§E9.16Henstock–Kurzweil 積分

最終更新

Riemann 積分では、分割全体に共通する幅を小さくする。Henstock–Kurzweil 積分では、各点xxに正の幅δ(x)\delta(x)を割り当て、xxをタグとする小区間を(x−δ(x),x+δ(x))(x-\delta(x),x+\delta(x))の中へ入れる。幅を点ごとに変えることにより、有限個の特異点をもつ広義 Riemann 可積分関数と、Lebesgue 可積分関数だけでなく、すべての導関数も同じ有限閉区間上で積分することができる。

本記事は有限閉区間上の実数値関数と複素数値関数に限定する。本記事の結果は任意に選んで読むことができる展望であり、後続の記事の定義または証明の前提にはしない。多次元または抽象な領域上のゲージ積分、Denjoy 積分、Banach 空間値積分、および原始関数の ACG 型の特徴づけは扱わない。

1 ゲージとタグ付き分割

端点をタグとして選ぶことを許し、各小区間は正の長さをもつものとする。退化区間[a,a][a,a]だけは空の分割によって別に扱う。

定義 1.1. 実数a≤ba\leq bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}とする。[a,b][a,b]上のゲージ (gauge) とは、任意のx∈[a,b]x\in[a,b]に正の実数δ(x)>0\delta(x)>0を対応させる関数である。

[a,b][a,b]のタグ付き分割 (tagged partition) とは、

a=x0<x1<⋯<xn=ba=x_0<x_1<\cdots <x_n=b

と、各i∈{1,…,n}i\in\{1,\dots,n\}に対するタグ

τi∈[xi−1,xi]\tau_i\in[x_{i-1},x_i]

の組

P={([xi−1,xi],τi)∣1≤i≤n}\mathcal{P}=\{([x_{i-1},x_i],\tau_i)\mid 1\leq i\leq n\}

である。タグが小区間の端点または分割点に一致することを許す。同じ分割点が左右二つの小区間のタグになることも許す。

タグ付き分割P\mathcal{P}がゲージδ\deltaに対して δ\delta-fine (δ\delta-fine) であるとは、すべてのiiについて

[xi−1,xi]⊂(τi−δ(τi),τi+δ(τi))[x_{i-1},x_i]\subset (\tau_i-\delta(\tau_i),\tau_i+\delta(\tau_i))

が成り立つことをいう。有限値関数f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}に対する Riemann 和 (Riemann sum) を

S(f,P)=∑i=1nf(τi)(xi−xi−1)S(f,\mathcal{P}) =\sum_{i=1}^{n}f(\tau_i)(x_i-x_{i-1})

によって定める。

a=ba=bの場合には、タグ付き分割を空の族だけとし、その Riemann 和を00と定める。

定義 1.2. 実数a≤ba\leq bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}とする。f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}を有限値関数とする。あるA∈KA\in\mathbb{K}が存在し、任意のε>0\varepsilon>0に対して、あるゲージδ\deltaが存在して、任意のδ\delta-fine なタグ付き分割P\mathcal{P}が

∣S(f,P)−A∣<ε\lvert S(f,\mathcal{P})-A\rvert<\varepsilon

を満たすとき、ffは Henstock–Kurzweil 可積分 (Henstock–Kurzweil integrable)、または HK 可積分 (HK integrable) であるという。このAAを

HK⁡ ⁣∫abf\operatorname{HK}\!\int_a^b f

と書く。a=ba=bの場合には、任意の有限値関数を HK 可積分とし、積分値を00とする。

定義が空虚でないためには、任意のゲージに対する fine 分割が存在しなければならない。次の補題は閉区間の上限性だけから分割を構成するため、選択公理を必要としない。

1.1 証明方針

左端aaから fine 分割によって到達することができる点の集合を取り、その上限をccとする。c<bc<bならば、タグをccとする小区間を既存の分割の末尾へ加えることができるため、上限より右へ到達して矛盾する。

補題 1.3 (Cousin の補題). 実数a≤ba\leq bとし、δ\deltaを[a,b][a,b]上のゲージとする。このとき、[a,b][a,b]にはδ\delta-fine なタグ付き分割が存在する。この主張は実数の上限性だけから従い、選択公理を必要としない。

証明.a=ba=bの場合には空の分割が条件を満たす。以下ではa<ba<bとする。

E={x∈[a,b]∣[a,x] に δ-fine なタグ付き分割が存在する}E=\{x\in[a,b]\mid [a,x]\text{ に }\delta\text{-fine なタグ付き分割が存在する}\}

とおく。空の分割によりa∈Ea\in Eであるから、EEは空でない。また、E⊆[a,b]E\subseteq[a,b]であるためc=sup⁡Ec=\sup Eが存在する。

c<bc<bと仮定する。

0<η<min⁡{δ(c),b−c}0<\eta<\min\{\delta(c),b-c\}

を満たすη\etaをとる。ccはEEの上限であるから、あるy∈Ey\in Eが存在して

c−η2<y≤cc-\frac{\eta}{2}<y\leq c

を満たす。z=c+η/2z=c+\eta/2とおくとz≤bz\leq bであり、

[y,z]⊂(c−δ(c),c+δ(c))[y,z]\subset(c-\delta(c),c+\delta(c))

が成り立つ。[a,y][a,y]のδ\delta-fine 分割の末尾へ([y,z],c)([y,z],c)を加えると、[a,z][a,z]のδ\delta-fine 分割を得る。したがってz∈Ez\in Eであるが、z>cz>cはc=sup⁡Ec=\sup Eに反する。ゆえにc=bc=bである。

b∈Eb\in Eであることも確認する。η=δ(b)\eta=\delta(b)とし、上限の定義からb−η/2<y≤bb-\eta/2<y\leq bを満たすy∈Ey\in Eをとる。y=by=bならば終了する。y<by<bならば、[a,y][a,y]の fine 分割へ([y,b],b)([y,b],b)を加えることができる。したがって、いずれの場合にもb∈Eb\in Eであり、[a,b][a,b]にδ\delta-fine 分割が存在する。▨

2 一意性、Cauchy 判定、線形性

Cousin の補題により、二つのゲージの小さいほうに fine な分割を選ぶことができる。この操作が積分値の一意性と Cauchy 判定を与える。

命題 2.1. 実数a≤ba\leq bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}とする。有限値関数f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}がA,B∈KA,B\in\mathbb{K}の両方を定義 1.2の積分値としてもつと仮定する。このときA=BA=Bである。

証明.a=ba=bならばA=B=0A=B=0である。a<ba<bとする。任意のε>0\varepsilon>0に対して、AAとBBに対応するゲージをそれぞれδA,δB\delta_A,\delta_Bとする。

δ(x)=min⁡{δA(x),δB(x)}\delta(x)=\min\{\delta_A(x),\delta_B(x)\}

はゲージである。補題 1.3によりδ\delta-fine 分割P\mathcal{P}が存在する。この分割は二つの元のゲージに対しても fine であるから、

∣A−B∣≤∣A−S(f,P)∣+∣S(f,P)−B∣<2ε.|A-B| \leq|A-S(f,\mathcal{P})|+|S(f,\mathcal{P})-B| <2\varepsilon.

ε>0\varepsilon>0は任意であるためA=BA=Bである。▨

命題 2.2 (HK 可積分性の Cauchy 判定). 従属選択公理を仮定する。実数a<ba<bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}とする。f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}を有限値関数とする。次の二条件は同値である。

  1. ffは[a,b][a,b]上で HK 可積分である。
  2. 任意のε>0\varepsilon>0に対して、あるゲージδ\deltaが存在し、任意の二つのδ\delta-fine 分割P,Q\mathcal{P},\mathcal{Q}が ∣S(f,P)−S(f,Q)∣<ε|S(f,\mathcal{P})-S(f,\mathcal{Q})|<\varepsilon を満たす。

証明.(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。第一の条件を仮定し、積分値をAAとする。誤差をε/2\varepsilon/2未満にするゲージを選ぶと、三角不等式によって第二の条件を得る。

(2)⇒\Rightarrow(1)を示す。反対に第二の条件を仮定する。主張で仮定した従属選択公理を用いる。各正の整数nnに対して、二つの fine 分割の和の差を2−n2^{-n}未満にするゲージδn\delta_nを選び、補題 1.3によってδn\delta_n-fine 分割Pn\mathcal{P}_nを選ぶ。An=S(f,Pn)A_n=S(f,\mathcal{P}_n)とおく。

正の整数m,nm,nに対して、ゲージmin⁡{δm,δn}\min\{\delta_m,\delta_n\}に fine な分割R\mathcal{R}を選ぶ。R\mathcal{R}はδm\delta_mとδn\delta_nの両方に fine であるから、

∣Am−An∣≤∣Am−S(f,R)∣+∣S(f,R)−An∣<2−m+2−n.|A_m-A_n| \leq|A_m-S(f,\mathcal{R})|+|S(f,\mathcal{R})-A_n| <2^{-m}+2^{-n}.

したがって(An)(A_n)はK\mathbb{K}の Cauchy 列である。R\mathbb{R}とC\mathbb{C}の完備性により、あるA∈KA\in\mathbb{K}が存在してAn→AA_n\to Aとなる。

ε>0\varepsilon>0をとる。2−n<ε/32^{-n}<\varepsilon/3かつ∣An−A∣<ε/3|A_n-A|<\varepsilon/3を満たすnnを選ぶ。任意のδn\delta_n-fine 分割P\mathcal{P}に対して、第二の条件から

∣S(f,P)−An∣<2−n<ε3.|S(f,\mathcal{P})-A_n|<2^{-n}<\frac{\varepsilon}{3}.

ゆえに

∣S(f,P)−A∣<2ε3<ε.|S(f,\mathcal{P})-A|<\frac{2\varepsilon}{3}<\varepsilon.

したがってffは HK 可積分であり、その積分値はAAである。▨

命題 2.3. 実数a≤ba\leq bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}とする。有限値関数f,g:[a,b]→Kf,g:[a,b]\to\mathbb{K}が HK 可積分であると仮定する。α,β∈K\alpha,\beta\in\mathbb{K}に対してαf+βg\alpha f+\beta gは HK 可積分であり、

HK⁡ ⁣∫ab(αf+βg)=αHK⁡ ⁣∫abf+βHK⁡ ⁣∫abg\operatorname{HK}\!\int_a^b(\alpha f+\beta g) =\alpha\operatorname{HK}\!\int_a^b f +\beta\operatorname{HK}\!\int_a^b g

が成り立つ。

証明.a=ba=bの場合には、f,g,αf+βgf,g,\alpha f+\beta gの HK 積分値が定義によりすべて00であるため、主張する等式が成り立つ。以下ではa<ba<bとする。ε>0\varepsilon>0をとり、

η=ε2(1+∣α∣+∣β∣)\eta=\frac{\varepsilon}{2(1+|\alpha|+|\beta|)}

とおく。f,gf,gの積分値をそれぞれA,BA,Bとし、誤差をη\eta未満にするゲージをδf,δg\delta_f,\delta_gとする。δ=min⁡{δf,δg}\delta=\min\{\delta_f,\delta_g\}とおくと、任意のδ\delta-fine 分割P\mathcal{P}に対して

∣S(αf+βg,P)−(αA+βB)∣≤∣α∣ ∣S(f,P)−A∣+∣β∣ ∣S(g,P)−B∣<(∣α∣+∣β∣)η<ε\begin{aligned} &\left|S(\alpha f+\beta g,\mathcal{P})-(\alpha A+\beta B)\right|\\ &\qquad\leq|\alpha|\,|S(f,\mathcal{P})-A| +|\beta|\,|S(g,\mathcal{P})-B|\\ &\qquad<(|\alpha|+|\beta|)\eta<\varepsilon \end{aligned}

が成り立つ。▨

3 区間加法性と Saks–Henstock の補題

部分分割とは、閉小区間の内部が互いに交わらない有限族であり、区間全体を覆うことを要求しないタグ付き分割である。各小区間は正の長さをもち、タグはその小区間に属する。

補題 3.1. 従属選択公理を仮定する。実数a≤c≤ba\leq c\leq bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}とする。有限値関数f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}に対して、次の二条件は同値である。

  1. ffは[a,b][a,b]上で HK 可積分である。
  2. f∣[a,c]f|_{[a,c]}は[a,c][a,c]上で HK 可積分であり、f∣[c,b]f|_{[c,b]}は[c,b][c,b]上で HK 可積分である。

二条件が成り立つとき、

HK⁡ ⁣∫abf=HK⁡ ⁣∫acf+HK⁡ ⁣∫cbf\operatorname{HK}\!\int_a^b f =\operatorname{HK}\!\int_a^c f +\operatorname{HK}\!\int_c^b f

が成り立つ。

証明.a=ba=bならばa=c=ba=c=bである。定義 1.2により、全区間と二つの部分区間におけるffの HK 可積分性が成り立ち、三つの積分値はすべて00である。したがって、同値と等式が成り立つ。

以下ではa<ba<bとする。c=ac=aの場合には、[a,c]=[a,a][a,c]=[a,a]上の制限は常に HK 可積分で積分値は00、[c,b]=[a,b][c,b]=[a,b]上の制限はff自身である。したがって二条件は同値であり、積分値の等式も成り立つ。c=bc=bの場合には、[a,c]=[a,b][a,c]=[a,b]上の制限がff自身であり、[c,b]=[b,b][c,b]=[b,b]上の制限は常に HK 可積分で積分値が00である。したがって、この場合にも二条件は同値であり、積分値の等式が成り立つ。以下ではa<c<ba<c<bとする。

(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。最初に第一の条件から第二の条件を導く。ffの[a,b][a,b]上の積分値をAAとする。ε>0\varepsilon>0をとり、任意の二つの fine 分割の Riemann 和の差をε\varepsilon未満にするゲージδ0\delta_0を命題 2.2から選ぶ。ゲージδ\deltaを

δ(x)={12min⁡{δ0(x),c−x},x<c,12δ0(c),x=c,12min⁡{δ0(x),x−c},x>c\delta(x)= \begin{cases} \dfrac12\min\{\delta_0(x),c-x\},&x<c,\\[4pt] \dfrac12\delta_0(c),&x=c,\\[4pt] \dfrac12\min\{\delta_0(x),x-c\},&x>c \end{cases}

によって明示的に定める。

[a,c][a,c]の任意の二つのδ\delta-fine 分割P,Q\mathcal{P},\mathcal{Q}をとる。補題 1.3により、[c,b][c,b]のδ\delta-fine 分割R\mathcal{R}が存在する。P∪R\mathcal{P}\cup\mathcal{R}とQ∪R\mathcal{Q}\cup\mathcal{R}は[a,b][a,b]のδ0\delta_0-fine 分割である。したがって、

∣S(f,P)−S(f,Q)∣=∣S(f,P∪R)−S(f,Q∪R)∣<ε.|S(f,\mathcal{P})-S(f,\mathcal{Q})| =|S(f,\mathcal{P}\cup\mathcal{R})-S(f,\mathcal{Q}\cup\mathcal{R})| <\varepsilon.

命題 2.2によりffは[a,c][a,c]上で HK 可積分である。次に、[c,b][c,b]上の HK 可積分性を確認する。[c,b][c,b]の二つのδ\delta-fine 分割をとり、補題 1.3による[a,c][a,c]の一つのδ\delta-fine 分割をそれぞれへ結合する。二つの全区間上の Riemann 和の差は、[c,b][c,b]上の二つの和の差に等しく、ε\varepsilon未満である。したがって、命題 2.2によりffは[c,b][c,b]上でも HK 可積分である。

二つの制限積分をA1,A2A_1,A_2とする。任意のε>0\varepsilon>0に対して、全区間と二つの部分区間の積分誤差をそれぞれε/3\varepsilon/3未満にするゲージを選び、その最小値をとる。二つの部分区間上で fine 分割を選んで結合すると、全区間上の fine 分割を得る。その結合分割をT\mathcal{T}とすると、

∣A−(A1+A2)∣≤∣A−S(f,T)∣+∣S(f,T∩[a,c])−A1∣+∣S(f,T∩[c,b])−A2∣<ε.|A-(A_1+A_2)| \leq|A-S(f,\mathcal{T})| +|S(f,\mathcal{T}\cap[a,c])-A_1| +|S(f,\mathcal{T}\cap[c,b])-A_2| <\varepsilon.

したがってA=A1+A2A=A_1+A_2である。

(2)⇒\Rightarrow(1)を示す。反対に第二の条件を仮定する。二つの部分区間上の HK 積分値をそれぞれA1,A2A_1,A_2とする。ε>0\varepsilon>0をとる。[a,c][a,c]上では積分誤差をε/2\varepsilon/2未満にするゲージδ1\delta_1をとり、[c,b][c,b]上では積分誤差をε/2\varepsilon/2未満にするゲージδ2\delta_2をとる。[a,b][a,b]上のゲージδ\deltaを

δ(x)={12min⁡{δ1(x),c−x},a≤x<c,12min⁡{δ1(c),δ2(c)},x=c,12min⁡{δ2(x),x−c},c<x≤b\delta(x)= \begin{cases} \dfrac12\min\{\delta_1(x),c-x\},&a\leq x<c,\\[4pt] \dfrac12\min\{\delta_1(c),\delta_2(c)\},&x=c,\\[4pt] \dfrac12\min\{\delta_2(x),x-c\},&c<x\leq b \end{cases}

によって定める。

任意のδ\delta-fine 分割P\mathcal{P}をとる。タグτ<c\tau<cをもつ小区間はδ(τ)<c−τ\delta(\tau)<c-\tauによりccを含まず、[a,c][a,c]に含まれる。同様に、タグτ>c\tau>cをもつ小区間は[c,b][c,b]に含まれる。タグccをもつ各小区間については、ccが内部にあればccで二分し、左の部分と右の部分の両方にタグccを付ける。ccが端点ならば正の長さをもつ側だけを残し、退化した側は除く。この操作で得た左側の小区間の族をP1\mathcal{P}_1、右側の小区間の族をP2\mathcal{P}_2とする。

P\mathcal{P}が[a,b][a,b]を覆い、タグがccでない小区間はccをまたがないため、P1\mathcal{P}_1は[a,c][a,c]を覆い、P2\mathcal{P}_2は[c,b][c,b]を覆う。両者の小区間は正の長さをもち、内部が互いに交わらないから、それぞれタグ付き分割である。さらに、P1\mathcal{P}_1はδ1\delta_1-fine であり、P2\mathcal{P}_2はδ2\delta_2-fine である。実際、タグがccでない小区間ではδ≤δ1\delta\leq\delta_1またはδ≤δ2\delta\leq\delta_2である。タグがccである小区間では、

δ(c)≤δ1(c)2,δ(c)≤δ2(c)2\delta(c)\leq\frac{\delta_1(c)}2, \qquad \delta(c)\leq\frac{\delta_2(c)}2

であるから、二分後の両側も対応するゲージに対して fine である。二分した小区間では長さが加法的であり、両側のタグ値が同じf(c)f(c)であるため、Riemann 和は変わらず、

S(f,P)=S(f,P1)+S(f,P2)S(f,\mathcal{P}) =S(f,\mathcal{P}_1)+S(f,\mathcal{P}_2)

が成り立つ。したがって、

∣S(f,P)−(A1+A2)∣≤∣S(f,P1)−A1∣+∣S(f,P2)−A2∣<ε2+ε2=ε.\begin{aligned} \left|S(f,\mathcal{P})-(A_1+A_2)\right| &\leq \left|S(f,\mathcal{P}_1)-A_1\right| +\left|S(f,\mathcal{P}_2)-A_2\right|\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon. \end{aligned}

任意のδ\delta-fine 分割についてこの評価が成り立つため、ffは[a,b][a,b]上で HK 可積分であり、その積分値はA1+A2A_1+A_2である。▨

区間J=[u,v]⊆[a,b]J=[u,v]\subseteq[a,b]に対して

F(J)=HK⁡ ⁣∫uvfF(J)=\operatorname{HK}\!\int_u^v f

と書く。前補題によりFFは隣接する区間の有限和に関して加法的である。

補題 3.2 (Saks–Henstock の補題). 従属選択公理を仮定する。実数a<ba<bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}とする。有限値関数f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}が HK 可積分であると仮定する。閉小区間J=[u,v]⊆[a,b]J=[u,v]\subseteq[a,b]に対して

F(J)=HK⁡ ⁣∫uvfF(J)=\operatorname{HK}\!\int_u^v f

と定める。任意のε>0\varepsilon>0に対して、あるゲージδ\deltaが存在し、任意のδ\delta-fine 部分分割

D={(Ji,τi)∣1≤i≤r}\mathcal{D}=\{(J_i,\tau_i)\mid1\leq i\leq r\}

が

∑i=1r∣f(τi)∣Ji∣−F(Ji)∣<ε\sum_{i=1}^{r} \left|f(\tau_i)|J_i|-F(J_i)\right|<\varepsilon

を満たす。ただし∣Ji∣|J_i|はJiJ_iの長さである。複素数値の場合にも同じ結論が成り立つ。

証明. 最初にffが実数値である場合を示す。積分誤差をε/8\varepsilon/8未満にするゲージδ\deltaを選ぶ。δ\delta-fine 部分分割E\mathcal{E}をとる。部分分割の小区間を除いた[a,b][a,b]の残余部分を、正の長さをもつ閉区間

K1,…,KsK_1,\dots,K_s

に分ける。これらの内部は互いに交わらず、E\mathcal{E}の小区間と合わせて[a,b][a,b]を覆う。s=0s=0の場合には、以下の残余部分に関する和を00とする。s≥1s\geq1の場合には、各KℓK_\ell上で HK 可積分性の誤差をε/(8s)\varepsilon/(8s)未満にするゲージとδ∣Kℓ\delta|_{K_\ell}との最小値をとり、補題 1.3によって、その最小値に fine な分割Rℓ\mathcal{R}_\ellをとる。したがって、R=⋃ℓ=1sRℓ\mathcal{R}=\bigcup_{\ell=1}^{s}\mathcal{R}_\ellはδ\delta-fine であり、

∑ℓ=1s∣S(f,Rℓ)−F(Kℓ)∣<ε8.\sum_{\ell=1}^{s} \left|S(f,\mathcal{R}_\ell)-F(K_\ell)\right| <\frac{\varepsilon}{8}.

区間加法性により、

∣∑(J,τ)∈E(f(τ)∣J∣−F(J))∣≤∣S(f,E∪R)−F([a,b])∣+∣S(f,R)−∑ℓ=1sF(Kℓ)∣<ε4.\left| \sum_{(J,\tau)\in\mathcal{E}}\bigl(f(\tau)|J|-F(J)\bigr) \right| \leq |S(f,\mathcal{E}\cup\mathcal{R})-F([a,b])| +\left|S(f,\mathcal{R})-\sum_{\ell=1}^{s}F(K_\ell)\right| <\frac{\varepsilon}{4}.

与えられた部分分割D\mathcal{D}の各誤差を

ei=f(τi)∣Ji∣−F(Ji)e_i=f(\tau_i)|J_i|-F(J_i)

とおく。ei≥0e_i\geq0の項だけからなる部分分割と、ei<0e_i<0の項だけからなる部分分割へ前段落をそれぞれ適用すると、

∣∑ei≥0ei∣<ε4,∣∑ei<0ei∣<ε4.\left|\sum_{e_i\geq0}e_i\right|<\frac{\varepsilon}{4}, \qquad \left|\sum_{e_i<0}e_i\right|<\frac{\varepsilon}{4}.

したがって

∑i∣ei∣=∑ei≥0ei−∑ei<0ei<ε2<ε.\sum_i|e_i| =\sum_{e_i\geq0}e_i-\sum_{e_i<0}e_i <\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon.

ffが複素数値である場合には、f=f1+if2f=f_1+if_2と書く。命題 2.3と積分値の実部・虚部を比較することにより、f1,f2f_1,f_2は実数値 HK 可積分関数である。実際、ffの積分値をAAとすれば

∣S(f1,P)−Re⁡A∣≤∣S(f,P)−A∣,∣S(f2,P)−Im⁡A∣≤∣S(f,P)−A∣|S(f_1,\mathcal{P})-\operatorname{Re}A| \leq|S(f,\mathcal{P})-A|, \qquad |S(f_2,\mathcal{P})-\operatorname{Im}A| \leq|S(f,\mathcal{P})-A|

である。実数値の場合のゲージをf1,f2f_1,f_2について誤差ε/2\varepsilon/2で選び、その最小値をとる。各複素誤差eie_iに対して∣ei∣≤∣Re⁡ei∣+∣Im⁡ei∣|e_i|\leq|\operatorname{Re}e_i|+|\operatorname{Im}e_i|であるから、主張した評価を得る。▨

系 3.3. 従属選択公理を仮定する。実数a<ba<bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}とする。有限値関数f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}が HK 可積分であると仮定する。

F(x)=HK⁡ ⁣∫axfF(x)=\operatorname{HK}\!\int_a^x f

とおくと、FFは[a,b][a,b]上で連続である。

証明.x∈[a,b]x\in[a,b]とε>0\varepsilon>0をとる。補題 3.2の誤差をε/2\varepsilon/2未満にするゲージをδ\deltaとする。y∈[a,b]y\in[a,b]が

∣y−x∣<min⁡{δ(x),ε2(1+∣f(x)∣)}|y-x|<\min\left\{\delta(x),\frac{\varepsilon}{2(1+|f(x)|)}\right\}

を満たすとする。y=xy=xならば∣F(y)−F(x)∣=0<ε|F(y)-F(x)|=0<\varepsilonである。以下ではy≠xy\neq xとする。端点を小さい順に並べた正の長さをもつ区間JJにタグxxを付けると、この一要素の部分分割はδ\delta-fine である。したがって、

∣F(y)−F(x)∣≤∣f(x)∣ ∣y−x∣+∣f(x)∣y−x∣−HK⁡ ⁣∫Jf∣<ε.|F(y)-F(x)| \leq|f(x)|\,|y-x| +\left|f(x)|y-x|-\operatorname{HK}\!\int_J f\right| <\varepsilon.

向きが逆の場合には積分の符号だけが変わり、同じ評価が成り立つ。ゆえにFFはxxで連続である。▨

4 Riemann 積分は HK 積分に含まれる

Riemann 可積分関数については、十分に細かい任意のタグ付き分割の和が積分値へ近づく。Darboux 可積分性から、この一様な幅による判定を先に導く。

補題 4.1. 実数a<ba<bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}とする。有限値の有界関数f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}が Riemann 可積分であり、その積分値をI∈KI\in\mathbb{K}とする。任意のε>0\varepsilon>0に対して、あるρ>0\rho>0が存在し、幅がρ\rho未満である任意のタグ付き分割P\mathcal{P}が

∣S(f,P)−I∣<ε|S(f,\mathcal{P})-I|<\varepsilon

を満たす。

証明. 最初に実数値関数を扱う。∣f∣≤M|f|\leq Mを満たすM≥0M\geq0をとる。§D1.17 定理 2.4により、ある分割

Q:a=q0<q1<⋯<qm=bQ:\quad a=q_0<q_1<\cdots<q_m=b

が存在して

U(f,Q)−L(f,Q)<ε2U(f,Q)-L(f,Q)<\frac{\varepsilon}{2}

を満たす。M=0M=0ならば∣f∣≤0|f|\leq0からf=0f=0であり、すべてのタグ付き Riemann 和と Riemann 積分値が00になるため、例えばρ=1\rho=1が条件を満たす。以下ではM>0M>0とし、

ρ<ε16Mm\rho<\frac{\varepsilon}{16Mm}

を選ぶ。

幅がρ\rho未満のタグ付き分割P\mathcal{P}をとる。P\mathcal{P}の小区間のうち、QQの内部分割点q1,…,qm−1q_1,\dots,q_{m-1}のいずれかを含むものの全長は2mρ2m\rho未満である。残りの小区間は一つの[qj−1,qj][q_{j-1},q_j]に含まれるため、そのタグ値は同じ区間上の下限と上限の間にある。したがって、分割点を含む小区間では、タグ値と Darboux 和に用いる上限または下限との差を2M2Mで評価すると、

L(f,Q)−4Mmρ≤S(f,P)≤U(f,Q)+4Mmρ.L(f,Q)-4Mm\rho \leq S(f,\mathcal{P}) \leq U(f,Q)+4Mm\rho.

またL(f,Q)≤I≤U(f,Q)L(f,Q)\leq I\leq U(f,Q)である。ゆえに

∣S(f,P)−I∣≤U(f,Q)−L(f,Q)+4Mmρ<3ε4<ε.|S(f,\mathcal{P})-I| \leq U(f,Q)-L(f,Q)+4Mm\rho <\frac{3\varepsilon}{4}<\varepsilon.

複素数値関数では実部と虚部へ実数値の場合を適用し、二つの誤差をそれぞれε/2\varepsilon/2未満にする共通のρ\rhoを選ぶ。▨

定理 4.2. 実数a≤ba\leq bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}とする。有限値関数f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}が Riemann 可積分であると仮定する。このときffは HK 可積分であり、

HK⁡ ⁣∫abf=∫abf(x) dx\operatorname{HK}\!\int_a^b f =\int_a^b f(x)\,dx

が成り立つ。

証明.a=ba=bの場合には、Riemann 積分は退化区間上で00であり、HK 積分も定義 1.2により00である。以下ではa<ba<bとする。ε>0\varepsilon>0に対して補題 4.1のρ\rhoを選び、定数ゲージδ(x)=ρ/2\delta(x)=\rho/2をとる。δ\delta-fine な各小区間の長さはρ\rho未満であるから、任意のδ\delta-fine 分割の Riemann 和は Riemann 積分値との差がε\varepsilon未満である。定義 1.2により主張が従う。▨

5 Lebesgue 積分は HK 積分に含まれる

Lebesgue 可積分関数は有界とは限らない。関数の値が大きい点ではゲージを小さくし、同じ大きさの値をとる可測集合を測度がわずかに大きい開集合で覆う。この操作により、任意の fine 和をL1L^1誤差で制御する。

最初に、可測集合の指示関数を扱う。以下の二つの補題では、一次元 Lebesgue 測度の外側正則性§E9.4 定理 6.2と内側正則性§E9.4 定理 7.1を用いる。これらの正則性と可算個の近似の同時選択に従属選択公理を仮定する。

補題 5.1. 従属選択公理を仮定する。実数a<ba<bとし、E⊆[a,b]E\subseteq[a,b]を完備 Lebesgue 測度に関して可測な集合とする。このとき1E:[a,b]→R\mathbf{1}_E:[a,b]\to\mathbb{R}は HK 可積分であり、

HK⁡ ⁣∫ab1E=λ(E)\operatorname{HK}\!\int_a^b\mathbf{1}_E=\lambda(E)

が成り立つ。

証明.ε>0\varepsilon>0をとる。外側正則性と内側正則性により、コンパクト集合KKと開集合GGを

K⊆E⊆G,λ(G∖K)<εK\subseteq E\subseteq G, \qquad \lambda(G\setminus K)<\varepsilon

となるように選ぶ。空集合まで含めて

dist⁡(x,∅)=+∞\operatorname{dist}(x,\emptyset)=+\infty

と約束し、

δ(x)={12min⁡{1,dist⁡(x,R∖G)},x∈E,12min⁡{1,dist⁡(x,K)},x∉E\delta(x)= \begin{cases} \dfrac12\min\{1,\operatorname{dist}(x,\mathbb{R}\setminus G)\},&x\in E,\\[6pt] \dfrac12\min\{1,\operatorname{dist}(x,K)\},&x\notin E \end{cases}

と定める。GGは開集合であり、KKはコンパクト集合である。また、E⊆GE\subseteq GかつK⊆EK\subseteq Eであるから、右辺はすべてのx∈[a,b]x\in[a,b]で有限な正の実数である。このδ\deltaはゲージであり、x∈Ex\in Eならば(x−δ(x),x+δ(x))⊆G(x-\delta(x),x+\delta(x))\subseteq G、x∉Ex\notin Eならば(x−δ(x),x+δ(x))∩K=∅(x-\delta(x),x+\delta(x))\cap K=\emptysetが成り立つ。

δ\delta-fine 分割P\mathcal{P}をとり、タグがEEに属する小区間の和集合をAAとする。小区間の内部は互いに交わらないため、

S(1E,P)=λ(A).S(\mathbf{1}_E,\mathcal{P})=\lambda(A).

タグがEEに属する小区間はGGに含まれるからA⊆GA\subseteq Gである。一方、y∈Ky\in Kを含む分割小区間のタグがEEに属さないなら、その小区間はKKと交わらないはずであり矛盾する。したがってK⊆AK\subseteq Aである。ゆえに

λ(K)≤S(1E,P)≤λ(G).\lambda(K)\leq S(\mathbf{1}_E,\mathcal{P})\leq\lambda(G).

K⊆E⊆GK\subseteq E\subseteq Gとλ(G∖K)<ε\lambda(G\setminus K)<\varepsilonから

∣S(1E,P)−λ(E)∣<ε\left|S(\mathbf{1}_E,\mathcal{P})-\lambda(E)\right|<\varepsilon

を得る。▨

非負可積分関数については、関数を上から近似する可算値関数を用いる。可算値関数自体の HK 可積分性を仮定せず、その各値に対応する開集合の測度だけを加える。

補題 5.2. 従属選択公理を仮定する。実数a<ba<bとし、g:[a,b]→[0,∞)g:[a,b]\to[0,\infty)を有限値 Lebesgue 可測関数とする。

∫[a,b]g dλ<∞\int_{[a,b]}g\,d\lambda<\infty

と仮定する。任意のε>0\varepsilon>0に対して、あるゲージδ\deltaが存在し、任意のδ\delta-fine 分割P\mathcal{P}が

0≤S(g,P)<∫[a,b]g dλ+ε0\leq S(g,\mathcal{P}) <\int_{[a,b]}g\,d\lambda+\varepsilon

を満たす。

証明.mmを十分大きい正の整数として

b−am<ε2\frac{b-a}{m}<\frac{\varepsilon}{2}

を満たすように選ぶ。互いに交わらない可測集合

E0={g=0},Ek={x∈[a,b]|k−1m<g(x)≤km}(k≥1)E_0=\{g=0\}, \qquad E_k=\left\{x\in[a,b]\mathrel{}\middle|\mathrel{} \frac{k-1}{m}<g(x)\leq\frac{k}{m}\right\} \quad(k\geq1)

を定める。可算値可測関数

q=∑k=1∞km1Ekq=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{m}\mathbf{1}_{E_k}

は

g≤q≤g+1mg\leq q\leq g+\frac1m

を満たす。各正の整数NNに対して

qN=∑k=1Nkm1Ekq_N=\sum_{k=1}^{N}\frac{k}{m}\mathbf{1}_{E_k}

とおくと、0≤qN↑q0\leq q_N\uparrow qである。有限単関数の積分公式と単調収束定理§E9.7 定理 1.1により、

∫q dλ=lim⁡N→∞∫qN dλ=∑k=1∞kmλ(Ek).\int q\,d\lambda =\lim_{N\to\infty}\int q_N\,d\lambda =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{m}\lambda(E_k).

さらに、積分の単調性と線形性から

∫q dλ≤∫g dλ+b−am<∫g dλ+ε2.\int q\,d\lambda \leq\int g\,d\lambda+\frac{b-a}{m} <\int g\,d\lambda+\frac{\varepsilon}{2}.

各正の整数kkに対して、外側正則性によりEk⊆GkE_k\subseteq G_kを満たす開集合GkG_kを

kmλ(Gk∖Ek)<ε2k+2\frac{k}{m}\lambda(G_k\setminus E_k) <\frac{\varepsilon}{2^{k+2}}

となるように選ぶ。ここでもdist⁡(x,∅)=+∞\operatorname{dist}(x,\emptyset)=+\inftyと約束する。x∈Ekx\in E_kかつk≥1k\geq1の場合には

δ(x)=12min⁡{1,dist⁡(x,R∖Gk)},\delta(x)=\frac12\min\{1,\operatorname{dist}(x,\mathbb{R}\setminus G_k)\},

x∈E0x\in E_0の場合にはδ(x)=1\delta(x)=1と定める。集合E0,E1,…E_0,E_1,\dotsは[a,b][a,b]を分割し、GkG_kはEkE_kを含む開集合であるから、δ\deltaは明示的に定まるゲージである。また、x∈Ekx\in E_kかつk≥1k\geq1ならば(x−δ(x),x+δ(x))⊆Gk(x-\delta(x),x+\delta(x))\subseteq G_kが成り立つ。

δ\delta-fine 分割P\mathcal{P}をとる。タグがEkE_kに属する小区間の全長をLkL_kとする。その小区間の和集合はGkG_kに含まれるため、

Lk≤λ(Gk).L_k\leq\lambda(G_k).

分割の小区間は有限個であるから、Lk≠0L_k\neq0となるkkは有限個だけである。ゆえに、

S(g,P)≤S(q,P)=∑k=1∞kmLk≤∑k=1∞kmλ(Gk)=∫q dλ+∑k=1∞kmλ(Gk∖Ek)<∫g dλ+ε2+∑k=1∞ε2k+2<∫g dλ+ε.\begin{aligned} S(g,\mathcal{P}) &\leq S(q,\mathcal{P}) =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{m}L_k\\ &\leq\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{m}\lambda(G_k)\\ &=\int q\,d\lambda +\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{m}\lambda(G_k\setminus E_k)\\ &<\int g\,d\lambda+\frac{\varepsilon}{2} +\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^{k+2}} <\int g\,d\lambda+\varepsilon. \end{aligned}

g≥0g\geq0であるから Riemann 和も非負である。▨

補題 5.3. 従属選択公理を仮定する。実数a<ba<bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}とする。f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}を有限値 Lebesgue 可測関数として

∫[a,b]∣f∣ dλ<∞\int_{[a,b]}|f|\,d\lambda<\infty

を仮定する。任意のε>0\varepsilon>0に対して、有限個の値だけをとる Lebesgue 可測単関数φ:[a,b]→K\varphi:[a,b]\to\mathbb{K}が存在して

∫[a,b]∣f−φ∣ dλ<ε\int_{[a,b]}|f-\varphi|\,d\lambda<\varepsilon

を満たす。

証明. 最初にK=R\mathbb{K}=\mathbb{R}とする。各正の整数nnに対して、ffを[−n,n][-n,n]へ切り詰めた後、幅2−n2^{-n}の格子点のうち値を超えない最大の点へ丸めた関数をφn\varphi_nとする。φn\varphi_nは有限個の値だけをとる可測単関数であり、各xxについてφn(x)→f(x)\varphi_n(x)\to f(x)が成り立つ。また、

∣f−φn∣≤2∣f∣+1|f-\varphi_n|\leq2|f|+1

であり、右辺は有限測度空間[a,b][a,b]上で Lebesgue 可積分である。§E9.7 定理 3.2により

∫∣f−φn∣ dλ⟶0.\int|f-\varphi_n|\,d\lambda\longrightarrow0.

したがって、十分大きいnnに対するφn\varphi_nが条件を満たす。

K=C\mathbb{K}=\mathbb{C}の場合には、実部と虚部をそれぞれ誤差ε/2\varepsilon/2未満で有限単関数によって近似する。二つの近似をφ1,φ2\varphi_1,\varphi_2とすると、φ=φ1+iφ2\varphi=\varphi_1+i\varphi_2は有限個の値だけをとり、

∣f−φ∣≤∣Re⁡f−φ1∣+∣Im⁡f−φ2∣|f-\varphi| \leq|\operatorname{Re}f-\varphi_1| +|\operatorname{Im}f-\varphi_2|

から主張した評価を満たす。▨

5.1 証明方針

有限単関数は可測集合の指示関数の有限線形結合であるため HK 可積分であり、積分値は Lebesgue 積分値に一致する。一般の可積分関数を有限単関数でL1L^1近似し、残差のタグ付き和を補題 5.2によって一様に小さくする。

定理 5.4. 従属選択公理を仮定する。実数a≤ba\leq bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}とする。f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}を有限値 Lebesgue 可測関数として

∫[a,b]∣f∣ dλ<∞\int_{[a,b]}|f|\,d\lambda<\infty

を仮定する。このときffは HK 可積分であり、

HK⁡ ⁣∫abf=∫[a,b]f dλ\operatorname{HK}\!\int_a^b f =\int_{[a,b]}f\,d\lambda

が成り立つ。

証明.a=ba=bの場合には、単点集合[a,a][a,a]の Lebesgue 測度が00であるため、有限値関数ffの Lebesgue 積分値は00である。また、定義 1.2により HK 積分値も00である。したがって主張が成り立つ。以下ではa<ba<bとする。ε>0\varepsilon>0をとる。補題 5.3により、有限値単関数φ\varphiを

∫∣f−φ∣ dλ<ε4\int|f-\varphi|\,d\lambda<\frac{\varepsilon}{4}

となるように選ぶ。φ\varphiは可測集合の指示関数の有限線形結合である。補題 5.1と命題 2.3によりφ\varphiは HK 可積分であり、

HK⁡ ⁣∫abφ=∫[a,b]φ dλ\operatorname{HK}\!\int_a^b\varphi =\int_{[a,b]}\varphi\,d\lambda

が成り立つ。

φ\varphiの HK 積分誤差をε/4\varepsilon/4未満にするゲージをδ1\delta_1とする。非負可積分関数g=∣f−φ∣g=|f-\varphi|に補題 5.2を誤差ε/4\varepsilon/4で適用して得るゲージをδ2\delta_2とする。δ=min⁡{δ1,δ2}\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}とおく。任意のδ\delta-fine 分割P\mathcal{P}に対して

∣S(f,P)−∫f dλ∣≤∣S(φ,P)−∫φ dλ∣+S(∣f−φ∣,P)+∣∫(f−φ) dλ∣<ε4+(ε4+ε4)+ε4=ε.\begin{aligned} \left|S(f,\mathcal{P})-\int f\,d\lambda\right| &\leq \left|S(\varphi,\mathcal{P})-\int\varphi\,d\lambda\right|\\ &\quad +S(|f-\varphi|,\mathcal{P}) +\left|\int(f-\varphi)\,d\lambda\right|\\ &<\frac{\varepsilon}{4} +\left(\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{4}\right) +\frac{\varepsilon}{4} =\varepsilon. \end{aligned}

最後の積分の絶対値評価には§E9.7 補題 3.1を用いた。したがって、ffは HK 可積分であり、二つの積分値は一致する。▨

6 HK 関数の可測性

絶対 HK 可積分性の逆向きでは、HK 可積分関数が Lebesgue 可測であることを先に示す。 Lebesgue の微分定理は用いない。Saks–Henstock の補題と、区間に対する次の選択補題から HK 原始関数の導関数をほとんど至る所で同定する。

補題 6.1 (Vitali 型の五倍被覆補題). 従属選択公理を仮定する。実数a<ba<bとし、E⊆[a,b]E\subseteq[a,b]とする。V\mathcal{V}を[a,b][a,b]の正の長さをもつ閉小区間の族とする。任意のx∈Ex\in Eと任意のη>0\eta>0に対して、あるJ∈VJ\in\mathcal{V}が存在して

x∈J,∣J∣<ηx\in J,\qquad |J|<\eta

を満たすと仮定する。このとき、内部が互いに交わらない高々可算個の区間J1,J2,⋯∈VJ_1,J_2,\dots\in\mathcal{V}を選んで

λ∗(E)≤5∑j∣Jj∣\lambda^*(E)\leq5\sum_j|J_j|

とすることができる。とくに、任意のη>0\eta>0に対して、有限個の区間を選んで

∑j=1N∣Jj∣>λ∗(E)5−η\sum_{j=1}^{N}|J_j|>\frac{\lambda^*(E)}5-\eta

とすることができる。

証明.E=∅E=\emptysetの場合には、空の区間族を選べば二つの結論が成り立つ。以下ではE≠∅E\neq\emptysetとする。細分被覆の仮定によりV≠∅\mathcal{V}\neq\emptysetである。残っている区間の長さの上限をsns_nとし、その半分より長い区間JnJ_nを一つ選び、JnJ_nと内部で交わる区間をすべて取り除く操作を繰り返す。操作が有限回で止まる場合には、得られた有限族を用いる。操作が止まらない場合には、従属選択公理によって列(Jn)(J_n)を選ぶ。選ばれた区間の内部は互いに交わらず、

∑n∣Jn∣≤b−a\sum_n|J_n|\leq b-a

であるから∣Jn∣→0|J_n|\to0である。

x∈Ex\in Eをとる。V\mathcal{V}の細分性により、xxを含む任意に短い区間J∈VJ\in\mathcal{V}が存在する。JJが選択過程で一度も取り除かれないならば、すべての十分大きいnnについて∣J∣≤sn<2∣Jn∣|J|\leq s_n<2|J_n|となるはずであり、∣Jn∣→0|J_n|\to0に反する。したがって、JJはあるJnJ_nと内部で交わり、そのnnを最初の段階に選べば∣J∣<2∣Jn∣|J|<2|J_n|である。JnJ_nと同じ中心をもち長さが5∣Jn∣5|J_n|である区間を5Jn5J_nと書く。二つの区間が交わり∣J∣<2∣Jn∣|J|<2|J_n|を満たすことからJ⊆5JnJ\subseteq5J_nである。ゆえに

E⊆⋃n5Jn.E\subseteq\bigcup_n5J_n.

外測度の可算劣加法性から

λ∗(E)≤∑n∣5Jn∣=5∑n∣Jn∣\lambda^*(E)\leq\sum_n|5J_n|=5\sum_n|J_n|

を得る。級数の有限部分和が全和へ増加するため、最後の有限族に関する結論も従う。▨

定理 6.2. 従属選択公理を仮定する。実数a<ba<bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}とする。f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}を有限値 HK 可積分関数とする。

F(x)=HK⁡ ⁣∫axfF(x)=\operatorname{HK}\!\int_a^x f

とおく。このとき、ある Lebesgue 零集合N⊆(a,b)N\subseteq(a,b)が存在し、任意のx∈(a,b)∖Nx\in(a,b)\setminus Nに対して

F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)

が成り立つ。複素数値の場合の微分は、実変数に関するC\mathbb{C}値の差商の極限である。

証明. 各正の整数nnに対して、補題 3.2の誤差を2−n2^{-n}未満にするゲージδn\delta_nを選ぶ。正の整数rrに対して

Er={x∈(a,b)|lim sup⁡y→xy≠x∣F(y)−F(x)y−x−f(x)∣>1r}E_r= \left\{x\in(a,b)\mathrel{}\middle|\mathrel{} \limsup_{\substack{y\to x\\y\neq x}} \left| \frac{F(y)-F(x)}{y-x}-f(x) \right|>\frac1r \right\}

とおく。

nnを固定する。x∈Erx\in E_rと任意のη>0\eta>0に対して、あるy∈(a,b)y\in(a,b)が存在して

0<∣y−x∣<min⁡{η,δn(x)}0<|y-x|<\min\{\eta,\delta_n(x)\}

かつ

∣f(x)∣y−x∣−HK⁡ ⁣∫min⁡{x,y}max⁡{x,y}f∣>∣y−x∣r\left|f(x)|y-x|-\operatorname{HK}\!\int_{\min\{x,y\}}^{\max\{x,y\}}f\right| >\frac{|y-x|}{r}

を満たす。区間JJのタグをxxとすれば(J,x)(J,x)はδn\delta_n-fine である。このような区間全体はErE_rの細分被覆である。

補題 6.1により、任意のη>0\eta>0に対して、内部が互いに交わらない有限個の上記の区間J1,…,JNJ_1,\dots,J_Nを

∑j=1N∣Jj∣>λ∗(Er)5−η\sum_{j=1}^{N}|J_j|>\frac{\lambda^*(E_r)}5-\eta

となるように選ぶことができる。これらはδn\delta_n-fine 部分分割であるから、補題 3.2により

1r∑j=1N∣Jj∣<∑j=1N∣f(τj)∣Jj∣−HK⁡ ⁣∫Jjf∣<2−n.\frac1r\sum_{j=1}^{N}|J_j| < \sum_{j=1}^{N} \left|f(\tau_j)|J_j|-\operatorname{HK}\!\int_{J_j}f\right| <2^{-n}.

η↓0\eta\downarrow0とすると

λ∗(Er)≤5r 2−n.\lambda^*(E_r)\leq5r\,2^{-n}.

nnは任意であるためλ∗(Er)=0\lambda^*(E_r)=0である。

N=⋃r=1∞ErN=\bigcup_{r=1}^{\infty}E_r

も外測度00をもつ。x∉Nx\notin Nならば差商とf(x)f(x)の差の上極限は00であるため、F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)である。▨

系 6.3. 従属選択公理を仮定する。実数a<ba<bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}とする。f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}を有限値 HK 可積分関数とする。このときffは完備 Lebesgue 測度に関して可測である。

証明. 最初に実数値の場合を扱う。HK 原始関数FFは系 3.3により連続である。各正の整数nnに対して

dn(x)={n(F(x+1/n)−F(x)),x+1/n≤b,0,x+1/n>bd_n(x)= \begin{cases} n\bigl(F(x+1/n)-F(x)\bigr),&x+1/n\leq b,\\ 0,&x+1/n>b \end{cases}

とおく。各dnd_nは区分的に Borel 可測であり、

d(x)=lim sup⁡n→∞dn(x)d(x)=\limsup_{n\to\infty}d_n(x)

は§E9.5 定理 4.1により Borel 可測である。定理 6.2により、ある Lebesgue 零集合NNの外でd=fd=fが成り立つ。任意の Borel 集合B⊆RB\subseteq\mathbb{R}に対して

f−1(B)△d−1(B)⊆N.f^{-1}(B)\mathbin{\triangle}d^{-1}(B)\subseteq N.

完備 Lebesgue 測度では零集合の任意の部分集合が可測であるから、§E9.4 定理 4.2によりf−1(B)f^{-1}(B)は Lebesgue 可測である。したがってffは可測である。

複素数値の場合には、定理 6.2を実部と虚部へ適用すると、Re⁡f\operatorname{Re}fとIm⁡f\operatorname{Im}fがそれぞれ零集合の外で連続関数の差商の上極限に一致する。前段落により二つの成分は可測であり、§E9.5 定理 6.1によってffは複素数値可測関数である。▨

7 絶対 HK 可積分性

定義 7.1. 実数a≤ba\leq bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}とする。f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}を有限値関数とする。ffと実数値関数∣f∣|f|がともに HK 可積分であるとき、ffは 絶対 HK 可積分 (absolutely HK integrable) であるという。

絶対値の HK 可積分性から Lebesgue 可積分性を導くため、非負 HK 可積分関数を単関数によって下から評価する。

補題 7.2. 従属選択公理を仮定する。実数a<ba<bとし、h:[a,b]→[0,∞)h:[a,b]\to[0,\infty)を有限値 HK 可積分関数とする。その HK 積分値をHHとする。このときhhは Lebesgue 可測かつ Lebesgue 可積分であり、

∫[a,b]h dλ=H\int_{[a,b]}h\,d\lambda=H

が成り立つ。

証明.系 6.3によりhhは Lebesgue 可測である。非負有限単関数

s=∑j=1mcj1Ej,0≤s≤h,s=\sum_{j=1}^{m}c_j\mathbf{1}_{E_j}, \qquad 0\leq s\leq h,

をとる。ただしcj≥0c_j\geq0であり、E1,…,EmE_1,\dots,E_mは互いに交わらない Lebesgue 可測集合とする。η>0\eta>0を固定する。内側正則性により、コンパクト集合Kj⊆EjK_j\subseteq E_jを

∑j=1mcj(λ(Ej)−λ(Kj))<η\sum_{j=1}^{m}c_j\bigl(\lambda(E_j)-\lambda(K_j)\bigr)<\eta

となるように選ぶ。

hhの HK 積分誤差をη\eta未満にするゲージをδ0\delta_0とする。各x∈[a,b]x\in[a,b]に対して

Cx=⋃{j∣x∉Ej}KjC_x=\bigcup_{\{j\mid x\notin E_j\}}K_j

とおく。CxC_xはxxを含まない有限個のコンパクト集合の和である。空集合に対する距離を+∞+\inftyと約束し、

δ(x)=12min⁡{1,δ0(x),dist⁡(x,Cx)}\delta(x)=\frac12\min\{1,\delta_0(x),\operatorname{dist}(x,C_x)\}

と定めると、δ\deltaはゲージである。すべてのjjとx∉Ejx\notin E_jについて

(x−δ(x),x+δ(x))∩Kj=∅(x-\delta(x),x+\delta(x))\cap K_j=\emptyset

が成り立つ。補題 1.3によりδ\delta-fine 分割P\mathcal{P}をとる。

タグがEjE_jに属する小区間の全長をLjL_jとする。KjK_jの各点を含む小区間のタグはEjE_jに属さなければならないため、λ(Kj)≤Lj\lambda(K_j)\leq L_jである。また、タグがEjE_jに属する小区間上ではh(τ)≥s(τ)=cjh(\tau)\geq s(\tau)=c_jである。したがって、

H+η>S(h,P)≥∑j=1mcjLj≥∑j=1mcjλ(Kj)>∫s dλ−η.\begin{aligned} H+\eta &>S(h,\mathcal{P})\\ &\geq\sum_{j=1}^{m}c_jL_j\\ &\geq\sum_{j=1}^{m}c_j\lambda(K_j)\\ &>\int s\,d\lambda-\eta. \end{aligned}

ゆえに∫s dλ≤H+2η\int s\,d\lambda\leq H+2\etaである。η>0\eta>0は任意であるから

∫s dλ≤H.\int s\,d\lambda\leq H.

非負可測関数の Lebesgue 積分は、その関数以下の非負有限単関数の積分の上限であるため、

∫h dλ≤H<∞.\int h\,d\lambda\leq H<\infty.

したがってhhは Lebesgue 可積分である。定理 5.4をhhへ適用すると、hhの Lebesgue 積分値と HK 積分値は一致する。▨

7.1 証明方針

Lebesgue 可積分関数に対する向きでは、ffと∣f∣|f|の両方へ定理 5.4を適用する。逆向きでは、HK 可積分性からffの可測性を得て、補題 7.2を∣f∣|f|へ適用する。

定理 7.3. 従属選択公理を仮定する。実数a≤ba\leq bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}とする。f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}を有限値関数とする。次の二条件は同値である。

  1. ffは絶対 HK 可積分である。
  2. ffは完備 Lebesgue 測度に関して可測であり、 ∫[a,b]∣f∣ dλ<∞\int_{[a,b]}|f|\,d\lambda<\infty が成り立つ。

二条件が成り立つとき、

HK⁡ ⁣∫abf=∫[a,b]f dλ,HK⁡ ⁣∫ab∣f∣=∫[a,b]∣f∣ dλ\operatorname{HK}\!\int_a^b f =\int_{[a,b]}f\,d\lambda, \qquad \operatorname{HK}\!\int_a^b|f| =\int_{[a,b]}|f|\,d\lambda

が成り立つ。

証明.a=ba=bとする。単点集合[a,a][a,a]は Lebesgue 零集合であり、完備 Lebesgue 測度に関してffの任意の逆像は空集合または単点集合であるから、有限値関数f:[a,a]→Kf:[a,a]\to\mathbb{K}は可測である。また、

∫[a,a]∣f∣ dλ=0\int_{[a,a]}|f|\,d\lambda=0

である。一方、定義 1.2によりffと∣f∣|f|はともに HK 可積分であり、二つの HK 積分値も00である。したがって、二条件と二つの積分値の等式がすべて成り立つ。以下ではa<ba<bとする。

(2)⇒\Rightarrow(1)を示す。第二の条件を仮定する。ffと∣f∣|f|はともに Lebesgue 可積分であるから、定理 5.4により両方とも HK 可積分であり、各積分値が一致する。したがってffは絶対 HK 可積分である。

(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。第一の条件を仮定する。系 6.3によりffは Lebesgue 可測であり、連続な絶対値写像との合成である∣f∣|f|も可測である。補題 7.2を∣f∣|f|へ適用すると

∫∣f∣ dλ=HK⁡ ⁣∫ab∣f∣<∞\int|f|\,d\lambda =\operatorname{HK}\!\int_a^b|f|<\infty

を得る。したがってffは Lebesgue 可積分である。最後に定理 5.4をffへ適用すると、ffの二つの積分値も一致する。▨

8 有限個の特異点をもつ広義 Riemann 積分

広義積分の特異点では関数値を極限の定義に用いない。HK 積分でも有限個の点における値は積分値を変えない。

補題 8.1. 実数a≤ba\leq bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}とする。有限値関数f,g:[a,b]→Kf,g:[a,b]\to\mathbb{K}が有限集合N⊆[a,b]N\subseteq[a,b]の外で一致すると仮定する。ffが HK 可積分ならばggも HK 可積分であり、

HK⁡ ⁣∫abg=HK⁡ ⁣∫abf\operatorname{HK}\!\int_a^b g =\operatorname{HK}\!\int_a^b f

が成り立つ。

証明.a=ba=bの場合には、定義 1.2によりffとggはともに HK 可積分であり、二つの積分値は00である。以下ではa<ba<bとし、N={c1,…,cm}N=\{c_1,\dots,c_m\}と書く。NNが空ならばf=gf=gであるから、ggは HK 可積分であり、二つの積分値は一致する。以下ではm≥1m\geq1とする。ε>0\varepsilon>0に対して、ffの HK 積分誤差をε/2\varepsilon/2未満にするゲージをδ0\delta_0とする。各jjについて

dj=∣f(cj)−g(cj)∣d_j=|f(c_j)-g(c_j)|

とおき、

δ(cj)=12min⁡{δ0(cj),ε8m(1+dj)}\delta(c_j) =\frac12\min\left\{\delta_0(c_j), \frac{\varepsilon}{8m(1+d_j)}\right\}

とする。x∉Nx\notin Nではδ(x)=δ0(x)\delta(x)=\delta_0(x)と定める。

一つの点cjc_jはタグ付き分割の高々二つの小区間のタグになる。各小区間の長さは2δ(cj)2\delta(c_j)未満であるため、任意のδ\delta-fine 分割P\mathcal{P}に対して

∣S(g,P)−S(f,P)∣≤∑j=1m4djδ(cj)<ε2.|S(g,\mathcal{P})-S(f,\mathcal{P})| \leq\sum_{j=1}^{m}4d_j\delta(c_j) <\frac{\varepsilon}{2}.

したがって、

∣S(g,P)−HK⁡ ⁣∫abf∣<ε.\left|S(g,\mathcal{P})-\operatorname{HK}\!\int_a^b f\right|<\varepsilon.

ggは HK 可積分であり、積分値はffの積分値に一致する。▨

片側の Hake 定理では、特異端点へ近づく可算個の帯を取る。各帯に属するタグ付き小区間だけを一つの部分分割とみなし、Saks–Henstock の誤差を可算和が収束するように配分する。

8.1 証明方針

右端点bbより左の各点までの積分をF(x)F(x)とし、F(x)→AF(x)\to Aを仮定する。ゲージは、x<bx<bをタグとする小区間がbbへ到達しないようにする。したがって、分割の最後の小区間だけがタグbbをもち、それより前の小区間の区間積分の和はF(u)F(u)に望遠和として一致する。

定理 8.2 (片側端点に対する Hake の定理). 従属選択公理を仮定する。実数a<ba<bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}とする。有限値関数f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}が任意のc∈(a,b)c\in(a,b)に対して[a,c][a,c]上で HK 可積分であると仮定する。有限な極限

A=lim⁡c↑bHK⁡ ⁣∫acfA=\lim_{c\uparrow b}\operatorname{HK}\!\int_a^c f

が存在するならば、ffは[a,b][a,b]上で HK 可積分であり、

HK⁡ ⁣∫abf=A\operatorname{HK}\!\int_a^b f=A

が成り立つ。

同様に、ffが任意のc∈(a,b)c\in(a,b)に対して[c,b][c,b]上で HK 可積分であり、有限な極限

B=lim⁡c↓aHK⁡ ⁣∫cbfB=\lim_{c\downarrow a}\operatorname{HK}\!\int_c^b f

が存在するならば、ffは[a,b][a,b]上で HK 可積分であり、その積分値はBBである。端点におけるffの任意の有限値は結論を変えない。

証明. 右端点版を証明する。ε>0\varepsilon>0を固定する。狭義単調増加列

a=x0<x1<x2<⋯<b,xn↑ba=x_0<x_1<x_2<\cdots<b, \qquad x_n\uparrow b

を選ぶ。極限の仮定により、ある正の整数n0n_0が存在して

∣HK⁡ ⁣∫auf−A∣<ε4(xn0<u<b)\left|\operatorname{HK}\!\int_a^u f-A\right|<\frac{\varepsilon}{4} \qquad(x_{n_0}<u<b)

が成り立つ。最初の有限個の帯をまとめて番号を付け直すことにより、n0=1n_0=1としてよい。

各正の整数nnに対して、ffは[a,xn+1][a,x_{n+1}]上で HK 可積分である。補題 3.2により、[a,xn+1][a,x_{n+1}]上のゲージγn\gamma_nを、任意のγn\gamma_n-fine 部分分割の誤差がε/2n+3\varepsilon/2^{n+3}未満になるように選ぶ。

x∈[xn−1,xn)x\in[x_{n-1},x_n)に対して

δ(x)=12min⁡{γn(x),xn+1−x,b−x}\delta(x) =\frac12\min\{\gamma_n(x),x_{n+1}-x,b-x\}

と定める。端点bbでは

δ(b)=12min⁡{b−x1,ε4(1+∣f(b)∣)}\delta(b) =\frac12\min\left\{b-x_1,\frac{\varepsilon}{4(1+|f(b)|)}\right\}

と定める。δ\deltaは[a,b][a,b]上のゲージである。

δ\delta-fine 分割P\mathcal{P}をとる。bbを含む最後の小区間のタグがx<bx<bであると、δ(x)<b−x\delta(x)<b-xに反して、その小区間を(x−δ(x),x+δ(x))(x-\delta(x),x+\delta(x))に含めることができない。したがって、最後の小区間は([u,b],b)([u,b],b)の形である。また、δ(b)<b−x1\delta(b)<b-x_1からu>x1u>x_1である。

最後の小区間を除く小区間を、タグが[xn−1,xn)[x_{n-1},x_n)に属するものごとに分ける。第nn群の各小区間は[a,xn+1][a,x_{n+1}]に含まれ、γn\gamma_n-fine である。したがって、補題 3.2から

∑第 n 群∣f(τ)∣J∣−HK⁡ ⁣∫Jf∣<ε2n+3.\sum_{\text{第 }n\text{ 群}} \left|f(\tau)|J|-\operatorname{HK}\!\int_Jf\right| <\frac{\varepsilon}{2^{n+3}}.

分割は有限であるが、右辺をすべての正の整数について加えると、

∣∑J≠[u,b]f(τJ)∣J∣−∑J≠[u,b]HK⁡ ⁣∫Jf∣<ε4.\left| \sum_{J\neq[u,b]}f(\tau_J)|J| -\sum_{J\neq[u,b]}\operatorname{HK}\!\int_Jf \right| <\frac{\varepsilon}{4}.

最後の小区間以外の小区間は[a,u][a,u]を分割するため、区間加法性から

∑J≠[u,b]HK⁡ ⁣∫Jf=HK⁡ ⁣∫auf.\sum_{J\neq[u,b]}\operatorname{HK}\!\int_Jf =\operatorname{HK}\!\int_a^u f.

ゆえに、

∣S(f,P)−A∣≤∣∑J≠[u,b]f(τJ)∣J∣−HK⁡ ⁣∫auf∣+∣HK⁡ ⁣∫auf−A∣+∣f(b)∣(b−u)<ε4+ε4+∣f(b)∣δ(b)<ε.\begin{aligned} |S(f,\mathcal{P})-A| &\leq \left| \sum_{J\neq[u,b]}f(\tau_J)|J| -\operatorname{HK}\!\int_a^u f \right|\\ &\quad+ \left|\operatorname{HK}\!\int_a^u f-A\right| +|f(b)|(b-u)\\ &<\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{4} +|f(b)|\delta(b) <\varepsilon. \end{aligned}

したがって右端点版が成り立つ。

左端点版を右端点版へ帰着する。反射写像R(x)=a+b−xR(x)=a+b-xとg(x)=f(R(x))g(x)=f(R(x))をとる。タグ付き分割の各小区間とタグをRRで反射し、順序を逆にすると、小区間の長さと Riemann 和を保つタグ付き分割を得る。ゲージもδ~(x)=δ(R(x))\widetilde{\delta}(x)=\delta(R(x))によって対応する。したがって、ffの[c,b][c,b]上の HK 積分値はggの[a,R(c)][a,R(c)]上の HK 積分値に一致する。右端点版をggへ適用して反射を戻すと、左端点版を得る。端点値の不変性は補題 8.1から従う。▨

有限個の特異点をもつ広義 Riemann 積分の意味を、主値と区別して定める。

定義 8.3. 実数a<ba<bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}とする。S⊆[a,b]S\subseteq[a,b]を有限集合とし、有限値関数f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}が SSを特異点集合として広義 Riemann 可積分 (improper Riemann integrable with singular setSS) であるとは、次を満たすことをいう。

  1. J⊆[a,b]J\subseteq[a,b]が閉小区間でありJ∩S=∅J\cap S=\emptysetならば、ffはJJ上で Riemann 可積分である。
  2. 各s∈S∩(a,b)s\in S\cap(a,b)について、ssの左側と右側の Riemann 積分の極限がそれぞれ有限値へ収束する。
  3. a∈Sa\in Sまたはb∈Sb\in Sの場合には、対応する内側からの片側極限が有限値へ収束する。

広義積分値は、特異点の間に補助点を一つずつ選び、各特異点へ向かう片側極限と特異点を含まない閉区間上の Riemann 積分を有限個だけ加えた値とする。区間の加法性により、この値は補助点の選び方に依存しない。内部特異点の両側を同じ速さで近づけて相殺させる Cauchy 主値は、この定義に含めない。

定理 8.4. 従属選択公理を仮定する。実数a≤ba\leq bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}とする。有限値関数f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}がa<ba<bの場合に有限集合S⊆[a,b]S\subseteq[a,b]を特異点集合として定義 8.3の意味で広義 Riemann 可積分であると仮定する。このときffは HK 可積分であり、

HK⁡ ⁣∫abf=∫abf(x) dx\operatorname{HK}\!\int_a^b f =\int_a^b f(x)\,dx

が成り立つ。右辺は各特異点で独立に片側極限をとる広義 Riemann 積分であり、条件収束を許す。a=ba=bの場合には、右辺を空の和00と定める。

証明.a=ba=bの場合には、退化区間上の広義積分値を空の和00とし、定義 1.2による HK 積分値も00であるため、主張が成り立つ。以下ではa<ba<bとする。有限集合SSの相異なる点を小さい順に並べ、隣り合う特異点の間に特異点でない補助点を一つずつ選ぶ。これにより、[a,b][a,b]は有限個の閉小区間へ分かれ、各小区間は次のいずれかの形になる。

  1. 特異点を含まず、ffが Riemann 可積分である閉小区間。
  2. 右端点だけが特異点であり、その端点へ向かう広義 Riemann 積分が収束する閉小区間。
  3. 左端点だけが特異点であり、その端点から離れる広義 Riemann 積分が収束する閉小区間。

第一の形には定理 4.2を適用する。第二の形では、特異端点より左の各閉小区間上で Riemann 可積分であるから HK 可積分であり、Riemann 積分値と HK 積分値が一致する。広義 Riemann 積分の片側極限は HK 積分値の片側極限でもあるため、定理 8.2の右端点版を適用することができる。第三の形には同定理の左端点版を適用する。

各小区間上で HK 積分値は対応する通常または広義 Riemann 積分値に一致する。これらの小区間を左からJ1,…,JNJ_1,\dots,J_Nと並べる。N=1N=1ならば、すでに全区間上の HK 可積分性を得ている。N≥2N\geq2ならば、最初にJ1J_1とJ2J_2の共有端点で補題 3.1の第二の条件から第一の条件を導く貼り合わせ方向を適用し、次に得られた区間とJ3J_3を貼り合わせる。この操作を有限回反復すると、[a,b][a,b]上でffは HK 可積分になる。同補題の積分値の等式を各段階で用いるため、全区間の HK 積分値は各部分の通常または広義 Riemann 積分値の和に一致する。補題 8.1により、有限集合SS上で指定した任意の有限値は積分値を変えない。証明では絶対収束を仮定していないため、条件収束する広義 Riemann 積分も含まれる。▨

例 8.5 (条件収束する端点特異積分). 有限値の実数値関数f:[0,1]→Rf:[0,1]\to\mathbb{R}を

f(x)={sin⁡(1/x)x,0<x≤1,0,x=0f(x)= \begin{cases} \dfrac{\sin(1/x)}{x},&0<x\leq1,\\ 0,&x=0 \end{cases}

によって定める。このとき、ffは[0,1][0,1]上で HK 可積分であるが、Lebesgue 可積分ではない。

証明.0<ε<10<\varepsilon<1に対して、置換t=1/xt=1/xにより

∫ε1sin⁡(1/x)x dx=∫11/εsin⁡tt dt.\int_\varepsilon^1\frac{\sin(1/x)}x\,dx =\int_1^{1/\varepsilon}\frac{\sin t}{t}\,dt.

§E9.9 命題 6.1により、右辺はε↓0\varepsilon\downarrow0で収束するが、絶対値の積分は発散する。したがって、定理 8.4によりffは HK 可積分である。一方、同じ置換を各有限区間で行い、単調収束定理§E9.7 定理 1.1によって端点極限を取ると、

∫(0,1]∣f∣ dλ=∫1∞∣sin⁡t∣t dt=∞.\int_{(0,1]}|f|\,d\lambda =\int_1^\infty\frac{|\sin t|}{t}\,dt =\infty.

ゆえにffは Lebesgue 可積分でない。▨

9 すべての導関数を積分する基本定理

Riemann 積分の微積分学の基本定理では、導関数の連続性などを仮定する。HK 積分では、微分可能性の定義そのものが fine 和の誤差評価を与えるため、内部で微分可能な連続関数の導関数を追加の可測性や有界性なしに積分することができる。

9.1 証明方針

内部のタグτ\tauでは、微分の定義をτ\tauの左右へ適用し、

F(v)−F(u)−F′(τ)(v−u)F(v)-F(u)-F'(\tau)(v-u)

を区間の長さに比例する誤差で評価する。端点がタグになる小区間は左右に一つずつしかないため、端点ではFFの連続性と、任意に指定した有限な端点値だけを用いて絶対誤差を制御する。すべてのF(v)−F(u)F(v)-F(u)を加えると望遠和が生じる。

定理 9.1 (Henstock–Kurzweil 積分の微積分学の基本定理). 実数a≤ba\leq bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}とする。F:[a,b]→KF:[a,b]\to\mathbb{K}を連続関数とする。a<ba<bの場合には、FFが(a,b)(a,b)の各点で実変数について微分可能であると仮定する。有限値関数f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}を

f(x)=F′(x)(a<x<b)f(x)=F'(x)\qquad(a<x<b)

によって定める。a<ba<bの場合にはf(a)f(a)とf(b)f(b)に任意の有限値を指定し、a=ba=bの場合には唯一の点におけるf(a)f(a)に任意の有限値を指定する。このときffは[a,b][a,b]上で HK 可積分であり、

HK⁡ ⁣∫abf=F(b)−F(a)\operatorname{HK}\!\int_a^b f=F(b)-F(a)

が成り立つ。K=C\mathbb{K}=\mathbb{C}の場合の微分は、実変数に関する複素数値差商の極限である。

証明.a=ba=bの場合には、定義 1.2によりffの HK 積分値は00であり、F(b)−F(a)=F(a)−F(a)=0F(b)-F(a)=F(a)-F(a)=0である。したがって主張が成り立つ。以下ではa<ba<bとする。ε>0\varepsilon>0をとり、

η=ε2(1+b−a)\eta=\frac{\varepsilon}{2(1+b-a)}

とおく。

各τ∈(a,b)\tau\in(a,b)に対して、半径の集合

Rτ={r∈(0,1]∣任意の y∈[a,b] について、0<∣y−τ∣<r ならば ∣F(y)−F(τ)−f(τ)(y−τ)∣<η∣y−τ∣}\begin{aligned} \mathcal{R}_\tau =\{r\in(0,1]\mid{}& \text{任意の }y\in[a,b]\text{ について、}\\ &0<|y-\tau|<r\text{ ならば } |F(y)-F(\tau)-f(\tau)(y-\tau)| <\eta|y-\tau|\} \end{aligned}

を定める。F′(τ)=f(τ)F'(\tau)=f(\tau)であるからRτ\mathcal{R}_\tauは空でない。rτ=sup⁡Rτr_\tau=\sup\mathcal{R}_\tauとおき、

δ(τ)=rτ2\delta(\tau)=\frac{r_\tau}{2}

と定める。0<δ(τ)<rτ0<\delta(\tau)<r_\tauであるから、上限の定義によりδ(τ)<r\delta(\tau)<rを満たすr∈Rτr\in\mathcal{R}_\tauが存在する。y=τy=\tauでは誤差が00である。したがって、任意のy∈[a,b]y\in[a,b]について

0≤∣y−τ∣<δ(τ)0\leq|y-\tau|<\delta(\tau)

ならば

∣F(y)−F(τ)−f(τ)(y−τ)∣≤η∣y−τ∣|F(y)-F(\tau)-f(\tau)(y-\tau)| \leq\eta|y-\tau|

が成り立つ。

端点では半径の集合

Ra={r∈(0,1]∣任意の y∈[a,b] について、 0≤y−a<r ならば∣F(y)−F(a)∣<ε/8 かつ ∣f(a)∣(y−a)<ε/8},Rb={r∈(0,1]∣任意の y∈[a,b] について、 0≤b−y<r ならば∣F(b)−F(y)∣<ε/8 かつ ∣f(b)∣(b−y)<ε/8}\begin{aligned} \mathcal{R}_a =\{r\in(0,1]\mid{}& \text{任意の }y\in[a,b]\text{ について、 }0\leq y-a<r\text{ ならば}\\ &|F(y)-F(a)|<\varepsilon/8 \text{ かつ }|f(a)|(y-a)<\varepsilon/8\},\\ \mathcal{R}_b =\{r\in(0,1]\mid{}& \text{任意の }y\in[a,b]\text{ について、 }0\leq b-y<r\text{ ならば}\\ &|F(b)-F(y)|<\varepsilon/8 \text{ かつ }|f(b)|(b-y)<\varepsilon/8\} \end{aligned}

を定める。FFの端点での連続性とf(a),f(b)f(a),f(b)の有限性により、Ra\mathcal{R}_aとRb\mathcal{R}_bは空でない。

δ(a)=12sup⁡Ra,δ(b)=12sup⁡Rb\delta(a)=\frac12\sup\mathcal{R}_a, \qquad \delta(b)=\frac12\sup\mathcal{R}_b

と定めると、内部点の場合と同じ上限の議論により、0≤y−a<δ(a)0\leq y-a<\delta(a)ならば

∣F(y)−F(a)∣<ε8,∣f(a)∣(y−a)<ε8,|F(y)-F(a)|<\frac{\varepsilon}{8}, \qquad |f(a)|(y-a)<\frac{\varepsilon}{8},

0≤b−y<δ(b)0\leq b-y<\delta(b)ならば

∣F(b)−F(y)∣<ε8,∣f(b)∣(b−y)<ε8|F(b)-F(y)|<\frac{\varepsilon}{8}, \qquad |f(b)|(b-y)<\frac{\varepsilon}{8}

が成り立つ。このように、各点で条件を満たす半径集合の上限から定めたδ\deltaはゲージであり、各点における半径の非可算な選択を必要としない。

δ\delta-fine 分割

P={([ui,vi],τi)∣1≤i≤n}\mathcal{P}=\{([u_i,v_i],\tau_i)\mid1\leq i\leq n\}

をとる。内部タグτi∈(a,b)\tau_i\in(a,b)に対して、uiu_iとviv_iを微分の評価へ別々に代入すると、

∣F(vi)−F(ui)−f(τi)(vi−ui)∣≤∣F(vi)−F(τi)−f(τi)(vi−τi)∣+∣F(ui)−F(τi)−f(τi)(ui−τi)∣≤η(vi−ui).\begin{aligned} &|F(v_i)-F(u_i)-f(\tau_i)(v_i-u_i)|\\ &\quad\leq |F(v_i)-F(\tau_i)-f(\tau_i)(v_i-\tau_i)|\\ &\qquad+ |F(u_i)-F(\tau_i)-f(\tau_i)(u_i-\tau_i)|\\ &\quad\leq\eta(v_i-u_i). \end{aligned}

タグaaをもつことができるのは最初の小区間だけである。その小区間では、端点の二つの評価から

∣F(vi)−F(a)−f(a)(vi−a)∣<ε4|F(v_i)-F(a)-f(a)(v_i-a)|<\frac{\varepsilon}{4}

を得る。タグbbをもつことができるのは最後の小区間だけであり、同じくその誤差はε/4\varepsilon/4未満である。最初と最後の小区間が同じ場合にも、この小区間は一つのタグしかもたないため、端点誤差を二重に数えない。

区間の増分は望遠和をなし、

∑i=1n(F(vi)−F(ui))=F(b)−F(a)\sum_{i=1}^{n}\bigl(F(v_i)-F(u_i)\bigr)=F(b)-F(a)

が成り立つ。したがって、

∣S(f,P)−(F(b)−F(a))∣≤η∑τi∈(a,b)(vi−ui)+ε2≤η(b−a)+ε2<ε.\begin{aligned} \left|S(f,\mathcal{P})-(F(b)-F(a))\right| &\leq \eta\sum_{\tau_i\in(a,b)}(v_i-u_i) +\frac{\varepsilon}{2}\\ &\leq\eta(b-a)+\frac{\varepsilon}{2} <\varepsilon. \end{aligned}

任意のδ\delta-fine 分割について同じ評価が成り立つため、ffは HK 可積分であり、積分値はF(b)−F(a)F(b)-F(a)である。▨

次の例は、基本定理が Lebesgue 積分の範囲を真に越えることを示す。

例 9.2 (Lebesgue 可積分でない導関数). 実数値関数F:[0,1]→RF:[0,1]\to\mathbb{R}を

F(x)={x2sin⁡(1/x2),0<x≤1,0,x=0F(x)= \begin{cases} x^2\sin(1/x^2),&0<x\leq1,\\ 0,&x=0 \end{cases}

によって定める。f(0)=0f(0)=0とし、0<x<10<x<1でf(x)=F′(x)f(x)=F'(x)とし、f(1)f(1)には任意の有限値を指定する。このときffは HK 可積分であり、

HK⁡ ⁣∫01f=F(1)−F(0)=sin⁡1\operatorname{HK}\!\int_0^1 f=F(1)-F(0)=\sin1

が成り立つ。一方、ffは Lebesgue 可積分でない。

証明.∣F(x)∣≤x2|F(x)|\leq x^2であるからFFは00で連続であり、(0,1)(0,1)では微分可能である。積の微分と連鎖律から

f(x)=2xsin⁡(1/x2)−2xcos⁡(1/x2)(0<x<1)f(x)=2x\sin(1/x^2)-\frac{2}{x}\cos(1/x^2) \qquad(0<x<1)

を得る。比較のため、有限値関数g:[0,1]→Rg:[0,1]\to\mathbb{R}を

g(x)={f(x),0≤x<1,2sin⁡1−2cos⁡1,x=1g(x)= \begin{cases} f(x),&0\leq x<1,\\ 2\sin1-2\cos1,&x=1 \end{cases}

によって定める。任意の0<ε<10<\varepsilon<1に対して、ggは[ε,1][\varepsilon,1]上で連続である。定理 9.1によりggは HK 可積分であり、その積分値はsin⁡1\sin1である。ffとggは端点11以外で一致するため、補題 8.1によりffも HK 可積分であり、その積分値はsin⁡1\sin1である。

0<ε<10<\varepsilon<1に対して、三角不等式から

∫ε1∣g(x)∣ dx≥2∫ε1∣cos⁡(1/x2)∣x dx−2∫ε1x dx.\int_\varepsilon^1|g(x)|\,dx \geq 2\int_\varepsilon^1\frac{|\cos(1/x^2)|}{x}\,dx -2\int_\varepsilon^1x\,dx.

置換t=1/x2t=1/x^2により

2∫ε1∣cos⁡(1/x2)∣x dx=∫11/ε2∣cos⁡t∣t dt.2\int_\varepsilon^1\frac{|\cos(1/x^2)|}{x}\,dx =\int_1^{1/\varepsilon^2}\frac{|\cos t|}{t}\,dt.

各正の整数kkに対して

Ik=[kπ−π/3,kπ+π/3]I_k=[k\pi-\pi/3,k\pi+\pi/3]

とおく。t∈Ikt\in I_kならば∣cos⁡t∣≥1/2|\cos t|\geq1/2であり、

∫Ik∣cos⁡t∣t dt≥π/3kπ+π/3=13k+1.\int_{I_k}\frac{|\cos t|}{t}\,dt \geq \frac{\pi/3}{k\pi+\pi/3} =\frac{1}{3k+1}.

区間IkI_kは内部が互いに交わらず、∑k≥1(3k+1)−1\sum_{k\geq1}(3k+1)^{-1}は発散する。したがって、

∫1∞∣cos⁡t∣t dt=∞.\int_1^\infty\frac{|\cos t|}{t}\,dt=\infty.

一方、2∫01x dx=12\int_0^1x\,dx=1は有限であるため、

lim⁡ε↓0∫ε1∣g(x)∣ dx=∞.\lim_{\varepsilon\downarrow0}\int_\varepsilon^1|g(x)|\,dx=\infty.

各[ε,1][\varepsilon,1]上では、連続関数ggの Riemann 積分と Lebesgue 積分が一致する。また、ggは(0,1](0,1]上で連続であり、{0}\{0\}は Lebesgue 可測であるから、ggは[0,1][0,1]上で Lebesgue 可測である。ffとggが異なり得る集合{1}\{1\}は Lebesgue 零集合であるから、完備 Lebesgue 測度のもとでffも可測であり、

∫[ε,1]∣f∣ dλ=∫[ε,1]∣g∣ dλ\int_{[\varepsilon,1]}|f|\,d\lambda =\int_{[\varepsilon,1]}|g|\,d\lambda

が成り立つ。非負可測関数

hn=∣f∣1[1/n,1]h_n=|f|\mathbf{1}_{[1/n,1]}

はhn↑∣f∣1(0,1]h_n\uparrow |f|\mathbf{1}_{(0,1]}を満たす。§E9.7 定理 1.1を適用すると

∫(0,1]∣f∣ dλ=∞\int_{(0,1]}|f|\,d\lambda=\infty

を得る。したがってffは Lebesgue 可積分でない。▨

10 適用範囲と選択公理

注意 10.1 (本記事の境界). 本記事の定理は有限閉区間と有限値の実数値関数または複素数値関数を対象とする。補題 1.3は実数の上限性だけで証明され、選択公理を用いない。命題 2.2でゲージと分割の列を選ぶ箇所、補題 5.2で可算個の開近似を選ぶ箇所、および補題 6.1の逐次選択では従属選択公理を仮定した。 Lebesgue 測度の外側正則性と内側正則性も、前提記事が明記する従属選択公理のもとで用いた。補題 5.1と補題 5.2の点ごとのゲージは距離の式で定め、定理 9.1の点ごとのゲージは条件を満たす半径集合の上限で定めた。したがって、これら三つのゲージの構成では、区間の非可算個の点にわたる選択原理を用いていない。

絶対 HK 可積分性の特徴づけでは Lebesgue の微分定理を用いていない。定理 6.2は Saks–Henstock の補題と本文で証明した五倍被覆補題だけから導いた。本記事は一般の HK 原始関数の ACG 型の特徴づけを証明せず、その特徴づけを本記事または後続の記事の根拠として用いない。一般のゲージ積分、Denjoy 積分、Banach 空間値積分も扱わない。

11 演習

問題 11.1.

  1. 補題 1.3の集合EEを用いる証明で、c=sup⁡Ec=\sup Eからc=bc=bを導く部分を再構成せよ。b∈Eb\in Eを別に確認する理由も説明せよ。
  2. 補題 3.2で、誤差が非負の小区間と負の小区間を別々の部分分割にする理由を説明し、誤差の絶対値の和を評価せよ。
  3. 可測集合EEに対する補題 5.1のゲージを再構成せよ。タグがEEに属する小区間の和集合がKKを含みGGに含まれることを、それぞれ証明せよ。
  4. 定理 6.2の証明で、差商がf(x)f(x)から離れる区間の全長を Saks–Henstock の誤差で評価し、零集合が得られるまでを示せ。
  5. 補題 7.2の証明を用いて、非負 HK 可積分関数の HK 積分値が非負であることと、その Lebesgue 積分値に一致することを証明せよ。
  6. 定理 8.2の右端点版で、最後の小区間のタグがbbでなければならない理由をゲージの不等式から示せ。残りの区間積分が一つの積分へ望遠和になることも確認せよ。
  7. 定理 9.1の内部タグに対する二つの微分誤差を加え、区間の長さに比例する評価を導け。端点タグに微分可能性を仮定しなくてよい理由も説明せよ。

参考文献

  1. Ralph Henstock, Lectures on the Theory of Integration, World Scientific Publishing, 1988.
  2. Peng Yee Lee and Rudolf Výborný, The Integral: An Easy Approach after Kurzweil and Henstock, Australian Mathematical Society Lecture Series 14, Cambridge University Press, 2000.
  3. Russell A. Gordon, The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, Graduate Studies in Mathematics 4, American Mathematical Society, Providence, 1994.

前提記事