スプライン補間 | 数値解析 I | 天游ヶ丘数理学院

1 三次スプライン

定義 1.1. $N\in\NN$ とし、実数 $a=x_0<x_1<\dots<x_N=b$ をとる。

関数 $s\colon[a,b]\to\R$ が $C^2$ 級であり、各 $1\le i\le N$ に対して、次数 $3$ 以下の実係数多項式 $p_i$ が存在して $[x_{i-1},x_i]$ 上で $s=p_i$ を満たすとき、 $s$ を節点 $x_0,\dots,x_N$ 上の三次スプライン (cubic spline) という。
実数 $y_0,\dots,y_N$ に対して、三次スプライン $s$ が $s(x_i)=y_i$ （ $0\le i\le N$ ）を満たすとき、 $s$ はデータ $(x_i,y_i)$ を補間するという。関数 $f\colon[a,b]\to\R$ に対して $y_i=f(x_i)$ であるとき、 $s$ は $f$ を補間するという。
データ $(x_i,y_i)$ を補間する三次スプライン $s$ が $s''(a)=s''(b)=0$ を満たすとき、 $s$ をデータ $(x_i,y_i)$ の自然スプライン (natural spline) といい、条件 $s''(a)=s''(b)=0$ を自然条件 (natural end condition) という。
実数 $d_a,d_b$ に対して、データ $(x_i,y_i)$ を補間する三次スプライン $s$ が $s'(a)=d_a$ 、 $s'(b)=d_b$ を満たすとき、 $s$ を端点の傾き $d_a,d_b$ をもつデータ $(x_i,y_i)$ の端点微分指定スプライン (clamped spline) という。

2 節点の二階微分による構成

補題 2.1. $c\in\R$ 、 $h>0$ とし、 $x\in\R$ に対して $t:=(x-c)/h$ と置く。実数 $y_0,y_1,M_0,M_1$ に対して

p(x):=(1-t)y_0+ty_1+\frac{h^2}{6}\Bigl(M_0\bigl((1-t)^3-(1-t)\bigr)+M_1(t^3-t)\Bigr)

と置く。

$p$ は次数 $3$ 以下の実係数多項式であり、 $p(c)=y_0$ 、 $p(c+h)=y_1$ 、 $p''(x)=(1-t)M_0+tM_1$ を満たす。特に $p''(c)=M_0$ 、 $p''(c+h)=M_1$ である。これら四つの値 $p(c)$ 、 $p(c+h)$ 、 $p''(c)$ 、 $p''(c+h)$ をもつ次数 $3$ 以下の実係数多項式は $p$ だけである。
$p'(c)=(y_1-y_0)/h-h(2M_0+M_1)/6$ 、 $p'(c+h)=(y_1-y_0)/h+h(M_0+2M_1)/6$ である。
任意の $x\in[c,c+h]$ に対して $\lvert p(x)\rvert\le\max\{\lvert y_0\rvert,\lvert y_1\rvert\}+h^2\max\{\lvert M_0\rvert,\lvert M_1\rvert\}/8$ である。

証明. 演習とする（問題 5.1）。▨

定理 2.2. $N\in\NN$ とし、実数 $a=x_0<\dots<x_N=b$ と実数 $y_0,\dots,y_N$ 、 $d_a,d_b$ をとる。 $1\le i\le N$ に対して $h_i:=x_i-x_{i-1}$ 、 $\Delta_i:=(y_i-y_{i-1})/h_i$ と置く。 $m=(m_0,\dots,m_N)\in\R^{N+1}$ と $1\le i\le N$ に対して、 $c=x_{i-1}$ 、 $h=h_i$ 、 $(y_0,y_1,M_0,M_1)=(y_{i-1},y_i,m_{i-1},m_i)$ として補題 2.1の多項式 $p$ を $p_{m,i}$ と書き、 $x\in[x_{i-1},x_i]$ に対して $s_m(x):=p_{m,i}(x)$ と置く。 $1\le i\le N-1$ に対して $\mu_i:=h_i/(h_i+h_{i+1})$ 、 $\lambda_i:=h_{i+1}/(h_i+h_{i+1})$ とし、

\rho_i(m):=\mu_im_{i-1}+2m_i+\lambda_im_{i+1}-\frac{6(\Delta_{i+1}-\Delta_i)}{h_i+h_{i+1}}

と置く。さらに

\rho^{\mathrm c}_0(m):=2m_0+m_1-\frac{6(\Delta_1-d_a)}{h_1},\qquad\rho^{\mathrm c}_N(m):=m_{N-1}+2m_N-\frac{6(d_b-\Delta_N)}{h_N}

と置く。 $M_{N+1}(\R)$ の行列 $A_{\mathrm c}$ 、 $A_{\mathrm n}$ と $r_{\mathrm c},r_{\mathrm n}\in\R^{N+1}$ を、任意の $m\in\R^{N+1}$ について

A_{\mathrm c}m-r_{\mathrm c}=\bigl(\rho^{\mathrm c}_0(m),\rho_1(m),\dots,\rho_{N-1}(m),\rho^{\mathrm c}_N(m)\bigr),\qquad A_{\mathrm n}m-r_{\mathrm n}=\bigl(m_0,\rho_1(m),\dots,\rho_{N-1}(m),m_N\bigr)

が成り立つものとして定める。

任意の $m\in\R^{N+1}$ に対して $s_m$ は $[a,b]$ 上の関数として定まり、 $s_m(x_i)=y_i$ （ $0\le i\le N$ ）である。 $s_m$ が節点 $x_0,\dots,x_N$ 上の三次スプラインであることと、 $\rho_i(m)=0$ （ $1\le i\le N-1$ ）であることは同値であり、このとき $s_m''(x_i)=m_i$ （ $0\le i\le N$ ）である。データ $(x_i,y_i)$ を補間する任意の三次スプライン $s$ は、 $m_i:=s''(x_i)$ と置いた $m$ について $s=s_m$ を満たす。
$A_{\mathrm c}$ は、各行 $i$ で対角成分の絶対値が同じ行の非対角成分の絶対値の和より大きい三重対角行列である。端点の傾き $d_a,d_b$ をもつデータ $(x_i,y_i)$ の端点微分指定スプラインはただ一つ存在し、それは $A_{\mathrm c}m=r_{\mathrm c}$ のただ一つの解 $m$ に対する $s_m$ である。§E20.5 定理 6.1 (1)の計算は、 $A_{\mathrm c}m=r_{\mathrm c}$ の解を $8N+1$ 回の四則演算で与える。
データ $(x_i,y_i)$ の自然スプラインはただ一つ存在し、それは $A_{\mathrm n}m=r_{\mathrm n}$ のただ一つの解 $m$ に対する $s_m$ である。この $m$ は $m_0=m_N=0$ を満たす。 $N=1$ ならば、自然スプラインは $s(x)=y_0+\Delta_1(x-a)$ である。 $N\ge2$ ならば、 $(m_1,\dots,m_{N-1})$ は、 $\rho_i(m)=0$ （ $1\le i\le N-1$ ）に $m_0=m_N=0$ を代入した $N-1$ 元の連立一次方程式のただ一つの解であり、その係数行列は、各行で対角成分の絶対値が同じ行の非対角成分の絶対値の和より大きい三重対角行列である。§E20.5 定理 6.1 (1)の計算は、この解を $8N-15$ 回の四則演算で与える。
$A\in\{A_{\mathrm c},A_{\mathrm n}\}$ は正則であり、任意の $v\in\R^{N+1}$ に対して $\lVert v\rVert_\infty\le\lVert Av\rVert_\infty$ が成り立つ。

証明.(1)を示す。 $1\le i\le N-1$ について、補題 2.1 (1)により $p_{m,i}(x_i)=y_i=p_{m,i+1}(x_i)$ であるから、 $s_m$ は定まり、 $s_m(x_i)=y_i$ である。 $s_m$ の $x_i$ における左側と右側の $k$ 階微分係数は $p_{m,i}^{(k)}(x_i)$ と $p_{m,i+1}^{(k)}(x_i)$ である。補題 2.1 (1)により $p_{m,i}''(x_i)=m_i=p_{m,i+1}''(x_i)$ であり、補題 2.1 (2)により

p_{m,i+1}'(x_i)-p_{m,i}'(x_i)=\Delta_{i+1}-\frac{h_{i+1}(2m_i+m_{i+1})}{6}-\Delta_i-\frac{h_i(m_{i-1}+2m_i)}{6}=-\frac{h_i+h_{i+1}}{6}\rho_i(m)

である。 $\rho_i(m)=0$ （ $1\le i\le N-1$ ）ならば、各 $x_i$ で $s_m$ の左右の微分係数が一致するので $s_m$ は $[a,b]$ で微分可能であり、 $s_m'$ は各 $[x_{i-1},x_i]$ 上で $p_{m,i}'$ に一致するので連続である。 $s_m'$ の $x_i$ における左右の微分係数は $p_{m,i}''(x_i)=m_i$ と $p_{m,i+1}''(x_i)=m_i$ であり一致するので、 $s_m'$ は $[a,b]$ で微分可能であり、 $s_m''$ は各 $[x_{i-1},x_i]$ 上で $p_{m,i}''$ に一致するので連続であって、 $s_m''(x_i)=m_i$ である。逆に $s_m$ が $C^2$ 級ならば、 $x_i$ での左右の微分係数が一致するので $\rho_i(m)=0$ である。 $s_m$ は各 $[x_{i-1},x_i]$ で次数 $3$ 以下の多項式 $p_{m,i}$ に一致するので、 $C^2$ 級であることは三次スプラインであることと同値である。 $s_m''(a)=p_{m,1}''(x_0)=m_0$ 、 $s_m''(b)=p_{m,N}''(x_N)=m_N$ である。 $s$ をデータ $(x_i,y_i)$ を補間する三次スプラインとし、 $[x_{i-1},x_i]$ 上で $s=p_i$ を満たす次数 $3$ 以下の多項式 $p_i$ をとる。 $s$ は $C^2$ 級であるから $p_i''(x_{i-1})=s''(x_{i-1})=m_{i-1}$ 、 $p_i''(x_i)=s''(x_i)=m_i$ であり、 $p_i(x_{i-1})=y_{i-1}$ 、 $p_i(x_i)=y_i$ である。補題 2.1 (1)の一意性により $p_i=p_{m,i}$ であり、 $s=s_m$ である。

(2)を示す。 $A_{\mathrm c}$ の第 $0$ 行の $0$ でない成分は対角成分 $2$ と $(0,1)$ 成分 $1$ 、第 $N$ 行の $0$ でない成分は $(N,N-1)$ 成分 $1$ と対角成分 $2$ 、第 $i$ 行（ $1\le i\le N-1$ ）の $0$ でない成分は $\mu_i$ 、 $2$ 、 $\lambda_i$ であり、 $\mu_i+\lambda_i=1$ である。したがって $A_{\mathrm c}$ は三重対角であり、各行で $2>1$ である。補題 2.1 (2)により

s_m'(a)=p_{m,1}'(x_0)=\Delta_1-\frac{h_1(2m_0+m_1)}{6}=d_a-\frac{h_1}{6}\rho^{\mathrm c}_0(m),\qquad s_m'(b)=p_{m,N}'(x_N)=\Delta_N+\frac{h_N(m_{N-1}+2m_N)}{6}=d_b+\frac{h_N}{6}\rho^{\mathrm c}_N(m)

である。(1)と合わせて、 $s_m$ が端点の傾き $d_a,d_b$ をもつ端点微分指定スプラインであることは $A_{\mathrm c}m=r_{\mathrm c}$ と同値である。§E20.5 定理 6.1 (2)により $A_{\mathrm c}m=r_{\mathrm c}$ はただ一つの解 $m$ をもち、§E20.5 定理 6.1 (1)の計算は $N+1$ 次の系を $8(N+1)-7=8N+1$ 回の四則演算で解く。 $s_m$ は求める端点微分指定スプラインである。 $s$ が端点微分指定スプラインならば、(1)により $m'_i:=s''(x_i)$ について $s=s_{m'}$ であり、 $A_{\mathrm c}m'=r_{\mathrm c}$ であるから $m'=m$ 、 $s=s_m$ である。

(3)を示す。(1)により、 $s_m$ が自然スプラインであることは $m_0=m_N=0$ かつ $\rho_i(m)=0$ （ $1\le i\le N-1$ ）であること、すなわち $A_{\mathrm n}m=r_{\mathrm n}$ と同値であり、データ $(x_i,y_i)$ の任意の自然スプライン $s$ は $m'_i:=s''(x_i)$ と置いた $m'$ について $s=s_{m'}$ 、 $A_{\mathrm n}m'=r_{\mathrm n}$ を満たす。したがって、 $A_{\mathrm n}m=r_{\mathrm n}$ がただ一つの解 $m$ をもつことを示せば、自然スプラインはただ一つ存在して $s_m$ に等しい。 $N=1$ ならば条件は $m=0$ であり、 $s_0(x)=(1-t)y_0+ty_1=y_0+\Delta_1(x-a)$ （ $t=(x-a)/h_1$ ）である。 $N\ge2$ ならば、 $m_0=m_N=0$ を代入した $N-1$ 元の系の第 $i$ 行の $0$ でない成分は、対角成分 $2$ と、 $\mu_i$ （ $i\ge2$ のとき）、 $\lambda_i$ （ $i\le N-2$ のとき）であり、非対角成分の絶対値の和は $\mu_i+\lambda_i=1$ 以下である。§E20.5 定理 6.1 (2)によりこの系はただ一つの解をもち、§E20.5 定理 6.1 (1)の計算は $8(N-1)-7=8N-15$ 回の四則演算でそれを与える。 $m_0=m_N=0$ と合わせて、 $A_{\mathrm n}m=r_{\mathrm n}$ の解はただ一つである。

(4)を示す。 $A_{\mathrm n}$ の第 $0$ 行と第 $N$ 行は、対角成分が $1$ でその他が $0$ である。(2)の証明で求めた $A_{\mathrm c}$ の成分と合わせて、 $A\in\{A_{\mathrm c},A_{\mathrm n}\}$ の各行 $i$ で $\lvert a_{ii}\rvert-\sum_{j\ne i}\lvert a_{ij}\rvert=1$ である。§E20.5 命題 6.2を $\delta=1$ として適用して、 $A$ は正則であり $\lVert A^{-1}\rVert_\infty\le1$ である。 $v=A^{-1}(Av)$ から $\lVert v\rVert_\infty\le\lVert Av\rVert_\infty$ を得る。▨

系 2.3.定理 2.2の記号で、 $h_{\max}:=\max_{1\le i\le N}h_i$ と置く。

任意の $m,\hat m\in\R^{N+1}$ に対して $\sup_{x\in[a,b]}\lvert s_m(x)-s_{\hat m}(x)\rvert\le h_{\max}^2\lVert m-\hat m\rVert_\infty/8$ である。
$(A,r)\in\{(A_{\mathrm c},r_{\mathrm c}),(A_{\mathrm n},r_{\mathrm n})\}$ とし、 $m$ を $Am=r$ の解とする。任意の $\hat m\in\R^{N+1}$ に対して $\sup_{x\in[a,b]}\lvert s_m(x)-s_{\hat m}(x)\rvert\le h_{\max}^2\lVert A\hat m-r\rVert_\infty/8$ である。

証明.(1)を示す。 $1\le i\le N$ とする。補題 2.1の $p$ は $(y_0,y_1,M_0,M_1)$ について線形であるから、 $[x_{i-1},x_i]$ 上の $s_m-s_{\hat m}=p_{m,i}-p_{\hat m,i}$ は、 $c=x_{i-1}$ 、 $h=h_i$ 、 $(y_0,y_1,M_0,M_1)=(0,0,m_{i-1}-\hat m_{i-1},m_i-\hat m_i)$ に対する $p$ である。補題 2.1 (3)により、 $[x_{i-1},x_i]$ 上で $\lvert s_m-s_{\hat m}\rvert\le h_i^2\lVert m-\hat m\rVert_\infty/8$ である。

(2)を示す。定理 2.2 (4)により $\lVert m-\hat m\rVert_\infty\le\lVert A(m-\hat m)\rVert_\infty=\lVert r-A\hat m\rVert_\infty$ であり、(1)から評価を得る。▨

例 2.4.定理 2.2の記号で $m=0$ とすると、各 $[x_{i-1},x_i]$ 上で $s_0(x)=y_{i-1}+\Delta_i(x-x_{i-1})$ であり、 $s_0$ はデータ $(x_i,y_i)$ の区分一次補間である。 $1\le i\le N-1$ に対して、 $s_0$ の $x_i$ における左側の微分係数は $\Delta_i$ 、右側の微分係数は $\Delta_{i+1}$ であり、 $\rho_i(0)=-6(\Delta_{i+1}-\Delta_i)/(h_i+h_{i+1})$ は $x_i$ における傾きの跳び $\Delta_{i+1}-\Delta_i$ の $-6/(h_i+h_{i+1})$ 倍である。定理 2.2 (1)により、区分一次補間が三次スプラインであることは $\Delta_1=\dots=\Delta_N$ と同値である。

例 2.5.定理 2.2の記号で、 $N=2$ 、 $(x_0,x_1,x_2)=(0,1,3)$ 、 $(y_0,y_1,y_2)=(0,1,0)$ とする。 $h_1=1$ 、 $h_2=2$ 、 $\Delta_1=1$ 、 $\Delta_2=-1/2$ であり、 $\mu_1=1/3$ 、 $\lambda_1=2/3$ である。自然スプラインについて、定理 2.2 (3)の $1$ 元の系は $2m_1=6(-1/2-1)/3=-3$ であり、 $m=(0,-3/2,0)$ である。 $[0,1]$ 上で $t=x$ 、 $[1,3]$ 上で $t=(x-1)/2$ と置くと、補題 2.1の式から

s(x)=\frac{5t-t^3}{4}\quad(0\le x\le1),\qquad s(x)=2(1-t)-(1-t)^3\quad(1\le x\le3)

である。 $x=1$ における左側の微分係数 $(5-3t^2)/4\big|_{t=1}$ と右側の微分係数 $\frac12\bigl(-2+3(1-t)^2\bigr)\big|_{t=0}$ はともに $1/2$ である。

3 二階微分の二乗積分の最小性

定理 3.1. $N\in\NN$ とし、実数 $a=x_0<\dots<x_N=b$ と実数 $y_0,\dots,y_N$ をとる。

$s$ をデータ $(x_i,y_i)$ の自然スプラインとし、 $g\colon[a,b]\to\R$ を $g(x_i)=y_i$ （ $0\le i\le N$ ）を満たす $C^2$ 級の関数とする。このとき $\int_a^b(g'')^2\,dx=\int_a^b(s'')^2\,dx+\int_a^b(g''-s'')^2\,dx$ が成り立つ。特に $\int_a^b(g'')^2\,dx\ge\int_a^b(s'')^2\,dx$ であり、等号が成り立つのは $g=s$ のときに限る。
実数 $d_a,d_b$ をとり、 $s$ を端点の傾き $d_a,d_b$ をもつデータ $(x_i,y_i)$ の端点微分指定スプラインとし、 $g\colon[a,b]\to\R$ を $g(x_i)=y_i$ （ $0\le i\le N$ ）、 $g'(a)=d_a$ 、 $g'(b)=d_b$ を満たす $C^2$ 級の関数とする。このとき(1)の等式、不等式および等号の条件が成り立つ。

証明. $e:=g-s$ と置く。 $e$ は $C^2$ 級であり、 $e(x_i)=0$ （ $0\le i\le N$ ）である。 $1\le i\le N$ について、 $[x_{i-1},x_i]$ 上で $s=p_i$ を満たす次数 $3$ 以下の多項式 $p_i$ をとると、 $p_i'''$ は定数 $\kappa_i$ であり、部分積分により

\int_{x_{i-1}}^{x_i}s''e''\,dx=\Bigl[p_i''e'\Bigr]_{x_{i-1}}^{x_i}-\kappa_i\int_{x_{i-1}}^{x_i}e'\,dx=s''(x_i)e'(x_i)-s''(x_{i-1})e'(x_{i-1})-\kappa_i\bigl(e(x_i)-e(x_{i-1})\bigr)

である。 $e(x_i)=e(x_{i-1})=0$ であり、 $i$ について和をとると

\int_a^bs''e''\,dx=s''(b)e'(b)-s''(a)e'(a)

である。(1)の仮定では $s''(a)=s''(b)=0$ であり、(2)の仮定では $e'(a)=g'(a)-s'(a)=0$ 、 $e'(b)=0$ であるから、どちらの場合も $\int_a^bs''e''\,dx=0$ である。 $g''=s''+e''$ から

\int_a^b(g'')^2\,dx=\int_a^b(s'')^2\,dx+2\int_a^bs''e''\,dx+\int_a^b(e'')^2\,dx=\int_a^b(s'')^2\,dx+\int_a^b(g''-s'')^2\,dx

を得る。等号 $\int_a^b(g'')^2\,dx=\int_a^b(s'')^2\,dx$ が成り立つならば、 $(e'')^2$ は非負の連続関数で積分が $0$ であるから $e''=0$ であり、 $e$ は一次以下の多項式である。 $e(a)=e(b)=0$ と $a<b$ から $e=0$ 、すなわち $g=s$ である。▨

4 一様格子での誤差

補題 4.1. $c\in\R$ 、 $h>0$ とし、 $f\colon[c,c+h]\to\R$ を $C^4$ 級の関数とする。 $q$ を、 $(y_0,y_1,M_0,M_1)=\bigl(f(c),f(c+h),f''(c),f''(c+h)\bigr)$ に対する補題 2.1の多項式 $p$ とする。このとき任意の $x\in[c,c+h]$ に対して

\lvert f(x)-q(x)\rvert\le\frac{h^4}{64}\max_{\xi\in[c,c+h]}\lvert f^{(4)}(\xi)\rvert

が成り立つ。

証明. $M_c:=\max_{\xi\in[c,c+h]}\lvert f^{(4)}(\xi)\rvert$ と置く。補題 2.1 (1)により $q''$ は次数 $1$ 以下の多項式であって $q''(c)=f''(c)$ 、 $q''(c+h)=f''(c+h)$ を満たすので、 $q''$ は節点 $c,c+h$ における $f''$ の補間多項式である。 $f''$ は $C^2$ 級であるから、§E20.12 定理 2.2 (2)を $n=1$ として適用して、任意の $\xi\in[c,c+h]$ に対して

\lvert f''(\xi)-q''(\xi)\rvert\le\frac{M_c}{2}(\xi-c)(c+h-\xi)\le\frac{M_ch^2}{8}

である。 $r:=f-q$ は $C^2$ 級であり、 $r(c)=r(c+h)=0$ であるから、節点 $c,c+h$ における $r$ の補間多項式は $0$ である。§E20.12 定理 2.2 (1)を $n=1$ として $r$ に適用すると、各 $x\in[c,c+h]$ に対して $\xi\in(c,c+h)$ が存在して $r(x)=r''(\xi)(x-c)(x-c-h)/2$ である。 $r''=f''-q''$ と $(x-c)(c+h-x)\le h^2/4$ から $\lvert r(x)\rvert\le\frac12\cdot\frac{h^2}{4}\cdot\frac{M_ch^2}{8}=M_ch^4/64$ を得る。▨

補題 4.2. $N\in\NN$ 、 $a<b$ とし、 $h:=(b-a)/N$ 、 $x_i:=a+ih$ （ $0\le i\le N$ ）と置く。 $f\colon[a,b]\to\R$ を $C^4$ 級の関数とし、 $M:=\max_{x\in[a,b]}\lvert f^{(4)}(x)\rvert$ 、 $D:=\max\{\lvert f''(a)\rvert,\lvert f''(b)\rvert\}$ 、 $y_i:=f(x_i)$ 、 $F:=\bigl(f''(x_0),\dots,f''(x_N)\bigr)\in\R^{N+1}$ と置く。 $d_a:=f'(a)$ 、 $d_b:=f'(b)$ として定理 2.2の $A_{\mathrm c},r_{\mathrm c},A_{\mathrm n},r_{\mathrm n}$ を定める。このとき

\lVert A_{\mathrm c}F-r_{\mathrm c}\rVert_\infty\le\frac34h^2M,\qquad\lVert A_{\mathrm n}F-r_{\mathrm n}\rVert_\infty\le\max\Bigl\{\frac34h^2M,\ D\Bigr\}

が成り立つ。

証明. $F_i:=f''(x_i)$ と置く。§D1.16 定理 2.1を $f$ に四次の剰余で、 $f''$ に二次の剰余で適用する。 $1\le i\le N-1$ とする。一様格子では $\mu_i=\lambda_i=1/2$ であり、

\rho_i(F)=\frac{F_{i-1}+4F_i+F_{i+1}}{2}-\frac{3(y_{i+1}-2y_i+y_{i-1})}{h^2}

である。 $x_i$ を中心とする展開により、 $x_{i-1}$ と $x_{i+1}$ の間の点 $\eta_\pm,\zeta_\pm$ が存在して

F_{i\pm1}=F_i\pm hf'''(x_i)+\frac{h^2}{2}f^{(4)}(\eta_\pm),\qquad y_{i\pm1}=y_i\pm hf'(x_i)+\frac{h^2}{2}F_i\pm\frac{h^3}{6}f'''(x_i)+\frac{h^4}{24}f^{(4)}(\zeta_\pm)

が成り立つ（複号同順）。これを代入して

\rho_i(F)=\frac{h^2}{4}\bigl(f^{(4)}(\eta_+)+f^{(4)}(\eta_-)\bigr)-\frac{h^2}{8}\bigl(f^{(4)}(\zeta_+)+f^{(4)}(\zeta_-)\bigr)

であり、 $\lvert\rho_i(F)\rvert\le h^2M/2+h^2M/4=3h^2M/4$ である。 $\rho^{\mathrm c}_0(F)=2F_0+F_1-6\bigl(y_1-y_0-hf'(a)\bigr)/h^2$ である。 $a$ を中心とする展開により、 $(a,x_1)$ の点 $\eta,\zeta$ が存在して

F_1=F_0+hf'''(a)+\frac{h^2}{2}f^{(4)}(\eta),\qquad y_1-y_0-hf'(a)=\frac{h^2}{2}F_0+\frac{h^3}{6}f'''(a)+\frac{h^4}{24}f^{(4)}(\zeta)

であり、 $\rho^{\mathrm c}_0(F)=h^2f^{(4)}(\eta)/2-h^2f^{(4)}(\zeta)/4$ 、 $\lvert\rho^{\mathrm c}_0(F)\rvert\le3h^2M/4$ である。 $\rho^{\mathrm c}_N(F)=F_{N-1}+2F_N-6\bigl(hf'(b)-y_N+y_{N-1}\bigr)/h^2$ である。 $b$ を中心とする展開により、 $(x_{N-1},b)$ の点 $\eta',\zeta'$ が存在して

F_{N-1}=F_N-hf'''(b)+\frac{h^2}{2}f^{(4)}(\eta'),\qquad hf'(b)-y_N+y_{N-1}=\frac{h^2}{2}F_N-\frac{h^3}{6}f'''(b)+\frac{h^4}{24}f^{(4)}(\zeta')

であり、 $\rho^{\mathrm c}_N(F)=h^2f^{(4)}(\eta')/2-h^2f^{(4)}(\zeta')/4$ 、 $\lvert\rho^{\mathrm c}_N(F)\rvert\le3h^2M/4$ である。 $A_{\mathrm c}F-r_{\mathrm c}$ の成分は $\rho^{\mathrm c}_0(F)$ 、 $\rho_i(F)$ （ $1\le i\le N-1$ ）、 $\rho^{\mathrm c}_N(F)$ であるから、第一の評価を得る。 $A_{\mathrm n}F-r_{\mathrm n}$ の成分は $F_0=f''(a)$ 、 $\rho_i(F)$ （ $1\le i\le N-1$ ）、 $F_N=f''(b)$ であるから、第二の評価を得る。▨

定理 4.3.補題 4.2の記号と仮定のもとで、定理 2.2の $s_m$ を $y_i=f(x_i)$ に対して定める。

$(A,r)\in\{(A_{\mathrm c},r_{\mathrm c}),(A_{\mathrm n},r_{\mathrm n})\}$ とする。任意の $\hat m\in\R^{N+1}$ （例えば $A\hat m=r$ を浮動小数点算術で解いた計算値）に対して $\sup_{x\in[a,b]}\lvert f(x)-s_{\hat m}(x)\rvert\le\frac{h^4M}{64}+\frac{h^2}{8}\bigl(\lVert AF-r\rVert_\infty+\lVert A\hat m-r\rVert_\infty\bigr)$ が成り立つ。
端点の傾き $f'(a),f'(b)$ をもつ $f$ の端点微分指定スプライン $s_{\mathrm c}$ について、 $\max_{0\le i\le N}\lvert s_{\mathrm c}''(x_i)-f''(x_i)\rvert\le3h^2M/4$ であり、 $\sup_{x\in[a,b]}\lvert f(x)-s_{\mathrm c}(x)\rvert\le\frac{7}{64}h^4M$ である。
$f$ の自然スプライン $s_{\mathrm n}$ について、 $\max_{0\le i\le N}\lvert s_{\mathrm n}''(x_i)-f''(x_i)\rvert\le\max\{3h^2M/4,D\}$ であり、 $\sup_{x\in[a,b]}\lvert f(x)-s_{\mathrm n}(x)\rvert\le\frac{7}{64}h^4M+\frac{h^2}{8}D$ である。特に $f''(a)=f''(b)=0$ ならば $\sup_{x\in[a,b]}\lvert f(x)-s_{\mathrm n}(x)\rvert\le7h^4M/64$ である。

証明.(1)を示す。 $1\le i\le N$ について、 $[x_{i-1},x_i]$ 上の $s_F$ は、 $c=x_{i-1}$ 、 $(y_0,y_1,M_0,M_1)=\bigl(f(x_{i-1}),f(x_i),f''(x_{i-1}),f''(x_i)\bigr)$ に対する補題 2.1の多項式である。補題 4.1を $[x_{i-1},x_i]$ 上の $f$ に適用して、 $\sup_{x\in[a,b]}\lvert f(x)-s_F(x)\rvert\le h^4M/64$ を得る。系 2.3 (1)と定理 2.2 (4)により

\sup_{x\in[a,b]}\lvert s_F(x)-s_{\hat m}(x)\rvert\le\frac{h^2}{8}\lVert F-\hat m\rVert_\infty\le\frac{h^2}{8}\lVert A(F-\hat m)\rVert_\infty\le\frac{h^2}{8}\bigl(\lVert AF-r\rVert_\infty+\lVert A\hat m-r\rVert_\infty\bigr)

である。二つの評価を三角不等式で合わせて主張を得る。

(2)を示す。定理 2.2 (2)により $s_{\mathrm c}=s_m$ であり、 $m$ は $A_{\mathrm c}m=r_{\mathrm c}$ の解であって、定理 2.2 (1)により $m_i=s_{\mathrm c}''(x_i)$ である。定理 2.2 (4)と補題 4.2により $\lVert m-F\rVert_\infty\le\lVert A_{\mathrm c}F-r_{\mathrm c}\rVert_\infty\le3h^2M/4$ である。(1)を $\hat m=m$ として適用すると、 $\lVert A_{\mathrm c}m-r_{\mathrm c}\rVert_\infty=0$ であるから、 $\sup\lvert f-s_{\mathrm c}\rvert\le h^4M/64+3h^4M/32=7h^4M/64$ である。

(3)を示す。定理 2.2 (3)により $s_{\mathrm n}=s_m$ であり、 $m$ は $A_{\mathrm n}m=r_{\mathrm n}$ の解であって、定理 2.2 (1)により $m_i=s_{\mathrm n}''(x_i)$ である。定理 2.2 (4)と補題 4.2により $\lVert m-F\rVert_\infty\le\max\{3h^2M/4,D\}$ である。(1)を $\hat m=m$ として適用し、 $\max\{3h^2M/4,D\}\le3h^2M/4+D$ を用いると、 $\sup\lvert f-s_{\mathrm n}\rvert\le h^4M/64+3h^4M/32+h^2D/8=7h^4M/64+h^2D/8$ である。 $f''(a)=f''(b)=0$ ならば $D=0$ である。▨

例 4.4. $[a,b]=[0,1]$ 、 $N\in\NN$ 、 $h=1/N$ 、 $f(x)=x^2$ とする。 $f''=2$ 、 $f^{(4)}=0$ であり、補題 4.2の記号で $M=0$ 、 $D=2$ である。 $f$ は $C^2$ 級で各小区間上で次数 $2$ の多項式であり、 $f'(0)=0$ 、 $f'(1)=2$ を満たすので、端点の傾き $0,2$ をもつ $f$ の端点微分指定スプラインは、定理 2.2 (2)の一意性により $f$ 自身である。自然スプライン $s_{\mathrm n}=s_m$ について、 $e:=F-m$ と置く。補題 4.2により $\rho_i(F)=0$ （ $1\le i\le N-1$ ）であるから、 $A_{\mathrm n}e=A_{\mathrm n}F-r_{\mathrm n}=(2,0,\dots,0,2)$ であり、定理 2.2 (4)により $\lVert e\rVert_\infty\le2$ 、 $e_0=e_N=2$ である。 $N\ge2$ ならば、 $A_{\mathrm n}e$ の第 $1$ 成分は $(e_0+4e_1+e_2)/2=0$ であるから $e_1=-(2+e_2)/4\in[-1,0]$ である。 $N=1$ ならば $e_1=e_N=2$ である。 $f$ は各小区間上で次数 $2$ の多項式であるから、補題 2.1 (1)の一意性により $f=s_F$ であり、 $[0,h]$ 上の $f-s_{\mathrm n}=s_F-s_m$ は、補題 2.1の $p$ で $c=0$ 、 $(y_0,y_1,M_0,M_1)=(0,0,e_0,e_1)$ としたものであり、 $x=h/2$ （ $t=1/2$ ）で

f\Bigl(\frac h2\Bigr)-s_{\mathrm n}\Bigl(\frac h2\Bigr)=\frac{h^2}{6}\Bigl(-\frac38\Bigr)(e_0+e_1)=-\frac{h^2(2+e_1)}{16}

である。 $2+e_1\ge1$ であるから、定理 4.3 (3)と合わせて

\frac{h^2}{16}\le\sup_{x\in[0,1]}\lvert f(x)-s_{\mathrm n}(x)\rvert\le\frac{h^2}{4}

が任意の $N\in\NN$ で成り立つ。 $f\in C^4[0,1]$ であるが、任意の実数 $C$ に対して、 $C\le0$ ならば任意の $N\in\NN$ で、 $C>0$ ならば $N>4\sqrt C$ を満たす $N$ で $\sup_{x\in[0,1]}\lvert f(x)-s_{\mathrm n}(x)\rvert\ge h^2/16>Ch^4$ が成り立つ。 $N=4$ では $m=(0,18/7,12/7,18/7,0)$ 、 $e_1=-4/7$ であり、 $\lvert f(1/8)-s_{\mathrm n}(1/8)\rvert=5/896$ である。

例 4.5. $[a,b]=[0,1]$ 、 $h=1/N$ 、 $f(x)=\sin\pi x$ とする。 $f''(0)=f''(1)=0$ 、 $M=\pi^4$ であるから、定理 4.3 (3)により $f$ の自然スプライン $s_{\mathrm n}$ は $\sup\lvert f-s_{\mathrm n}\rvert\le7\pi^4h^4/64<10.66h^4$ を満たす。各小区間を $1600$ 等分した点で $\lvert f-s_{\mathrm n}\rvert$ の最大値 $E_N$ を倍精度で計算すると、次のとおりである。

$N$	$E_N$	$E_{N/2}/E_N$	$E_N/h^4$
$4$	$1.07\times10^{-3}$	—	$0.273$
$8$	$6.31\times10^{-5}$	$16.9$	$0.259$
$16$	$3.89\times10^{-6}$	$16.2$	$0.255$
$32$	$2.42\times10^{-7}$	$16.1$	$0.254$

$E_N$ は有限個の点での値であり、 $\sup_{x\in[0,1]}\lvert f(x)-s_{\mathrm n}(x)\rvert$ の下界である。定理 4.3 (3)は上界 $10.66h^4$ だけを与え、比 $E_{N/2}/E_N$ が $16$ に近づくことは、ある $\kappa>0$ に対する下界 $\sup\lvert f-s_{\mathrm n}\rvert\ge\kappa h^4$ を別に証明しないかぎり、この表からは観察にとどまる。

5 演習

問題 5.1.補題 2.1の証明を完成させよ。

解答.

$t=(x-c)/h$ は $x$ の一次式であるから、 $p$ は次数 $3$ 以下の実係数多項式である。 $t=0$ で $(1-t)^3-(1-t)=0$ 、 $t^3-t=0$ であるから $p(c)=y_0$ であり、 $t=1$ でも両者は $0$ であるから $p(c+h)=y_1$ である。 $dt/dx=1/h$ であり、 $t$ について $\bigl((1-t)^3-(1-t)\bigr)''=6(1-t)$ 、 $(t^3-t)''=6t$ であるから

p''(x)=\frac{1}{h^2}\cdot\frac{h^2}{6}\bigl(6M_0(1-t)+6M_1t\bigr)=(1-t)M_0+tM_1

である。 $\tilde p$ を $p$ と同じ四つの値をもつ次数 $3$ 以下の実係数多項式とし、 $d:=p-\tilde p$ と置く。 $d''$ は次数 $1$ 以下の多項式であり $d''(c)=d''(c+h)=0$ であるから $d''=0$ である。したがって $d$ は次数 $1$ 以下の多項式であり、 $d(c)=d(c+h)=0$ から $d=0$ である。これで補題 2.1 (1)は示された。

$t$ について $\bigl((1-t)^3-(1-t)\bigr)'=1-3(1-t)^2$ 、 $(t^3-t)'=3t^2-1$ であるから

p'(x)=\frac1h\Bigl(y_1-y_0+\frac{h^2}{6}\bigl(M_0(1-3(1-t)^2)+M_1(3t^2-1)\bigr)\Bigr)

である。 $t=0$ を代入して $p'(c)=(y_1-y_0)/h+h(-2M_0-M_1)/6$ 、 $t=1$ を代入して $p'(c+h)=(y_1-y_0)/h+h(M_0+2M_1)/6$ を得る。これで補題 2.1 (2)は示された。

$x\in[c,c+h]$ ならば $t\in[0,1]$ であり、 $(1-t)^3-(1-t)=-t(1-t)(2-t)\le0$ 、 $t^3-t=-t(1-t)(1+t)\le0$ であるから

\bigl\lvert(1-t)^3-(1-t)\bigr\rvert+\lvert t^3-t\rvert=t(1-t)\bigl((2-t)+(1+t)\bigr)=3t(1-t)\le\frac34

である。 $\lvert(1-t)y_0+ty_1\rvert\le(1-t)\lvert y_0\rvert+t\lvert y_1\rvert\le\max\{\lvert y_0\rvert,\lvert y_1\rvert\}$ と合わせて

\lvert p(x)\rvert\le\max\{\lvert y_0\rvert,\lvert y_1\rvert\}+\frac{h^2}{6}\cdot\frac34\max\{\lvert M_0\rvert,\lvert M_1\rvert\}=\max\{\lvert y_0\rvert,\lvert y_1\rvert\}+\frac{h^2}{8}\max\{\lvert M_0\rvert,\lvert M_1\rvert\}

を得る。これで補題 2.1 (3)は示された。▨

問題 5.2. $N\in\NN$ とし、実数 $a=x_0<\dots<x_N=b$ と実数 $y_0,\dots,y_N$ をとる。 $s_{\mathrm n}$ をデータ $(x_i,y_i)$ の自然スプラインとし、 $d_a:=s_{\mathrm n}'(a)$ 、 $d_b:=s_{\mathrm n}'(b)$ と置く。端点の傾き $d_a,d_b$ をもつデータ $(x_i,y_i)$ の端点微分指定スプラインは $s_{\mathrm n}$ に等しいことを示せ。

解答.

定理 2.2 (3)により $s_{\mathrm n}$ はただ一つ存在し、データ $(x_i,y_i)$ を補間する三次スプラインであるから $C^2$ 級であって、 $d_a,d_b$ は定まる。 $s_{\mathrm n}'(a)=d_a$ 、 $s_{\mathrm n}'(b)=d_b$ であるから、 $s_{\mathrm n}$ は端点の傾き $d_a,d_b$ をもつデータ $(x_i,y_i)$ の端点微分指定スプラインである。定理 2.2 (2)により、端点の傾き $d_a,d_b$ をもつデータ $(x_i,y_i)$ の端点微分指定スプラインはただ一つであるから、それは $s_{\mathrm n}$ に等しい。▨

§E20.13スプライン補間

1 三次スプライン

2 節点の二階微分による構成

3 二階微分の二乗積分の最小性

4 一様格子での誤差

5 演習

前提記事