Lebesgue 測度 | 測度と積分 | 天游ヶ丘数理学院

1 半開直方体と体積集合関数

最初に、直方体とその有限非交和からなる集合族を定める。

定義 1.1. 整数 $d\geq 1$ を固定する。 $a_j,b_j\in\mathbb{R}$ と $a_j<b_j$ を $1\leq j\leq d$ について仮定する。このとき、

Q=\prod_{j=1}^{d}(a_j,b_j]

を $\mathbb{R}^d$ の半開直方体 (half-open box) という。半開直方体 $Q$ の体積 (volume of a half-open box) を

|Q|=\prod_{j=1}^{d}(b_j-a_j)

によって定める。また、空集合の体積を $|\emptyset|=0$ と定める。

定義 1.2. 整数 $d\geq 1$ を固定する。集合族 $\mathcal{R}_d$ を、空集合と、

E=\bigsqcup_{r=1}^{m}Q_r

と表示することができる $\mathbb{R}^d$ の部分集合全体からなる集合族とする。ただし、 $m\geq 1$ であり、各 $Q_r$ は半開直方体であり、 $Q_1,\dots,Q_m$ は二つずつ交わらない。

体積の well-defined 性は、同じ集合が異なる有限非交和表示をもつ場合に、体積の和が一致することを意味する。証明には、すべての端点を座標ごとに並べて作る共通の格子細分を用いる。

証明. 第 $j$ 座標に現れる端点を相異なる順に

c_{j,0}<c_{j,1}<\cdots<c_{j,N_j}

と並べる。格子セルを

P_{k_1,\dots,k_d} =\prod_{j=1}^{d}(c_{j,k_j-1},c_{j,k_j}] \qquad (1\leq k_j\leq N_j)

と定める。半開という端点の規約により、二つの格子セルは一致するか交わらない。また、各 $Q_i$ に属するかどうかは一つの格子セル上で一定である。したがって、各 $Q_i$ は $Q_i$ に含まれる格子セルの非交和である。

$Q_i=\prod_j(a_{i,j},b_{i,j}]$ とする。第 $j$ 座標で $a_{i,j}$ から $b_{i,j}$ までに現れる格子幅の和は $b_{i,j}-a_{i,j}$ である。有限和に対する分配法則から、

\begin{aligned} |Q_i| &=\prod_{j=1}^{d}(b_{i,j}-a_{i,j})\\ &=\sum_{P_{k_1,\dots,k_d}\subseteq Q_i} \prod_{j=1}^{d}(c_{j,k_j}-c_{j,k_j-1}) \end{aligned}

を得る。右辺は $Q_i$ に含まれる格子セルの体積の和である。

$Q_0\subseteq\bigcup_{i=1}^{m}Q_i$ を仮定する。 $Q_0$ に含まれる各格子セルは、少なくとも一つの $Q_i$ に含まれる。各格子セルに対して、その格子セルを含む一つの $Q_i$ を選ぶ。選ばれた格子セルの体積を $i$ ごとに合計すると、その合計は $|Q_i|$ 以下である。したがって、

|Q_0| \leq\sum_{i=1}^{m}|Q_i|

が成り立つ。▨

格子細分は、有限非交和表示から独立した体積集合関数を与える。

命題 1.4. 整数 $d\geq 1$ を固定する。このとき、 $\mathcal{R}_d$ は $\mathbb{R}^d$ 上の集合環である。さらに、

E=\bigsqcup_{r=1}^{m}Q_r\in\mathcal{R}_d

に対して

v_d(E)=\sum_{r=1}^{m}|Q_r|, \qquad v_d(\emptyset)=0

と定めると、 $v_d(E)$ は有限非交和表示に依存しない。集合関数 $v_d:\mathcal{R}_d\to[0,\infty)$ は有限加法的であり、単調である。

証明. $E,F\in\mathcal{R}_d$ の有限非交和表示に現れるすべての端点を用いて、補題 1.3の格子細分を作る。各半開直方体の共通部分は、空集合であるか半開直方体である。格子細分により、 $E\cup F$ 、 $E\cap F$ 、および $E\setminus F$ は有限個の格子セルの非交和になる。したがって、 $\mathcal{R}_d$ は有限和と差集合に対して閉じているため、集合環である。

次に、

E=\bigsqcup_{r=1}^{m}Q_r =\bigsqcup_{s=1}^{n}P_s

という二つの表示をとる。両方の表示に現れる端点から作った共通格子において、 $E$ を構成する格子セルの集合は、どちらの表示から始めても同じである。補題 1.3の証明で得た体積の分割公式から、

\sum_{r=1}^{m}|Q_r| =\sum_{C\subseteq E}|C| =\sum_{s=1}^{n}|P_s|

を得る。したがって、 $v_d$ は well-defined である。

$E,F\in\mathcal{R}_d$ が交わらないならば、 $E$ の格子セルと $F$ の格子セルも交わらない。共通格子上で体積を合計すると、

v_d(E\sqcup F)=v_d(E)+v_d(F)

を得る。有限個の集合に対する加法性は、この等式を帰納的に適用して得られる。 $E\subseteq F$ ならば $F=E\sqcup(F\setminus E)$ であるから、

v_d(F)=v_d(E)+v_d(F\setminus E)\geq v_d(E)

である。したがって、 $v_d$ は単調である。▨

2 可算被覆評価と前測度

前測度の可算加法性を証明するためには、可算個の半開直方体による被覆の体積を評価する必要がある。有限部分被覆を得る箇所で、有限次元 Euclid 空間の閉有界集合がコンパクトであることを用いる。

補題 2.1. 従属選択公理を仮定し、整数 $d\geq 1$ を固定する。半開直方体 $Q,Q_1,Q_2,\dots\subseteq\mathbb{R}^d$ が

Q\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}Q_n

を満たすならば、

|Q|\leq\sum_{n=1}^{\infty}|Q_n|

が成り立つ。

証明. $\sum_n|Q_n|=\infty$ の場合には結論が成り立つため、

\sum_{n=1}^{\infty}|Q_n|<\infty

と仮定する。 $Q=\prod_j(a_j,b_j]$ とし、 $\varepsilon>0$ を固定する。積は各変数の連続関数であるから、十分小さい $\delta>0$ を選ぶと、

0<\delta<\min_{1\leq j\leq d}(b_j-a_j), \qquad \prod_{j=1}^{d}(b_j-a_j-\delta)>|Q|-\varepsilon

を満たすことができる。集合

K_\delta=\prod_{j=1}^{d}[a_j+\delta,b_j]

は閉かつ有界であるため、§E2.9 定理 4.3によりコンパクトである。

$Q_n=\prod_j(a_{n,j},b_{n,j}]$ とする。各 $n$ に対して、十分小さい $\eta_n>0$ を選ぶと、

V_n=\prod_{j=1}^{d}(a_{n,j}-2\eta_n,b_{n,j}+\eta_n]

が

|V_n|\leq |Q_n|+\frac{\varepsilon}{2^n}

を満たす。さらに、

U_n=\prod_{j=1}^{d}(a_{n,j}-\eta_n,b_{n,j}+\eta_n)

とおくと、 $Q_n\subseteq U_n\subseteq V_n$ であり、 $U_n$ は開集合である。従属選択公理から従う可算選択により、 $\eta_n$ をすべての $n$ について同時に選ぶ。

$K_\delta\subseteq Q\subseteq\bigcup_nU_n$ である。 $K_\delta$ のコンパクト性から、有限集合 $I\subseteq\mathbb{Z}_{\geq 1}$ が存在して

K_\delta\subseteq\bigcup_{n\in I}U_n \subseteq\bigcup_{n\in I}V_n

を満たす。半開直方体

Q_\delta=\prod_{j=1}^{d}(a_j+\delta,b_j]

は $K_\delta$ に含まれる。補題 1.3の有限被覆評価から、

\begin{aligned} |Q|-\varepsilon &<|Q_\delta|\\ &\leq\sum_{n\in I}|V_n|\\ &\leq\sum_{n=1}^{\infty}|Q_n|+\varepsilon \end{aligned}

を得る。 $\varepsilon>0$ は任意であるから、

|Q|\leq\sum_{n=1}^{\infty}|Q_n|

が成り立つ。▨

半開直方体の評価を、集合環の元の可算被覆へ拡張する。

補題 2.2. 従属選択公理を仮定し、整数 $d\geq 1$ を固定する。 $E,E_1,E_2,\dots\in\mathcal{R}_d$ が

E\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n

を満たすならば、

v_d(E)\leq\sum_{n=1}^{\infty}v_d(E_n)

が成り立つ。

証明. $E=\emptyset$ ならば $v_d(E)=0$ であるため、主張した不等式が成り立つ。以下では $E\neq\emptyset$ と仮定し、有限非交和表示

E=\bigsqcup_{r=1}^{m}Q_r

をとる。各 $n\geq 1$ について、 $E_n\neq\emptyset$ ならば有限非交和表示

E_n=\bigsqcup_{s=1}^{k_n}Q_{n,s}

をとり、 $E_n=\emptyset$ ならば $k_n=0$ と定めて、添字をもたない有限和を $0$ と解釈する。従属選択公理から従う可算選択により、非空の $E_n$ に対する有限非交和表示をすべての $n$ について同時に選ぶ。

各 $1\leq r\leq m$ に対して、空でない共通部分の添字集合を

I_r =\{\, (n,s)\mid n\geq 1,\ 1\leq s\leq k_n,\ Q_r\cap Q_{n,s}\neq\emptyset\,\}

と定める。被覆の仮定から、

Q_r\subseteq \bigcup_{(n,s)\in I_r}(Q_r\cap Q_{n,s})

である。 $I_r$ が有限集合ならば補題 1.3の有限被覆評価を適用する。 $I_r$ が無限集合ならば、 $I_r$ を列として並べて補題 2.1を適用する。いずれの場合にも、

|Q_r| \leq\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{s=1}^{k_n}|Q_r\cap Q_{n,s}|

を得る。空の共通部分は、定義 1.1で定めた体積 $0$ の項として和の右辺へ加えている。

$r$ について加えると、

\begin{aligned} v_d(E) &=\sum_{r=1}^{m}|Q_r|\\ &\leq \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{s=1}^{k_n} \sum_{r=1}^{m}|Q_r\cap Q_{n,s}| \end{aligned}

を得る。固定した $n,s$ に対して、集合 $Q_r\cap Q_{n,s}$ は $r$ について二つずつ交わらず、すべて $Q_{n,s}$ に含まれる。命題 1.4の有限加法性と単調性から、

\sum_{r=1}^{m}|Q_r\cap Q_{n,s}|\leq |Q_{n,s}|

である。したがって、

v_d(E) \leq\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{s=1}^{k_n}|Q_{n,s}| =\sum_{n=1}^{\infty}v_d(E_n)

を得る。▨

可算被覆評価と有限加法性から、体積集合関数の可算加法性が従う。

定理 2.3. 従属選択公理を仮定し、整数 $d\geq 1$ を固定する。定義 1.2の集合環 $\mathcal{R}_d$ 上で、命題 1.4の集合関数

v_d:\mathcal{R}_d\longrightarrow[0,\infty)

は前測度である。さらに、

C_n=(-n,n]^d\in\mathcal{R}_d, \qquad v_d(C_n)=(2n)^d<\infty, \qquad \mathbb{R}^d=\bigcup_{n=1}^{\infty}C_n

が成り立つ。したがって、 $v_d$ は§E9.3 定理 3.3と§E9.3 定理 4.1の仮定を満たす。

証明.命題 1.4から $v_d(\emptyset)=0$ である。 $E_1,E_2,\dots\in\mathcal{R}_d$ が二つずつ交わらず、

E=\bigsqcup_{n=1}^{\infty}E_n\in\mathcal{R}_d

を満たすと仮定する。任意の $N\geq 1$ に対して、有限加法性と単調性から、

\sum_{n=1}^{N}v_d(E_n) =v_d\left(\bigsqcup_{n=1}^{N}E_n\right) \leq v_d(E)

である。 $N\to\infty$ とすると、

\sum_{n=1}^{\infty}v_d(E_n)\leq v_d(E)

を得る。一方、 $E\subseteq\bigcup_nE_n$ であるから、補題 2.2により

v_d(E)\leq\sum_{n=1}^{\infty}v_d(E_n)

である。二つの不等式から可算加法性を得るため、 $v_d$ は前測度である。

各 $C_n=(-n,n]^d$ は半開直方体であり、表示した体積をもつ。任意の $x=(x_1,\dots,x_d)\in\mathbb{R}^d$ に対して $n>\max_j|x_j|$ を満たす整数 $n$ が存在するため、 $x\in C_n$ である。したがって、 $(C_n)_{n\geq 1}$ は有限な前測度をもつ集合環の元による $\mathbb{R}^d$ の可算被覆である。Carathéodory の拡張定理とシグマ有限な場合の一意性定理の仮定がすべて成り立つ。▨

3 Lebesgue 外測度と Borel 測度

半開直方体の可算被覆によって、 $\mathbb{R}^d$ のすべての部分集合に外測度を定める。

定義 3.1. 整数 $d\geq 1$ を固定する。任意の $A\subseteq\mathbb{R}^d$ に対して、

\lambda_d^*(A) =\inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty}|Q_n| \ \middle|\ Q_n\text{ は半開直方体または空集合であり、}\ A\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}Q_n \right\}

と定める。集合関数 $\lambda_d^*$ を $\mathbb{R}^d$ 上の Lebesgue 外測度 (Lebesgue outer measure) という。空集合の体積は定義 1.1で定めた値を用いる。

集合環の元による被覆と、半開直方体による被覆とは、同じ外測度を与える。

補題 3.2. 従属選択公理を仮定し、整数 $d\geq 1$ を固定する。 $v_d$ から§E9.3 定義 3.1によって構成した外測度の候補を $\rho_d^*$ とする。このとき、任意の $A\subseteq\mathbb{R}^d$ に対して

\rho_d^*(A)=\lambda_d^*(A)

が成り立つ。とくに、 $\lambda_d^*$ は $\mathbb{R}^d$ 上の外測度である。

証明. 各半開直方体は $\mathcal{R}_d$ に属し、その $v_d$ による値は体積に等しい。したがって、半開直方体による被覆は集合環の元による被覆でもあり、

\rho_d^*(A)\leq\lambda_d^*(A)

である。

反対向きの不等式を示す。集合環の元による任意の被覆

A\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n, \qquad E_n\in\mathcal{R}_d

をとる。従属選択公理から従う可算選択により、各 $n$ に対して有限非交和表示

E_n=\bigsqcup_{s=1}^{k_n}Q_{n,s}

を同時に選ぶ。ただし、 $E_n=\emptyset$ の場合には $k_n=1$ および $Q_{n,1}=\emptyset$ と定める。二重に添字づけられた半開直方体または空集合は可算族であり、 $A$ を被覆する。また、

\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{s=1}^{k_n}|Q_{n,s}| =\sum_{n=1}^{\infty}v_d(E_n)

である。したがって、

\lambda_d^*(A)\leq\sum_{n=1}^{\infty}v_d(E_n)

である。すべての集合環被覆について下限をとると、 $\lambda_d^*(A)\leq\rho_d^*(A)$ を得る。

定理 2.3により、 $v_d$ は前測度であり、有限測度をもつ $C_n=(-n,n]^d$ が $\mathbb{R}^d$ を可算被覆する。したがって、§E9.3 命題 3.2により $\rho_d^*$ は外測度である。 $\lambda_d^*=\rho_d^*$ であるため、 $\lambda_d^*$ も外測度である。▨

次に、半開直方体が生成するシグマ加法族を Euclid 位相から定まる Borel 集合族と同定する。

定理 3.3. 整数 $d\geq 1$ を固定し、 $\mathbb{R}^d$ に通常の Euclid 位相を入れる。このとき、

\sigma(\mathcal{R}_d)=\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)

が成り立つ。さらに、有理数を端点にもつ半開直方体全体は可算であり、Euclid 位相の各開集合は、その開集合に含まれる有理端点半開直方体の可算和である。

証明. 半開直方体 $Q=\prod_j(a_j,b_j]$ は

Q=\bigcap_{j=1}^{d} \{x\in\mathbb{R}^d:a_j<x_j\} \cap \bigcap_{j=1}^{d} \{x\in\mathbb{R}^d:x_j\leq b_j\}

と表される。集合 $\{x:a_j<x_j\}$ は開集合であり、集合 $\{x:x_j\leq b_j\}$ は閉集合である。したがって、各半開直方体は Borel 集合であり、

\sigma(\mathcal{R}_d)\subseteq\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)

である。

反対向きの包含を示す。 $U\subseteq\mathbb{R}^d$ を開集合とし、 $x\in U$ をとる。ある $r>0$ が存在して、Euclid 開球 $B(x,r)$ が $U$ に含まれる。有理数の稠密性から、各 $j$ に対して有理数 $p_j,q_j$ を

x_j-\frac{r}{\sqrt d}<p_j<x_j<q_j<x_j+\frac{r}{\sqrt d}

となるように選ぶ。このとき、

x\in\prod_{j=1}^{d}(p_j,q_j]\subseteq B(x,r)\subseteq U

である。有理端点半開直方体全体は $\mathbb{Q}^{2d}$ の部分集合であるため可算である。したがって、 $U$ は $U$ に含まれる有理端点半開直方体の可算和である。ゆえに、 $U\in\sigma(\mathcal{R}_d)$ である。

すべての開集合が $\sigma(\mathcal{R}_d)$ に属するため、

\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\subseteq\sigma(\mathcal{R}_d)

を得る。二つの包含から結論が従う。▨

前測度のシグマ有限性は、拡張の存在だけでなく一意性も保証する。

定理 3.4. 従属選択公理を仮定し、整数 $d\geq 1$ を固定する。 $\mathbb{R}^d$ には通常の Euclid 位相を入れる。このとき、 $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ 上の測度 $\lambda_d^B$ が一意に存在し、任意の半開直方体 $Q=\prod_{j=1}^{d}(a_j,b_j]$ に対して

\lambda_d^B(Q)=\prod_{j=1}^{d}(b_j-a_j)

を満たす。さらに、 $\lambda_d^B$ はシグマ有限であり、任意の $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ に対して

\lambda_d^B(A)=\lambda_d^*(A)

が成り立つ。

証明.定理 2.3により、 $v_d$ は $\mathcal{R}_d$ 上の前測度であり、 $C_n=(-n,n]^d$ は $\mathbb{R}^d$ を被覆する。したがって、§E9.3 定理 3.3を適用すると、 $\sigma(\mathcal{R}_d)$ 上の測度が存在し、 $\mathcal{R}_d$ 上で $v_d$ と一致する。定理 3.3により、

\sigma(\mathcal{R}_d)=\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)

であるため、この測度を $\lambda_d^B$ と記す。

Carathéodory の拡張定理で得られる測度は、前測度が生成する外測度の Borel 集合族への制限である。補題 3.2により、この外測度は $\lambda_d^*$ に等しい。したがって、任意の Borel 集合 $A$ に対して

\lambda_d^B(A)=\lambda_d^*(A)

である。半開直方体上の値は $v_d$ の定義から従う。

各 $C_n$ は有限測度であり、 $\mathbb{R}^d=\bigcup_nC_n$ であるため、 $\lambda_d^B$ はシグマ有限である。別の Borel 測度 $\nu$ がすべての半開直方体上で同じ値をもつと仮定する。有限加法性から、 $\nu$ は $\mathcal{R}_d$ 上で $v_d$ と一致する。§E9.3 定理 4.1を適用すると、 $\nu=\lambda_d^B$ を得る。したがって、拡張は一意である。▨

定義 3.5. 従属選択公理を仮定し、整数 $d\geq 1$ を固定する。定理 3.4によって $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ 上に得られる一意な測度を $d$ 次元の Lebesgue Borel 測度 (Lebesgue Borel measure) といい、 $\lambda_d^B$ と記す。

4 完備化と Lebesgue 可測集合

Lebesgue Borel 測度の定義域は Borel 集合族である。Lebesgue 測度は、Borel 零集合の任意の部分集合を可測集合として加えた完備化によって得られる。

定義 4.1. 従属選択公理を仮定し、整数 $d\geq 1$ を固定する。集合族

\mathcal{N}_d =\{\,N\subseteq\mathbb{R}^d \mid \text{ある }Z\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\text{ が存在して } N\subseteq Z,\ \lambda_d^B(Z)=0\,\}

と

\mathcal{L}_d =\{\,A\cup N\mid A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d),\ N\in\mathcal{N}_d\,\}

を定める。 $\mathcal{L}_d$ の元を Lebesgue 可測集合 (Lebesgue measurable set) という。

測度 $\lambda_d^B$ の§E9.2 定理 5.6による完備化を

\lambda_d:\mathcal{L}_d\longrightarrow[0,\infty]

と記し、 $d$ 次元の Lebesgue 測度 (Lebesgue measure) という。

完備化定理は、完備性だけでなく、完備化後の測度が表示に依存しないことも保証する。

定理 4.2. 従属選択公理を仮定し、整数 $d\geq 1$ を固定する。このとき、次の性質が成り立つ。

$\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\subseteq\mathcal{L}_d$ である。
$E\subseteq\mathbb{R}^d$ が $\mathcal{L}_d$ に属するための必要十分条件は、ある $A,Z\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ が存在して $\lambda_d^B(Z)=0, \qquad E\mathbin{\triangle}A\subseteq Z$ を満たすことである。
$A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ ならば、 $\lambda_d(A)=\lambda_d^B(A)$ である。
(2)において $E\mathbin{\triangle}A\subseteq Z$ ならば、 $\lambda_d(E)=\lambda_d^B(A)$ である。
$(\mathbb{R}^d,\mathcal{L}_d,\lambda_d)$ は完備な測度空間である。

証明.§E9.2 定理 5.6を測度空間

(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R}^d),\lambda_d^B)

へ適用する。完備化されたシグマ加法族は $\mathcal{L}_d$ であり、完備化された測度は $\lambda_d$ である。同定義と同定理から、(1)、(3)、および(5)が従う。

(2)を示す。 $E=A\cup N$ 、 $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ 、 $N\subseteq Z$ 、 $\lambda_d^B(Z)=0$ と表示することができるならば、

E\mathbin{\triangle}A\subseteq N\subseteq Z

である。反対に、 $E\mathbin{\triangle}A\subseteq Z$ を仮定すると、

E=(A\setminus Z)\cup\bigl(E\setminus(A\setminus Z)\bigr)

である。 $A\setminus Z$ は Borel 集合であり、 $E\setminus(A\setminus Z)\subseteq Z$ であるから、 $E\in\mathcal{L}_d$ である。したがって、(2)が成り立つ。

(2)の仮定を満たすとき、 $B=A\setminus Z$ とおくと、 $E=B\cup N$ と表示することができる。ただし、

N=E\setminus B\subseteq Z

である。完備化後の測度の定義から $\lambda_d(E)=\lambda_d^B(B)$ である。また、 $A=B\sqcup(A\cap Z)$ かつ $\lambda_d^B(A\cap Z)=0$ であるため、

\lambda_d(E)=\lambda_d^B(B)=\lambda_d^B(A)

を得る。したがって、(4)も成り立つ。▨

完備化は、Borel 零集合に含まれる任意の集合を Lebesgue 可測にする。

例 4.3 (零集合の任意の部分集合). 従属選択公理を仮定し、整数 $d\geq 1$ を固定し、

H=\{\,x\in[-1,1]^d\mid x_1=0\,\}

とする。このとき、 $H$ は Borel 集合であり、 $\lambda_d^B(H)=0$ である。したがって、任意の部分集合 $N\subseteq H$ は Lebesgue 可測であり、 $\lambda_d(N)=0$ である。 $N$ が Borel 集合であるという仮定は必要ない。

証明. 集合 $H$ は閉集合であるため Borel 集合である。任意の $n\geq 1$ に対して、

H\subseteq \left(-\frac1n,0\right] \times\prod_{j=2}^{d}(-2,1]

である。 $d=1$ の場合には、右辺の第 $2$ 座標以降の積を一点からなる空積として解釈する。半開直方体上の値と単調性から、

0\leq\lambda_d^B(H)\leq\frac{3^{d-1}}{n}

を得る。 $n\to\infty$ とすると、 $\lambda_d^B(H)=0$ である。定理 4.2の完備性から、任意の $N\subseteq H$ は Lebesgue 可測であり、測度 $0$ をもつ。▨

5 平行移動不変性

半開直方体の体積は平行移動で変わらない。シグマ有限な拡張の一意性を用いると、この性質を Borel 集合へ拡張することができる。完備化による表示は、さらにすべての Lebesgue 可測集合への拡張を与える。

定理 5.1. 従属選択公理を仮定し、整数 $d\geq 1$ とベクトル $t\in\mathbb{R}^d$ を固定する。このとき、任意の $E\in\mathcal{L}_d$ に対して $E+t\in\mathcal{L}_d$ であり、

\lambda_d(E+t)=\lambda_d(E)

が成り立つ。とくに、任意の $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ に対して $A+t\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ であり、

\lambda_d^B(A+t)=\lambda_d^B(A)

が成り立つ。

証明. 平行移動 $x\mapsto x+t$ は Euclid 位相の同相写像であるため、Borel 集合を Borel 集合へ移す。 $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ 上の集合関数

\nu_t(A)=\lambda_d^B(A+t)

を定める。平行移動は可算和と差集合を保つため、 $\nu_t$ は Borel 測度である。半開直方体 $Q=\prod_j(a_j,b_j]$ に対して、

Q+t=\prod_{j=1}^{d}(a_j+t_j,b_j+t_j]

であり、

\nu_t(Q) =\prod_{j=1}^{d}\bigl((b_j+t_j)-(a_j+t_j)\bigr) =|Q|

である。定理 3.4のシグマ有限一意性から、 $\nu_t=\lambda_d^B$ を得る。したがって、Borel 集合上で平行移動不変性が成り立つ。

$E\in\mathcal{L}_d$ をとる。定理 4.2により、Borel 集合 $A,Z$ が存在して

\lambda_d^B(Z)=0, \qquad E\mathbin{\triangle}A\subseteq Z

を満たす。Borel 集合に対する平行移動不変性から、 $A+t$ と $Z+t$ は Borel 集合であり、

\lambda_d^B(Z+t)=0

である。また、

(E+t)\mathbin{\triangle}(A+t) =(E\mathbin{\triangle}A)+t \subseteq Z+t

である。したがって、 $E+t\in\mathcal{L}_d$ である。完備化後の測度の定義と Borel 集合上の不変性から、

\lambda_d(E+t) =\lambda_d^B(A+t) =\lambda_d^B(A) =\lambda_d(E)

を得る。▨

6 外側正則性

完備化後の集合に対しても、Lebesgue 外測度と Lebesgue 測度の値は一致する。

補題 6.1. 従属選択公理を仮定し、整数 $d\geq 1$ を固定する。任意の $E\in\mathcal{L}_d$ に対して、

\lambda_d(E)=\lambda_d^*(E)

が成り立つ。

証明.定理 4.2により、Borel 集合 $A,Z$ が存在して

\lambda_d^B(Z)=0, \qquad E\mathbin{\triangle}A\subseteq Z

を満たす。Borel 集合上では $\lambda_d^B=\lambda_d^*$ であるため、 $\lambda_d^*(Z)=0$ である。包含

E\subseteq A\cup Z, \qquad A\subseteq E\cup Z

と外測度の単調性および可算劣加法性から、

\lambda_d^*(E)\leq\lambda_d^*(A)+\lambda_d^*(Z)=\lambda_d^B(A)

および

\lambda_d^B(A)=\lambda_d^*(A) \leq\lambda_d^*(E)+\lambda_d^*(Z)=\lambda_d^*(E)

を得る。したがって、

\lambda_d^*(E)=\lambda_d^B(A)=\lambda_d(E)

である。▨

半開直方体による外測度の定義から、開集合による外側近似を構成する。

定理 6.2. 従属選択公理を仮定し、整数 $d\geq 1$ を固定する。任意の $E\in\mathcal{L}_d$ に対して、 $\lambda_d(E)=\infty$ の場合も含めて

\lambda_d(E) =\inf\{\,\lambda_d(G)\mid E\subseteq G,\ G\subseteq\mathbb{R}^d \text{ は開集合}\,\}

が成り立つ。

証明. $E\subseteq G$ ならば測度の単調性から $\lambda_d(E)\leq\lambda_d(G)$ である。したがって、

\lambda_d(E)\leq \inf\{\,\lambda_d(G)\mid E\subseteq G,\ G\text{ は開集合}\,\}

が成り立つ。

最初に $\lambda_d(E)<\infty$ と仮定し、 $\varepsilon>0$ を固定する。補題 6.1と外測度の定義から、半開直方体または空集合からなる列 $(Q_n)_{n\geq 1}$ を選んで

E\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}Q_n, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}|Q_n| <\lambda_d(E)+\frac{\varepsilon}{2}

を満たすことができる。ただし、各 $Q_n$ は半開直方体または空集合である。添字集合

I=\{\,n\geq 1\mid Q_n\neq\emptyset\,\}

を定める。各 $n\in I$ について $Q_n=\prod_j(a_{n,j},b_{n,j}]$ と表し、 $\eta_n>0$ を十分小さく選び、

U_n=\prod_{j=1}^{d} \left(a_{n,j}-\frac{\eta_n}{2},b_{n,j}+\frac{\eta_n}{2}\right), \qquad V_n=\prod_{j=1}^{d}(a_{n,j}-\eta_n,b_{n,j}+\eta_n]

とおくと、

Q_n\subseteq U_n\subseteq V_n, \qquad |V_n|<|Q_n|+\frac{\varepsilon}{2^{n+1}}

を満たすことができる。従属選択公理から従う可算選択により、 $\eta_n$ をすべての $n\in I$ について同時に選ぶ。

集合

G=\bigcup_{n\in I}U_n

は $E$ を含む開集合である。 $G$ は Borel 集合であり、 $(V_n)_{n\in I}$ は $G$ を被覆するため、

\begin{aligned} \lambda_d(G) &=\lambda_d^B(G) =\lambda_d^*(G)\\ &\leq\sum_{n\in I}|V_n|\\ &<\lambda_d(E)+\varepsilon. \end{aligned}

したがって、 $\lambda_d(E)<\infty$ の場合には、開集合による測度の下限は $\lambda_d(E)$ 以下である。

$\lambda_d(E)=\infty$ と仮定する。 $E$ を含む任意の開集合 $G$ に対して、単調性から

\lambda_d(G)\geq\lambda_d(E)=\infty

である。したがって、すべての候補の測度が $\infty$ であり、下限も $\infty$ である。有限測度の場合と無限測度の場合を合わせると、主張した等式を得る。▨

7 内側正則性

有限測度の集合に対する内側近似では、集合を大きな閉立方体で切り取る。切り取った集合の補集合を開集合で外側近似すると、閉立方体からその開集合を除いたコンパクト集合が得られる。

定理 7.1. 従属選択公理を仮定し、整数 $d\geq 1$ を固定する。任意の $E\in\mathcal{L}_d$ に対して、 $\lambda_d(E)=\infty$ の場合も含めて

\lambda_d(E) =\sup\{\,\lambda_d(K)\mid K\subseteq E,\ K\subseteq\mathbb{R}^d \text{ はコンパクト}\,\}

が成り立つ。

証明. $K\subseteq E$ ならば測度の単調性から $\lambda_d(K)\leq\lambda_d(E)$ である。したがって、右辺の上限は $\lambda_d(E)$ 以下である。

最初に $\lambda_d(E)<\infty$ と仮定し、 $\varepsilon>0$ を固定する。閉立方体

C_m=[-m,m]^d \qquad(m\geq 1)

を考える。集合列 $E\cap C_m$ は $E$ へ増加するため、§E9.2 定理 4.1の下からの連続性から

\lambda_d(E)=\lim_{m\to\infty}\lambda_d(E\cap C_m)

を得る。したがって、ある $m\geq 1$ が存在して

\lambda_d(E\cap C_m)>\lambda_d(E)-\frac{\varepsilon}{2}

を満たす。

$C_m$ は半開直方体 $(-m-1,m]^d$ に含まれるため、 $\lambda_d(C_m)<\infty$ である。 Lebesgue 可測集合

H=C_m\setminus E

に定理 6.2を適用すると、 $H\subseteq G$ を満たす開集合 $G$ で

\lambda_d(G)<\lambda_d(H)+\frac{\varepsilon}{2}

となるものが存在する。集合

K=C_m\setminus G

は閉かつ有界であるため、§E2.9 定理 4.3によりコンパクトである。 $H\subseteq G$ であるから、

K\subseteq C_m\setminus H=E\cap C_m\subseteq E

である。

集合 $C_m$ の測度が有限であることと、

C_m=(E\cap C_m)\sqcup H =K\sqcup(C_m\cap G)

から、

\begin{aligned} \lambda_d(E\cap C_m)-\lambda_d(K) &=\lambda_d(C_m\cap G)-\lambda_d(H)\\ &\leq\lambda_d(G)-\lambda_d(H) <\frac{\varepsilon}{2} \end{aligned}

を得る。したがって、

\lambda_d(K) >\lambda_d(E\cap C_m)-\frac{\varepsilon}{2} >\lambda_d(E)-\varepsilon.

任意の $\varepsilon>0$ に対して、この条件を満たすコンパクト集合 $K\subseteq E$ が存在する。ゆえに、 $\lambda_d(E)<\infty$ の場合には主張した上限の等式が成り立つ。

次に $\lambda_d(E)=\infty$ と仮定する。下からの連続性から

\lim_{m\to\infty}\lambda_d(E\cap C_m)=\infty

である。任意の $M>0$ に対して、ある $m$ が存在して

\lambda_d(E\cap C_m)>M+1

を満たす。集合 $E\cap C_m$ は有限測度をもつため、すでに証明した有限測度の場合を $E\cap C_m$ と誤差 $1$ に適用すると、コンパクト集合 $K\subseteq E\cap C_m$ が存在して

\lambda_d(K)>\lambda_d(E\cap C_m)-1>M

を満たす。 $M>0$ は任意であるから、 $E$ に含まれるコンパクト集合の測度の上限は $\infty$ である。有限測度の場合と無限測度の場合を合わせると、主張した等式を得る。▨

8 Borel 測度と完備化を区別する

注意 8.1 (Borel 測度と Lebesgue 測度の定義域). 従属選択公理を仮定し、整数 $d\geq 1$ を固定する。Lebesgue Borel 測度 $\lambda_d^B$ の定義域は $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ である。完備 Lebesgue 測度 $\lambda_d$ の定義域は $\mathcal{L}_d$ であり、

\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\subseteq\mathcal{L}_d

である。Borel 集合 $A$ について二つの測度の値は一致する。一方、Borel 零集合の部分集合 $N$ は、 $N$ 自身が Borel 集合であるかどうかにかかわらず $\mathcal{L}_d$ に属する。したがって、Borel 測度の拡張と測度の完備化を同じ操作として扱ってはならない。

9 演習

問題 9.1.

二つの半開直方体の有限非交和表示が同じ集合を表すと仮定する。両方の表示に現れる端点から共通格子を作り、命題 1.4の well-defined 性の証明を再構成せよ。
補題 2.1の証明で、閉直方体 $K_\delta$ 、開直方体 $U_n$ 、半開直方体 $V_n$ の三種類を用いる理由を、それぞれが満たす包含関係とともに説明せよ。
$s>0$ と $E\in\mathcal{L}_d$ に対して $sE=\{sx:x\in E\}$ と定める。半開直方体上の体積とシグマ有限一意性を用いて $\lambda_d(sE)=s^d\lambda_d(E)$ を証明せよ。Borel 集合に対する証明と完備化後の証明を分けよ。
$\lambda_d(E)<\infty$ を満たす $E\in\mathcal{L}_d$ について、定理 7.1の証明から、任意の $\varepsilon>0$ に対してコンパクト集合 $K$ と開集合 $G$ が存在して $K\subseteq E\subseteq G$ かつ $\lambda_d(G\setminus K)<\varepsilon$ を満たすことを導け。

10 まとめ

半開直方体の有限非交和は集合環をなし、格子細分によって定まる体積集合関数は well-defined かつ有限加法的である。コンパクト性を用いた可算被覆評価により、この体積集合関数は前測度になる。 Carathéodory の拡張定理とシグマ有限な場合の一意性は、半開直方体の体積を一意な Borel 測度 $\lambda_d^B$ へ拡張する。

Borel 測度 $\lambda_d^B$ の完備化は、Lebesgue 可測集合族 $\mathcal{L}_d$ と完備 Lebesgue 測度 $\lambda_d$ を与える。直方体前測度の平行移動不変性は、Borel 集合上の一意性と完備化表示によって、すべての Lebesgue 可測集合へ拡張される。Lebesgue 外測度による開集合近似と、閉有界集合のコンパクト性を用いた補集合の近似から、すべての Lebesgue 可測集合に対する外側正則性と内側正則性が得られる。

§E9.4Lebesgue 測度

1 半開直方体と体積集合関数

2 可算被覆評価と前測度

3 Lebesgue 外測度と Borel 測度

4 完備化と Lebesgue 可測集合

5 平行移動不変性

6 外側正則性

7 内側正則性

8 Borel 測度と完備化を区別する

9 演習

10 まとめ

参考文献

前提記事