収束定理 | 測度と積分 | 天游ヶ丘数理学院

1 単調収束定理

証明では、積分値の増加極限を先に固定する。逆向きの評価を得るため、極限関数を下から抑える任意の非負単関数をとり、その単関数の定数倍を $f_n$ が上回る可測集合を考える。集合列に測度の下からの連続性を適用することにより、積分の定義に現れるすべての非負単関数を回収する。

定理 1.1 (単調収束定理). $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とし、各 $n\geq1$ に対して $f_n:X\to[0,\infty]$ を拡張実数値可測関数とする。すべての $x\in X$ と $n\geq1$ に対して

f_n(x)\leq f_{n+1}(x)

が成り立つと仮定し、

f(x)=\sup_{n\geq1}f_n(x)

と定める。このとき、 $f$ は拡張実数値可測関数であり、

\int_X f_n\,d\mu\uparrow\int_X f\,d\mu

が $[0,\infty]$ において成り立つ。

証明.§E9.5 定理 4.1により、 $f$ は拡張実数値可測関数である。§E9.6 命題 2.2により、数列 $(\int_Xf_n\,d\mu)_{n\geq1}$ は広義単調増加である。その極限を

L=\lim_{n\to\infty}\int_Xf_n\,d\mu\in[0,\infty]

とおく。各 $n$ に対して $f_n\leq f$ であるから、

L\leq\int_Xf\,d\mu

が成り立つ。

逆向きの不等式を示す。 $0\leq\varphi\leq f$ を満たす任意の非負単関数 $\varphi$ と、 $0<c<1$ をとる。 $\varphi$ の正の相異なる値を $a_1,\dots,a_k$ とし、 $A_i=\{\varphi=a_i\}$ とおく。 $\varphi$ が正の値をとらない場合には $\int_X\varphi\,d\mu=0\leq L$ であるから、以下では $k\geq1$ とする。各 $n\geq1$ に対して

E_n=\{x\in X\mid f_n(x)\geq c\varphi(x)\}

とおく。集合 $E_n$ は可測である。実際、

X\setminus E_n =\bigcup_{q\in\mathbb{Q}} \bigl(\{f_n<q\}\cap\{c\varphi>q\}\bigr)

であり、右辺は可測集合の可算和である。また、 $f_n\leq f_{n+1}$ であるから $E_n\subseteq E_{n+1}$ である。

$x\in X$ を固定する。 $\varphi(x)=0$ ならば $x\in E_n$ がすべての $n$ について成り立つ。 $\varphi(x)>0$ ならば

f(x)\geq\varphi(x)>c\varphi(x)

であり、 $f_n(x)\uparrow f(x)$ であるから、 $x\in E_n$ を満たす正の整数 $n$ が存在する。したがって、

E_n\uparrow X

である。

関数 $c\varphi\mathbf{1}_{E_n}$ は非負単関数であり、点ごとに $c\varphi\mathbf{1}_{E_n}\leq f_n$ を満たす。積分の単調性と§E9.6 定義 1.1から、

\int_Xf_n\,d\mu \geq\int_Xc\varphi\mathbf{1}_{E_n}\,d\mu =c\sum_{i=1}^{k}a_i\mu(A_i\cap E_n)

を得る。各 $i$ について $A_i\cap E_n\uparrow A_i$ であるから、§E9.2 定理 4.1の下からの連続性により

\mu(A_i\cap E_n)\uparrow\mu(A_i)

である。すべての $\mu(A_i)$ が有限ならば、通常の有限和の極限をとることができる。いずれかの $\mu(A_i)$ が無限大ならば、対応する一つの項が任意の有限値を超える。したがって、有限個の非負拡張実数の和について極限をとると、

L\geq c\sum_{i=1}^{k}a_i\mu(A_i) =c\int_X\varphi\,d\mu

を得る。

$\int_X\varphi\,d\mu<\infty$ ならば、 $c$ を $1$ へ増加させることにより $L\geq\int_X\varphi\,d\mu$ を得る。 $\int_X\varphi\,d\mu=\infty$ ならば、任意の $c\in(0,1)$ に対して $c\int_X\varphi\,d\mu=\infty$ であるため、 $L=\infty$ である。したがって、いずれの場合にも

L\geq\int_X\varphi\,d\mu

が成り立つ。 $0\leq\varphi\leq f$ を満たすすべての非負単関数について上限をとり、§E9.6 定義 2.1を用いると、

L\geq\int_Xf\,d\mu

を得る。先に得た逆向きの不等式と合わせて $L=\int_Xf\,d\mu$ が成り立つ。▨

2 Fatou の補題

関数列の各末尾に対して点ごとの下限をとると、末尾下限は $n$ とともに増加する。単調収束定理を末尾下限の列へ適用し、各末尾下限を元の各項と比較する。

補題 2.1 (Fatou の補題). $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とし、各 $n\geq1$ に対して $f_n:X\to[0,\infty]$ を拡張実数値可測関数とする。このとき、

\int_X\liminf_{n\to\infty}f_n\,d\mu \leq \liminf_{n\to\infty}\int_Xf_n\,d\mu

が $[0,\infty]$ において成り立つ。

証明. 各 $n\geq1$ に対して

g_n=\inf_{k\geq n}f_k

とおく。§E9.5 定理 4.1により、各 $g_n$ は非負拡張実数値可測関数である。また、 $g_n\leq g_{n+1}$ であり、

\sup_{n\geq1}g_n=\liminf_{n\to\infty}f_n

が点ごとに成り立つ。したがって、定理 1.1により、

\int_X\liminf_{n\to\infty}f_n\,d\mu =\sup_{n\geq1}\int_Xg_n\,d\mu

である。

固定した $n$ とすべての $k\geq n$ に対して $g_n\leq f_k$ である。§E9.6 命題 2.2により、

\int_Xg_n\,d\mu \leq\inf_{k\geq n}\int_Xf_k\,d\mu

を得る。両辺について $n$ に関する上限をとると、

\int_X\liminf_{n\to\infty}f_n\,d\mu \leq \sup_{n\geq1}\inf_{k\geq n}\int_Xf_k\,d\mu =\liminf_{n\to\infty}\int_Xf_n\,d\mu

が成り立つ。▨

3 優収束定理

複素数値関数の場合にも積分の収束を $L^1$ 収束から導くため、最初に積分の絶対値評価を確認する。

補題 3.1. $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とし、 $u:X\to\mathbb{R}$ または $u:X\to\mathbb{C}$ を可積分関数とする。このとき、

\left|\int_Xu\,d\mu\right| \leq\int_X|u|\,d\mu

が成り立つ。

証明. $u$ が実数値関数ならば、 $-|u|\leq u\leq|u|$ が点ごとに成り立つ。§E9.6 命題 3.3を二度適用すると、

-\int_X|u|\,d\mu \leq\int_Xu\,d\mu \leq\int_X|u|\,d\mu

を得る。したがって、主張が成り立つ。

$u$ が複素数値関数である場合を考える。 $I=\int_Xu\,d\mu=0$ ならば、左辺は $0$ であり、右辺は非負であるから主張が成り立つ。 $I\neq0$ ならば

\alpha=\frac{\overline{I}}{|I|}

とおく。 $|\alpha|=1$ であり、§E9.6 定理 3.2と複素積分の定義から

|I| =\operatorname{Re}(\alpha I) =\int_X\operatorname{Re}(\alpha u)\,d\mu

である。点ごとに $\operatorname{Re}(\alpha u)\leq|\alpha u|=|u|$ が成り立つため、§E9.6 命題 3.3により

|I|\leq\int_X|u|\,d\mu

を得る。▨

優収束定理の証明では、収束が成り立たない零集合と、各支配不等式が成り立たない零集合との可算和を一つの零集合にまとめる。零集合上で関数を $0$ に変更した後、 $2g-|\widetilde f_n-\widetilde f|$ に Fatou の補題を適用する。この関数の積分は有限であるため、計算には未定義な $\infty-\infty$ が現れない。

定理 3.2 (優収束定理). $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とし、 $\mathbb{K}$ を $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする。各 $n\geq1$ に対して $f_n:X\to\mathbb{K}$ を有限値可測関数とし、 $f:X\to\mathbb{K}$ も有限値可測関数とする。次の二条件を仮定する。

$f_n(x)\to f(x)$ が $\mu$ に関してほとんど至る所で成り立つ。
一つの非負可積分関数 $g:X\to[0,\infty)$ が存在し、すべての $n\geq1$ に対して $|f_n(x)|\leq g(x)$ が $\mu$ に関してほとんど至る所で成り立つ。

このとき、すべての $f_n$ と $f$ は可積分であり、

\lim_{n\to\infty}\int_X|f_n-f|\,d\mu=0

が成り立つ。さらに、

\lim_{n\to\infty}\int_Xf_n\,d\mu=\int_Xf\,d\mu

が $\mathbb{K}$ において成り立つ。

証明.条件 (a)から、 $\mu(N_0)=0$ を満たす可測集合 $N_0$ が存在し、 $X\setminus N_0$ 上で $f_n\to f$ が点ごとに成り立つ。条件 (b)から、各 $n\geq1$ に対して $\mu(N_n)=0$ を満たす可測集合 $N_n$ が存在し、 $X\setminus N_n$ 上で $|f_n|\leq g$ が成り立つ。

N=\bigcup_{n=0}^{\infty}N_n

とおく。測度の可算劣加法性§E9.2 命題 2.1から $\mu(N)=0$ である。

各 $n\geq1$ に対して

\widetilde f_n(x)= \begin{cases} f_n(x),&x\in X\setminus N,\\ 0,&x\in N, \end{cases} \qquad \widetilde f(x)= \begin{cases} f(x),&x\in X\setminus N,\\ 0,&x\in N \end{cases}

と定める。実数値関数の場合には $\widetilde f_n=f_n\mathbf{1}_{X\setminus N}$ と $\widetilde f=f\mathbf{1}_{X\setminus N}$ であるから、指示関数の可測性と§E9.5 命題 3.1により両関数は可測である。複素数値関数の場合にも、実部と虚部へ同じ議論を適用し、§E9.5 定理 6.1を用いると可測性を得る。したがって、 $\widetilde f_n$ と $\widetilde f$ は有限値可測関数である。すべての $x\in X$ に対して

\widetilde f_n(x)\to\widetilde f(x), \qquad |\widetilde f_n(x)|\leq g(x)

が成り立つ。絶対値の連続性から $|\widetilde f|\leq g$ も点ごとに成り立つ。

§E9.6 命題 2.2により、

\int_X|\widetilde f_n|\,d\mu\leq\int_Xg\,d\mu<\infty, \qquad \int_X|\widetilde f|\,d\mu\leq\int_Xg\,d\mu<\infty.

また、 $|f_n|=|\widetilde f_n|$ および $|f|=|\widetilde f|$ が $X\setminus N$ 上で成り立つ。非負可測関数に対する§E9.6 定理 4.2により、

\int_X|f_n|\,d\mu=\int_X|\widetilde f_n|\,d\mu, \qquad \int_X|f|\,d\mu=\int_X|\widetilde f|\,d\mu.

したがって、すべての $f_n$ と $f$ は可積分である。

h_n=|\widetilde f_n-\widetilde f|

とおく。各 $h_n$ は非負可測関数であり、点ごとに $h_n\to0$ かつ $0\leq h_n\leq2g$ が成り立つ。積分の単調性から

\int_Xh_n\,d\mu\leq2\int_Xg\,d\mu<\infty

であるため、各 $h_n$ は可積分である。したがって、 $2g-h_n$ は非負可積分関数であり、点ごとに $2g$ へ収束する。補題 2.1を列 $(2g-h_n)_{n\geq1}$ へ適用し、§E9.6 定理 3.2を用いると、

\begin{aligned} 2\int_Xg\,d\mu &=\int_X2g\,d\mu\\ &\leq\liminf_{n\to\infty}\int_X(2g-h_n)\,d\mu\\ &=2\int_Xg\,d\mu-\limsup_{n\to\infty}\int_Xh_n\,d\mu. \end{aligned}

を得る。最後の等号では、有限な実数 $C$ と実数列 $(a_n)$ に対する $\liminf_n(C-a_n)=C-\limsup_na_n$ を用いた。 $\int_Xg\,d\mu$ は有限であるため、この計算には無限量どうしの差が現れない。各 $\int_Xh_n\,d\mu$ は非負であるから、

\lim_{n\to\infty}\int_Xh_n\,d\mu=0

である。

$|f_n-f|=h_n$ が $X\setminus N$ 上で成り立つ。非負可測関数に対する§E9.6 定理 4.2により、

\int_X|f_n-f|\,d\mu=\int_Xh_n\,d\mu

である。したがって、

\lim_{n\to\infty}\int_X|f_n-f|\,d\mu=0

を得る。

§E9.6 定理 3.2と補題 3.1から、

\left|\int_Xf_n\,d\mu-\int_Xf\,d\mu\right| =\left|\int_X(f_n-f)\,d\mu\right| \leq\int_X|f_n-f|\,d\mu

が成り立つ。右辺は $0$ へ収束するため、

\int_Xf_n\,d\mu\to\int_Xf\,d\mu

を得る。▨

次の例では、優収束定理の仮定を直接確認する。

例 3.3 (有界区間上の冪関数). $[0,1]$ に Lebesgue 測度 $\lambda$ を入れ、 $f_n(x)=x^n$ とする。各 $f_n$ は可測であり、

f_n(x)\to \begin{cases} 0,&0\leq x<1,\\ 1,&x=1 \end{cases}

が点ごとに成り立つ。また、すべての $n\geq1$ と $x\in[0,1]$ に対して $|f_n(x)|\leq1$ であり、定数関数 $1$ は $[0,1]$ 上で可積分である。定理 3.2と§E9.6 定理 4.2により、

\lim_{n\to\infty}\int_{[0,1]}x^n\,d\lambda=0

を得る。

支配関数の仮定を外すと、各点収束が成り立っても積分の収束は失敗しうる。

例 3.4 (可積分な共通支配関数が存在しない列). $[0,1]$ に Lebesgue 測度 $\lambda$ を入れ、

f_n=n\mathbf{1}_{(0,1/n)}

と定める。各 $n\geq1$ に対して

\int_{[0,1]}f_n\,d\lambda=1

である。一方、 $x=0$ ではすべての $n$ について $f_n(x)=0$ であり、 $x>0$ では十分大きい $n$ に対して $x\notin(0,1/n)$ である。したがって、 $f_n\to0$ が点ごとに成り立つ。

すべての $n$ に対して $f_n\leq g$ がほとんど至る所で成り立つ非負可積分関数 $g$ が存在すると仮定する。各 $n$ の例外零集合の可算和を $N$ とすると、 $\lambda(N)=0$ であり、 $[0,1]\setminus N$ 上ではすべての支配不等式が同時に成り立つ。 $x\in(0,1/4]\setminus N$ とし、

n=\left\lfloor\frac{1}{2x}\right\rfloor

とおく。 $n<1/x$ であるから $x\in(0,1/n)$ であり、

g(x)\geq f_n(x)=n\geq\frac{1}{4x}

である。

$k\geq2$ に対して $I_k=(2^{-(k+1)},2^{-k}]$ とおく。任意の正の整数 $M\geq2$ に対して、非負単関数

s_M=\sum_{k=2}^{M}2^{k-2}\mathbf{1}_{I_k\setminus N}

は $s_M\leq g$ を満たす。また、 $\lambda(I_k\setminus N)=\lambda(I_k)=2^{-(k+1)}$ であるから、

\int_{[0,1]}g\,d\lambda \geq\int_{[0,1]}s_M\,d\lambda =\sum_{k=2}^{M}2^{k-2}2^{-(k+1)} =\frac{M-1}{8}.

$M$ は任意であるため、 $\int g\,d\lambda=\infty$ となり、 $g$ の可積分性に反する。したがって、この列を全項同時に抑える可積分関数は存在しない。実際、

\lim_{n\to\infty}\int_{[0,1]}f_n\,d\lambda=1 \neq0=\int_{[0,1]}\lim_{n\to\infty}f_n\,d\lambda

である。Fatou の補題の不等式では、この例の左辺は $0$ 、右辺は $1$ となり、等号は成り立たない。

4 演習

問題 4.1.

定理 1.1の証明で $0<c<1$ を固定する理由を説明せよ。また、 $\int_X\varphi\,d\mu=\infty$ の場合にも下側評価が成立することを、証明中の不等式から示せ。
補題 2.1の証明で、 $g_n=\inf_{k\geq n}f_k$ が可測で広義単調増加であることを示し、積分の単調性を適用して結論までの不等式を再構成せよ。
定理 3.2の証明で、支配不等式の例外集合を $n$ ごとに別々のまま扱わず、一つの零集合へまとめる必要がある理由を説明せよ。さらに、Fatou の補題を $2g-|\widetilde f_n-\widetilde f|$ へ適用して $L^1$ 収束を導け。

5 適用範囲

単調収束定理と Fatou の補題は、測度空間の有限性またはシグマ有限性を仮定しない。単調収束定理では点ごとの増加を仮定し、Fatou の補題では非負性だけを仮定する。優収束定理では、ほとんど至る所での収束と、一つの可積分関数による全項の支配との双方が必要である。

一様可積分性によって支配関数の仮定を置き換える収束定理と Vitali の収束定理は、本記事では扱わず、「測度論続論」で扱う。本記事の証明は、後続の関数列の収束概念を前提として用いない。

§E9.7収束定理

1 単調収束定理

2 Fatou の補題

3 優収束定理

4 演習

5 適用範囲

参考文献

前提記事