§E9.3外測度と Carathéodory の拡張定理

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測度を直接定義するためには、定義域となるシグマ加法族を先に指定する必要がある。一方、集合を可算個の基本集合で被覆することができる場合には被覆の費用を用い、被覆することができない場合には費用を∞\inftyと定めることにより、全体集合のすべての部分集合に対して被覆費用を定めることができる。外測度は、この被覆費用がもつ三つの性質を抽象化した集合関数である。

本記事は、外測度から Carathéodory 可測集合を選び出し、その集合族上に完全測度を得る。次に、集合環上の前測度から被覆費用を定め、生成シグマ加法族上の測度拡張を構成する。シグマ有限の場合には、π–λ 定理を用いて拡張の一意性を証明する。最後に、この拡張定理を実数直線上の半開区間へ適用し、 Lebesgue–Stieltjes 測度を構成する。

1 外測度と Carathéodory 可測性

外測度の定義域は、固定した集合のべき集合全体である。

定義 1.1.XXを集合とする。関数

μ∗:P(X)⟶[0,∞]\mu^*:\mathcal{P}(X)\longrightarrow[0,\infty]

がXX上の外測度 (outer measure) であるとは、次の三条件が成り立つことをいう。

  1. μ∗(∅)=0\mu^*(\emptyset)=0である。
  2. A⊆B⊆XA\subseteq B\subseteq Xならばμ∗(A)≤μ∗(B)\mu^*(A)\leq\mu^*(B)である。
  3. 任意の部分集合列(An)n≥1(A_n)_{n\geq 1}に対して、 μ∗(⋃n=1∞An)≤∑n=1∞μ∗(An)\mu^*\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right) \leq\sum_{n=1}^{\infty}\mu^*(A_n) が成り立つ。

第二の条件を単調性 (monotonicity)、第三の条件を可算劣加法性 (countable subadditivity) という。右辺の級数は、非負な有限部分和の上限として[0,∞][0,\infty]に値をとる。

外測度は一般には加法的でない。Carathéodory 可測性は、任意の部分集合を内側と外側へ分割したときに外測度が加法的になる集合を選ぶ。

定義 1.2.XX上の外測度μ∗\mu^*を固定する。集合E⊆XE\subseteq Xがμ∗\mu^*に関して Carathéodory 可測 (Carathéodory measurable) であるとは、任意のA⊆XA\subseteq Xに対して

μ∗(A)=μ∗(A∩E)+μ∗(A∖E)\mu^*(A) =\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\setminus E)

が成り立つことをいう。μ∗\mu^*に関して Carathéodory 可測な集合全体を

Mμ∗={ E⊆X∣E は μ∗ に関して Caratheˊodory 可測である }\mathcal{M}_{\mu^*} =\{\,E\subseteq X\mid E\text{ は $\mu^*$ に関して Carathéodory 可測である}\,\}

と書く。

可算和に対する閉性を証明するために、有限個の互いに交わらない可測集合で外測度を反復して分割する。

補題 1.3.XX上の外測度をμ∗\mu^*とする。D1,…,DN∈Mμ∗D_1,\dots,D_N\in\mathcal{M}_{\mu^*}が二つずつ交わらないならば、任意のA⊆XA\subseteq Xに対して

μ∗(A)=∑n=1Nμ∗(A∩Dn)+μ∗(A∖⋃n=1NDn)\mu^*(A) =\sum_{n=1}^{N}\mu^*(A\cap D_n) +\mu^*\left(A\setminus\bigcup_{n=1}^{N}D_n\right)

が成り立つ。

証明.N=1N=1の場合は Carathéodory 可測性の定義そのものである。あるN≥1N\geq 1について等式が成り立つと仮定し、D1,…,DN+1D_1,\dots,D_{N+1}が二つずつ交わらないとする。DN+1D_{N+1}の可測性をA∖⋃n=1NDnA\setminus\bigcup_{n=1}^{N}D_nに適用すると、

μ∗(A∖⋃n=1NDn)=μ∗((A∖⋃n=1NDn)∩DN+1)+μ∗(A∖⋃n=1N+1Dn).\begin{aligned} \mu^*\left(A\setminus\bigcup_{n=1}^{N}D_n\right) &=\mu^*\left( \left(A\setminus\bigcup_{n=1}^{N}D_n\right)\cap D_{N+1} \right)\\ &\quad+\mu^*\left(A\setminus\bigcup_{n=1}^{N+1}D_n\right). \end{aligned}

DN+1D_{N+1}はD1,…,DND_1,\dots,D_Nのいずれとも交わらないので、第一項の集合はA∩DN+1A\cap D_{N+1}に等しい。帰納法の仮定へ上の等式を代入すると、N+1N+1個の集合に対する等式を得る。数学的帰納法により、すべての正の整数NNについて主張が成り立つ。▨

Carathéodory 可測集合全体にはシグマ加法族の構造があり、外測度はこの集合族上で完全な測度になる。

1.1 証明方針

最初に補集合と有限共通部分に対する閉性を直接示す。可算和については、集合列を互いに交わらない列へ分解し、補題 1.3を有限段階で適用してから、有限部分和の上限をとる。同じ有限分割を用いて、外測度の制限の可算加法性を証明する。最後に、外測度が零である可測集合の任意の部分集合が Carathéodory 可測であることを定義から確認する。

定理 1.4.XXを集合とし、μ∗\mu^*をXX上の外測度とする。このとき、Mμ∗\mathcal{M}_{\mu^*}はXX上のシグマ加法族である。また、

μ=μ∗∣Mμ∗\mu=\mu^*|_{\mathcal{M}_{\mu^*}}

はMμ∗\mathcal{M}_{\mu^*}上の完全測度である。

証明. 任意のA⊆XA\subseteq Xに対して

μ∗(A)=μ∗(A∩X)+μ∗(A∖X)=μ∗(A)+μ∗(∅)\mu^*(A)=\mu^*(A\cap X)+\mu^*(A\setminus X) =\mu^*(A)+\mu^*(\emptyset)

であるから、X∈Mμ∗X\in\mathcal{M}_{\mu^*}である。

E∈Mμ∗E\in\mathcal{M}_{\mu^*}とする。任意のA⊆XA\subseteq Xに対して

A∩(X∖E)=A∖E,A∖(X∖E)=A∩EA\cap(X\setminus E)=A\setminus E, \qquad A\setminus(X\setminus E)=A\cap E

である。EEの Carathéodory 可測性の等式で右辺の二項を交換すると、X∖E∈Mμ∗X\setminus E\in\mathcal{M}_{\mu^*}を得る。

次に、E,F∈Mμ∗E,F\in\mathcal{M}_{\mu^*}とし、A⊆XA\subseteq Xを任意にとる。EEの可測性をAAに適用し、続いてFFの可測性をA∩EA\cap EとA∖EA\setminus Eに適用すると、

μ∗(A)=μ∗(A∩E)+μ∗(A∖E)=μ∗(A∩E∩F)+μ∗((A∩E)∖F)+μ∗((A∖E)∩F)+μ∗((A∖E)∖F).\begin{aligned} \mu^*(A) &=\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\setminus E)\\ &=\mu^*(A\cap E\cap F) +\mu^*((A\cap E)\setminus F)\\ &\quad+\mu^*((A\setminus E)\cap F) +\mu^*((A\setminus E)\setminus F). \end{aligned}

最後の三つの集合の和集合はA∖(E∩F)A\setminus(E\cap F)である。可算劣加法性を有限個の集合に適用すると、

μ∗(A)≥μ∗(A∩E∩F)+μ∗(A∖(E∩F))\mu^*(A)\geq \mu^*(A\cap E\cap F)+\mu^*(A\setminus(E\cap F))

を得る。反対向きの不等式は、A=(A∩E∩F)∪(A∖(E∩F))A=(A\cap E\cap F)\cup(A\setminus(E\cap F))と可算劣加法性から従う。したがって、E∩F∈Mμ∗E\cap F\in\mathcal{M}_{\mu^*}である。補集合と有限共通部分に対する閉性から、Mμ∗\mathcal{M}_{\mu^*}は有限和と差集合に対しても閉じている。

E1,E2,⋯∈Mμ∗E_1,E_2,\dots\in\mathcal{M}_{\mu^*}とする。集合列(Dn)n≥1(D_n)_{n\geq 1}を

D1=E1,Dn=En∖⋃k=1n−1Ek(n≥2)D_1=E_1,\qquad D_n=E_n\setminus\bigcup_{k=1}^{n-1}E_k\quad(n\geq 2)

によって定める。有限和と差集合に対する閉性から、各DnD_nはMμ∗\mathcal{M}_{\mu^*}に属する。集合列(Dn)n≥1(D_n)_{n\geq 1}は二つずつ交わらず、

E=⋃n=1∞En=⋃n=1∞DnE=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n =\bigcup_{n=1}^{\infty}D_n

が成り立つ。

任意のA⊆XA\subseteq Xと任意のN≥1N\geq 1に対して、補題 1.3から

μ∗(A)=∑n=1Nμ∗(A∩Dn)+μ∗(A∖⋃n=1NDn)\mu^*(A) =\sum_{n=1}^{N}\mu^*(A\cap D_n) +\mu^*\left(A\setminus\bigcup_{n=1}^{N}D_n\right)

を得る。A∖E⊆A∖⋃n=1NDnA\setminus E\subseteq A\setminus\bigcup_{n=1}^{N}D_nであるから、単調性により

μ∗(A)≥∑n=1Nμ∗(A∩Dn)+μ∗(A∖E)\mu^*(A)\geq \sum_{n=1}^{N}\mu^*(A\cap D_n)+\mu^*(A\setminus E)

である。NNに関する有限部分和の上限をとると、

μ∗(A)≥∑n=1∞μ∗(A∩Dn)+μ∗(A∖E)≥μ∗(A∩E)+μ∗(A∖E)\mu^*(A)\geq \sum_{n=1}^{\infty}\mu^*(A\cap D_n)+\mu^*(A\setminus E) \geq\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\setminus E)

を得る。最後の不等式では、A∩E=⋃n(A∩Dn)A\cap E=\bigcup_n(A\cap D_n)と可算劣加法性を用いた。反対向きの不等式はA=(A∩E)∪(A∖E)A=(A\cap E)\cup(A\setminus E)と可算劣加法性から従う。ゆえに、E∈Mμ∗E\in\mathcal{M}_{\mu^*}である。以上により、Mμ∗\mathcal{M}_{\mu^*}はシグマ加法族である。

次に、μ=μ∗∣Mμ∗\mu=\mu^*|_{\mathcal{M}_{\mu^*}}が測度であることを示す。外測度の第一の条件からμ(∅)=0\mu(\emptyset)=0である。E1,E2,⋯∈Mμ∗E_1,E_2,\dots\in\mathcal{M}_{\mu^*}が二つずつ交わらないとし、E=⋃nEnE=\bigcup_nE_nとする。任意のN≥1N\geq 1に対して補題 1.3をA=EA=Eに適用すると、

μ∗(E)=∑n=1Nμ∗(En)+μ∗(E∖⋃n=1NEn)≥∑n=1Nμ∗(En)\mu^*(E) =\sum_{n=1}^{N}\mu^*(E_n) +\mu^*\left(E\setminus\bigcup_{n=1}^{N}E_n\right) \geq\sum_{n=1}^{N}\mu^*(E_n)

を得る。有限部分和の上限をとることにより、

μ∗(E)≥∑n=1∞μ∗(En)\mu^*(E)\geq\sum_{n=1}^{\infty}\mu^*(E_n)

が成り立つ。外測度の可算劣加法性は反対向きの不等式を与える。したがって、

μ(E)=∑n=1∞μ(En)\mu(E)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(E_n)

であり、μ\muは測度である。

最後に、完備性を示す。Z∈Mμ∗Z\in\mathcal{M}_{\mu^*}、μ(Z)=0\mu(Z)=0とし、N⊆ZN\subseteq Zとする。単調性からμ∗(N)=0\mu^*(N)=0である。任意のA⊆XA\subseteq Xに対して、可算劣加法性と単調性から

μ∗(A)≤μ∗(A∩N)+μ∗(A∖N)=μ∗(A∖N)≤μ∗(A)\mu^*(A) \leq\mu^*(A\cap N)+\mu^*(A\setminus N) =\mu^*(A\setminus N) \leq\mu^*(A)

を得る。ゆえに、N∈Mμ∗N\in\mathcal{M}_{\mu^*}かつμ(N)=0\mu(N)=0である。したがって、μ\muは完全測度である。▨

2 集合環上の前測度

外測度を被覆から構成するために、有限個の集合演算を行うことができる集合環を用いる。

定義 2.1.XXを集合とする。空でない集合族R⊆P(X)\mathcal{R}\subseteq\mathcal{P}(X)がXX上の集合環 (ring of sets) であるとは、任意のR,S∈RR,S\in\mathcal{R}に対して

R∪S∈R,R∖S∈RR\cup S\in\mathcal{R}, \qquad R\setminus S\in\mathcal{R}

が成り立つことをいう。

集合環は∅\emptysetを含み、有限和、有限共通部分、および差集合に対して閉じている。実際、R∖R=∅R\setminus R=\emptysetであり、R∩S=R∖(R∖S)R\cap S=R\setminus(R\setminus S)である。

前測度は、可算和が集合環にとどまる場合に可算加法性を要求する。

定義 2.2.XX上の集合環をR\mathcal{R}とする。関数

μ0:R⟶[0,∞]\mu_0:\mathcal{R}\longrightarrow[0,\infty]

がR\mathcal{R}上の前測度 (premeasure) であるとは、次の二条件が成り立つことをいう。

  1. μ0(∅)=0\mu_0(\emptyset)=0である。
  2. R1,R2,⋯∈RR_1,R_2,\dots\in\mathcal{R}が二つずつ交わらず、さらに⋃n=1∞Rn∈R\bigcup_{n=1}^{\infty}R_n\in\mathcal{R}であるならば、 μ0(⋃n=1∞Rn)=∑n=1∞μ0(Rn)\mu_0\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}R_n\right) =\sum_{n=1}^{\infty}\mu_0(R_n) が成り立つ。

前測度の可算加法性から、有限加法性、単調性、および可算被覆に対する評価が従う。

補題 2.3.XX上の集合環R\mathcal{R}と、R\mathcal{R}上の前測度μ0\mu_0を固定する。このとき、次の性質が成り立つ。

  1. R1,…,RN∈RR_1,\dots,R_N\in\mathcal{R}が二つずつ交わらないならば、 μ0(⋃n=1NRn)=∑n=1Nμ0(Rn)\mu_0\left(\bigcup_{n=1}^{N}R_n\right) =\sum_{n=1}^{N}\mu_0(R_n) が成り立つ。
  2. R,S∈RR,S\in\mathcal{R}かつR⊆SR\subseteq Sならば、μ0(R)≤μ0(S)\mu_0(R)\leq\mu_0(S)である。
  3. R,R1,R2,⋯∈RR,R_1,R_2,\dots\in\mathcal{R}かつR⊆⋃n=1∞RnR\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}R_nならば、 μ0(R)≤∑n=1∞μ0(Rn)\mu_0(R)\leq\sum_{n=1}^{\infty}\mu_0(R_n) が成り立つ。

証明.(1)を示す。n>Nn>Nに対してRn=∅R_n=\emptysetと定める。前測度の可算加法性から

μ0(⋃n=1NRn)=μ0(⋃n=1∞Rn)=∑n=1∞μ0(Rn)=∑n=1Nμ0(Rn)\mu_0\left(\bigcup_{n=1}^{N}R_n\right) =\mu_0\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}R_n\right) =\sum_{n=1}^{\infty}\mu_0(R_n) =\sum_{n=1}^{N}\mu_0(R_n)

を得る。

(2)を示す。集合環の閉性からS∖R∈RS\setminus R\in\mathcal{R}であり、

S=R⊔(S∖R)S=R\mathbin{\sqcup}(S\setminus R)

である。(1)から

μ0(S)=μ0(R)+μ0(S∖R)≥μ0(R)\mu_0(S)=\mu_0(R)+\mu_0(S\setminus R)\geq\mu_0(R)

を得る。

(3)を示す。

Q1=R∩R1,Qn=(R∩Rn)∖⋃k=1n−1Rk(n≥2)Q_1=R\cap R_1,\qquad Q_n=(R\cap R_n)\setminus\bigcup_{k=1}^{n-1}R_k\quad(n\geq 2)

とおく。集合環の閉性から各QnQ_nはR\mathcal{R}に属する。集合列(Qn)n≥1(Q_n)_{n\geq 1}は二つずつ交わらず、被覆の仮定から

R=⋃n=1∞QnR=\bigcup_{n=1}^{\infty}Q_n

が成り立つ。前測度の可算加法性と(2)から、

μ0(R)=∑n=1∞μ0(Qn)≤∑n=1∞μ0(Rn)\mu_0(R) =\sum_{n=1}^{\infty}\mu_0(Q_n) \leq\sum_{n=1}^{\infty}\mu_0(R_n)

を得る。▨

3 被覆から生成される外測度

集合環の元からなる可算列による被覆が存在しない部分集合についても値が定まるように、被覆費用を∞\inftyとする規約を用いる。

定義 3.1.XX上の集合環をR\mathcal{R}とし、R\mathcal{R}上の前測度をμ0\mu_0とする。各A⊆XA\subseteq Xに対して

μ∗(A)=inf⁡{∑n=1∞μ0(Rn) | Rn∈R (n≥1), A⊆⋃n=1∞Rn}\mu^*(A) =\inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty}\mu_0(R_n) \ \middle|\ R_n\in\mathcal{R}\ (n\geq 1),\ A\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}R_n \right\}

と定める。

AAの可算R\mathcal{R}-被覆が存在しない場合には、上の下限を∞\inftyと定める。空集合は、すべての項が空集合である列によって被覆される。

上の被覆費用が外測度であることを、外測度の三条件について個別に証明する。

命題 3.2. 可算選択公理を仮定する。R\mathcal{R}をXX上の集合環とし、μ0:R→[0,∞]\mu_0:\mathcal{R}\to[0,\infty]を前測度とする。このとき、定義 3.1で定めたμ∗\mu^*はXX上の外測度である。

証明. 最初に空集合の値を示す。すべてのn≥1n\geq 1に対してRn=∅R_n=\emptysetと選ぶと、(Rn)n≥1(R_n)_{n\geq 1}は∅\emptysetの被覆であり、被覆費用は00である。μ∗\mu^*は非負値であるから、

μ∗(∅)=0\mu^*(\emptyset)=0

を得る。

次に単調性を示す。A⊆B⊆XA\subseteq B\subseteq Xならば、BBの任意の可算R\mathcal{R}-被覆はAAの被覆でもある。AAに対する下限はBBに対する下限以下であるから、

μ∗(A)≤μ∗(B)\mu^*(A)\leq\mu^*(B)

が成り立つ。

最後に可算劣加法性を示す。部分集合列(An)n≥1(A_n)_{n\geq 1}を任意にとる。∑nμ∗(An)=∞\sum_n\mu^*(A_n)=\inftyならば、μ∗(⋃nAn)≤∞\mu^*(\bigcup_nA_n)\leq\inftyであるため、示すべき不等式が成り立つ。そこで、

∑n=1∞μ∗(An)<∞\sum_{n=1}^{\infty}\mu^*(A_n)<\infty

と仮定し、ε>0\varepsilon>0を固定する。各nnについてμ∗(An)<∞\mu^*(A_n)<\inftyであるから、各AnA_nの可算R\mathcal{R}-被覆全体は空でない。下限の定義と可算選択公理により、集合列(Rn,k)k≥1⊆R(R_{n,k})_{k\geq 1}\subseteq\mathcal{R}を同時に選んで

An⊆⋃k=1∞Rn,k,∑k=1∞μ0(Rn,k)≤μ∗(An)+ε2nA_n\subseteq\bigcup_{k=1}^{\infty}R_{n,k}, \qquad \sum_{k=1}^{\infty}\mu_0(R_{n,k}) \leq\mu^*(A_n)+\frac{\varepsilon}{2^n}

を満たすことができる。集合Z≥1×Z≥1\mathbb{Z}_{\geq 1}\times\mathbb{Z}_{\geq 1}は可算であるから、二重列(Rn,k)n,k≥1(R_{n,k})_{n,k\geq 1}を一つの列として並べることができる。この列は⋃nAn\bigcup_nA_nを被覆する。したがって、

μ∗(⋃n=1∞An)≤∑n=1∞∑k=1∞μ0(Rn,k)≤∑n=1∞μ∗(An)+ε.\begin{aligned} \mu^*\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right) &\leq\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\mu_0(R_{n,k})\\ &\leq\sum_{n=1}^{\infty}\mu^*(A_n)+\varepsilon. \end{aligned}

ε>0\varepsilon>0は任意であるから、

μ∗(⋃n=1∞An)≤∑n=1∞μ∗(An)\mu^*\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right) \leq\sum_{n=1}^{\infty}\mu^*(A_n)

を得る。以上により、外測度の三条件がすべて成り立つ。▨

生成された外測度に対して、集合環の各元は Carathéodory 可測であり、外測度の値は前測度の値に一致する。

3.1 証明方針

集合環の元EEを固定し、任意の被覆集合RnR_nをRn∩ER_n\cap EとRn∖ER_n\setminus Eに分割する。前測度の有限加法性により、分割前後で被覆費用は変わらない。この評価からEEの Carathéodory 可測性を得る。EE自身の外測度については、EEを一つの集合で被覆する評価と、補題 2.3の可算被覆に対する評価とを組み合わせる。

定理 3.3 (Carathéodory の拡張定理). 可算選択公理を仮定する。R\mathcal{R}をXX上の集合環とし、μ0:R→[0,∞]\mu_0:\mathcal{R}\to[0,\infty]を前測度とする。定義 3.1によってμ∗\mu^*を定める。このとき、次の性質が成り立つ。

  1. R⊆Mμ∗\mathcal{R}\subseteq\mathcal{M}_{\mu^*}である。
  2. 任意のR∈RR\in\mathcal{R}に対してμ∗(R)=μ0(R)\mu^*(R)=\mu_0(R)である。
  3. μ=μ∗∣σ(R)\mu=\mu^*|_{\sigma(\mathcal{R})}はσ(R)\sigma(\mathcal{R})上の測度であり、任意のR∈RR\in\mathcal{R}に対してμ(R)=μ0(R)\mu(R)=\mu_0(R)を満たす。

したがって、μ0\mu_0はR\mathcal{R}が生成するシグマ加法族上の測度へ拡張される。

証明.(1)を示す。命題 3.2により、μ∗\mu^*は外測度である。E∈RE\in\mathcal{R}とA⊆XA\subseteq Xを固定する。最初にμ∗(A)=∞\mu^*(A)=\inftyとする。この場合、

μ∗(A∩E)+μ∗(A∖E)≤μ∗(A)\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\setminus E)\leq\mu^*(A)

は自明である。反対向きの不等式は外測度の可算劣加法性から従うため、Carathéodory 可測性の等式が成り立つ。

次にμ∗(A)<∞\mu^*(A)<\inftyとする。この場合、AAの可算R\mathcal{R}-被覆全体は空でない。AAの任意の可算R\mathcal{R}-被覆(Rn)n≥1(R_n)_{n\geq 1}に対して、集合環の閉性から

Rn∩E∈R,Rn∖E∈RR_n\cap E\in\mathcal{R}, \qquad R_n\setminus E\in\mathcal{R}

である。さらに、

A∩E⊆⋃n=1∞(Rn∩E),A∖E⊆⋃n=1∞(Rn∖E)A\cap E\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}(R_n\cap E), \qquad A\setminus E\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}(R_n\setminus E)

である。補題 2.3の有限加法性から

μ0(Rn)=μ0(Rn∩E)+μ0(Rn∖E)\mu_0(R_n)=\mu_0(R_n\cap E)+\mu_0(R_n\setminus E)

であるため、

μ∗(A∩E)+μ∗(A∖E)≤∑n=1∞μ0(Rn∩E)+∑n=1∞μ0(Rn∖E)=∑n=1∞μ0(Rn)\begin{aligned} \mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\setminus E) &\leq\sum_{n=1}^{\infty}\mu_0(R_n\cap E) +\sum_{n=1}^{\infty}\mu_0(R_n\setminus E)\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\mu_0(R_n) \end{aligned}

を得る。AAのすべての可算R\mathcal{R}-被覆について下限をとると、

μ∗(A∩E)+μ∗(A∖E)≤μ∗(A)\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\setminus E)\leq\mu^*(A)

が成り立つ。反対向きの不等式は外測度の可算劣加法性から従う。したがって、いずれの場合にも Carathéodory 可測性の等式が成り立つ。ゆえに、E∈Mμ∗E\in\mathcal{M}_{\mu^*}であり、(1)を得る。

(2)を示す。E∈RE\in\mathcal{R}に対する値を求める。E,∅,∅,…E,\emptyset,\emptyset,\dotsはEEの可算R\mathcal{R}-被覆であるから、

μ∗(E)≤μ0(E)\mu^*(E)\leq\mu_0(E)

である。一方、E⊆⋃nRnE\subseteq\bigcup_nR_nを満たす任意の列(Rn)n≥1⊆R(R_n)_{n\geq 1}\subseteq\mathcal{R}に対して、補題 2.3 (3)から

μ0(E)≤∑n=1∞μ0(Rn)\mu_0(E)\leq\sum_{n=1}^{\infty}\mu_0(R_n)

である。すべての被覆について下限をとるとμ0(E)≤μ∗(E)\mu_0(E)\leq\mu^*(E)を得る。したがって、

μ∗(E)=μ0(E)\mu^*(E)=\mu_0(E)

であり、(2)が成り立つ。

(3)を示す。定理 1.4により、Mμ∗\mathcal{M}_{\mu^*}はR\mathcal{R}を含むシグマ加法族であり、μ∗∣Mμ∗\mu^*|_{\mathcal{M}_{\mu^*}}は測度である。生成シグマ加法族の最小性から

σ(R)⊆Mμ∗\sigma(\mathcal{R})\subseteq\mathcal{M}_{\mu^*}

である。したがって、μ=μ∗∣σ(R)\mu=\mu^*|_{\sigma(\mathcal{R})}は測度であり、(2)からR\mathcal{R}上でμ0\mu_0と一致する。▨

注意 3.4 (完全測度が定まる集合族).定理 1.4が完全性を保証するのはMμ∗\mathcal{M}_{\mu^*}上の測度μ∗∣Mμ∗\mu^*|_{\mathcal{M}_{\mu^*}}である。定理 3.3で得たσ(R)\sigma(\mathcal{R})上の制限は、一般には完全であるとは限らない。

4 シグマ有限な前測度の拡張の一意性

拡張の一意性では、全体集合を有限測度の領域へ局所化する。集合環は有限共通部分に対して閉じているため、 π 系として π–λ 定理を適用することができる。

4.1 証明方針

シグマ有限被覆を有限和によって増加列へ直す。各増加列の項との共通部分をとると、二つの候補測度から有限測度が得られる。有限測度の一致を π–λ 定理で生成シグマ加法族全体へ広げた後、増加列に対する測度の連続性によって局所化を外す。

定理 4.1.XX上の集合環R\mathcal{R}と、前測度μ0:R→[0,∞]\mu_0:\mathcal{R}\to[0,\infty]を固定する。各n≥1n\geq 1に対して

Cn∈R,μ0(Cn)<∞C_n\in\mathcal{R}, \qquad \mu_0(C_n)<\infty

である集合列(Cn)n≥1(C_n)_{n\geq 1}が存在して、

X=⋃n=1∞CnX=\bigcup_{n=1}^{\infty}C_n

が成り立つとする。μ\muとν\nuがσ(R)\sigma(\mathcal{R})上の測度であり、任意のR∈RR\in\mathcal{R}に対して

μ(R)=ν(R)=μ0(R)\mu(R)=\nu(R)=\mu_0(R)

を満たすならば、任意のA∈σ(R)A\in\sigma(\mathcal{R})に対してμ(A)=ν(A)\mu(A)=\nu(A)である。

証明. 各n≥1n\geq 1に対して

En=⋃k=1nCkE_n=\bigcup_{k=1}^{n}C_k

とおく。集合環の有限和に対する閉性からEn∈RE_n\in\mathcal{R}である。集合

Q1=C1,Qk=Ck∖⋃j=1k−1Cj(2≤k≤n)Q_1=C_1,\qquad Q_k=C_k\setminus\bigcup_{j=1}^{k-1}C_j\quad(2\leq k\leq n)

は二つずつ交わらず、Qk⊆CkQ_k\subseteq C_kかつEn=⨆k=1nQkE_n=\bigsqcup_{k=1}^{n}Q_kを満たす。補題 2.3の有限加法性と単調性から

μ0(En)≤∑k=1nμ0(Ck)<∞\mu_0(E_n)\leq\sum_{k=1}^{n}\mu_0(C_k)<\infty

である。また、

E1⊆E2⊆⋯ ,X=⋃n=1∞EnE_1\subseteq E_2\subseteq\cdots, \qquad X=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n

が成り立つ。

nnを固定し、σ(R)\sigma(\mathcal{R})上の集合関数

μn(A)=μ(A∩En),νn(A)=ν(A∩En)\mu_n(A)=\mu(A\cap E_n), \qquad \nu_n(A)=\nu(A\cap E_n)

を定める。μn\mu_nとνn\nu_nは有限測度であり、

μn(X)=μ(En)=μ0(En)=ν(En)=νn(X)<∞\mu_n(X)=\mu(E_n)=\mu_0(E_n)=\nu(E_n)=\nu_n(X)<\infty

を満たす。集合族

Dn={ A∈σ(R)∣μn(A)=νn(A) }\mathcal{D}_n =\{\,A\in\sigma(\mathcal{R})\mid\mu_n(A)=\nu_n(A)\,\}

を考える。

上の全体測度の等式からX∈DnX\in\mathcal{D}_nである。A∈DnA\in\mathcal{D}_nならば、有限測度の差の公式によって

μn(X∖A)=μn(X)−μn(A)=νn(X)−νn(A)=νn(X∖A)\begin{aligned} \mu_n(X\setminus A) &=\mu_n(X)-\mu_n(A)\\ &=\nu_n(X)-\nu_n(A) =\nu_n(X\setminus A) \end{aligned}

である。したがって、X∖A∈DnX\setminus A\in\mathcal{D}_nである。A1,A2,⋯∈DnA_1,A_2,\dots\in\mathcal{D}_nが二つずつ交わらないならば、可算加法性から

μn(⋃j=1∞Aj)=∑j=1∞μn(Aj)=∑j=1∞νn(Aj)=νn(⋃j=1∞Aj)\mu_n\left(\bigcup_{j=1}^{\infty}A_j\right) =\sum_{j=1}^{\infty}\mu_n(A_j) =\sum_{j=1}^{\infty}\nu_n(A_j) =\nu_n\left(\bigcup_{j=1}^{\infty}A_j\right)

である。ゆえに、Dn\mathcal{D}_nは Dynkin 系である。

R∈RR\in\mathcal{R}ならば、集合環の有限共通部分に対する閉性からR∩En∈RR\cap E_n\in\mathcal{R}であり、

μn(R)=μ0(R∩En)=νn(R)\mu_n(R)=\mu_0(R\cap E_n)=\nu_n(R)

である。したがって、R⊆Dn\mathcal{R}\subseteq\mathcal{D}_nである。集合環R\mathcal{R}は空でなく、有限共通部分に対して閉じているので π 系である。§E9.1 定理 4.8により、

σ(R)⊆Dn\sigma(\mathcal{R})\subseteq\mathcal{D}_n

を得る。ゆえに、任意のA∈σ(R)A\in\sigma(\mathcal{R})に対して

μ(A∩En)=ν(A∩En)\mu(A\cap E_n)=\nu(A\cap E_n)

が成り立つ。

最後に、A∩EnA\cap E_nはAAへ増加する。§E9.2 定理 4.1の下からの連続性から

μ(A)=lim⁡n→∞μ(A∩En)=lim⁡n→∞ν(A∩En)=ν(A)\mu(A) =\lim_{n\to\infty}\mu(A\cap E_n) =\lim_{n\to\infty}\nu(A\cap E_n) =\nu(A)

を得る。したがって、μ\muとν\nuはσ(R)\sigma(\mathcal{R})上で一致する。▨

注意 4.2 (シグマ有限被覆の二つの整理法).定理 4.1では、被覆(Cn)n≥1(C_n)_{n\geq 1}を有限和によって増加列(En)n≥1(E_n)_{n\geq 1}へ整理した。互いに交わらない列が必要な場合には、

D1=E1,Dn=En∖En−1(n≥2)D_1=E_1,\qquad D_n=E_n\setminus E_{n-1}\quad(n\geq 2)

と定めることができる。集合環の差集合に対する閉性から各DnD_nはR\mathcal{R}に属し、X=⨆n=1∞DnX=\bigsqcup_{n=1}^{\infty}D_nである。

5 半開区間の集合環

Lebesgue–Stieltjes 測度を構成するために、有界な半開区間の有限非交和からなる集合環を用いる。

定義 5.1.I\mathcal{I}を、空集合と、次の形に表される実数直線の部分集合全体からなる集合族とする。

E=⨆j=1m(aj,bj],m∈Z≥1,aj,bj∈R,aj<bj.E=\bigsqcup_{j=1}^{m}(a_j,b_j], \qquad m\in\mathbb{Z}_{\geq 1},\quad a_j,b_j\in\mathbb{R},\quad a_j<b_j.

ここで、表示に現れる半開区間は二つずつ交わらないものとする。

有限個の端点による分割を用いると、I\mathcal{I}の集合環としての閉性と、生成するシグマ加法族を確認することができる。

命題 5.2.定義 5.1の集合族I\mathcal{I}はR\mathbb{R}上の集合環である。また、

σ(I)=B(R)\sigma(\mathcal{I})=\mathcal{B}(\mathbb{R})

が成り立つ。

証明.E,G∈IE,G\in\mathcal{I}とする。EEまたはGGが空集合である場合、E∪GE\cup GとE∖GE\setminus GはEE、GG、または空集合のいずれかであるため、I\mathcal{I}に属する。そこで、EEとGGがともに空でないとする。EEとGGの表示に現れる端点を小さい順に

t0<t1<⋯<trt_0<t_1<\cdots<t_r

と並べる。各集合は、細分区間(ti−1,ti](t_{i-1},t_i]のうち、その集合に含まれるものの有限和として表される。したがって、E∪GE\cup GとE∖GE\setminus Gも、細分区間の一部の有限和として表される。隣接する細分区間を必要に応じて結合すれば、二つずつ交わらない半開区間の有限和になる。ゆえに、E∪G,E∖G∈IE\cup G,E\setminus G\in\mathcal{I}であり、I\mathcal{I}は集合環である。

各有界半開区間は

(a,b]=(a,∞)∩(−∞,b](a,b]=(a,\infty)\cap(-\infty,b]

と表される。(a,∞)(a,\infty)は開集合であり、(−∞,b](-\infty,b]は閉集合であるから、(a,b](a,b]は Borel 集合である。したがって、

σ(I)⊆B(R)\sigma(\mathcal{I})\subseteq\mathcal{B}(\mathbb{R})

である。反対の包含を示す。任意のa∈Ra\in\mathbb{R}に対して、n>−an>-aを満たす正の整数を用いると

(−∞,a]=⋃n≥1−n<a(−n,a](-\infty,a] =\bigcup_{\substack{n\geq 1\\-n<a}}(-n,a]

である。右辺の各項はI\mathcal{I}に属するので、(−∞,a]∈σ(I)(-\infty,a]\in\sigma(\mathcal{I})である。§E9.1 命題 3.3により、左半直線全体はB(R)\mathcal{B}(\mathbb{R})を生成する。したがって、

B(R)⊆σ(I)\mathcal{B}(\mathbb{R})\subseteq\sigma(\mathcal{I})

である。二つの包含により、主張を得る。▨

6 Lebesgue–Stieltjes 前測度

単調非減少関数の増分を、半開区間の大きさとして用いる。

定義 6.1. 有限実数値関数F:R→RF:\mathbb{R}\to\mathbb{R}が 単調非減少 (monotone nondecreasing) であるとは、任意のx,y∈Rx,y\in\mathbb{R}に対して

x≤y⟹F(x)≤F(y)x\leq y\quad\Longrightarrow\quad F(x)\leq F(y)

が成り立つことをいう。関数FFが 右連続 (right-continuous) であるとは、任意のx∈Rx\in\mathbb{R}に対して

lim⁡h↓0F(x+h)=F(x)\lim_{h\downarrow 0}F(x+h)=F(x)

が成り立つことをいう。

定義 6.2.F:R→RF:\mathbb{R}\to\mathbb{R}を単調非減少な有限実数値関数とする。E∈IE\in\mathcal{I}が

E=⨆j=1m(aj,bj]E=\bigsqcup_{j=1}^{m}(a_j,b_j]

と表示されるとき、

μF0(E)=∑j=1m(F(bj)−F(aj))\mu_F^0(E)=\sum_{j=1}^{m}\bigl(F(b_j)-F(a_j)\bigr)

と定める。また、μF0(∅)=0\mu_F^0(\emptyset)=0と定める。

異なる半開区間表示が同じ集合を表す場合にも、増分の和は一致する。

補題 6.3.F:R→RF:\mathbb{R}\to\mathbb{R}を単調非減少な有限実数値関数とする。このとき、定義 6.2の値μF0(E)\mu_F^0(E)は、任意のE∈IE\in\mathcal{I}についてEEの半開区間表示に依存しない。さらに、μF0\mu_F^0はI\mathcal{I}上で非負値をとり、有限加法的かつ単調である。

証明.E=∅E=\emptysetの場合には、μF0(E)=0\mu_F^0(E)=0は表示に依存せず、非負である。そこで、E≠∅E\neq\emptysetとする。E∈IE\in\mathcal{I}の二つの表示に現れる端点をすべて集め、小さい順にt0<t1<⋯<trt_0<t_1<\cdots<t_rと並べる。各表示の半開区間を端点tit_iで分割する。p<qp<qに対して、中間項が相殺するため

F(tq)−F(tp)=∑i=p+1q(F(ti)−F(ti−1))F(t_q)-F(t_p) =\sum_{i=p+1}^{q}\bigl(F(t_i)-F(t_{i-1})\bigr)

である。したがって、どちらの表示から計算しても、EEに含まれる細分区間(ti−1,ti](t_{i-1},t_i]に対応する増分の和になる。ゆえに、μF0(E)\mu_F^0(E)は表示に依存しない。

FFは単調非減少であるから、各増分F(bj)−F(aj)F(b_j)-F(a_j)は非負であり、μF0(E)≥0\mu_F^0(E)\geq 0である。E1,…,EN∈IE_1,\dots,E_N\in\mathcal{I}が二つずつ交わらない場合にも、すべてのEnE_nが空集合ならば、有限加法性の等式の両辺は00である。少なくとも一つのEnE_nが空でない場合には、すべての空でないEnE_nの表示を共通の端点で細分する。和集合に含まれる細分区間は、各EnE_nに含まれる細分区間の互いに交わらない合併である。したがって、

μF0(⋃n=1NEn)=∑n=1NμF0(En)\mu_F^0\left(\bigcup_{n=1}^{N}E_n\right) =\sum_{n=1}^{N}\mu_F^0(E_n)

を得る。任意のE,G∈IE,G\in\mathcal{I}でE⊆GE\subseteq Gを満たすものに対して、G=E⊔(G∖E)G=E\mathbin{\sqcup}(G\setminus E)である。有限加法性からμF0(E)≤μF0(G)\mu_F^0(E)\leq\mu_F^0(G)である。

さらに、任意のE1,…,EN∈IE_1,\dots,E_N\in\mathcal{I}に対して

Q1=E1,Qn=En∖⋃k=1n−1Ek(2≤n≤N)Q_1=E_1,\qquad Q_n=E_n\setminus\bigcup_{k=1}^{n-1}E_k\quad(2\leq n\leq N)

とおくと、Q1,…,QNQ_1,\dots,Q_Nは二つずつ交わらず、Qn⊆EnQ_n\subseteq E_nである。したがって、有限加法性と単調性から

μF0(⋃n=1NEn)=∑n=1NμF0(Qn)≤∑n=1NμF0(En)\mu_F^0\left(\bigcup_{n=1}^{N}E_n\right) =\sum_{n=1}^{N}\mu_F^0(Q_n) \leq\sum_{n=1}^{N}\mu_F^0(E_n)

を得る。すなわち、μF0\mu_F^0は有限劣加法性も満たす。▨

右連続性は、可算被覆から有限部分被覆を取り出すときに必要となる。半開区間をわずかに右へ広げて開被覆を作り、もとの集合は左端をわずかに右へ動かしてコンパクト集合の内部から近似する。

補題 6.4. 可算選択公理を仮定する。F:R→RF:\mathbb{R}\to\mathbb{R}を単調非減少かつ右連続な有限実数値関数とする。E,E1,E2,⋯∈IE,E_1,E_2,\dots\in\mathcal{I}が

E⊆⋃n=1∞EnE\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n

を満たすならば、

μF0(E)≤∑n=1∞μF0(En)\mu_F^0(E)\leq\sum_{n=1}^{\infty}\mu_F^0(E_n)

が成り立つ。

証明.E=∅E=\emptysetならばμF0(E)=0\mu_F^0(E)=0であり、右辺が∞\inftyならばμF0(E)≤∞\mu_F^0(E)\leq\inftyである。したがって、いずれの場合にも主張が成り立つ。そこで、E≠∅E\neq\emptysetかつ∑nμF0(En)<∞\sum_n\mu_F^0(E_n)<\inftyとし、ε>0\varepsilon>0を固定する。可算選択公理によって、二つずつ交わらない半開区間を用いた表示

E=⨆j=1m(aj,bj],En=⨆k=1mn(cn,k,dn,k]E=\bigsqcup_{j=1}^{m}(a_j,b_j], \qquad E_n=\bigsqcup_{k=1}^{m_n}(c_{n,k},d_{n,k}]

を同時に選ぶ。空集合であるEnE_nについてはmn=0m_n=0とする。

FFは各aja_jで右連続である。したがって、各jjに対して0<ηj<bj−aj0<\eta_j<b_j-a_jを選び、

0≤F(aj+ηj)−F(aj)<ε4m0\leq F(a_j+\eta_j)-F(a_j)<\frac{\varepsilon}{4m}

を満たすことができる。集合

K=⋃j=1m[aj+ηj,bj]K=\bigcup_{j=1}^{m}[a_j+\eta_j,b_j]

は有限個の閉有界区間の和集合であるからコンパクトである。

また、FFは各dn,kd_{n,k}で右連続である。可算選択公理によって、すべてのn≥1n\geq 1と1≤k≤mn1\leq k\leq m_nに対してδn,k>0\delta_{n,k}>0を同時に選び、

0≤F(dn,k+δn,k)−F(dn,k)<ε2n+k+20\leq F(d_{n,k}+\delta_{n,k})-F(d_{n,k}) <\frac{\varepsilon}{2^{n+k+2}}

を満たすことができる。各開区間

(cn,k,dn,k+δn,k)(c_{n,k},d_{n,k}+\delta_{n,k})

は(cn,k,dn,k](c_{n,k},d_{n,k}]を含む。したがって、これらの開区間全体はEEを被覆し、特にK⊆EK\subseteq Eを被覆する。KKのコンパクト性から、有限部分被覆が存在する。その有限部分被覆に現れる添字の集合をSSとする。

集合

Eη=⨆j=1m(aj+ηj,bj]E^{\boldsymbol{\eta}} =\bigsqcup_{j=1}^{m}(a_j+\eta_j,b_j]

はKKに含まれるので、半開区間(cn,k,dn,k+δn,k](c_{n,k},d_{n,k}+\delta_{n,k}]（(n,k)∈S(n,k)\in S）によって被覆される。補題 6.3の有限劣加法性と単調性から

μF0(Eη)≤∑(n,k)∈S(F(dn,k+δn,k)−F(cn,k))≤∑(n,k)∈S(F(dn,k)−F(cn,k))+∑n=1∞∑k=1∞ε2n+k+2≤∑n=1∞μF0(En)+ε4.\begin{aligned} \mu_F^0(E^{\boldsymbol{\eta}}) &\leq\sum_{(n,k)\in S} \bigl(F(d_{n,k}+\delta_{n,k})-F(c_{n,k})\bigr)\\ &\leq\sum_{(n,k)\in S} \bigl(F(d_{n,k})-F(c_{n,k})\bigr) +\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^{n+k+2}}\\ &\leq\sum_{n=1}^{\infty}\mu_F^0(E_n)+\frac{\varepsilon}{4}. \end{aligned}

一方、左端で用いた右連続性から

μF0(E)−μF0(Eη)=∑j=1m(F(aj+ηj)−F(aj))<ε4.\begin{aligned} \mu_F^0(E)-\mu_F^0(E^{\boldsymbol{\eta}}) &=\sum_{j=1}^{m}\bigl(F(a_j+\eta_j)-F(a_j)\bigr)\\ &<\frac{\varepsilon}{4}. \end{aligned}

すべての項は有限実数であるため、この差には未定義な無限量どうしの差が現れない。二つの評価を合わせると

μF0(E)≤∑n=1∞μF0(En)+ε2\mu_F^0(E) \leq\sum_{n=1}^{\infty}\mu_F^0(E_n)+\frac{\varepsilon}{2}

を得る。ε>0\varepsilon>0は任意であるから、求める不等式が成り立つ。▨

可算被覆評価と有限加法性から、μF0\mu_F^0が前測度であることを導く。

定理 6.5. 可算選択公理を仮定する。F:R→RF:\mathbb{R}\to\mathbb{R}を単調非減少かつ右連続な有限実数値関数とする。このとき、定義 6.2で定めた

μF0:I⟶[0,∞)\mu_F^0:\mathcal{I}\longrightarrow[0,\infty)

はI\mathcal{I}上の前測度である。

証明.補題 6.3により、μF0(∅)=0\mu_F^0(\emptyset)=0であり、μF0\mu_F^0は有限加法的である。E1,E2,⋯∈IE_1,E_2,\dots\in\mathcal{I}が二つずつ交わらず、

E=⋃n=1∞En∈IE=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n\in\mathcal{I}

であるとする。任意のN≥1N\geq 1に対して、有限加法性と単調性から

∑n=1NμF0(En)=μF0(⋃n=1NEn)≤μF0(E)\sum_{n=1}^{N}\mu_F^0(E_n) =\mu_F^0\left(\bigcup_{n=1}^{N}E_n\right) \leq\mu_F^0(E)

である。有限部分和の上限をとると、

∑n=1∞μF0(En)≤μF0(E)\sum_{n=1}^{\infty}\mu_F^0(E_n)\leq\mu_F^0(E)

を得る。反対向きの不等式は、補題 6.4を被覆E⊆⋃nEnE\subseteq\bigcup_nE_nに適用して得られる。したがって、

μF0(E)=∑n=1∞μF0(En)\mu_F^0(E)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu_F^0(E_n)

であり、μF0\mu_F^0は前測度である。▨

7 Lebesgue–Stieltjes 測度

半開区間環上の前測度には存在定理を適用することができる。また、半開区間環は実数直線を有限測度の集合で可算被覆するため、一意性定理も適用することができる。

定理 7.1. 可算選択公理を仮定する。F:R→RF:\mathbb{R}\to\mathbb{R}を単調非減少かつ右連続な有限実数値関数とする。このとき、B(R)\mathcal{B}(\mathbb{R})上の測度μF\mu_Fが一意に存在し、任意のa,b∈Ra,b\in\mathbb{R}でa<ba<bであるものに対して

μF((a,b])=F(b)−F(a)\mu_F((a,b])=F(b)-F(a)

を満たす。測度μF\mu_Fは局所有限かつシグマ有限である。

証明.定理 6.5により、μF0\mu_F^0はI\mathcal{I}上の前測度である。定理 3.3と命題 5.2により、μF0\mu_F^0を拡張するB(R)\mathcal{B}(\mathbb{R})上の測度μF\mu_Fが存在する。したがって、

μF((a,b])=μF0((a,b])=F(b)−F(a)\mu_F((a,b])=\mu_F^0((a,b])=F(b)-F(a)

である。

また、

R=⋃n=1∞(−n,n],(−n,n]∈I\mathbb{R}=\bigcup_{n=1}^{\infty}(-n,n], \qquad (-n,n]\in\mathcal{I}

であるから、I\mathcal{I}はR\mathbb{R}を可算被覆する。FFは有限実数値であるから、各n≥1n\geq 1に対して

μF((−n,n])=F(n)−F(−n)<∞\mu_F((-n,n])=F(n)-F(-n)<\infty

である。上の可算被覆と定理 4.1により、拡張は一意であり、μF\mu_Fはシグマ有限である。

最後に、K⊆RK\subseteq\mathbb{R}をコンパクト集合とする。実数直線のコンパクト集合は閉集合であるから、K∈B(R)K\in\mathcal{B}(\mathbb{R})である。また、あるn≥1n\geq 1が存在してK⊆(−n,n]K\subseteq(-n,n]が成り立つ。測度の単調性から

μF(K)≤μF((−n,n])<∞\mu_F(K)\leq\mu_F((-n,n])<\infty

である。任意のx∈Rx\in\mathbb{R}に対して、コンパクト区間[x−1,x+1][x-1,x+1]はxxの開近傍(x−1,x+1)(x-1,x+1)を含み、有限測度をもつ。測度の単調性から

μF((x−1,x+1))≤μF([x−1,x+1])<∞\mu_F((x-1,x+1))\leq\mu_F([x-1,x+1])<\infty

である。したがって、μF\mu_Fは局所有限である。▨

定義 7.2.定理 7.1で構成した測度μF\mu_Fを、関数FFが定める Lebesgue–Stieltjes 測度 (Lebesgue–Stieltjes measure) という。

注意 7.3 (Lebesgue–Stieltjes 構成の範囲). 本記事が証明した性質は、B(R)\mathcal{B}(\mathbb{R})上における測度の存在、一意性、局所有限性、およびシグマ有限性である。本記事は、一般の位相空間上の Radon 測度、Borel 測度の正則性、 Lebesgue–Stieltjes 積分、および Riemann–Stieltjes 積分を扱わない。

右連続な段階関数は、一点に集中する Lebesgue–Stieltjes 測度を与える。

例 7.4 (段階関数が定める測度). 関数F:R→RF:\mathbb{R}\to\mathbb{R}を

F(x)={0,x<0,1,x≥0F(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\ 1,&x\geq 0 \end{cases}

によって定める。FFは単調非減少かつ右連続である。任意のa<ba<bに対して

F(b)−F(a)={1,a<0≤b,0,0∉(a,b]F(b)-F(a) = \begin{cases} 1,&a<0\leq b,\\ 0,&0\notin(a,b] \end{cases}

である。したがって、FFが定める Lebesgue–Stieltjes 測度と§E9.2 例 1.3の Dirac 測度δ0\delta_0は、半開区間の集合環I\mathcal{I}上で一致する。両測度はシグマ有限であるから、定理 4.1により

μF=δ0\mu_F=\delta_0

がB(R)\mathcal{B}(\mathbb{R})上で成り立つ。

8 演習

問題 8.1.

  1. 定理 1.4の可算和に対する閉性の証明で、∑nμ∗(A∩Dn)\sum_n\mu^*(A\cap D_n)からμ∗(A∩E)\mu^*(A\cap E)への不等式に用いた外測度の公理を特定し、不等式の向きを説明する。
  2. X∈RX\in\mathcal{R}かつμ0(X)<∞\mu_0(X)<\inftyであると仮定する。二つの測度拡張の一致を示すために、定理 4.1の局所化でEn=XE_n=Xと選ぶことができる理由を述べる。
  3. 補題 6.4の証明で、右連続性を用いた二種類の端点を挙げる。各端点における近似が、被覆費用のどの誤差を制御するかを説明する。
  4. 単調非減少かつ右連続な有限実数値関数FFと定数c∈Rc\in\mathbb{R}に対して、G=F+cG=F+cが定める Lebesgue–Stieltjes 測度がμF\mu_Fと一致することを、半開区間上の値と拡張の一意性から証明する。

9 まとめ

外測度に対する Carathéodory 可測集合全体はシグマ加法族であり、外測度の制限は完全測度である。集合環上の前測度から、可算被覆の費用の下限によって外測度を構成すると、集合環の各元は Carathéodory 可測になり、外測度は集合環上でもとの前測度に一致する。したがって、前測度は生成シグマ加法族上の測度へ拡張される。

有限な前測度をもつ集合環の元が全体集合を可算被覆する場合、二つの候補測度を有限測度へ局所化し、 π–λ 定理と下からの連続性を適用することによって、拡張の一意性が得られる。単調非減少かつ右連続な有限実数値関数FFの増分F(b)−F(a)F(b)-F(a)は、半開区間(a,b](a,b]の有限非交和からなる集合環上で前測度を定める。この前測度の拡張が、実数直線の Borel 集合族上の局所有限かつシグマ有限な Lebesgue–Stieltjes 測度である。

参考文献

  1. Donald L. Cohn, Measure Theory, 2nd ed., Birkhäuser Advanced Texts Basler Lehrbücher, Birkhäuser, 2013.
  2. Gerald B. Folland, Real Analysis, 2nd ed., Wiley, 1999.

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