L^p の完備性と稠密性 | 測度と積分

1 $L^p$ 空間の完備性

§E2.5 定義 1.1によれば、完備性を示すには、 $L^p(\mu)$ の任意の Cauchy 列が $L^p(\mu)$ の元へノルム収束することを示せばよい。有限な $p$ と $p=\infty$ では、点ごとの極限を得る仕組みが異なる。有限な $p$ では差分の絶対値の級数を積分で制御し、 $p=\infty$ では差分を同じ零集合の外で一様に制御する。

定理 1.1 (Riesz–Fischer の定理). 可算選択公理を仮定する。任意の測度空間 $(X,\mathcal F,\mu)$ 、 $\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$ 、および $1\leq p\leq\infty$ に対して、 $L^p(X,\mathcal F,\mu;\mathbb K)$ は完備なノルム空間である。

可算選択公理を用いる箇所は、 $L^p$ の Cauchy 列の各同値類から有限値可測な代表元を一つずつ選ぶ箇所だけである。以下で用いる部分列の添字は、Cauchy 条件を満たす自然数の集合の最小元として定める。

証明. $(u_n)_{n\geq 1}$ を $L^p(\mu;\mathbb K)$ の Cauchy 列とする。可算選択公理により、各 $n$ に対して $u_n=[f_n]$ を満たす有限値可測関数 $f_n:X\to\mathbb K$ を同時に選ぶ。

最初に $1\leq p<\infty$ とする。各 $k\geq 1$ に対して

A_k =\left\{r\in\mathbb Z_{\geq 1}\ \middle|\ \forall m,n\geq r,\ \lVert u_m-u_n\rVert_p<2^{-k}\right\}

とおく。Cauchy 条件により $A_k$ は空でない。 $n_1=\min A_1$ とし、 $n_k$ を定めた後に

n_{k+1} =\min\{r\in A_{k+1}\mid r>n_k\}

と定める。右辺の集合は空でないから、この再帰的な定義は可能である。自然数の最小元を用いているため、この添字の構成は新たな選択公理を必要としない。 $n_k\in A_k$ かつ $n_{k+1}>n_k$ であるから、

\lVert u_{n_{k+1}}-u_{n_k}\rVert_p<2^{-k}. \tag{1}

可測関数

d_k=|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}|, \qquad S_N=\sum_{k=1}^{N}d_k

を定める。有限和に対する Minkowski の不等式§E9.12 定理 5.1と (1) により、

\lVert S_N\rVert_p \leq\sum_{k=1}^{N} \lVert f_{n_{k+1}}-f_{n_k}\rVert_p <\sum_{k=1}^{N}2^{-k}<1 \tag{2}

である。 $S_N^p$ は非負可測関数の単調増加列である。単調収束定理§E9.7 定理 1.1と (2) を用いると、

\int_X\left(\sum_{k=1}^{\infty}d_k\right)^p\,d\mu =\lim_{N\to\infty}\int_X S_N^p\,d\mu \leq 1. \tag{3}

$S=\sum_{k=1}^{\infty}d_k$ とおく。(3) から $S<\infty$ がほとんど至る所で成り立つことを確認する。 $Z=\{x\in X\mid S(x)=\infty\}$ とおけば、任意の正の整数 $q$ に対して $q\mathbf 1_Z\leq S^p$ である。積分の単調性により

q\mu(Z)\leq\int_X S^p\,d\mu\leq 1

であるから、 $\mu(Z)=0$ である。

$x\in X\setminus Z$ では

\sum_{k=1}^{\infty} |f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_k}(x)|<\infty

である。 $\mathbb K=\mathbb R$ の場合には、差分の絶対値級数が収束するため $(f_{n_k}(x))_k$ は Cauchy 列であり、実数の完備性により収束する。 $\mathbb K=\mathbb C$ の場合には、

\sum_{k=1}^{\infty} \left|\operatorname{Re}\bigl(f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_k}(x)\bigr)\right| \leq \sum_{k=1}^{\infty} |f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_k}(x)|<\infty

が成り立ち、虚部についても同じ評価が成り立つ。したがって、実部の列と虚部の列はそれぞれ実数の Cauchy 列であり、実数の完備性により収束する。ゆえに $(f_{n_k}(x))_k$ は複素数列として収束する。そこで

f(x)= \begin{cases} \displaystyle\lim_{k\to\infty}f_{n_k}(x),&x\in X\setminus Z,\\ 0,&x\in Z \end{cases}

と定める。 $\mathbf 1_{X\setminus Z}f_{n_k}$ は有限値可測関数であり、この列は $X$ のすべての点で $f$ へ収束する。実数値の場合は可測関数の極限に関する§E9.5 定理 4.1により $f$ は可測である。複素数値の場合は実部と虚部に同じ結果を適用し、§E9.5 定理 6.1を用いると、やはり $f$ は可測である。

固定した $j\geq 1$ に対して

T_{j,N}=\sum_{k=j}^{N}d_k, \qquad T_j=\sum_{k=j}^{\infty}d_k

とおく。再び有限和の Minkowski の不等式と単調収束定理を用いると、

\int_X T_j^p\,d\mu =\lim_{N\to\infty}\int_X T_{j,N}^p\,d\mu \leq \left(\sum_{k=j}^{\infty}2^{-k}\right)^p =2^{p(1-j)}. \tag{4}

$X\setminus Z$ 上の望遠鏡和から

|f-f_{n_j}|\leq T_j

である。零集合 $Z$ を無視して積分の単調性を適用し、(4) を用いると、

\lVert f-f_{n_j}\rVert_p\leq 2^{1-j}\longrightarrow 0 \tag{5}

を得る。とくに $f-f_{n_1}\in L^p(\mu;\mathbb K)$ である。 $f_{n_1}\in L^p(\mu;\mathbb K)$ と§E9.12 命題 3.4により $f\in L^p(\mu;\mathbb K)$ である。

部分列だけでなくもとの列が $[f]$ へ収束することを示す。 $\varepsilon>0$ を任意にとる。 $(u_n)$ は Cauchy 列であるから、 $m,n\geq N$ なら $\lVert u_m-u_n\rVert_p<\varepsilon/2$ となる $N$ が存在する。(5) により、 $n_j\geq N$ かつ $\lVert u_{n_j}-[f]\rVert_p<\varepsilon/2$ を満たす $j$ を選ぶことができる。したがって、 $n\geq N$ ならば

\lVert u_n-[f]\rVert_p \leq\lVert u_n-u_{n_j}\rVert_p+\lVert u_{n_j}-[f]\rVert_p <\varepsilon

である。よって $u_n\to[f]$ が成り立つ。

次に $p=\infty$ とする。有限な $p$ の場合と同じ集合

A_k =\left\{r\in\mathbb Z_{\geq 1}\ \middle|\ \forall m,n\geq r,\ \lVert u_m-u_n\rVert_\infty<2^{-k}\right\}

を用い、 $n_1=\min A_1$ 、 $n_{k+1}=\min\{r\in A_{k+1}\mid r>n_k\}$ と定める。このとき

\lVert u_{n_{k+1}}-u_{n_k}\rVert_\infty<2^{-k}. \tag{6}

§E9.12 補題 2.2を $f_{n_{k+1}}-f_{n_k}$ へ適用すると、

|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}| \leq\lVert u_{n_{k+1}}-u_{n_k}\rVert_\infty <2^{-k}

がほとんど至る所で成り立つ。そこで、可測集合

Z_k =\left\{x\in X\ \middle|\ |f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_k}(x)|\geq2^{-k}\right\}

を正準的に定める。直前のほとんど至る所での評価により $\mu(Z_k)=0$ であり、

|f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_k}(x)|<2^{-k} \qquad(x\in X\setminus Z_k) \tag{7}

が成り立つ。 $Z=\bigcup_{k=1}^{\infty}Z_k$ とおく。測度の可算劣加法性§E9.2 命題 2.1により $\mu(Z)=0$ である。(7) から、 $X\setminus Z$ 上では $(f_{n_k})_k$ は一様 Cauchy 列である。各点で実数または複素数の完備性を用い、有限な $p$ の場合と同様に零集合 $Z$ 上で値を $0$ と定めると、有限値可測関数 $f$ を得る。さらに、 $x\in X\setminus Z$ に対して

|f(x)-f_{n_j}(x)| \leq\sum_{k=j}^{\infty}2^{-k} =2^{1-j} \tag{8}

である。(8) と§E9.12 補題 2.2から

\lVert f-f_{n_j}\rVert_\infty\leq 2^{1-j}\longrightarrow 0 \tag{9}

を得る。 $f-f_{n_1}\in L^\infty$ かつ $f_{n_1}\in L^\infty$ であるから、§E9.12 命題 3.4により $f\in L^\infty$ である。最後に、有限な $p$ の場合と同じ $\varepsilon/2$ の議論を (9) へ適用すると、もとの列全体が $[f]$ へ $L^\infty$ ノルムで収束する。

以上により、すべての $1\leq p\leq\infty$ について $L^p(\mu;\mathbb K)$ は完備である。▨

有限な $p$ の証明では、単調収束定理が差分の級数を一つの $L^p$ 関数として制御した。 $p=\infty$ の証明では、可算個の例外零集合の合併を取り除くことによって、同じ役割を点ごとの一様評価が果たした。後者では積分の収束定理を用いていない。

2 単関数の稠密性

実数値の場合の単関数は§E9.5 定義 5.1で定めた。複素数値の場合にも、値域の有限性によって単関数を定める。

定義 2.1. $(X,\mathcal F)$ を可測空間とする。複素数値可測関数 $s:X\to\mathbb C$ の像 $s(X)$ が有限集合であるとき、 $s$ を複素単関数 (complex simple function) という。この条件は、 $\operatorname{Re}s$ と $\operatorname{Im}s$ がともに§E9.5 定義 5.1の実数値単関数であることと同値である。

定理 2.2. $(X,\mathcal F,\mu)$ を任意の測度空間、 $\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$ とし、 $1\leq p<\infty$ とする。 $L^p(\mu;\mathbb K)$ に属する $\mathbb K$ 値単関数全体は $L^p(\mu;\mathbb K)$ で稠密である。すなわち、任意の $[f]\in L^p(\mu;\mathbb K)$ と $\varepsilon>0$ に対して、 $[s]\in L^p(\mu;\mathbb K)$ である単関数 $s$ が存在して

\lVert f-s\rVert_p<\varepsilon

を満たす。この結論には、 $\mu(X)<\infty$ も、 $\mu$ のシグマ有限性も必要ない。

証明. 最初に $\mathbb K=\mathbb R$ とする。 $f$ の正部分と負部分を

f^+=\max\{f,0\}, \qquad f^-=\max\{-f,0\}

と書く。非負単関数による増加近似§E9.5 定理 5.3を $f^+$ と $f^-$ へ適用し、

0\leq a_n\uparrow f^+, \qquad 0\leq b_n\uparrow f^-

を満たす非負単関数列をとる。 $s_n=a_n-b_n$ とおけば、 $s_n$ は実数値単関数であり、 $s_n\to f$ が各点で成り立つ。 $f^+$ と $f^-$ は同じ点で同時に正にならず、 $a_n\leq f^+$ 、 $b_n\leq f^-$ であるから、

|s_n|=a_n+b_n\leq f^++f^-=|f| \tag{10}

である。同様に、 $f-s_n=(f^+-a_n)-(f^--b_n)$ であり、二つの括弧内の関数は同じ点で同時に正にならないため、

|f-s_n|=(f^+-a_n)+(f^--b_n)\leq|f|

である。したがって、

|f-s_n|^p\longrightarrow 0, \qquad |f-s_n|^p\leq |f|^p \tag{11}

が点ごとに成り立つ。 $[f]\in L^p$ であるから $|f|^p$ は可積分である。優収束定理§E9.7 定理 3.2を (11) へ適用すると、

\lVert f-s_n\rVert_p^p =\int_X|f-s_n|^p\,d\mu\longrightarrow 0. \tag{12}

さらに、(10) と積分の単調性により

\int_X|s_n|^p\,d\mu \leq\int_X|f|^p\,d\mu<\infty

である。したがって、近似に用いた各 $s_n$ 自身が $L^p(\mu;\mathbb R)$ に属する。 (12) から、任意の $\varepsilon>0$ に対して所要の $s_n$ を選ぶことができる。

次に $\mathbb K=\mathbb C$ とする。 $f=u+iv$ と書く。§E9.5 定理 6.1により $u$ と $v$ は実数値可測関数であり、 $|u|\leq|f|$ 、 $|v|\leq|f|$ であるから、両者は $L^p(\mu;\mathbb R)$ に属する。前段落の構成を $u$ と $v$ に適用し、単関数列 $(a_n)$ 、 $(b_n)$ で

a_n\to u,\qquad b_n\to v, \qquad |a_n|\leq|u|,\quad |b_n|\leq|v|, \qquad |u-a_n|\leq|u|,\quad |v-b_n|\leq|v|

を満たすものをとる。 $s_n=a_n+ib_n$ とおくと、 $s_n$ は有限個の複素数だけを値としてとる可測関数であるから複素単関数であり、 $s_n\to f$ が各点で成り立つ。また、

|s_n| \leq|a_n|+|b_n| \leq|u|+|v| \leq\sqrt{2}\,|f| \tag{13}

であるため、各 $s_n$ は $L^p(\mu;\mathbb C)$ に属する。同じ評価を誤差へ適用すると、

|f-s_n|^p \leq(|u-a_n|+|v-b_n|)^p \leq(\sqrt{2}\,|f|)^p. \tag{14}

左辺は点ごとに $0$ へ収束し、右辺は可積分である。優収束定理を (14) へ適用すると $\lVert f-s_n\rVert_p\to0$ を得る。

以上の証明では、非負単関数近似と優収束定理だけを用いた。とくに、 $X$ を有限測度の可測集合で覆う操作は用いていないため、シグマ有限性は不要である。▨

後で指示関数へ帰着するために、 $L^p$ に属する単関数の非零レベル集合は有限測度であることを補題として記録する。

補題 2.3. $(X,\mathcal F,\mu)$ を測度空間、 $\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$ 、および $1\leq p<\infty$ とする。 $s\in L^p(\mu;\mathbb K)$ を $\mathbb K$ 値単関数とする。 $s$ の相異なる非零値を $c_1,\dots,c_m$ とし、

E_j=\{x\in X\mid s(x)=c_j\}

とおく。このとき、各 $E_j$ は可測な有限測度集合であり、

s=\sum_{j=1}^{m}c_j\mathbf 1_{E_j}

が成り立つ。 $s=0$ の場合には右辺を空和とする。

証明. $s$ は可測であり、各一元集合 $\{c_j\}$ は $\mathbb K$ の Borel 集合であるから、 $E_j=s^{-1}(\{c_j\})\in\mathcal F$ である。 $c_1,\dots,c_m$ は $s$ の相異なる非零値をすべて列挙しているため、表示式は各点で成り立つ。さらに、

\int_X|s|^p\,d\mu =\sum_{j=1}^{m}|c_j|^p\mu(E_j)<\infty

である。各 $|c_j|^p$ は正であるから、いずれかの $\mu(E_j)$ が無限大ならば右辺は無限大となり、 $s\in L^p$ に反する。したがって、すべての $E_j$ は有限測度である。 $s=0$ の場合には非零値がなく、主張は空和について成り立つ。▨

3 台がコンパクトな連続関数の稠密性

以下では $d\geq1$ を整数とし、 $\mathbb R^d$ に Lebesgue 可測集合族 $\mathcal L_d$ と Lebesgue 測度 $\lambda_d$ を入れる。近似に用いる関数空間を次のように定める。

定義 3.1. $d\geq1$ を整数とし、 $\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$ とする。関数 $f:\mathbb R^d\to\mathbb K$ の台 (support) を

\operatorname{supp}f =\overline{\{x\in\mathbb R^d\mid f(x)\neq0\}}

と定める。台がコンパクトである $\mathbb K$ 値連続関数全体を $C_c(\mathbb R^d;\mathbb K)$ と書く。さらに、台がコンパクトである $\mathbb K$ 値 $C^\infty$ 級関数全体を $C_c^\infty(\mathbb R^d;\mathbb K)$ と書く。

最初に、有限測度の可測集合の指示関数を連続関数で近似する。距離関数を使うと、コンパクト集合上では $1$ 、有界開集合の外では $0$ となる関数を直接構成することができる。

補題 3.2. 従属選択公理を仮定し、 $d\geq1$ を整数とする。 $E\in\mathcal L_d$ とし、 $\lambda_d(E)<\infty$ とする。任意の $\delta>0$ に対して、 $0\leq\varphi\leq1$ を満たす $\varphi\in C_c(\mathbb R^d;\mathbb R)$ で

\lambda_d\bigl(\{x\in\mathbb R^d\mid \mathbf 1_E(x)\neq\varphi(x)\}\bigr)<2\delta

を満たすものが存在する。したがって、任意の $1\leq p<\infty$ に対して

\lVert\mathbf 1_E-\varphi\rVert_p^p<2\delta

である。

証明. Lebesgue 測度の内側正則性§E9.4 定理 7.1により、コンパクト集合 $K\subseteq E$ で

\lambda_d(E\setminus K)<\delta \tag{15}

を満たすものをとる。 $K=\emptyset$ ならば (15) から $\lambda_d(E)<\delta$ であるため、 $\varphi=0$ とすれば結論が成り立つ。以下では $K\neq\emptyset$ とする。

外側正則性§E9.4 定理 6.2により、 $E\subseteq U$ を満たす開集合 $U$ で

\lambda_d(U\setminus E)<\delta \tag{16}

となるものをとる。 $K$ は有界であるから、 $K\subseteq B(0,R)$ を満たす $R>0$ が存在する。

G=U\cap B(0,R)

とおくと、 $G$ は $K$ を含む有界開集合であり、 $G\setminus E\subseteq U\setminus E$ である。

閉集合 $\mathbb R^d\setminus G$ までの距離を

h(x)=\operatorname{dist}(x,\mathbb R^d\setminus G) =\inf\{|x-y|\mid y\in\mathbb R^d\setminus G\}

とおく。任意の $x,x'\in\mathbb R^d$ に対し、三角不等式から

|h(x)-h(x')|\leq|x-x'|

であるため、 $h$ は連続である。また、 $x\in G$ ならば $G$ の開性により $h(x)>0$ である。 $K$ は空でないコンパクト集合であり $K\subseteq G$ であるから、 $h$ は $K$ 上で正の最小値

a=\min_{x\in K}h(x)>0

をもつ。そこで

\varphi(x)=\min\left\{1,\frac{h(x)}{a}\right\}

と定める。 $\varphi$ は連続であり、 $0\leq\varphi\leq1$ を満たし、 $K$ 上で $\varphi=1$ 、 $\mathbb R^d\setminus G$ 上で $\varphi=0$ である。さらに $\operatorname{supp}\varphi\subseteq\overline G$ であり、 $\overline G$ は閉かつ有界であるから Heine–Borel の定理によりコンパクトである。よって $\varphi\in C_c(\mathbb R^d)$ である。

$K$ 上では $\mathbf 1_E=\varphi=1$ であり、 $\mathbb R^d\setminus(E\cup G)$ 上では $\mathbf 1_E=\varphi=0$ である。したがって、

\{x\mid\mathbf 1_E(x)\neq\varphi(x)\} \subseteq(E\setminus K)\cup(G\setminus E).

(15)、(16)、および測度の劣加法性により、この集合の測度は $2\delta$ 未満である。 $|\mathbf 1_E-\varphi|\leq1$ であるから、

\lVert\mathbf 1_E-\varphi\rVert_p^p =\int_{\{\mathbf 1_E\neq\varphi\}} |\mathbf 1_E-\varphi|^p\,d\lambda_d \leq \lambda_d(\{\mathbf 1_E\neq\varphi\}) <2\delta.

▨

定理 3.3. 従属選択公理を仮定する。 $d\geq1$ 、 $\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$ 、および $1\leq p<\infty$ とする。 $C_c(\mathbb R^d;\mathbb K)$ は $L^p(\mathbb R^d,\mathcal L_d,\lambda_d;\mathbb K)$ で稠密である。

証明. $[f]\in L^p(\mathbb R^d;\mathbb K)$ と $\varepsilon>0$ を任意にとる。定理 2.2により、 $L^p$ に属する $\mathbb K$ 値単関数 $s$ で

\lVert f-s\rVert_p<\frac{\varepsilon}{2} \tag{17}

を満たすものが存在する。 $s=0$ ならば $g=0\in C_c(\mathbb R^d;\mathbb K)$ とすればよい。 $s\neq0$ とし、補題 2.3により

s=\sum_{j=1}^{m}c_j\mathbf 1_{E_j}, \qquad c_j\in\mathbb K\setminus\{0\}, \qquad \lambda_d(E_j)<\infty \tag{18}

と書く。 $C=\sum_{j=1}^{m}|c_j|>0$ とおく。補題 3.2により、各 $j$ に対して $0\leq\varphi_j\leq1$ を満たす $\varphi_j\in C_c(\mathbb R^d;\mathbb R)$ で

\lVert\mathbf 1_{E_j}-\varphi_j\rVert_p <\frac{\varepsilon}{2C} \tag{19}

となるものをとる。この操作は有限個の集合だけを対象とするため、可算選択を必要としない。

$g=\sum_{j=1}^{m}c_j\varphi_j$ とおく。 $g$ は $\mathbb K$ 値連続関数であり、その台は有限個の $\operatorname{supp}\varphi_j$ の和集合に含まれる。この和集合はコンパクトであるから $g\in C_c(\mathbb R^d;\mathbb K)$ である。Minkowski の不等式と (19) により、

\lVert s-g\rVert_p \leq\sum_{j=1}^{m}|c_j| \lVert\mathbf 1_{E_j}-\varphi_j\rVert_p <\frac{\varepsilon}{2}. \tag{20}

(17)、(20)、および三角不等式から

\lVert f-g\rVert_p \leq\lVert f-s\rVert_p+\lVert s-g\rVert_p <\varepsilon

を得る。▨

4 台がコンパクトな滑らかな関数の稠密性

$C_c(\mathbb R^d)$ の関数を滑らかにするために、台が小さい非負関数で平均を取る。ここでは一般の畳み込み理論を引用せず、mollifier の構成、平均の滑らかさ、台の評価、および一様近似を順に証明する。

補題 4.1. 従属選択公理を仮定し、 $d\geq1$ を整数とする。任意の $r>0$ に対して、次の条件を満たす $\eta_r\in C_c^\infty(\mathbb R^d;\mathbb R)$ が存在する。

\eta_r\geq0,\qquad \operatorname{supp}\eta_r=\overline{B(0,r)},\qquad \eta_r(-x)=\eta_r(x),\qquad \int_{\mathbb R^d}\eta_r\,d\lambda_d=1.

証明. 一変数関数 $\theta:\mathbb R\to\mathbb R$ を

\theta(t)= \begin{cases} e^{-1/t},&t>0,\\ 0,&t\leq0 \end{cases}

と定める。 $\theta$ が滑らかであり、 $\theta^{(m)}(0)=0$ がすべての $m\geq0$ について成り立つことを確認する。 $t>0$ では、帰納法により、各 $m$ に対してある多項式 $P_m$ が存在して

\theta^{(m)}(t)=P_m(1/t)e^{-1/t} \tag{21}

と書くことができる。実際、(21) の右辺を微分すると、再び $1/t$ の多項式と $e^{-1/t}$ の積になる。また、任意の非負整数 $N$ に対して、指数関数の冪級数から

e^s\geq\frac{s^{N+1}}{(N+1)!}\qquad(s>0)

であるため、

0\leq s^Ne^{-s}\leq\frac{(N+1)!}{s}\longrightarrow0 \qquad(s\to\infty) \tag{22}

である。(21) の多項式の各項へ (22) を適用すると、 $\lim_{t\downarrow0}\theta^{(m)}(t)=0$ を得る。 $t<0$ では $\theta$ とすべての導関数が $0$ である。ここで、 $\theta^{(m-1)}(0)=0$ まで構成済みであるとする。 $t>0$ に対する

\frac{\theta^{(m-1)}(t)-\theta^{(m-1)}(0)}{t} =t^{-1}P_{m-1}(1/t)e^{-1/t}

は (22) により $t\downarrow0$ で $0$ へ収束し、 $t<0$ に対する差商は $0$ である。したがって、 $\theta^{(m)}(0)$ は存在して $0$ に等しい。この議論を $m=1$ から帰納的に繰り返すと、 $\theta$ は $\mathbb R$ 上で $C^\infty$ 級であり、すべての階数の導関数が $0$ で連結する。

固定した $r>0$ に対して

q_r(x)=\theta(r^2-|x|^2)

とおく。 $\theta$ の滑らかさと多項式写像 $x\mapsto r^2-|x|^2$ の滑らかさから $q_r\in C^\infty(\mathbb R^d)$ である。 $q_r$ は $B(0,r)$ 上で正であり、その外で $0$ であるから、

\operatorname{supp}q_r=\overline{B(0,r)}.

さらに、 $0\leq q_r\leq1$ であり、台は $[-r,r]^d$ に含まれるため、

\int_{\mathbb R^d}q_r\,d\lambda_d<\infty.

この積分が正であることも確認する。半開立方体

Q=\left(-\frac{r}{2\sqrt d},\frac{r}{2\sqrt d}\right]^d

では $|x|\leq r/2$ であるから、

q_r(x)\geq\theta(3r^2/4)>0.

§E9.4 定義 1.1による $Q$ の測度は $(r/\sqrt d)^d>0$ である。したがって、

0< \theta(3r^2/4)\lambda_d(Q) \leq\int_{\mathbb R^d}q_r\,d\lambda_d<\infty.

正の定数

c_r=\left(\int_{\mathbb R^d}q_r\,d\lambda_d\right)^{-1}

を定め、 $\eta_r=c_rq_r$ とおく。 $\eta_r$ は非負で滑らかであり、台は $\overline{B(0,r)}$ である。 $q_r$ が $|x|$ だけに依存することから $\eta_r$ は偶関数であり、定数 $c_r$ の定義から積分は $1$ である。▨

補題 4.2. 従属選択公理を仮定し、 $d\geq1$ を整数、 $\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$ とする。 $\varphi\in C_c(\mathbb R^d;\mathbb K)$ とし、 $r>0$ とする。補題 4.1の $\eta_r$ を用いて

(M_r\varphi)(x) =\int_{\mathbb R^d}\varphi(z)\eta_r(x-z)\,d\lambda_d(z) \tag{23}

と定める。このとき $M_r\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R^d;\mathbb K)$ である。さらに、

\lVert M_r\varphi-\varphi\rVert_\infty\longrightarrow0 \qquad(r\downarrow0) \tag{24}

であり、任意の $1\leq p<\infty$ に対して

\lVert M_r\varphi-\varphi\rVert_p\longrightarrow0 \qquad(r\downarrow0) \tag{25}

が成り立つ。

証明. $\varphi=0$ ならば、すべての $r>0$ に対して $M_r\varphi=0$ であり、滑らかさ、台、および二つの収束はいずれも直ちに成り立つ。以下では $\varphi\neq0$ とする。

$K=\operatorname{supp}\varphi$ とおく。このとき $K$ は空でないコンパクト集合であるから、 $\varphi$ は有界であり、 $K$ は有限 Lebesgue 測度をもつ。(23) の被積分関数は $z\notin K$ で $0$ となり、 $K$ 上で有界である。したがって、各 $x$ に対して (23) の積分は絶対収束する。

最初に滑らかさを証明する。 $e_j$ を第 $j$ 座標方向の単位ベクトルとする。固定した $x$ と $j$ に対して、

\frac{(M_r\varphi)(x+he_j)-(M_r\varphi)(x)}{h} = \int_K\varphi(z) \frac{\eta_r(x+he_j-z)-\eta_r(x-z)}{h}\,d\lambda_d(z). \tag{26}

$|h|\leq1$ のとき、差商に現れる点はコンパクト集合

\{x+te_j-z\mid |t|\leq1,\ z\in K\}

に属する。 $\partial_j\eta_r$ はこの集合上で一様連続である。したがって、一変数の平均値の定理を $t\mapsto\eta_r(x+te_j-z)$ へ適用すると、(26) の差商は $\partial_j\eta_r(x-z)$ へ $z\in K$ について一様に収束する。ゆえに

\left| \int_K\varphi(z) \left( \frac{\eta_r(x+he_j-z)-\eta_r(x-z)}{h} -\partial_j\eta_r(x-z) \right)d\lambda_d(z) \right| \leq \lVert\varphi\rVert_\infty\lambda_d(K) \sup_{z\in K}\left| \frac{\eta_r(x+he_j-z)-\eta_r(x-z)}{h} -\partial_j\eta_r(x-z) \right| \longrightarrow0.

したがって、

\partial_j(M_r\varphi)(x) =\int_K\varphi(z)\partial_j\eta_r(x-z)\,d\lambda_d(z). \tag{27}

任意の多重指数 $\alpha$ に対して $\partial^\alpha\eta_r$ は連続である。同じ議論を (27) へ繰り返すと、

\partial^\alpha(M_r\varphi)(x) =\int_K\varphi(z)\partial^\alpha\eta_r(x-z)\,d\lambda_d(z) \tag{28}

を得る。(28) の右辺の連続性も、 $\partial^\alpha\eta_r$ のコンパクト集合上一様連続性と同じ積分評価から従う。よって $M_r\varphi$ は $C^\infty$ 級である。

$x\notin K+\overline{B(0,r)}$ ならば、すべての $z\in K$ に対して $x-z\notin\overline{B(0,r)}$ であり、 $\eta_r(x-z)=0$ である。したがって、

\operatorname{supp}(M_r\varphi) \subseteq K+\overline{B(0,r)}. \tag{29}

右辺はコンパクト集合 $K\times\overline{B(0,r)}$ の連続像であるからコンパクトである。(28) と (29) により $M_r\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R^d;\mathbb K)$ である。

次に一様近似を証明する。Lebesgue 測度の平行移動不変性§E9.4 定理 5.1は、非負可測関数 $h$ に対して

\int_{\mathbb R^d}h(z-x)\,d\lambda_d(z) =\int_{\mathbb R^d}h(z)\,d\lambda_d(z) \tag{30}

を与える。実際、指示関数に対する (30) は集合の平行移動不変性そのものであり、非負単関数へ有限線形性で拡張した後、§E9.5 定理 5.3と§E9.7 定理 1.1により任意の非負可測関数へ拡張することができる。 $\eta_r$ は偶関数であるから、(30) により

\int_{\mathbb R^d}\eta_r(x-z)\,d\lambda_d(z) =\int_{\mathbb R^d}\eta_r(z-x)\,d\lambda_d(z) =1. \tag{31}

(23) と (31) から

|(M_r\varphi)(x)-\varphi(x)| \leq \int_{\mathbb R^d} |\varphi(z)-\varphi(x)|\eta_r(x-z)\,d\lambda_d(z). \tag{32}

台がコンパクトな連続関数は $\mathbb R^d$ 上で一様連続である。実際、台を含む閉球を一つ固定し、その半径を $1$ だけ増やした閉球上では Heine–Cantor の定理を用いることができる。この閉球の外にある点を含む十分近い二点については、両方の関数値が $0$ である。この二つの場合を合わせると全空間での一様連続性を得る。したがって、

\omega_\varphi(r) =\sup\{|\varphi(z)-\varphi(x)|\mid x,z\in\mathbb R^d,\ |x-z|\leq r\} \longrightarrow0 \qquad(r\downarrow0).

$\eta_r(x-z)\neq0$ ならば $|x-z|<r$ であるため、(32) と (31) から

\lVert M_r\varphi-\varphi\rVert_\infty \leq\omega_\varphi(r)\longrightarrow0

を得る。これが (24) である。

$0<r\leq1$ とする。(29) により、 $\varphi$ と $M_r\varphi$ の台はともに固定したコンパクト集合

L=K+\overline{B(0,1)}

に含まれる。 $\lambda_d(L)<\infty$ であるから、

\lVert M_r\varphi-\varphi\rVert_p^p \leq \lambda_d(L)\lVert M_r\varphi-\varphi\rVert_\infty^p \longrightarrow0.

したがって、(25) が成り立つ。以上の議論では Fubini の定理を用いていない。▨

定理 4.3. 従属選択公理を仮定する。 $d\geq1$ 、 $\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$ 、および $1\leq p<\infty$ とする。 $C_c^\infty(\mathbb R^d;\mathbb K)$ は $L^p(\mathbb R^d,\mathcal L_d,\lambda_d;\mathbb K)$ で稠密である。

証明. $[f]\in L^p(\mathbb R^d;\mathbb K)$ と $\varepsilon>0$ を任意にとる。定理 3.3により、 $\varphi\in C_c(\mathbb R^d;\mathbb K)$ で

\lVert f-\varphi\rVert_p<\frac{\varepsilon}{2}

を満たすものが存在する。補題 4.2により、十分小さい $r>0$ に対して

\lVert\varphi-M_r\varphi\rVert_p<\frac{\varepsilon}{2}

であり、 $M_r\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R^d;\mathbb K)$ である。三角不等式から

\lVert f-M_r\varphi\rVert_p \leq\lVert f-\varphi\rVert_p +\lVert\varphi-M_r\varphi\rVert_p <\varepsilon

を得る。▨

5 適用範囲と演習

三つの稠密性定理はいずれも $1\leq p<\infty$ に対する主張である。本記事は $p=\infty$ について完備性だけを主張する。 $C_c(\mathbb R^d)$ の稠密性が $p=\infty$ では成り立たないことは、次の例から分かる。

例 5.1 ( $C_c(\mathbb R^d;\mathbb R)$ は $L^\infty$ で稠密でない). 従属選択公理を仮定し、 $d\geq1$ を整数とする。 $\mathbb R^d$ 上の実数値定数関数 $1$ は $L^\infty(\mathbb R^d,\mathcal L_d,\lambda_d;\mathbb R)$ に属する。一方、任意の $g\in C_c(\mathbb R^d;\mathbb R)$ はコンパクトな台の外で $0$ であるため、 $\lVert1-g\rVert_\infty\geq1$ である。よって、 $C_c(\mathbb R^d;\mathbb R)$ は $L^\infty(\mathbb R^d,\mathcal L_d,\lambda_d;\mathbb R)$ で稠密でない。この例により、有限な $p$ の証明で用いた有限測度の台による評価を $p=\infty$ へ移すことはできない。

例 5.2 (シグマ有限でない測度空間での単関数近似). 可算選択公理を仮定する。 $1\leq p<\infty$ とし、 $\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$ とする。 $I$ を非可算集合とし、 $\mathcal P(I)$ 上に数え上げ測度

\mu(A)= \begin{cases} |A|,&A\text{ が有限集合である},\\ \infty,&A\text{ が無限集合である} \end{cases}

を入れる。この測度空間はシグマ有限ではない。実際、有限測度集合は有限集合であり、可算選択公理のもとでは可算個の有限集合の和集合は高々可算であるから、非可算集合 $I$ を覆うことができない。この箇所で可算選択公理を用いる。

それにもかかわらず、定理 2.2により、任意の $f\in L^p(I,\mathcal P(I),\mu;\mathbb K)$ は $L^p(I,\mathcal P(I),\mu;\mathbb K)$ に属する $\mathbb K$ 値単関数で近似することができる。この場合、 $n\geq1$ に対して

F_n=\{i\in I\mid |f(i)|\geq1/n\}

は有限集合である。もし無限集合ならば $\sum_{i\in I}|f(i)|^p\geq\sum_{i\in F_n}n^{-p}=\infty$ となるからである。 $F_n$ は有限であるから $f\mathbf 1_{F_n}$ は単関数である。また、 $|f-f\mathbf 1_{F_n}|^p\leq|f|^p$ であり、左辺は各点で $0$ へ収束するため、優収束定理により $\lVert f-f\mathbf 1_{F_n}\rVert_p\to0$ である。この例は、単関数の稠密性にシグマ有限性が不要であることを示している。

定理 1.1の有限な $p$ の証明で、差分の級数 $\sum_k|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}|$ が有限であることを各点で直接仮定せず、単調収束定理からほとんど至る所で導いた箇所を説明せよ。
$p=\infty$ の証明で、各差分に対応する零集合 $Z_k$ を一つの集合 $\bigcup_k Z_k$ へまとめなければならない理由を述べよ。
複素数値関数に対する定理 2.2の証明で、近似単関数自身が $L^p$ に属することを (13) から証明せよ。
補題 3.2で、有界開集合 $G$ を用いることが cutoff の台のコンパクト性に必要である理由を説明せよ。
補題 4.2の微分公式 (28) が Fubini の定理を必要としない理由と、一様収束から $L^p$ 収束を得る際に共通の有限測度集合 $L$ が必要である理由をそれぞれ述べよ。

§E9.13L^p の完備性と稠密性

1 $L^p$ 空間の完備性

2 単関数の稠密性

3 台がコンパクトな連続関数の稠密性

4 台がコンパクトな滑らかな関数の稠密性

5 適用範囲と演習

参考文献

前提記事

§E9.13L^p の完備性と稠密性

1 LpL^pLp空間の完備性

2 単関数の稠密性

3 台がコンパクトな連続関数の稠密性

4 台がコンパクトな滑らかな関数の稠密性

5 適用範囲と演習

参考文献

前提記事

1 $L^p$ 空間の完備性