T]$ の格子 $t_0<\dots<t_N=T$ に対して $h_n:=t_{n+1}-t_n$ と置く。 $\rho\in(0,\infty]$ と $\Lambda\ge0$ を取り、各 $n\in\{0,\dots,N-1\}$ と、 $\|u-y(t_n)\|\le\rho$ を満たす任意の $u\in\R^d$ （ $\rho=\infty$ のときは任意の $u\in\R^d$ ）について

(t_n,u,h_n)\in D,\qquad\|\Psi_{h_n}(t_n,u)-\Psi_{h_n}(t_n,y(t_n))\|\le(1+\Lambda h_n)\|u-y(t_n)\|

が成り立つとする。 $d_n:=y(t_{n+1})-\Psi_{h_n}(t_n,y(t_n))$ と置く。 $y_0\in\R^d$ と $r_0,\dots,r_{N-1}\in\R^d$ を取り、 $(t_n,y_n,h_n)\in D$ である限り $y_{n+1}:=\Psi_{h_n}(t_n,y_n)+r_n$ と定め、 $E_n:=\|y_n-y(t_n)\|$ と

B_n:=e^{\Lambda(t_n-t_0)}E_0+\sum_{j=0}^{n-1}e^{\Lambda(t_n-t_{j+1})}\bigl(\|d_j\|+\|r_j\|\bigr)\qquad(0\le n\le N)

と置く。 $B_N\le\rho$ ならば、 $y_0,\dots,y_N$ はすべて定まり、 $0\le n\le N$ について $E_n\le B_n$ が成り立つ。

証明. $u=y(t_n)$ に仮定を用いると $(t_n,y(t_n),h_n)\in D$ であるから、 $d_n$ は定まり、 $y(t_{n+1})=\Psi_{h_n}(t_n,y(t_n))+d_n$ である。 $m\in\{0,\dots,N\}$ について、 $y_0,\dots,y_m$ が定まり、 $0\le n<m$ について

E_{n+1}\le(1+\Lambda h_n)E_n+\|d_n\|+\|r_n\|

が成り立つという条件を $P(m)$ とする。 $y_0$ は与えられているから $P(0)$ が成り立つ。 $m<N$ について $P(m)$ が成り立つとする。補題 1.2 (1)を $a_j:=\|d_j\|+\|r_j\|$ として適用すると $E_m\le B_m$ であり、補題 1.2 (2)により $B_m\le B_N\le\rho$ である。仮定により $(t_m,y_m,h_m)\in D$ であるから $y_{m+1}$ は定まり、

y_{m+1}-y(t_{m+1})=\Psi_{h_m}(t_m,y_m)-\Psi_{h_m}(t_m,y(t_m))+r_m-d_m

の両辺のノルムを取って仮定を用いると、 $n=m$ の不等式を得る。したがって $P(m+1)$ が成り立ち、帰納法により $P(N)$ が成り立つ。 $P(N)$ に補題 1.2 (1)を適用すると、 $0\le n\le N$ について $E_n\le B_n$ である。▨

定義 1.4. $d\in\NN$ とし、 $\R^d$ にノルム $\|\cdot\|$ を固定する。 $\Omega\subseteq\R\times\R^d$ を開集合、 $f\colon\Omega\to\R^d$ を連続写像とし、一段法が $f$ に対応させる増分関数の定義域を $D$ 、一歩写像を $\Psi_h$ とする。 $t_0<T$ とし、 $J\supseteq[t_0,T]$ を開区間、 $y\colon J\to\R^d$ を、任意の $\tau\in J$ について $(\tau,y(\tau))\in\Omega$ と $y'(\tau)=f(\tau,y(\tau))$ を満たす $C^1$ 級写像とする。

$t\in[t_0,T)$ と $0<h\le T-t$ が $(t,y(t),h)\in D$ を満たすとき、局所打切り誤差 $\delta_y(t,h)=y(t+h)-\Psi_h(t,y(t))$ を $h$ で割った $\delta_y(t,h)/h$ を正規化局所打切り誤差 (normalized local truncation error) という。
$H_1>0$ が存在して、 $t\in[t_0,T)$ と $0<h\le\min\{H_1,T-t\}$ を満たす任意の $t,h$ について $(t,y(t),h)\in D$ であり、 $0<H\le H_1$ に対して $\tau_y(H):=\sup\Bigl\{\frac{\|\delta_y(t,h)\|}{h}\ \Big|\ t\in[t_0,T),\ 0<h\le\min\{H,T-t\}\Bigr\}$ と置くと $\lim_{H\to+0}\tau_y(H)=0$ が成り立つとき、一段法は解 $y$ と整合的であるという。すなわち、 $t\in[t_0,T)$ について一様に $\delta_y(t,h)=o(h)$ （ $h\to+0$ ）であることをいう。任意の $d\in\NN$ 、 $\R^d$ の任意のノルム、任意の開集合 $\Omega\subseteq\R\times\R^d$ 、一段法のクラスに属する任意の $f\in C^1(\Omega;\R^d)$ と、上の条件を満たす任意の $t_0<T$ 、 $J$ 、 $y$ について、一段法が $y$ と整合的であるとき、一段法は整合的 (consistent) であるという。
$p\in\NN$ とする。一段法の局所次数が $p$ 以上であるとき、一段法の整合性の次数 (order of consistency) は $p$ 以上であるともいう。局所次数の定義の評価 $\|\delta_y(t,h)\|\le Ch^{p+1}$ は、正規化局所打切り誤差について $\|\delta_y(t,h)/h\|\le Ch^p$ である。

注意 1.5. 局所次数が $1$ 以上の一段法は整合的である。実際、 $f\in C^1$ の解 $y$ について、局所次数の定義の $C$ と $h_0$ を取ると、 $t\in[t_0,T)$ と $0<h\le\min\{h_0,T-t\}$ について $(t,y(t),h)\in D$ であり、 $0<H\le h_0$ で定義 1.4 (2)の上限は $\tau_y(H)\le CH$ を満たす。

$c\in\R$ とし、各 $f$ に $D:=\Omega\times(0,\infty)$ 上の増分関数 $\Phi(t,u,h):=cf(t,u)$ を対応させる一段法を考える。 $d=1$ 、 $\Omega=\R^2$ 、 $f=0$ の解は定数であり、任意の $c$ について $\delta_y(t,h)=0$ である。 $f(t,u)=1$ と解 $y(\tau)=\tau$ については $\delta_y(t,h)=(1-c)h$ であり、正規化局所打切り誤差は $1-c$ である。したがって $c\ne1$ のときこの一段法は整合的でない。 $c=1$ の一段法は前進 Euler 法であり、§E20.27 系 5.2 (1)により局所次数が $1$ であるから整合的である。

系 1.6. $d\in\NN$ とし、 $\R^d$ にノルム $\|\cdot\|$ を固定する。 $\Omega\subseteq\R\times\R^d$ を開集合、 $f\colon\Omega\to\R^d$ を連続写像とし、一段法が $f$ に対応させる増分関数の定義域を $D$ 、一歩写像を $\Psi_h$ とする。 $t_0<T$ とし、 $J\supseteq[t_0,T]$ を開区間、 $y\colon J\to\R^d$ を、任意の $\tau\in J$ について $(\tau,y(\tau))\in\Omega$ と $y'(\tau)=f(\tau,y(\tau))$ を満たす $C^1$ 級写像とする。 $\rho\in(0,\infty]$ 、 $\Lambda\ge0$ 、 $H_0>0$ を取り、 $t\in[t_0,T)$ 、 $0<h\le\min\{H_0,T-t\}$ と、 $\|u-y(t)\|\le\rho$ を満たす任意の $u\in\R^d$ について

(t,u,h)\in D,\qquad\|\Psi_h(t,u)-\Psi_h(t,y(t))\|\le(1+\Lambda h)\|u-y(t)\|

が成り立つとする。 $\Lambda>0$ ならば $\varphi:=(e^{\Lambda(T-t_0)}-1)/\Lambda$ 、 $\Lambda=0$ ならば $\varphi:=T-t_0$ と置き、 $0<H\le H_0$ に対して $\tau_y(H)$ を定義 1.4 (2)の上限とする。

$[t_0,T]$ の格子 $t_0<\dots<t_N=T$ が $H:=\max_nh_n\le H_0$ を満たすとする。 $y_0\in\R^d$ 、 $r_0,\dots,r_{N-1}\in\R^d$ を取り、 $(t_n,y_n,h_n)\in D$ である限り $y_{n+1}:=\Psi_{h_n}(t_n,y_n)+r_n$ と定め、 $E_n:=\|y_n-y(t_n)\|$ 、 $\varepsilon:=\max_n\|r_n\|/h_n$ と置く。 $e^{\Lambda(T-t_0)}E_0+\varphi\bigl(\tau_y(H)+\varepsilon\bigr)\le\rho$ ならば、 $y_0,\dots,y_N$ はすべて定まり、 $\max_nE_n$ は左辺以下である。
一段法が解 $y$ と整合的ならば、一段法は $y$ に対して収束する。

証明.(1)を示す。 $d_n:=\delta_y(t_n,h_n)$ は $\|d_n\|\le\tau_y(H)h_n$ を満たし、 $\|r_n\|\le\varepsilon h_n$ である。定理 1.3の $B_n$ について、補題 1.2 (3)を $\alpha:=\tau_y(H)+\varepsilon$ として適用すると、 $e^{\Lambda(t_N-t_0)}=e^{\Lambda(T-t_0)}$ と $\varphi_\Lambda(T-t_0)=\varphi$ により $B_N$ は仮定の左辺以下であり、したがって $B_N\le\rho$ である。定理 1.3と補題 1.2 (2)により $y_0,\dots,y_N$ はすべて定まり、 $E_n\le B_n\le B_N$ である。

(2)を示す。 $\tau_y$ は $H$ について単調非減少であり、 $\tau_y(H)\to0$ であるから、 $H_1\in(0,H_0]$ が存在して $H\le H_1$ ならば $\varphi\tau_y(H)\le\rho$ である。 $H\le H_1$ を満たす格子について、 $y_0=y(t_0)$ 、 $r_n=0$ として(1)を適用すると、近似値はすべて定まり $E\le\varphi\tau_y(H)$ である。 $\beta>0$ に対して $\varphi\tau_y(H_2)\le\beta$ を満たす $H_2\in(0,H_1]$ を取ると、 $H\le H_2$ を満たす任意の格子について $E\le\beta$ である。▨

系 1.7.系 1.6の仮定に加えて、 $p\in\NN$ と $C\ge0$ が存在し、 $t\in[t_0,T)$ と $0<h\le\min\{H_0,T-t\}$ を満たす任意の $t,h$ について $\|\delta_y(t,h)\|\le Ch^{p+1}$ が成り立つとする。 $\varphi$ を系 1.6の定数とする。 $H\le H_0$ を満たす $[t_0,T]$ の格子、 $y_0$ 、 $r_n$ 、 $E_n$ 、 $\varepsilon$ を系 1.6 (1)のとおりとすると、

e^{\Lambda(T-t_0)}E_0+\varphi\bigl(CH^p+\varepsilon\bigr)\le\rho

ならば $y_0,\dots,y_N$ はすべて定まり、 $\max_nE_n$ は左辺以下である。特に、 $y_0=y(t_0)$ 、 $r_n=0$ 、 $\varphi CH^p\le\rho$ ならば

E\le C\,\frac{e^{\Lambda(T-t_0)}-1}{\Lambda}\,H^p\qquad(\Lambda=0\ \text{のときは}\ E\le C(T-t_0)H^p)

であり、一段法は $y$ に対して $p$ 次で収束する。

証明. $0<H\le H_0$ について $\tau_y(H)\le CH^p$ であるから、系 1.6 (1)により第一の主張を得る。 $C>0$ かつ $\rho<\infty$ ならば $H_1:=\min\{H_0,(\rho/(C\varphi))^{1/p}\}$ 、そうでなければ $H_1:=H_0$ と置くと、 $H\le H_1$ を満たす格子で $\varphi CH^p\le\rho$ である。 $y_0=y(t_0)$ 、 $r_n=0$ として第一の主張を適用すると $E\le C\varphi H^p$ である。▨

注意 1.8. 等間隔の格子 $h_n=h=(T-t_0)/N$ で $\|r_n\|\le\varepsilon'$ とすると、系 1.7の $\varepsilon$ は $\varepsilon'/h=N\varepsilon'/(T-t_0)$ 以下であり、上界 $e^{\Lambda(T-t_0)}E_0+\varphi(Ch^p+\varepsilon'/h)$ の最後の項は歩数 $N$ に比例する。 $d=1$ 、 $f=0$ 、解 $y=0$ に前進 Euler 法を用いると $\Psi_h(t,u)=u$ であり、 $y_0=0$ 、 $r_n=\varepsilon'$ から $y_N-y(T)=N\varepsilon'$ を得る。 $C>0$ と $\varepsilon'>0$ について、 $h\mapsto Ch^p+\varepsilon'/h$ は $h>0$ 上で $h=(\varepsilon'/(pC))^{1/(p+1)}$ において最小値をとる。

定義 2.1. $\theta\in[0,1]$ とする。 $d\in\NN$ とし、 $\R^d$ にノルムを固定する。 $\Omega\subseteq\R\times\R^d$ を開集合、 $f\colon\Omega\to\R^d$ を連続写像、 $(t,u)\in\Omega$ 、 $h>0$ とし、 $v\in\R^d$ についての方程式

v=u+h\bigl((1-\theta)f(t,u)+\theta f(t+h,v)\bigr),\qquad(t+h,v)\in\Omega

がただ一つの解をもつとき、その解を $\Psi_h(t,u)$ とする。 $\Psi_h(t,u)$ が定まる $(t,u,h)$ の全体を $D$ とし、増分関数 $\Phi(t,u,h):=(\Psi_h(t,u)-u)/h$ を対応させる一段法を θ 法 (theta method) という。 $\theta=\frac12$ の θ 法、すなわち方程式

v=u+\frac h2\bigl(f(t,u)+f(t+h,v)\bigr)

による一段法を台形法 (trapezoidal method) という。 $\theta=0$ の θ 法の一歩写像は、定まる点で前進 Euler 法の一歩写像に一致し、 $\theta=1$ の θ 法の一歩写像は、定まる点で§E20.27 定義 3.1 (1)により後退 Euler 法の一歩写像に一致する。

補題 2.2. $d\in\NN$ とし、 $\R^d$ にノルム $\|\cdot\|$ を固定する。 $I\subseteq\R$ を開区間、 $f\colon I\times\R^d\to\R^d$ を連続写像とし、ある $L\ge0$ について、任意の $\sigma\in I$ と $v,v'\in\R^d$ に対して $\|f(\sigma,v)-f(\sigma,v')\|\le L\|v-v'\|$ が成り立つとする。 $\theta\in[0,1]$ 、 $t\in I$ 、 $h>0$ 、 $t+h\in I$ 、 $\theta hL<1$ とし、 $\Psi_h$ を θ 法の一歩写像とする。

任意の $u\in\R^d$ について、方程式 $v=u+h((1-\theta)f(t,u)+\theta f(t+h,v))$ は $\R^d$ にただ一つの解 $\Psi_h(t,u)$ をもつ。任意の $u,w\in\R^d$ について $\|\Psi_h(t,u)-\Psi_h(t,w)\|\le\Bigl(1+\frac{hL}{1-\theta hL}\Bigr)\|u-w\|$ が成り立つ。
$y$ を、 $t$ と $t+h$ を含む開区間上で $y'(\sigma)=f(\sigma,y(\sigma))$ を満たす $C^1$ 級写像とし、 $\eta:=y(t+h)-y(t)-h((1-\theta)y'(t)+\theta y'(t+h))$ と置く。このとき $\|y(t+h)-\Psi_h(t,y(t))\|\le\frac{\|\eta\|}{1-\theta hL},\qquad\|y(t+h)-\Psi_h(t,y(t))-\eta\|\le\frac{\theta hL\|\eta\|}{1-\theta hL}$ が成り立つ。

証明.(1)を示す。 $u\in\R^d$ を取り、 $T(v):=u+h(1-\theta)f(t,u)+h\theta f(t+h,v)$ と置く。 $T$ は $\R^d$ からそれ自身への写像であり、 $\|T(v)-T(v')\|\le\theta hL\|v-v'\|$ を満たす。 $\R^d$ は空でない完備距離空間であり $\theta hL<1$ であるから、§E2.7 定理 2.2により $T$ はただ一つの不動点をもつ。 $(t+h,v)\in I\times\R^d$ は常に成り立つから、方程式の解は $T$ の不動点と一致し、ただ一つである。 $v:=\Psi_h(t,u)$ 、 $v':=\Psi_h(t,w)$ と置くと

v-v'=u-w+h(1-\theta)\bigl(f(t,u)-f(t,w)\bigr)+h\theta\bigl(f(t+h,v)-f(t+h,v')\bigr)

であるから $\|v-v'\|\le(1+(1-\theta)hL)\|u-w\|+\theta hL\|v-v'\|$ である。移項すると $\|v-v'\|\le\frac{1+(1-\theta)hL}{1-\theta hL}\|u-w\|$ であり、 $\frac{1+(1-\theta)hL}{1-\theta hL}=1+\frac{hL}{1-\theta hL}$ である。

(2)を示す。 $v:=\Psi_h(t,y(t))$ と置く。 $y'(t)=f(t,y(t))$ 、 $y'(t+h)=f(t+h,y(t+h))$ と $v$ の方程式から

y(t+h)-v=\eta+h\theta\bigl(f(t+h,y(t+h))-f(t+h,v)\bigr)

補題 2.3. $m\in\NN$ とし、 $\R^m$ にノルム $\|\cdot\|$ を固定する。 $J\subseteq\R$ を開区間、 $\theta\in[0,1]$ 、 $t\in J$ 、 $h>0$ 、 $t+h\in J$ とし、 $C^1$ 級写像 $x\colon J\to\R^m$ に対して

\eta_\theta:=x(t+h)-x(t)-h\bigl((1-\theta)x'(t)+\theta x'(t+h)\bigr)

と置く。 $k\in\N$ について $x\in C^k(J;\R^m)$ のとき $M_k:=\max_{\tau\in[t,t+h]}\|x^{(k)}(\tau)\|$ と置く。

$x\in C^2(J;\R^m)$ ならば $\|\eta_\theta\|\le\frac{h^2}2M_2$ である。
$x\in C^3(J;\R^m)$ ならば $\Bigl\|\eta_\theta-\Bigl(\frac12-\theta\Bigr)h^2x''(t)\Bigr\|\le\Bigl(\frac16+\frac\theta2\Bigr)h^3M_3$ である。特に $\|\eta_{1/2}\|\le\frac5{12}h^3M_3$ である。
$x\in C^4(J;\R^m)$ ならば $\Bigl\|\eta_{1/2}+\frac{h^3}{12}x'''(t)\Bigr\|\le\frac{h^4}8M_4$ である。

証明.(1)を示す。

\eta_\theta=(1-\theta)\bigl(x(t+h)-x(t)-hx'(t)\bigr)-\theta\bigl(x(t)-x(t+h)-(-h)x'(t+h)\bigr)

である。§E20.27 補題 1.5 (1)を $r=1$ として、展開点 $t$ 、増分 $h$ の場合と、展開点 $t+h$ 、増分 $-h$ の場合に適用すると、二つの括弧のノルムはともに $\frac{h^2}2M_2$ 以下であり、 $(1-\theta)+\theta=1$ により主張を得る。

(2)を示す。

\eta_\theta-\Bigl(\frac12-\theta\Bigr)h^2x''(t)=\Bigl(x(t+h)-x(t)-hx'(t)-\frac{h^2}2x''(t)\Bigr)-\theta h\bigl(x'(t+h)-x'(t)-hx''(t)\bigr)

である。§E20.27 補題 1.5 (1)を $x$ と $r=2$ に適用すると第一の括弧のノルムは $\frac{h^3}6M_3$ 以下であり、 $x'$ と $r=1$ に適用すると第二の括弧のノルムは $\frac{h^2}2M_3$ 以下である。 $\theta=\frac12$ では左辺は $\eta_{1/2}$ であり、 $\frac16+\frac14=\frac5{12}$ である。

(3)を示す。

R_1:=x(t+h)-\sum_{j=0}^3\frac{h^j}{j!}x^{(j)}(t),\qquad R_2:=x'(t+h)-\sum_{j=0}^2\frac{h^j}{j!}x^{(j+1)}(t)

と置くと、

\sum_{j=1}^3\frac{h^j}{j!}x^{(j)}(t)-\frac h2\Bigl(x'(t)+\sum_{j=0}^2\frac{h^j}{j!}x^{(j+1)}(t)\Bigr)=\Bigl(\frac16-\frac14\Bigr)h^3x'''(t)=-\frac{h^3}{12}x'''(t)

により $\eta_{1/2}=R_1-\frac h2R_2-\frac{h^3}{12}x'''(t)$ である。§E20.27 補題 1.5 (1)により $\|R_1\|\le\frac{h^4}{24}M_4$ 、 $\|R_2\|\le\frac{h^3}6M_4$ であり、 $\frac1{24}+\frac1{12}=\frac18$ である。▨

定理 2.4. $d\in\NN$ とし、 $\R^d$ にノルム $\|\cdot\|$ を固定する。 $I\subseteq\R$ を開区間、 $f\colon I\times\R^d\to\R^d$ を連続写像とし、ある $L\ge0$ について、任意の $\sigma\in I$ と $v,v'\in\R^d$ に対して $\|f(\sigma,v)-f(\sigma,v')\|\le L\|v-v'\|$ が成り立つとする。 $t_0<T$ とし、 $J$ を $[t_0,T]\subseteq J\subseteq I$ を満たす開区間、 $y\colon J\to\R^d$ を $y'(\tau)=f(\tau,y(\tau))$ を満たす $C^1$ 級写像とする。 $\theta\in[0,1]$ と、 $\theta h_0L<1$ を満たす $h_0>0$ を取り、

\Lambda:=\frac L{1-\theta h_0L},\qquad\varphi:=\frac{e^{\Lambda(T-t_0)}-1}\Lambda\quad(\Lambda=0\ \text{のときは}\ \varphi:=T-t_0)

と置く。 $[t_0,T]$ の格子が $H\le h_0$ を満たすとし、 $y_0\in\R^d$ 、 $r_0,\dots,r_{N-1}\in\R^d$ に対して、θ 法の一歩写像 $\Psi_h$ により $y_{n+1}:=\Psi_{h_n}(t_n,y_n)+r_n$ と定め、 $E_n:=\|y_n-y(t_n)\|$ 、 $\varepsilon:=\max_n\|r_n\|/h_n$ と置く。このとき $y_0,\dots,y_N$ はすべて定まり、次が成り立つ。

$y\in C^2(J;\R^d)$ ならば、 $M_2:=\max_{\tau\in[t_0,T]}\|y''(\tau)\|$ について $\max_nE_n\le e^{\Lambda(T-t_0)}E_0+\varphi\Bigl(\frac{M_2}{2(1-\theta h_0L)}H+\varepsilon\Bigr)$ である。
$\theta=\frac12$ かつ $y\in C^3(J;\R^d)$ ならば、 $M_3:=\max_{\tau\in[t_0,T]}\|y'''(\tau)\|$ について $\max_nE_n\le e^{\Lambda(T-t_0)}E_0+\varphi\Bigl(\frac{5M_3}{12(1-h_0L/2)}H^2+\varepsilon\Bigr)$ である。

特に、θ 法は $C^2$ 級の解 $y$ に対して $1$ 次で収束し、台形法は $C^3$ 級の解 $y$ に対して $2$ 次で収束する。

証明. $t\in[t_0,T)$ と $0<h\le\min\{h_0,T-t\}$ を取る。 $t,t+h\in J\subseteq I$ であり $\theta hL\le\theta h_0L<1$ であるから、補題 2.2 (1)により任意の $u\in\R^d$ について $(t,u,h)\in D$ であり、

\|\Psi_h(t,u)-\Psi_h(t,y(t))\|\le\Bigl(1+\frac{hL}{1-\theta hL}\Bigr)\|u-y(t)\|\le(1+\Lambda h)\|u-y(t)\|

である。したがって系 1.6の仮定は $\rho=\infty$ 、 $H_0:=h_0$ と上の $\Lambda$ について成り立つ。補題 2.2 (2)と補題 2.3 (1)により

\|\delta_y(t,h)\|\le\frac{1}{1-\theta h_0L}\cdot\frac{h^2}2M_2

であり、 $\theta=\frac12$ かつ $y\in C^3$ ならば補題 2.2 (2)と補題 2.3 (2)により $\|\delta_y(t,h)\|\le\frac{5M_3}{12(1-h_0L/2)}h^3$ である。系 1.7をそれぞれ $p=1$ と $p=2$ で適用すると、 $\rho=\infty$ であるから条件は常に満たされ、二つの評価と収束の次数を得る。▨

注意 2.5.定理 2.4で $\theta=1$ とし、 $h_0L<1$ 、 $\varepsilon'>0$ とする。各 $n$ で $v^{(0)}:=y_n$ から始めた反復 $v^{(k+1)}:=y_n+h_nf(t_{n+1},v^{(k)})$ を $\|v^{(k+1)}-v^{(k)}\|\le(1-h_nL)h_n\varepsilon'$ を満たす $k$ で止めて $y_{n+1}:=v^{(k)}$ とすると、§E20.27 命題 3.4 (1)により $r_n:=v^{(k)}-\Psi_{h_n}(t_n,y_n)$ は $\|r_n\|\le h_n\varepsilon'$ を満たす。したがって定理 2.4の評価が $\varepsilon=\varepsilon'$ で成り立つ。

注意 2.6. $d=1$ 、 $I=\R$ 、 $f(t,u)=\lambda u$ とすると、 $\lambda=100$ と $\lambda=-100$ のどちらでも $L=100$ である。定理 2.4を $\theta=1$ で適用するには $h_0<1/100$ が必要であり、評価には $e^{\Lambda(T-t_0)}\ge e^{100(T-t_0)}$ が現れる。この評価は $\lambda$ の符号を用いないので、解が $e^{100t}$ で増大する $\lambda=100$ の場合も含む。 $\lambda=-100$ 、 $y(0)=1$ 、 $h=0.1$ では $hL=10$ であり、定理 2.4は適用されない。一方、後退 Euler 法の方程式 $v=u-10v$ の解は $v=u/11$ であり、 $y_n=11^{-n}$ と $y(t_n)=e^{-10n}$ はともに正であるから $|y_n-y(t_n)|<11^{-n}$ である。 $\lambda$ の符号を用いる評価は命題 5.3が与える。

命題 2.7. $d\in\NN$ とし、 $\R^d$ にノルム $\|\cdot\|$ を固定する。 $I\subseteq\R$ を開区間、 $f\colon I\times\R^d\to\R^d$ を連続写像とし、ある $L\ge0$ について、任意の $\sigma\in I$ と $v,v'\in\R^d$ に対して $\|f(\sigma,v)-f(\sigma,v')\|\le L\|v-v'\|$ が成り立つとする。 $t_0<T$ とし、 $J$ を $[t_0,T]\subseteq J\subseteq I$ を満たす開区間、 $y\in C^2(J;\R^d)$ を $y'(\tau)=f(\tau,y(\tau))$ を満たす写像、 $M_2:=\max_{\tau\in[t_0,T]}\|y''(\tau)\|$ とする。 $[t_0,T]$ の任意の格子について、初期値 $y_0=y(t_0)$ から前進 Euler 法で定まる近似値の大域誤差の大きさ $E$ は、 $L>0$ ならば

E\le\frac{M_2H}{2}\cdot\frac{e^{L(T-t_0)}-1}{L},

$L=0$ ならば $E\le M_2(T-t_0)H/2$ を満たす。

証明. $\theta=0$ の θ 法の一歩写像は $\Psi_h(t,u)=u+hf(t,u)$ （ $t,t+h\in I$ ）であり、格子上で前進 Euler 法の一歩写像に一致する。 $h_0:=T-t_0$ は任意の格子について $H\le h_0$ と $\theta h_0L=0<1$ を満たし、 $\Lambda=L$ である。定理 2.4 (1)を $\theta=0$ 、 $E_0=0$ 、 $r_n=0$ として適用すると主張を得る。▨

注意 2.8. 等間隔の格子 $h_n=h=(T-t_0)/N$ と系 1.7の仮定の下で、 $N=(T-t_0)/h$ 個の局所打切り誤差の和は $\sum_{j<N}\|d_j\|\le NCh^{p+1}=C(T-t_0)h^p$ を満たす。各 $d_j$ に掛かる係数 $e^{\Lambda(t_n-t_{j+1})}$ は $e^{\Lambda(T-t_0)}$ 以下であり、 $h$ によらない。一歩ごとの係数 $1+\Lambda h$ を掛け合わせた和 $\sum_{j<n}(1+\Lambda h)^j$ は $n$ 以上であって、 $n=N$ では $h\to+0$ で有界でない。有界であるのはこれに $h$ を掛けた量であり、 $\Lambda>0$ ならば

h\sum_{j=0}^{n-1}(1+\Lambda h)^j=\frac{(1+\Lambda h)^n-1}{\Lambda}\le\frac{e^{\Lambda(t_n-t_0)}-1}{\Lambda}

である。

例 2.9. $d=1$ 、 $I=\R$ 、 $f(t,u)=u$ （ $L=1$ ）、解 $y(\tau)=e^\tau$ 、 $t_0=0$ 、 $T=1$ 、 $N\in\NN$ 、 $h=1/N$ とする。前進 Euler 法の近似値は $y_n=(1+h)^n$ であり、終点では $y_N=(1+h)^N$ である。 $a:=e^h$ 、 $b:=1+h$ と置くと

e-y_N=a^N-b^N=(a-b)\sum_{k=0}^{N-1}a^{N-1-k}b^k

である。§E20.27 例 1.7により $\frac{h^2}2\le a-b\le\frac{h^2}2e^h$ であり、 $1\le b\le a$ により $N\le\sum_{k=0}^{N-1}a^{N-1-k}b^k\le Na^{N-1}=Ne^{1-h}$ である。 $Nh=1$ を用いると

\frac h2\le e-y_N\le\frac e2h

を得る。命題 2.7は $M_2=e$ として $E\le\frac{e(e-1)}2h$ を与え、 $\frac{e(e-1)}2=2.335387135\ldots$ 、 $\frac e2=1.359140914\ldots$ である。値を丸めると次のとおりである。

$N$	$y_N$	$e-y_N$	$(e-y_N)/h$	一つ上の行の $e-y_N$ との比
$2$	$2.250000000000$	$0.468281828459$	$0.936563657$	—
$4$	$2.441406250000$	$0.276875578459$	$1.107502314$	$1.691307811$
$8$	$2.565784513950$	$0.152497314509$	$1.219978516$	$1.815609536$
$16$	$2.637928497367$	$0.080353331092$	$1.285653297$	$1.897834383$
$32$	$2.676990129378$	$0.041291699081$	$1.321334371$	$1.945992364$

補題 3.1. $s\in\NN$ とし、 $A=(a_{ij})\in\R^{s\times s}$ を狭義下三角行列、 $b\in\R^s$ 、 $c:=A\mathbf1$ とする。 $d\in\NN$ とし、 $\R^d$ にノルム $\|\cdot\|$ を固定する。 $\Omega\subseteq\R\times\R^d$ を開集合、 $f\colon\Omega\to\R^d$ を連続写像とし、 $\Phi$ と $\Psi_h$ を Butcher 配列 $(A,b)$ の陽的 Runge–Kutta 法の増分関数と一歩写像とする。 $L\ge0$ と $h_0>0$ に対して

L_1:=L,\qquad L_i:=L\Bigl(1+h_0\sum_{j<i}|a_{ij}|L_j\Bigr)\quad(2\le i\le s),\qquad\Lambda:=\sum_{i=1}^s|b_i|L_i

と置く。 $B\subseteq\Omega$ が、 $(\sigma,w),(\sigma,w')\in B$ を満たす任意の $\sigma,w,w'$ について $\|f(\sigma,w)-f(\sigma,w')\|\le L\|w-w'\|$ を満たすとする。 $0<h\le h_0$ 、 $t\in\R$ 、 $u,v\in\R^d$ とし、 $k_1:=f(t,u)$ 、 $k_i:=f(t+c_ih,\ u+h\sum_{j<i}a_{ij}k_j)$ で順に定める値の引数と、 $u$ を $v$ に替えて定める値 $k'_i$ の引数が、すべて定まり $B$ に属するとする。このとき $(t,u,h),(t,v,h)\in D$ であり、

\|\Phi(t,u,h)-\Phi(t,v,h)\|\le\Lambda\|u-v\|,\qquad\|\Psi_h(t,u)-\Psi_h(t,v)\|\le(1+\Lambda h)\|u-v\|

が成り立つ。

証明. 引数はすべて $B\subseteq\Omega$ に属するから、§E20.27 定義 2.2 (3)により $(t,u,h),(t,v,h)\in D$ である。 $k_1$ と $k'_1$ の引数 $(t,u)$ と $(t,v)$ は時刻が等しく $B$ に属するから、 $\|k_1-k'_1\|\le L\|u-v\|=L_1\|u-v\|$ である。 $i\ge2$ とし、 $j<i$ について $\|k_j-k'_j\|\le L_j\|u-v\|$ であるとする。 $k_i$ と $k'_i$ の引数は時刻 $t+c_ih$ が等しく $B$ に属するから

\|k_i-k'_i\|\le L\Bigl\|u-v+h\sum_{j<i}a_{ij}(k_j-k'_j)\Bigr\|\le L\Bigl(1+h_0\sum_{j<i}|a_{ij}|L_j\Bigr)\|u-v\|=L_i\|u-v\|

である。帰納法により $1\le i\le s$ について $\|k_i-k'_i\|\le L_i\|u-v\|$ である。 $\Phi(t,u,h)-\Phi(t,v,h)=\sum_ib_i(k_i-k'_i)$ であるから第一の評価を得て、 $\Psi_h(t,u)=u+h\Phi(t,u,h)$ から第二の評価を得る。▨

系 3.2. $s,p\in\NN$ とし、Butcher 配列 $(A,b)$ の陽的 Runge–Kutta 法の局所次数が $p$ 以上であるとする。 $d\in\NN$ とし、 $\R^d$ にノルム $\|\cdot\|$ を固定する。 $\Omega\subseteq\R\times\R^d$ を開集合、 $f\in C^p(\Omega;\R^d)$ 、 $t_0<T$ とし、 $J\supseteq[t_0,T]$ を開区間、 $y\colon J\to\R^d$ を、任意の $\tau\in J$ について $(\tau,y(\tau))\in\Omega$ と $y'(\tau)=f(\tau,y(\tau))$ を満たす $C^1$ 級写像とする。このとき、 $\rho>0$ 、 $\Lambda\ge0$ 、 $H_0>0$ が存在して系 1.6の仮定が成り立ち、この Runge–Kutta 法は $y$ に対して $p$ 次で収束する。特に、§E20.27 系 5.2により、解 $y$ に対して、前進 Euler 法は $f\in C^1(\Omega;\R^d)$ ならば $1$ 次で、中点法と Heun 法は $f\in C^2(\Omega;\R^d)$ ならば $2$ 次で、古典的 Runge–Kutta 法は $f\in C^4(\Omega;\R^d)$ ならば $4$ 次で収束する。

証明. $\R\times\R^d$ にノルム $\max\{|t|,\|u\|\}$ を入れる。 $\Gamma:=\{(\tau,y(\tau))\mid\tau\in[t_0,T]\}$ は空でないコンパクト集合であり、§E20.27 補題 1.4により $\Gamma^{\rho'}\subseteq\Omega$ を満たす $\rho'>0$ が存在し、 $\Gamma^{\rho'}$ はコンパクトである。 $M:=\max_{\Gamma^{\rho'}}\|f\|$ 、 $\alpha:=\max_i\sum_j|a_{ij}|$ 、 $\gamma:=\max_i|c_i|$ と置く。 $p\ge1$ により $f\in C^1(\Omega;\R^d)$ であるから、§E20.27 補題 2.1 (1)を $K=\Gamma$ 、 $\rho=\rho'$ に適用して $L\ge0$ を得る。局所次数の定義により、 $C\ge0$ と $h_1>0$ が存在して、 $t\in[t_0,T)$ と $0<h\le\min\{h_1,T-t\}$ について $\|\delta_y(t,h)\|\le Ch^{p+1}$ である。 $H_0\in(0,h_1]$ を $H_0\gamma\le\rho'$ と $H_0\alpha M\le\rho'/2$ を満たすように取り、 $\rho:=\rho'/2$ と置く。

$t\in[t_0,T)$ 、 $0<h\le\min\{H_0,T-t\}$ 、 $\|u-y(t)\|\le\rho$ とし、 $B_t:=\{(\sigma,w)\mid|\sigma-t|\le\rho',\ \|w-y(t)\|\le\rho'\}$ と置くと $B_t\subseteq\Gamma^{\rho'}\subseteq\Omega$ である。 $k_1,\dots,k_{i-1}$ が定まり $\|k_j\|\le M$ を満たすとすると、 $|c_ih|\le\gamma H_0\le\rho'$ と

\Bigl\|u+h\sum_{j<i}a_{ij}k_j-y(t)\Bigr\|\le\rho+h\alpha M\le\rho'

例 3.3. $d=1$ 、 $\Omega=\R^2$ 、 $f(t,u)=u$ 、解 $y(\tau)=e^\tau$ 、 $t_0=0$ 、 $T=1$ 、 $h=1/N$ とする。古典的 Runge–Kutta 法の段は $k_1=u$ 、 $k_2=(1+\frac h2)u$ 、 $k_3=(1+\frac h2+\frac{h^2}4)u$ 、 $k_4=(1+h+\frac{h^2}2+\frac{h^3}4)u$ であり、

\Psi_h(t,u)=R(h)u,\qquad R(h):=1+h+\frac{h^2}2+\frac{h^3}6+\frac{h^4}{24}

である。したがって $y_N=R(h)^N$ である。 $a:=e^h$ 、 $b:=R(h)$ と置くと $a-b=\sum_{j\ge5}h^j/j!\ge h^5/120$ であり、§E20.27 補題 1.5 (1)を $\exp$ と $r=4$ に適用すると $a-b\le h^5e^h/120$ である。 $1\le b\le a$ と

e-y_N=(a-b)\sum_{k=0}^{N-1}a^{N-1-k}b^k

から $\frac{h^4}{120}\le e-y_N\le\frac{e}{120}h^4$ を得る。 $\frac1{120}=0.008333333\ldots$ 、 $\frac e{120}=0.022652348570\ldots$ である。値を丸めると次のとおりである。

$N$	$R(h)$	$y_N$	$e-y_N$	$(e-y_N)/h^4$	一つ上の行の $e-y_N$ との比
$2$	$1.648437500000$	$2.717346191406$	$0.000935637053$	$0.014970193$	—
$4$	$1.284016927083$	$2.718209939201$	$0.000071889258$	$0.018403650$	$13.014977$
$8$	$1.133148193359$	$2.718276844417$	$0.000004984042$	$0.020414637$	$14.423886$
$16$	$1.064494450887$	$2.718281500341$	$0.000000328118$	$0.021503571$	$15.189765$

定理 4.1. $d\in\NN$ とし、 $\R^d$ にノルム $\|\cdot\|$ を固定する。 $t_0<T$ 、 $S\subseteq[t_0,T]\times\R^d$ とし、 $f\colon S\to\R^d$ を写像とする。非負関数 $\ell\in L^1([t_0,T])$ と Lebesgue 零集合 $N_0\subseteq[t_0,T]$ が存在して、任意の $t\in[t_0,T]\setminus N_0$ と、 $(t,u),(t,v)\in S$ を満たす任意の $u,v$ について $\|f(t,u)-f(t,v)\|\le\ell(t)\|u-v\|$ が成り立つとする。 $y,\tilde y\colon[t_0,T]\to\R^d$ を絶対連続写像とし、それらのグラフは $S$ に含まれ、ほとんど至る所で $y'(t)=f(t,y(t))$ であるとする。 $\tilde y$ が微分可能な点で $\delta(t):=\tilde y'(t)-f(t,\tilde y(t))$ と置き、 $\delta$ が $[t_0,T]$ 上で可積分であるとする。このとき $t\in[t_0,T]$ について

\|\tilde y(t)-y(t)\|\le\|\tilde y(t_0)-y(t_0)\|\exp\Bigl(\int_{t_0}^t\ell(s)\,ds\Bigr)+\int_{t_0}^t\exp\Bigl(\int_s^t\ell(\sigma)\,d\sigma\Bigr)\|\delta(s)\|\,ds

が成り立つ。

証明. $\tilde y$ が微分可能な点では $\bar\delta(t):=\delta(t)$ 、それ以外の点では $\bar\delta(t):=0$ と置き、 $g(t,u):=f(t,u)+\bar\delta(t)$ （ $(t,u)\in S$ ）と置く。ほとんど至る所で $\tilde y'(t)=g(t,\tilde y(t))$ であり、任意の $t$ について $\|f(t,\tilde y(t))-g(t,\tilde y(t))\|=\|\bar\delta(t)\|$ である。§E10.6 定理 2.1を、区間 $[t_0,T]$ 、基準の時刻 $t_0$ 、右辺 $g$ の解 $\tilde y$ 、右辺 $f$ の解 $y$ 、 $f$ の Lipschitz 係数 $\ell$ と零集合 $N_0$ 、右辺の差の上界 $r:=\|\bar\delta\|\in L^1([t_0,T])$ として適用すると、主張の評価を得る。▨

例 4.2. $d\in\NN$ とし、 $\R^d$ にノルム $\|\cdot\|$ を固定する。 $t_0<T$ 、 $f\colon[t_0,T]\times\R^d\to\R^d$ とし、 $L,K\ge0$ について、任意の $t,s\in[t_0,T]$ と $u,v\in\R^d$ に対して $\|f(t,u)-f(t,v)\|\le L\|u-v\|$ と $\|f(t,u)-f(s,u)\|\le K|t-s|$ が成り立つとする。 $y\colon[t_0,T]\to\R^d$ を $y'=f(t,y)$ を満たす $C^1$ 級写像とする。 $[t_0,T]$ の格子と $y_0\in\R^d$ から前進 Euler 法の近似値 $y_n$ を定め、 $t\in[t_n,t_{n+1}]$ について $\tilde y(t):=y_n+(t-t_n)f(t_n,y_n)$ と置く。 $t=t_{n+1}$ では $y_n+h_nf(t_n,y_n)=y_{n+1}$ であるから $\tilde y$ は連続であり、区分的に一次であるから絶対連続である。 $t\in(t_n,t_{n+1})$ では $\tilde y'(t)=f(t_n,y_n)$ であり、

\|\delta(t)\|=\|f(t_n,y_n)-f(t,\tilde y(t))\|\le K(t-t_n)+L\|y_n-\tilde y(t)\|=\bigl(K+L\|f(t_n,y_n)\|\bigr)(t-t_n)

である。 $\delta$ は各 $(t_n,t_{n+1})$ 上で連続かつ有界であるから可積分であり、 $\int_{t_n}^{t_{n+1}}\|\delta(s)\|\,ds\le(K+L\|f(t_n,y_n)\|)h_n^2/2$ である。定理 4.1を $S=[t_0,T]\times\R^d$ 、 $\ell=L$ として適用し、 $e^{L(t_n-s)}\le e^{L(t_n-t_0)}$ を用いると

\|y_n-y(t_n)\|\le e^{L(t_n-t_0)}\Bigl(\|y_0-y(t_0)\|+\sum_{j=0}^{n-1}\bigl(K+L\|f(t_j,y_j)\|\bigr)\frac{h_j^2}2\Bigr)

を得る。右辺は $L$ 、 $K$ 、格子と計算した近似値だけで定まる。 $t\to t_n+0$ で $\|\delta(t)\|\to0$ であるから、各格子点での $\delta$ の右極限は $0$ である。一方、 $d=1$ 、 $f(t,u)=u$ では $t\in(t_n,t_{n+1})$ で $\delta(t)=y_n-\tilde y(t)=-(t-t_n)y_n$ であり、 $y_n\ne0$ ならば $\int_{t_n}^{t_{n+1}}|\delta(s)|\,ds=h_n^2|y_n|/2>0$ である。

定義 5.1. $\lambda\in\C$ とする。 $\C$ を実 $2$ 次元の線形空間 $\R^2$ と同一視し、ノルムとして絶対値 $|\cdot|$ を用いる。 $f(t,u):=\lambda u$ （ $(t,u)\in\R\times\C$ ）による初期値問題 $y'=\lambda y$ 、 $y(0)=1$ をテスト方程式 (test equation) という。その解は $y(t)=e^{\lambda t}$ （ $t\in\R$ ）である。

定義 5.2. 一段法と、集合 $D_R\subseteq\C$ と写像 $R\colon D_R\to\C$ が次を満たすとき、 $R$ を一段法の安定関数 (stability function) という。任意の $\lambda\in\C$ と $h>0$ について、テスト方程式の右辺 $f(t,u)=\lambda u$ に対する増分関数の定義域を $D$ 、一歩写像を $\Psi_h$ とすると、 $h\lambda\in D_R$ ならば任意の $(t,u)\in\R\times\C$ について $(t,u,h)\in D$ かつ $\Psi_h(t,u)=R(h\lambda)u$ であり、 $h\lambda\notin D_R$ ならば $(t,u,h)\notin D$ を満たす $(t,u)$ が存在する。 $D_R$ と $R$ は一段法から一意に定まる。実際、 $D_R$ は $h=1$ 、 $\lambda=z$ の場合の条件で定まり、 $R(z)=\Psi_1(0,1)$ である。

S:=\{z\in D_R\mid|R(z)|\le1\}

を一段法の絶対安定領域 (region of absolute stability) という。

命題 5.3. 一段法が安定関数 $R\colon D_R\to\C$ と絶対安定領域 $S$ をもつとする。 $\lambda\in\C$ 、 $h>0$ 、 $z:=h\lambda\in D_R$ とし、テスト方程式の等間隔の格子 $t_n=nh$ 上で、 $w_0\in\C$ と $r_0,r_1,\ldots\in\C$ から $w_{n+1}:=\Psi_h(t_n,w_n)+r_n$ と定める。 $\varepsilon\ge0$ が任意の $n$ について $|r_n|\le\varepsilon$ を満たすとする。

$z\in S$ であることと $\sup_n|R(z)^n|<\infty$ は同値であり、 $|R(z)|<1$ であることと $R(z)^n\to0$ （ $n\to\infty$ ）は同値である。
$z\in S$ ならば $|w_n-R(z)^nw_0|\le n\varepsilon$ である。 $R(z)=1$ かつ任意の $n$ について $r_n=\varepsilon$ ならば等号が成り立つ。
$|R(z)|<1$ ならば $|w_n-R(z)^nw_0|\le\varepsilon/(1-|R(z)|)$ である。
$|R(z)|>1$ 、 $r_0=\varepsilon$ 、 $r_n=0$ （ $n\ge1$ ）ならば $|w_n-R(z)^nw_0|=|R(z)|^{n-1}\varepsilon$ （ $n\ge1$ ）である。

証明. $R:=R(z)$ と書く。 $\Psi_h(t_n,w)=Rw$ であるから、 $n$ についての帰納法により $w_n-R^nw_0=\sum_{j=0}^{n-1}R^{n-1-j}r_j$ である。(1)は $|R^n|=|R|^n$ による。(2)では $|R|^{n-1-j}\le1$ により和の絶対値は $n\varepsilon$ 以下であり、 $R=1$ 、 $r_j=\varepsilon$ ならば和は $n\varepsilon$ である。(3)では和の絶対値は $\varepsilon\sum_{k\ge0}|R|^k=\varepsilon/(1-|R|)$ 以下である。(4)では和は $R^{n-1}\varepsilon$ である。▨

定義 5.4. 安定関数 $R\colon D_R\to\C$ と絶対安定領域 $S$ をもつ一段法が A 安定 (A-stable) であるとは、 $\{z\in\C\mid\operatorname{Re}z\le0\}\subseteq S$ であることをいう。

命題 5.5. $\theta\in[0,1]$ とする。θ 法は安定関数

R_\theta(z)=\frac{1+(1-\theta)z}{1-\theta z}

をもち、その定義域は $\theta>0$ ならば $\C\setminus\{1/\theta\}$ 、 $\theta=0$ ならば $\C$ である。

$z\in D_R$ について、 $|R_\theta(z)|\le1$ であることと $2\operatorname{Re}z+(1-2\theta)|z|^2\le0$ は同値である。
θ 法が A 安定であることと $\theta\ge\frac12$ は同値である。 $\theta\ge\frac12$ かつ $\operatorname{Re}z<0$ ならば $|R_\theta(z)|<1$ であり、 $\theta=\frac12$ かつ $\operatorname{Re}z=0$ ならば $|R_{1/2}(z)|=1$ である。
$\theta>0$ ならば、実数 $x\to-\infty$ のとき $R_\theta(x)\to-(1-\theta)/\theta$ である。特に $R_1(x)\to0$ 、 $R_{1/2}(x)\to-1$ である。

証明. $\lambda\in\C$ 、 $h>0$ 、 $z:=h\lambda$ とする。テスト方程式では $\Omega=\R\times\C$ であり、θ 法の方程式は $(1-\theta z)v=(1+(1-\theta)z)u$ である。 $\theta z\ne1$ ならば、任意の $(t,u)$ についてただ一つの解 $v=R_\theta(z)u$ が存在する。 $\theta>0$ かつ $z=1/\theta$ ならば、方程式は $0=u/\theta$ となり、 $u=1$ では解が存在しない。したがって $R_\theta$ は定義域 $\C\setminus\{1/\theta\}$ （ $\theta=0$ では $\C$ ）の安定関数である。

(1)を示す。 $z\in D_R$ では $|1-\theta z|>0$ であり、

|1+(1-\theta)z|^2-|1-\theta z|^2=2(1-\theta)\operatorname{Re}z+(1-\theta)^2|z|^2+2\theta\operatorname{Re}z-\theta^2|z|^2=2\operatorname{Re}z+(1-2\theta)|z|^2

である。

(2)を示す。 $\theta\ge\frac12$ とし、 $\operatorname{Re}z\le0$ とする。 $1/\theta$ は正の実数であるから $z\in D_R$ であり、 $2\operatorname{Re}z+(1-2\theta)|z|^2\le2\operatorname{Re}z\le0$ であるから(1)により $z\in S$ である。 $\operatorname{Re}z<0$ ならば左辺は負であり $|R_\theta(z)|<1$ である。 $\theta=\frac12$ では左辺は $2\operatorname{Re}z$ であり、 $\operatorname{Re}z=0$ ならば $|R_{1/2}(z)|=1$ である。 $\theta<\frac12$ とし、 $x>2/(1-2\theta)$ とすると、 $z=-x$ について $2\operatorname{Re}z+(1-2\theta)|z|^2=x((1-2\theta)x-2)>0$ であるから $-x\notin S$ であり、θ 法は A 安定でない。

(3)は、 $x<0$ について $R_\theta(x)=(x^{-1}+1-\theta)/(x^{-1}-\theta)$ であることによる。▨

系 5.6. 前進 Euler 法の安定関数は $R(z)=1+z$ （ $D_R=\C$ ）であり、絶対安定領域は $S=\{z\in\C\mid|1+z|\le1\}$ 、 $S\cap\R=[-2,0]$ である。前進 Euler 法は A 安定でない。後退 Euler 法の安定関数は $R(z)=1/(1-z)$ （ $D_R=\C\setminus\{1\}$ ）であり、絶対安定領域は $S=\{z\in\C\mid|1-z|\ge1\}$ である。後退 Euler 法は A 安定である。

証明. テスト方程式では $\Omega=\R\times\C$ であり、前進 Euler 法の増分関数の定義域は $\Omega\times(0,\infty)$ 、一歩写像は $u+h\lambda u=(1+h\lambda)u$ である。したがって $R(z)=1+z$ 、 $D_R=\C$ である。実数 $x$ について $|1+x|\le1$ と $-2\le x\le0$ は同値であり、 $-3\notin S$ であるから前進 Euler 法は A 安定でない。

後退 Euler 法について、 $z:=h\lambda\ne1$ ならば方程式 $v=u+zv$ はただ一つの解 $u/(1-z)$ をもち、§E20.27 定義 3.1 (1)によりそれが一歩写像の値である。 $z=1$ とし $u=1$ とすると方程式 $v=1+v$ は解をもたない。§E20.27 定義 3.1 (2)の値も方程式の解であるから、 $(t,1,h)\notin D$ であり、安定関数は $R(z)=1/(1-z)$ 、 $D_R=\C\setminus\{1\}$ である。 $z=1$ は $|1-z|\ge1$ を満たさないから $S=\{z\in\C\mid|1-z|\ge1\}$ である。この安定関数は $R_1$ に等しいから、命題 5.5 (2)により後退 Euler 法は A 安定である。▨

命題 5.7. $s\in\NN$ とし、 $A\in\R^{s\times s}$ を狭義下三角行列、 $b\in\R^s$ とする。Butcher 配列 $(A,b)$ の陽的 Runge–Kutta 法は、定義域 $\C$ の安定関数

R(z)=1+\sum_{j=1}^s\bigl(b^{\mathsf T}A^{j-1}\mathbf1\bigr)z^j

をもつ。 $b^{\mathsf T}\mathbf1\ne0$ ならば絶対安定領域は有界であり、この方法は A 安定でない。古典的 Runge–Kutta 法の安定関数は $R(z)=1+z+\frac{z^2}2+\frac{z^3}6+\frac{z^4}{24}$ である。

証明. $\lambda\in\C$ 、 $h>0$ 、 $z:=h\lambda$ 、 $(t,u)\in\R\times\C$ とする。テスト方程式では $\Omega=\R\times\C$ であるから、§E20.27 定義 2.2 (3)の段の値はすべて定まり、 $k:=(k_1,\dots,k_s)^{\mathsf T}\in\C^s$ は $k=\lambda u\mathbf1+zAk$ を満たす。 $A$ は狭義下三角行列であるから $A^s=0$ であり、 $(I-zA)^{-1}=\sum_{j=0}^{s-1}z^jA^j$ である。したがって $k=\lambda u\sum_{j=0}^{s-1}z^jA^j\mathbf1$ であり、

\Psi_h(t,u)=u+hb^{\mathsf T}k=\Bigl(1+\sum_{j=0}^{s-1}\bigl(b^{\mathsf T}A^j\mathbf1\bigr)z^{j+1}\Bigr)u=R(z)u

を得る。 $b^{\mathsf T}\mathbf1\ne0$ ならば $R$ は次数 $q\ge1$ の多項式であり、最高次の係数を $\beta_q\ne0$ 、他の係数を $\beta_0,\ldots,\beta_{q-1}$ とすると $|R(z)|\ge|\beta_q||z|^q-\sum_{k<q}|\beta_k||z|^k\to\infty$ （ $|z|\to\infty$ ）である。したがって $S$ は有界であり、閉左半平面を含まない。古典的 Runge–Kutta 法では $c=A\mathbf1=(0,\frac12,\frac12,1)^{\mathsf T}$ 、 $Ac=(0,0,\frac14,\frac12)^{\mathsf T}$ 、 $A^2c=(0,0,0,\frac14)^{\mathsf T}$ 、 $b=\frac16(1,2,2,1)^{\mathsf T}$ であるから、 $b^{\mathsf T}\mathbf1=1$ 、 $b^{\mathsf T}c=\frac12$ 、 $b^{\mathsf T}Ac=\frac16$ 、 $b^{\mathsf T}A^2c=\frac1{24}$ である。▨

例 5.8. 台形法、後退 Euler 法の安定関数 $R_{1/2}$ 、 $R_1$ と $e^z$ の値は次のとおりである。小数は小数第6位に丸めた。

$z$	$R_{1/2}(z)$	$R_1(z)$	$e^z$
$-10$	$-2/3$	$1/11=0.090909$	$0.000045$
$-2$	$0$	$1/3$	$0.135335$
$5i$	$(-21+20i)/29$	$(1+5i)/26$	$0.283662-0.958924i$

$z=5i$ では $|R_{1/2}(z)|=1=|e^z|$ 、 $|R_1(z)|=1/\sqrt{26}=0.196116$ である。 $R_{1/2}(5i)$ の偏角は $2\arctan\frac52=2.380580$ であり、 $e^{5i}$ の偏角 $5-2\pi=-1.283185$ と異なる。

命題 5.9. $m\in\NN$ とし、 $B\in\C^{m\times m}$ と正則行列 $V\in\C^{m\times m}$ が $V^{-1}BV=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_m)$ を満たすとする。一段法を θ 法（ $\theta\in[0,1]$ ）または陽的 Runge–Kutta 法とし、その安定関数を $R\colon D_R\to\C$ とする。 $\C^m$ を $\R^{2m}$ と同一視し、 $f(t,u):=Bu$ （ $(t,u)\in\R\times\C^m$ ）とする。 $h>0$ が $h\lambda_1,\dots,h\lambda_m\in D_R$ を満たすとする。

任意の $(t,u)$ について $(t,u,h)\in D$ であり、 $\Psi_h(t,u)=V\operatorname{diag}(R(h\lambda_1),\dots,R(h\lambda_m))V^{-1}u$ である。
$1\le q\le\infty$ とし、 $\C^m$ に $q$ ノルム $\|\cdot\|_q$ と、それによる作用素ノルムを入れる。 $u_0\in\C^m$ から $u_{n+1}:=\Psi_h(t_n,u_n)$ と定めると $\|u_n\|_q\le\|V\|_q\|V^{-1}\|_q\max_i|R(h\lambda_i)|^n\|u_0\|_q$ である。 $q=2$ で $V$ がユニタリ行列ならば $\|V\|_2\|V^{-1}\|_2=1$ である。

証明.(1)を示す。 $x:=V^{-1}u$ と置く。θ 法では、 $v\in\C^m$ が方程式 $v=u+h((1-\theta)Bu+\theta Bv)$ を満たすことと、 $w:=V^{-1}v$ の各成分が $w_l=x_l+h((1-\theta)\lambda_lx_l+\theta\lambda_lw_l)$ を満たすことは同値である。各成分の方程式は $\lambda=\lambda_l$ のテスト方程式に対する θ 法の方程式であり、 $h\lambda_l\in D_R$ であるから、ただ一つの解 $w_l=R(h\lambda_l)x_l$ をもつ。陽的 Runge–Kutta 法では、段の値 $k_i\in\C^m$ に対して $\tilde k_i:=V^{-1}k_i$ と置くと $\tilde k_i=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_m)(x+h\sum_{j<i}a_{ij}\tilde k_j)$ であり、各成分は $\lambda=\lambda_l$ のテスト方程式に対する段の値である。したがって $V^{-1}\Psi_h(t,u)$ の第 $l$ 成分は $R(h\lambda_l)x_l$ である。

(2)を示す。 $\mu\in\C^m$ について $\|\operatorname{diag}(\mu)y\|_q\le\max_i|\mu_i|\|y\|_q$ である。(1)により $u_n=V\operatorname{diag}(R(h\lambda_i)^n)V^{-1}u_0$ であり、作用素ノルムの劣乗法性から評価を得る。ユニタリ行列 $V$ は $\|Vy\|_2=\|y\|_2$ を満たすから $\|V\|_2=\|V^{-1}\|_2=1$ である。▨

例 5.10.

B=\begin{pmatrix}-1&100\\0&-2\end{pmatrix},\qquad V=\begin{pmatrix}1&-100\\0&1\end{pmatrix},\qquad V^{-1}=\begin{pmatrix}1&100\\0&1\end{pmatrix}

とすると $V^{-1}BV=\operatorname{diag}(-1,-2)$ である。前進 Euler 法を $h=\frac12$ で用いると $h\lambda_1=-\frac12$ 、 $h\lambda_2=-1$ はともに $S\cap\R=[-2,0]$ に属し、 $|R(h\lambda_1)|=\frac12$ 、 $R(h\lambda_2)=0$ である。一方、 $\Psi_h(t,u)=(I+\frac12B)u$ 、 $I+\frac12B=\begin{pmatrix}1/2&50\\0&0\end{pmatrix}$ であり、 $u_0=(0,1)^{\mathsf T}$ から $u_1=(50,0)^{\mathsf T}$ 、 $u_n=(50\cdot2^{1-n},0)^{\mathsf T}$ （ $n\ge1$ ）を得る。したがって $\|u_1\|_\infty=50\|u_0\|_\infty$ である。命題 5.9 (2)の係数は $\|V\|_\infty\|V^{-1}\|_\infty=101^2=10201$ である。

定義 6.1. $m\in\NN$ とし、 $B\in\C^{m\times m}$ を対角化可能な行列、 $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ を重複を込めた固有値とし、任意の $i$ について $\operatorname{Re}\lambda_i<0$ であるとする。

\frac{\max_i|\operatorname{Re}\lambda_i|}{\min_i|\operatorname{Re}\lambda_i|}

を $B$ の硬さ比 (stiffness ratio) という。安定関数と絶対安定領域 $S$ をもつ一段法に対して、

h_S:=\sup\bigl\{h>0\ \big|\ 0<h'\le h\ \text{を満たす任意の}\ h'\ \text{と任意の}\ i\ \text{について}\ h'\lambda_i\in S\bigr\}\qquad(\sup\varnothing:=0)

と置く。初期値問題 $u'=Bu$ が区間 $[t_0,T]$ とこの一段法について硬い (stiff) であるとは、 $h_S$ が、局所打切り誤差の大きさから $[t_0,T]$ 上の精度の要求が許す刻みより著しく小さいことをいう。この語は二つの刻みの大小を比べて述べる語であり、閾値を定めない。

例 6.2.

$\lambda=-100$ のテスト方程式に前進 Euler 法を用いる。系 5.6により、 $h\lambda\in S$ であることと $0<h\le0.02$ は同値である。 $h=0.019$ では $R(h\lambda)=-0.9$ 、 $h=0.021$ では $R(h\lambda)=-1.1$ であり、近似値は $y_n=R(h\lambda)^n$ である。後退 Euler 法を $h=0.1$ で用いると $y_n=11^{-n}$ である。 $y(t_n)=e^{-100t_n}$ と比べると次のとおりである。指数表記の値は有効数字7桁に丸めた。

$n$	前進 Euler 法 $h=0.019$	$e^{-1.9n}$	前進 Euler 法 $h=0.021$	$e^{-2.1n}$	後退 Euler 法 $h=0.1$	$e^{-10n}$
$1$	$-0.9$	$1.495686\times10^{-1}$	$-1.1$	$1.224564\times10^{-1}$	$9.090909\times10^{-2}$	$4.539993\times10^{-5}$
$2$	$0.81$	$2.237077\times10^{-2}$	$1.21$	$1.499558\times10^{-2}$	$8.264463\times10^{-3}$	$2.061154\times10^{-9}$
$3$	$-0.729$	$3.345965\times10^{-3}$	$-1.331$	$1.836305\times10^{-3}$	$7.513148\times10^{-4}$	$9.357623\times10^{-14}$
$4$	$0.6561$	$5.004514\times10^{-4}$	$1.4641$	$2.248673\times10^{-4}$	$6.830135\times10^{-5}$	$4.248354\times10^{-18}$
$5$	$-0.59049$	$7.485183\times10^{-5}$	$-1.61051$	$2.753645\times10^{-5}$	$6.209213\times10^{-6}$	$1.928750\times10^{-22}$
$6$	$0.531441$	$1.119548\times10^{-5}$	$1.771561$	$3.372015\times10^{-6}$	$5.644739\times10^{-7}$	$8.756511\times10^{-27}$

同じ最終時刻 $T=0.399=21\times0.019=19\times0.021$ では、 $h=0.019$ の近似値は $(-0.9)^{21}=-0.109418989131512359209$ 、 $h=0.021$ の近似値は $(-1.1)^{19}=-6.115909\ldots$ であり、 $y(T)=e^{-39.9}=4.695158\times10^{-18}$ である。

$B=\operatorname{diag}(-1,-1000)$ の硬さ比は $1000$ である。前進 Euler 法では、 $|1-h|\le1$ と $|1-1000h|\le1$ がともに成り立つことと $0<h\le0.002$ は同値であり、 $h_S=0.002$ である。 $h=0.002$ 、 $u_0=(1,1)^{\mathsf T}$ では $u_n=(0.998^n,(-1)^n)^{\mathsf T}$ であり、第2成分の絶対値は任意の $n$ で $1$ であるが、厳密解の第2成分は $e^{-1000t_n}=e^{-2n}$ である。後退 Euler 法を $h=0.1$ で用いると、二つの成分の増幅係数は $R_1(-0.1)=1/1.1$ と $R_1(-100)=1/101$ である。
$B=\operatorname{diag}(-1,-1000)$ 、区間 $[0,1]$ 、初期値 $u(0)=(1,10^{-8})^{\mathsf T}$ とし、 $\R^2$ に最大値ノルム $\|\cdot\|_\infty$ を入れて前進 Euler 法を $h=0.01$ で用いる。解は $u(t)=(e^{-t},10^{-8}e^{-1000t})^{\mathsf T}$ 、一歩写像は $\Psi_h(t,v)=(I+hB)v$ であるから、 $0\le t\le1-h$ について局所打切り誤差は
$\delta_u(t,h)=\bigl(e^{-t}(e^{-h}-1+h),\ 10^{-8}e^{-1000t}(e^{-1000h}-1+1000h)\bigr)^{\mathsf T}$
である。§E20.27 補題 1.5 (1)を $\tau\mapsto e^{-\tau}$ と $r=1$ に適用すると $|e^{-0.01}-1+0.01|\le0.01^2/2=5\times10^{-5}$ であり、 $0<e^{-10}<1$ から $0<e^{-10}-1+10<10$ である。したがって $0\le t\le0.99$ について $\|\delta_u(t,0.01)\|_\infty\le\max\{5\times10^{-5},10^{-7}\}<10^{-4}$ であり、各一歩の局所打切り誤差の最大値ノルムを $10^{-4}$ 未満とする要求を刻み $0.01$ は満たす。一方、(2)により同じ前進 Euler 法の $h_S$ は $0.002$ であり、刻み $0.01$ はその $5$ 倍である。 $h=0.01$ では第2成分の増幅係数は $R(-10)=-9$ であり、 $u_0=u(0)$ から定まる近似値は $u_n=(0.99^n,\ 10^{-8}(-9)^n)^{\mathsf T}$ である。 $\|u_9\|_\infty=9^9\times10^{-8}>3$ であるが、 $0\le t\le1$ について $\|u(t)\|_\infty\le1$ である。
$m=1$ 、 $B=(-1000)$ の硬さ比は $1$ である。前進 Euler 法では $h_S=0.002$ である。区間 $[0,10]$ で後退 Euler 法を $h=1$ で用いると $y_n=1001^{-n}$ であり、 $y_n$ と $y(t_n)=e^{-1000n}$ はともに正であるから、 $n\ge1$ について $|y_n-y(t_n)|<1001^{-n}<10^{-3}$ である。精度の要求を格子点での絶対誤差 $10^{-3}$ 以下とすると、後退 Euler 法は刻み $1$ でこの要求を満たし、前進 Euler 法の $h_S=0.002$ はその $1/500$ である。

問題 7.1. $B=\operatorname{diag}(-1,-1000)$ 、 $u(0)=(1,1)^{\mathsf T}$ とし、台形法と後退 Euler 法を $h=0.1$ で $10$ 歩用いる。それぞれの $u_{10}$ の各成分と、 $u(1)=(e^{-1},e^{-1000})^{\mathsf T}$ との差を求めよ。

問題 7.2. 中点法と Heun 法の安定関数が $R(z)=1+z+\frac{z^2}2$ であり、 $S\cap\R=[-2,0]$ であることを示せ。 $\lambda=-100$ のテスト方程式で $h=0.019$ と $h=0.021$ に対する $R(h\lambda)$ を求めよ。

§E20.28一段法の安定性と収束

1 大域誤差と収束

2 θ 法

3 陽的 Runge–Kutta 法

4 絶対連続な補間の欠陥

5 絶対安定性

6 硬い問題

7 演習

前提記事