Fubini–Tonelli の定理 | 測度と積分

1 切り口測度関数

最初に、有限測度の長方形へ局所化した集合公式を証明する。有限性は、Dynkin 系の補集合に関する閉性を証明するときに、未定義な $\infty-\infty$ を避けるために用いる。

1.1 証明方針

有限測度集合 $A\in\Sigma$ と $B\in\mathcal{T}$ を固定する。 $E\cap(A\times B)$ について、二つの切り口測度関数が可測であり、その積分が積測度による $E\cap(A\times B)$ の測度に等しいような $E$ の集合族を考える。この集合族が Dynkin 系であり、可測長方形を含むことを証明する。可測長方形は π 系をなし、積シグマ加法族を生成するため、 π–λ 定理を適用することができる。

補題 1.1. 可算選択公理を仮定する。 $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal{T},\nu)$ をシグマ有限な正測度空間とし、 $\rho=\mu\otimes\nu$ とおく。 $\mu(A)<\infty$ と $\nu(B)<\infty$ を満たす $A\in\Sigma$ と $B\in\mathcal{T}$ を固定する。

任意の $E\in\Sigma\otimes\mathcal{T}$ に対して $F=E\cap(A\times B)$ とおくと、関数

x\longmapsto \nu(F_x), \qquad y\longmapsto \mu(F^y)

は、それぞれ $(X,\Sigma)$ 上および $(Y,\mathcal{T})$ 上の $[0,\infty]$ 値可測関数である。さらに、

\rho(F) =\int_X\nu(F_x)\,d\mu(x) =\int_Y\mu(F^y)\,d\nu(y)

が成り立つ。

証明. $\mathcal{D}_{A,B}$ を、結論に述べた二つの切り口測度関数の可測性と二つの積分公式とを $F=E\cap(A\times B)$ が満たすような $E\in\Sigma\otimes\mathcal{T}$ 全体とする。 $\mathcal{D}_{A,B}$ が $X\times Y$ 上の Dynkin 系であることを示す。

最初に $E=X\times Y$ とする。このとき $F=A\times B$ であり、

\nu(F_x)=\nu(B)\mathbf{1}_A(x), \qquad \mu(F^y)=\mu(A)\mathbf{1}_B(y)

である。二つの関数は可測であり、非負単関数の積分の定義§E9.6 定義 1.1と積測度の長方形上の値から

\int_X\nu(F_x)\,d\mu(x) =\mu(A)\nu(B) =\rho(A\times B) =\int_Y\mu(F^y)\,d\nu(y)

を得る。したがって、 $X\times Y\in\mathcal{D}_{A,B}$ である。

$E\in\mathcal{D}_{A,B}$ とし、 $F=E\cap(A\times B)$ とおく。 $E'=(X\times Y)\setminus E$ および $F'=E'\cap(A\times B)=(A\times B)\setminus F$ とする。各 $x\in X$ に対して

\nu(F'_x)=\nu(B)\mathbf{1}_A(x)-\nu(F_x)

が成り立つ。右辺では $0\leq\nu(F_x)\leq\nu(B)\mathbf{1}_A(x)<\infty$ であるから、未定義な無限量どうしの差は現れない。したがって、 $x\mapsto\nu(F'_x)$ は可測である。各 $y\in Y$ に対して

\mu((F')^y)=\mu(A)\mathbf{1}_B(y)-\mu(F^y)

が成り立つ。 $0\leq\mu(F^y)\leq\mu(A)\mathbf{1}_B(y)<\infty$ であるから、 $y\mapsto\mu((F')^y)$ も可測である。

$\rho(A\times B)=\mu(A)\nu(B)<\infty$ であり、 $F$ と $F'$ は $A\times B$ を分割する。測度と積分の有限加法性により、

\begin{aligned} \int_X\nu(F'_x)\,d\mu(x) &=\mu(A)\nu(B)-\int_X\nu(F_x)\,d\mu(x)\\ &=\rho(A\times B)-\rho(F) =\rho(F'). \end{aligned}

第一の等号では、被積分関数が有限値の非負可測関数であり、両積分が有限であることを用いた。また、 $\mu(A)\nu(B)<\infty$ と $A\times B=F\sqcup F'$ を用いると、

\begin{aligned} \int_Y\mu((F')^y)\,d\nu(y) &=\mu(A)\nu(B)-\int_Y\mu(F^y)\,d\nu(y)\\ &=\rho(A\times B)-\rho(F) =\rho(F') \end{aligned}

を得る。ゆえに、 $E'\in\mathcal{D}_{A,B}$ である。

$E_1,E_2,\dots\in\mathcal{D}_{A,B}$ が二つずつ交わらないとする。 $F_n=E_n\cap(A\times B)$ と $E=\bigcup_{n\geq1}E_n$ および $F=E\cap(A\times B)$ とおく。集合列 $(F_n)_{n\geq1}$ も二つずつ交わらない。各 $x\in X$ に対して切り口 $(F_n)_x$ は二つずつ交わらず、

\nu(F_x)=\sum_{n=1}^{\infty}\nu((F_n)_x)

が成り立つ。右辺は可測関数の有限部分和の増加極限であるため、 $x\mapsto\nu(F_x)$ は可測である。単調収束定理と、各 $E_n$ に対する積分公式から、

\begin{aligned} \int_X\nu(F_x)\,d\mu(x) &=\sum_{n=1}^{\infty}\int_X\nu((F_n)_x)\,d\mu(x)\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\rho(F_n) =\rho(F) \end{aligned}

を得る。各 $y\in Y$ に対して切り口 $(F_n)^y$ は二つずつ交わらず、

\mu(F^y)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu((F_n)^y)

が成り立つ。右辺は可測関数の有限部分和の増加極限であるため、 $y\mapsto\mu(F^y)$ は可測である。測度空間 $(Y,\mathcal{T},\nu)$ 上で単調収束定理を適用し、各 $E_n$ に対する積分公式を用いると、

\begin{aligned} \int_Y\mu(F^y)\,d\nu(y) &=\sum_{n=1}^{\infty}\int_Y\mu((F_n)^y)\,d\nu(y)\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\rho(F_n) =\rho(F) \end{aligned}

を得る。したがって、 $E\in\mathcal{D}_{A,B}$ である。以上により、 $\mathcal{D}_{A,B}$ は Dynkin 系である。

任意の可測長方形 $E=C\times D$ に対して

F=(A\cap C)\times(B\cap D)

である。このとき、

\nu(F_x)=\nu(B\cap D)\mathbf{1}_{A\cap C}(x), \qquad \mu(F^y)=\mu(A\cap C)\mathbf{1}_{B\cap D}(y)

である。長方形 $F$ に対する積測度の値と非負単関数の積分の定義により、 $E\in\mathcal{D}_{A,B}$ である。可測長方形全体は共通部分に対して閉じる π 系であり、§E9.10 定義 1.1によって $\Sigma\otimes\mathcal{T}$ を生成する。§E9.1 定理 4.8を適用すると、

\Sigma\otimes\mathcal{T}\subseteq\mathcal{D}_{A,B}

を得る。ゆえに、任意の $E\in\Sigma\otimes\mathcal{T}$ に対して結論が成り立つ。▨

シグマ有限性を用いると、有限測度長方形を増加させて全空間を覆うことができる。切り口測度関数と積測度の双方で増加極限をとることにより、局所公式を全空間へ拡張する。

命題 1.2. 可算選択公理を仮定する。 $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal{T},\nu)$ をシグマ有限な正測度空間とし、 $\rho=\mu\otimes\nu$ とおく。任意の $E\in\Sigma\otimes\mathcal{T}$ に対して、関数

x\longmapsto \nu(E_x), \qquad y\longmapsto \mu(E^y)

は、それぞれ $(X,\Sigma)$ 上および $(Y,\mathcal{T})$ 上の $[0,\infty]$ 値可測関数である。さらに、

\rho(E) =\int_X\nu(E_x)\,d\mu(x) =\int_Y\mu(E^y)\,d\nu(y)

が $[0,\infty]$ において成り立つ。

証明. シグマ有限性により、

X=\bigcup_{n=1}^{\infty}C_n,\qquad Y=\bigcup_{n=1}^{\infty}D_n

かつ $\mu(C_n)<\infty$ 、 $\nu(D_n)<\infty$ を満たす可測集合列をとる。

A_n=\bigcup_{k=1}^{n}C_k, \qquad B_n=\bigcup_{k=1}^{n}D_k

とおくと、 $A_n\uparrow X$ と $B_n\uparrow Y$ が成り立ち、有限加法性と単調性から $\mu(A_n)<\infty$ と $\nu(B_n)<\infty$ である。

$E_n=E\cap(A_n\times B_n)$ とおく。補題 1.1により、

g_n(x)=\nu((E_n)_x), \qquad h_n(y)=\mu((E_n)^y)

は可測であり、

\int_Xg_n\,d\mu=\rho(E_n)=\int_Yh_n\,d\nu

を満たす。集合列 $(E_n)_{n\geq1}$ は増加し、その和集合は $E$ である。したがって、各 $x\in X$ と $y\in Y$ に対して

g_n(x)\uparrow\nu(E_x), \qquad h_n(y)\uparrow\mu(E^y)

が測度の下からの連続性によって成り立つ。可測関数の点ごとの増加極限は可測であるため、 $x\mapsto\nu(E_x)$ と $y\mapsto\mu(E^y)$ は可測である。

単調収束定理と測度の下からの連続性を適用すると、

\begin{aligned} \int_X\nu(E_x)\,d\mu(x) &=\lim_{n\to\infty}\int_Xg_n\,d\mu\\ &=\lim_{n\to\infty}\rho(E_n) =\rho(E). \end{aligned}

単調収束定理を $(h_n)_{n\geq1}$ へ適用し、 $\rho(E_n)\uparrow\rho(E)$ を用いると、

\begin{aligned} \int_Y\mu(E^y)\,d\nu(y) &=\lim_{n\to\infty}\int_Yh_n\,d\nu\\ &=\lim_{n\to\infty}\rho(E_n) =\rho(E) \end{aligned}

を得る。▨

2 非負可測関数の切り口

積可測関数について一方の変数を固定した関数も可測である。この事実は、可測集合の切り口の可測性を、可測関数の逆像へ適用することから従う。

補題 2.1. $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal{T},\nu)$ をシグマ有限な正測度空間とし、 $(Z,\mathcal{G})$ を可測空間とする。

f:(X\times Y,\Sigma\otimes\mathcal{T})\longrightarrow(Z,\mathcal{G})

を可測写像とする。各 $x\in X$ と $y\in Y$ に対して

f_x(v)=f(x,v)\quad(v\in Y), \qquad f^y(u)=f(u,y)\quad(u\in X)

と定める。このとき、すべての $x\in X$ に対して $f_x:(Y,\mathcal{T})\to(Z,\mathcal{G})$ は可測であり、すべての $y\in Y$ に対して $f^y:(X,\Sigma)\to(Z,\mathcal{G})$ は可測である。

証明. $x\in X$ と $G\in\mathcal{G}$ を固定する。 $f$ の可測性から $f^{-1}(G)\in\Sigma\otimes\mathcal{T}$ である。また、

f_x^{-1}(G)=\bigl(f^{-1}(G)\bigr)_x

が成り立つ。§E9.10 命題 6.2により、右辺は $\mathcal{T}$ に属する。 $G\in\mathcal{G}$ は任意であるから、 $f_x$ は可測である。

$y\in Y$ を固定した場合には、

(f^y)^{-1}(G)=\bigl(f^{-1}(G)\bigr)^y\in\Sigma

がすべての $G\in\mathcal{G}$ について成り立つ。したがって、 $f^y$ も可測である。▨

指示関数に対する命題 1.2を有限個足し合わせると、非負単関数に対する反復積分公式が得られる。

命題 2.2. 可算選択公理を仮定する。 $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal{T},\nu)$ をシグマ有限な正測度空間とし、 $\rho=\mu\otimes\nu$ とおく。 $s:X\times Y\to[0,\infty)$ を $\Sigma\otimes\mathcal{T}$ に関する非負単関数とする。このとき、すべての $x\in X$ と $y\in Y$ に対して $s_x$ と $s^y$ は非負単関数である。関数

S(x)=\int_Ys_x\,d\nu, \qquad T(y)=\int_Xs^y\,d\mu

は、それぞれ $(X,\Sigma)$ 上および $(Y,\mathcal{T})$ 上の $[0,\infty]$ 値可測関数であり、

\int_{X\times Y}s\,d\rho =\int_XS\,d\mu =\int_YT\,d\nu

が成り立つ。

証明. $s$ の相異なる値を $a_1,\dots,a_m\in[0,\infty)$ とし、

E_j=\{(x,y)\in X\times Y\mid s(x,y)=a_j\}

とおく。集合 $E_1,\dots,E_m$ は $X\times Y$ の可測分割であり、

s=\sum_{j=1}^{m}a_j\mathbf{1}_{E_j}

である。固定した $x\in X$ に対して $(E_j)_x$ は $Y$ の可測分割をなし、

s_x=\sum_{j=1}^{m}a_j\mathbf{1}_{(E_j)_x}

である。したがって、 $s_x$ は非負単関数である。第一座標の切り口についても、

s^y=\sum_{j=1}^{m}a_j\mathbf{1}_{E_j^y}

であるため、 $s^y$ は非負単関数である。

§E9.6 命題 1.2により、

S(x)=\sum_{j=1}^{m}a_j\nu((E_j)_x).

命題 1.2により各関数 $x\mapsto\nu((E_j)_x)$ は可測である。§E9.6 命題 2.4を有限回適用すると、拡張非負実数値可測関数の有限個の非負線形結合は可測であるから、 $S$ は可測である。非負可測関数の積分の線形性§E9.6 定理 2.5と命題 1.2により、

\begin{aligned} \int_XS\,d\mu &=\sum_{j=1}^{m}a_j\int_X\nu((E_j)_x)\,d\mu(x)\\ &=\sum_{j=1}^{m}a_j\rho(E_j) =\int_{X\times Y}s\,d\rho. \end{aligned}

係数 $a_j$ が $0$ で $\rho(E_j)=\infty$ である場合には、非負単関数の積分で採用した $0\cdot\infty=0$ の規約を用いる。

命題 1.2により、各関数 $y\mapsto\mu(E_j^y)$ は可測である。したがって、

T(y)=\sum_{j=1}^{m}a_j\mu(E_j^y)

は可測である。非負可測関数の積分の線形性と命題 1.2により、

\begin{aligned} \int_YT\,d\nu &=\sum_{j=1}^{m}a_j\int_Y\mu(E_j^y)\,d\nu(y)\\ &=\sum_{j=1}^{m}a_j\rho(E_j) =\int_{X\times Y}s\,d\rho \end{aligned}

を得る。▨

一般の非負可測関数では、非負単関数の増加近似を三つの測度空間 $(X\times Y,\rho)$ 、 $(X,\mu)$ 、 $(Y,\nu)$ 上で順に用いる。

2.1 証明方針

積空間上で $s_n\uparrow f$ を満たす非負単関数列をとる。命題 2.2により各 $s_n$ の内側積分は可測である。各切り口上の単調収束定理は、内側積分の列が $f$ の切り口の積分へ増加することを与える。最後に外側の測度と積測度について単調収束定理を適用し、三つの積分を同じ増加極限として同定する。

定理 2.3 (Tonelli の定理). 可算選択公理を仮定する。 $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal{T},\nu)$ をシグマ有限な正測度空間とし、 $\rho=\mu\otimes\nu$ とおく。 $f:X\times Y\to[0,\infty]$ を $\Sigma\otimes\mathcal{T}$ に関する非負拡張実数値可測関数とする。このとき、すべての $x\in X$ と $y\in Y$ に対して $f_x$ と $f^y$ は非負拡張実数値可測関数である。関数

F(x)=\int_Yf_x\,d\nu, \qquad G(y)=\int_Xf^y\,d\mu

は、それぞれ $(X,\Sigma)$ 上および $(Y,\mathcal{T})$ 上の $[0,\infty]$ 値可測関数であり、

\int_{X\times Y}f\,d\rho =\int_X\left(\int_Yf(x,y)\,d\nu(y)\right)d\mu(x) =\int_Y\left(\int_Xf(x,y)\,d\mu(x)\right)d\nu(y)

が $[0,\infty]$ において成り立つ。

証明.補題 2.1により、すべての $x\in X$ と $y\in Y$ に対して $f_x$ と $f^y$ は可測である。非負拡張実数値関数であることは $f$ の値域から従う。

§E9.5 定理 5.3を可測空間 $(X\times Y,\Sigma\otimes\mathcal{T})$ 上の $f$ へ適用し、非負単関数列 $(s_n)_{n\geq1}$ を

s_n\uparrow f

が点ごとに成り立つようにとる。命題 2.2により、

F_n(x)=\int_Y(s_n)_x\,d\nu

は $X$ 上の非負拡張実数値可測関数である。各 $x\in X$ を固定すると、 $(s_n)_x\uparrow f_x$ である。測度空間 $(Y,\mathcal{T},\nu)$ 上で§E9.7 定理 1.1を適用すると、

F_n(x)\uparrow\int_Yf_x\,d\nu=F(x)

を得る。したがって、 $F$ は可測である。

積測度空間 $(X\times Y,\Sigma\otimes\mathcal{T},\rho)$ と測度空間 $(X,\Sigma,\mu)$ に単調収束定理を適用し、非負単関数の場合の公式を用いると、

\begin{aligned} \int_{X\times Y}f\,d\rho &=\lim_{n\to\infty}\int_{X\times Y}s_n\,d\rho\\ &=\lim_{n\to\infty}\int_XF_n\,d\mu\\ &=\int_XF\,d\mu. \end{aligned}

すべての等式は $[0,\infty]$ における等式であり、共通の値が $\infty$ である場合も含む。

第二座標について

G_n(y)=\int_X(s_n)^y\,d\mu

とおく。命題 2.2により、各 $G_n$ は $(Y,\mathcal{T})$ 上の非負拡張実数値可測関数である。各 $y\in Y$ を固定すると $(s_n)^y\uparrow f^y$ であるから、測度空間 $(X,\Sigma,\mu)$ 上の単調収束定理により、

G_n(y)\uparrow\int_Xf^y\,d\mu=G(y)

を得る。したがって、 $G$ は可測である。積測度空間 $(X\times Y,\Sigma\otimes\mathcal{T},\rho)$ と測度空間 $(Y,\mathcal{T},\nu)$ 上で単調収束定理を適用し、非負単関数の場合の公式を用いると、

\begin{aligned} \int_{X\times Y}f\,d\rho &=\lim_{n\to\infty}\int_{X\times Y}s_n\,d\rho\\ &=\lim_{n\to\infty}\int_YG_n\,d\nu\\ &=\int_YG\,d\nu \end{aligned}

を得る。二つの反復積分はともに $\int_{X\times Y}f\,d\rho$ に等しい。▨

3 絶対可積分関数

Fubini の定理では、Tonelli の定理を $|f|$ へ適用する。内側の絶対値の積分が有限である点では、切り口が可積分であり、正部分と負部分の積分の差を定めることができる。有限でない点の集合が零集合であることを、次の補題で確認する。

補題 3.1. $(Z,\mathcal{A},\lambda)$ を測度空間とし、 $h:Z\to[0,\infty]$ を拡張実数値可測関数とする。

\int_Zh\,d\lambda<\infty

ならば、

N=\{z\in Z\mid h(z)=\infty\}

は可測な零集合である。

証明.

N=\bigcap_{m=1}^{\infty}\{z\in Z\mid h(z)>m\}

であるから、 $N\in\mathcal{A}$ である。任意の正の整数 $m$ に対して $m\mathbf{1}_N\leq h$ が点ごとに成り立つ。積分の単調性と非負単関数の積分の定義から

m\lambda(N)\leq\int_Zh\,d\lambda<\infty

を得る。 $\lambda(N)>0$ ならば、

\sup_{m\geq1}m\lambda(N)=\infty

である。これは $\int_Zh\,d\lambda<\infty$ に反する。したがって、 $\lambda(N)=0$ である。▨

3.1 証明方針

実数値関数 $f$ では、Tonelli の定理を $|f|$ へ適用し、

H_X(x)=\int_Y|f_x|\,d\nu, \qquad H_Y(y)=\int_X|f^y|\,d\mu

を考える。二つの関数の積分は $\int|f|$ に等しく有限であるため、 $H_X$ と $H_Y$ はほとんど至る所で有限である。可積分でない切り口上では内側積分を $0$ と定める。 $f^+$ と $f^-$ に Tonelli の定理を適用すると、この零集合上で $0$ とした内側積分が可測かつ可積分であること、および外側積分が積測度積分に等しいことが従う。

複素数値関数では、実部と虚部へ実数値の場合を適用する。 $|f|$ に対する Tonelli の定理によって複素数値の切り口がほとんど至る所で可積分であることを確認し、実部と虚部の内側積分を合わせる。

定理 3.2 (Fubini の定理). 可算選択公理を仮定する。 $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal{T},\nu)$ をシグマ有限な正測度空間とし、 $\rho=\mu\otimes\nu$ とおく。 $\mathbb{K}$ を $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とし、 $f:X\times Y\to\mathbb{K}$ を有限値の $\Sigma\otimes\mathcal{T}$ 可測関数とする。

\int_{X\times Y}|f|\,d\rho<\infty

を仮定する。このとき、可測な零集合 $N_X\in\Sigma$ と $N_Y\in\mathcal{T}$ が存在し、次が成り立つ。

すべての $x\in X\setminus N_X$ に対して $f_x$ は $\nu$ に関して可積分であり、すべての $y\in Y\setminus N_Y$ に対して $f^y$ は $\mu$ に関して可積分である。
関数 $I(x)= \begin{cases} \displaystyle\int_Yf(x,y)\,d\nu(y),&x\in X\setminus N_X,\\ 0,&x\in N_X, \end{cases} \qquad J(y)= \begin{cases} \displaystyle\int_Xf(x,y)\,d\mu(x),&y\in Y\setminus N_Y,\\ 0,&y\in N_Y \end{cases}$ は、それぞれ $\mu$ および $\nu$ に関して可積分である。
等式 $\int_{X\times Y}f\,d\rho =\int_XI\,d\mu =\int_YJ\,d\nu$ が $\mathbb{K}$ において成り立つ。

証明.補題 2.1により、すべての $x\in X$ と $y\in Y$ に対して $f_x$ と $f^y$ は可測である。最初に $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ の場合を証明する。

定理 2.3を非負可測関数 $|f|$ へ適用し、

H_X(x)=\int_Y|f_x|\,d\nu, \qquad H_Y(y)=\int_X|f^y|\,d\mu

とおく。 $H_X$ と $H_Y$ は非負拡張実数値可測関数であり、

\int_XH_X\,d\mu =\int_{X\times Y}|f|\,d\rho =\int_YH_Y\,d\nu <\infty

を満たす。補題 3.1により、

N_X=\{x\in X\mid H_X(x)=\infty\}, \qquad N_Y=\{y\in Y\mid H_Y(y)=\infty\}

は、それぞれ $\mu$ と $\nu$ に関する可測な零集合である。 $x\in X\setminus N_X$ では

\int_Y|f_x|\,d\nu=H_X(x)<\infty

であるから、 $f_x$ は可積分である。 $y\in Y\setminus N_Y$ では

\int_X|f^y|\,d\mu=H_Y(y)<\infty

であるから、 $f^y$ は可積分である。

$f^+=\max\{f,0\}$ と $f^-=\max\{-f,0\}$ とおく。二つの関数は非負可測であり、 $f=f^+-f^-$ および $|f|=f^++f^-$ が点ごとに成り立つ。 Tonelli の定理により、

A_X(x)=\int_Y(f^+)_x\,d\nu, \qquad B_X(x)=\int_Y(f^-)_x\,d\nu

は非負拡張実数値可測関数である。関数 $\widetilde A_X,\widetilde B_X:X\to[0,\infty)$ を

\widetilde A_X(x)= \begin{cases} A_X(x),&x\in X\setminus N_X,\\ 0,&x\in N_X, \end{cases} \qquad \widetilde B_X(x)= \begin{cases} B_X(x),&x\in X\setminus N_X,\\ 0,&x\in N_X \end{cases}

と定める。例えば、任意の $a\geq0$ に対して

\{\widetilde A_X>a\}=(X\setminus N_X)\cap\{A_X>a\}

であるため、半直線による可測性の判定§E9.5 命題 2.3から $\widetilde A_X$ は可測である。 $a<0$ に対して $\{\widetilde A_X>a\}=X$ であることも用いた。また、任意の $a\geq0$ に対して

\{\widetilde B_X>a\}=(X\setminus N_X)\cap\{B_X>a\}

であり、 $a<0$ に対して $\{\widetilde B_X>a\}=X$ であるため、 $\widetilde B_X$ も可測である。 $x\in X\setminus N_X$ では

A_X(x)+B_X(x)=H_X(x)<\infty

であり、 $x\in N_X$ では二つの関数を $0$ と定めた。したがって、 $\widetilde A_X$ と $\widetilde B_X$ は有限値である。また、

0\leq\widetilde A_X\leq H_X, \qquad 0\leq\widetilde B_X\leq H_X

が点ごとに成り立つため、二つの関数は可積分である。

$x\in X\setminus N_X$ では、実数値可積分関数の積分の定義§E9.6 定義 3.1から

\int_Yf_x\,d\nu=A_X(x)-B_X(x)

である。 $x\in N_X$ では三つの関数をすべて $0$ と定めたので、

I=\widetilde A_X-\widetilde B_X

が $X$ 上で成り立つ。可積分関数の線形性§E9.6 定理 3.2により、 $I$ は可積分である。

$A_X$ と $\widetilde A_X$ は $X\setminus N_X$ 上で一致し、 $B_X$ と $\widetilde B_X$ も同じ集合上で一致する。非負可測関数の積分のほとんど至る所での不変性§E9.6 定理 4.2と Tonelli の定理により、

\begin{aligned} \int_XI\,d\mu &=\int_X\widetilde A_X\,d\mu-\int_X\widetilde B_X\,d\mu\\ &=\int_XA_X\,d\mu-\int_XB_X\,d\mu\\ &=\int_{X\times Y}f^+\,d\rho-\int_{X\times Y}f^-\,d\rho\\ &=\int_{X\times Y}f\,d\rho. \end{aligned}

すべての差の各項は $\int|f|\,d\rho$ 以下であり有限であるため、未定義な $\infty-\infty$ は現れない。

Tonelli の定理により、

A_Y(y)=\int_X(f^+)^y\,d\mu, \qquad B_Y(y)=\int_X(f^-)^y\,d\mu

は非負拡張実数値可測関数である。関数 $\widetilde A_Y,\widetilde B_Y:Y\to[0,\infty)$ を

\widetilde A_Y(y)= \begin{cases} A_Y(y),&y\in Y\setminus N_Y,\\ 0,&y\in N_Y, \end{cases} \qquad \widetilde B_Y(y)= \begin{cases} B_Y(y),&y\in Y\setminus N_Y,\\ 0,&y\in N_Y \end{cases}

と定める。任意の $a\geq0$ に対して

\{\widetilde A_Y>a\}=(Y\setminus N_Y)\cap\{A_Y>a\}, \qquad \{\widetilde B_Y>a\}=(Y\setminus N_Y)\cap\{B_Y>a\}

であり、 $a<0$ に対して二つの上側集合はともに $Y$ であるから、二つの関数は可測である。 $y\in Y\setminus N_Y$ では

A_Y(y)+B_Y(y)=H_Y(y)<\infty

であり、 $N_Y$ 上では二つの関数を $0$ と定めた。したがって、 $\widetilde A_Y$ と $\widetilde B_Y$ は有限値である。さらに、

0\leq\widetilde A_Y\leq H_Y, \qquad 0\leq\widetilde B_Y\leq H_Y

であり、 $\int_YH_Y\,d\nu<\infty$ であるから、二つの関数は可積分である。

$y\in Y\setminus N_Y$ では、実数値可積分関数の積分の定義から

\int_Xf^y\,d\mu=A_Y(y)-B_Y(y)

である。 $N_Y$ 上では各関数を $0$ と定めたので、

J=\widetilde A_Y-\widetilde B_Y

が成り立つ。したがって、 $J$ は可積分である。 $A_Y$ と $\widetilde A_Y$ 、および $B_Y$ と $\widetilde B_Y$ は $Y\setminus N_Y$ 上でそれぞれ一致する。積分のほとんど至る所での不変性と Tonelli の定理により、

\begin{aligned} \int_YJ\,d\nu &=\int_Y\widetilde A_Y\,d\nu-\int_Y\widetilde B_Y\,d\nu\\ &=\int_YA_Y\,d\nu-\int_YB_Y\,d\nu\\ &=\int_{X\times Y}f^+\,d\rho-\int_{X\times Y}f^-\,d\rho\\ &=\int_{X\times Y}f\,d\rho. \end{aligned}

以上により、実数値の場合の三つの主張を得る。

次に $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ とする。

u=\operatorname{Re}f, \qquad v=\operatorname{Im}f

とおく。 $u$ と $v$ は有限実数値可測関数であり、

|u|\leq|f|, \qquad |v|\leq|f|

であるから、積測度 $\rho$ に関して可積分である。すでに証明した実数値の場合を $u$ と $v$ へ適用する。得られた、例外零集合上で $0$ とした内側積分関数を第一座標について $U_X,V_X$ 、第二座標について $U_Y,V_Y$ と書く。これらは実数値可積分関数であり、

\begin{aligned} \int_XU_X\,d\mu&=\int_{X\times Y}u\,d\rho, & \int_XV_X\,d\mu&=\int_{X\times Y}v\,d\rho,\\ \int_YU_Y\,d\nu&=\int_{X\times Y}u\,d\rho, & \int_YV_Y\,d\nu&=\int_{X\times Y}v\,d\rho \end{aligned}

を満たす。

一方、Tonelli の定理を $|f|$ へ適用し、

H_X(x)=\int_Y|f_x|\,d\nu, \qquad H_Y(y)=\int_X|f^y|\,d\mu

とおく。 $H_X$ と $H_Y$ は可測であり、

\int_XH_X\,d\mu =\int_{X\times Y}|f|\,d\rho =\int_YH_Y\,d\nu <\infty

を満たす。補題 3.1により、

N_X=\{x\in X\mid H_X(x)=\infty\}, \qquad N_Y=\{y\in Y\mid H_Y(y)=\infty\}

は、それぞれ $\mu$ と $\nu$ に関する零集合である。 $x\in X\setminus N_X$ では $\int_Y|f_x|\,d\nu<\infty$ であるから、 $f_x$ は複素数値可積分関数である。さらに、この $x$ では $u_x$ と $v_x$ も可積分であるため、

U_X(x)+iV_X(x) =\int_Yu_x\,d\nu+i\int_Yv_x\,d\nu =\int_Yf_x\,d\nu

が成り立つ。実数値の場合における $U_X$ または $V_X$ の例外集合は、 $H_X<\infty$ である点を含まないため、上の等式では実際の内側積分が用いられている。

$K_X=U_X+iV_X$ とおく。複素数値写像の可測性§E9.5 定理 6.1と可積分関数の線形性により、 $K_X$ は複素数値可積分関数である。 $I$ を $X\setminus N_X$ 上で $K_X$ 、 $N_X$ 上で $0$ と定める。 $I$ の実部は $U_X\mathbf{1}_{X\setminus N_X}$ 、虚部は $V_X\mathbf{1}_{X\setminus N_X}$ である。指示関数の可測性と§E9.5 命題 3.1により二つの実数値関数は可測であり、§E9.5 定理 6.1により $I$ は可測である。また、 $I=K_X$ が $X\setminus N_X$ 上で成り立ち、 $N_X$ 上では $I=0$ であるから、 $|I|\leq|K_X|$ が点ごとに成り立つ。したがって、 $I$ は可積分である。§E9.6 定理 4.2により、

\begin{aligned} \int_XI\,d\mu &=\int_XK_X\,d\mu\\ &=\int_{X\times Y}u\,d\rho+i\int_{X\times Y}v\,d\rho\\ &=\int_{X\times Y}f\,d\rho \end{aligned}

を得る。

各 $y\in Y\setminus N_Y$ に対して

\int_X|f^y|\,d\mu=H_Y(y)<\infty

であるから、 $f^y$ は複素数値可積分関数である。この $y$ では $u^y$ と $v^y$ も可積分であり、実数値の場合で構成した $U_Y,V_Y$ は実際の内側積分に一致する。したがって、

U_Y(y)+iV_Y(y) =\int_Xu^y\,d\mu+i\int_Xv^y\,d\mu =\int_Xf^y\,d\mu

が成り立つ。

$K_Y=U_Y+iV_Y$ とおく。§E9.5 定理 6.1と可積分関数の線形性により、 $K_Y$ は複素数値可積分関数である。 $J$ を $Y\setminus N_Y$ 上で $K_Y$ 、 $N_Y$ 上で $0$ と定める。 $J$ の実部は $U_Y\mathbf{1}_{Y\setminus N_Y}$ 、虚部は $V_Y\mathbf{1}_{Y\setminus N_Y}$ であるから、二つの実数値関数は可測であり、 $J$ は可測である。 $J=K_Y$ が $Y\setminus N_Y$ 上で成り立ち、 $N_Y$ 上では $J=0$ であるから、 $|J|\leq|K_Y|$ が点ごとに成り立つ。したがって、 $J$ は可積分である。積分のほとんど至る所での不変性により、

\begin{aligned} \int_YJ\,d\nu &=\int_YK_Y\,d\nu\\ &=\int_{X\times Y}u\,d\rho+i\int_{X\times Y}v\,d\rho\\ &=\int_{X\times Y}f\,d\rho \end{aligned}

を得る。したがって、複素数値の場合にも三つの主張が成り立つ。▨

二つの定理を一つの参照先から用いるため、非負の場合と絶対可積分な場合を次の系にまとめる。この系では、非負関数の内側積分はすべての点で定義されるが、符号をもつ関数または複素数値関数の内側積分は零集合を除いて定義されるという違いを保つ。

系 3.3 (Fubini–Tonelli の定理). 可算選択公理を仮定する。 $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal{T},\nu)$ をシグマ有限な正測度空間とし、 $\rho=\mu\otimes\nu$ とおく。

$f:X\times Y\to[0,\infty]$ が非負拡張実数値可測関数であるならば、二つの内側積分関数はすべての点で定義された非負拡張実数値可測関数であり、 $\int_{X\times Y}f\,d\rho =\int_X\left(\int_Yf(x,y)\,d\nu(y)\right)d\mu(x) =\int_Y\left(\int_Xf(x,y)\,d\mu(x)\right)d\nu(y)$ が $[0,\infty]$ において成り立つ。
$\mathbb{K}$ が $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ であり、 $f:X\times Y\to\mathbb{K}$ が有限値可測関数で $\int_{X\times Y}|f|\,d\rho<\infty$ を満たすならば、 $f_x$ と $f^y$ はそれぞれほとんど至る所で可積分である。可積分でない切り口上の内側積分を $0$ と定めると、二つの内側積分関数は可積分であり、 $\int_{X\times Y}f\,d\rho =\int_X\left(\int_Yf(x,y)\,d\nu(y)\right)d\mu(x) =\int_Y\left(\int_Xf(x,y)\,d\mu(x)\right)d\nu(y)$ が $\mathbb{K}$ において成り立つ。

証明.(1)を示す。第一の主張は定理 2.3である。(2)を示す。第二の主張は定理 3.2であり、同定理で構成した零集合上の値を $0$ とした内側積分関数を用いる。▨

注意 3.4 (仮定の役割). シグマ有限性は、命題 1.2の証明で有限測度長方形を増加させて $X\times Y$ を覆うために用いる。また、上流で積測度を長方形上の値から一意に定めるためにも用いる。単調収束定理自体はシグマ有限性を必要としない。

Tonelli の定理では、非負性によってすべての積分を $[0,\infty]$ の中で扱うことができる。したがって、積分値が $\infty$ であっても差をとる必要がない。Fubini の定理では、絶対可積分性によって正部分と負部分の積分を有限にし、ほとんどすべての切り口を可積分にする。絶対可積分性を仮定しなければ、正部分と負部分の双方の積分が $\infty$ となり、積分の順序によって異なる値が現れる場合がある。

4 有限原子空間での計算

有限集合上では、反復積分を有限和として直接計算し、Tonelli の定理の三つの積分を比較することができる。

例 4.1 (有限原子測度に対する Tonelli の定理). $X=\{1,2\}$ と $Y=\{a,b\}$ に冪集合からなるシグマ加法族を入れる。一点集合の測度を

\mu(\{1\})=2,\qquad \mu(\{2\})=1, \qquad \nu(\{a\})=1,\qquad \nu(\{b\})=3

と定める。関数 $f:X\times Y\to[0,\infty)$ を

f(1,a)=1,\qquad f(1,b)=2,\qquad f(2,a)=4,\qquad f(2,b)=0

によって定める。二つの測度は有限であり、 $f$ は非負可測関数である。

$Y$ について先に積分すると、

\int_Yf(1,y)\,d\nu(y)=1\cdot1+2\cdot3=7, \qquad \int_Yf(2,y)\,d\nu(y)=4\cdot1+0\cdot3=4

である。したがって、

\int_X\left(\int_Yf(x,y)\,d\nu(y)\right)d\mu(x) =7\cdot2+4\cdot1=18.

$X$ について先に積分すると、

\int_Xf(x,a)\,d\mu(x)=1\cdot2+4\cdot1=6, \qquad \int_Xf(x,b)\,d\mu(x)=2\cdot2+0\cdot1=4

である。ゆえに、

\int_Y\left(\int_Xf(x,y)\,d\mu(x)\right)d\nu(y) =6\cdot1+4\cdot3=18.

積測度積分も一点長方形の有限非交和により

\int_{X\times Y}f\,d(\mu\otimes\nu) =1\cdot2\cdot1+2\cdot2\cdot3+4\cdot1\cdot1=18

となり、三つの値が一致する。

5 仮定を外した場合

シグマ有限性を外すと、非負可測関数であっても二つの反復積分が一致しない場合がある。次の例では、対角集合が積シグマ加法族に属することも可算集合演算によって確認する。

例 5.1 (シグマ有限でない数え上げ測度). $X=Y=[0,1]$ とする。 $X$ には Borel シグマ加法族 $\Sigma$ と Lebesgue 測度 $\mu$ を入れ、 $Y$ には冪集合 $\mathcal{T}=\mathcal{P}(Y)$ と数え上げ測度 $\nu$ を入れる。すなわち、 $C\subseteq Y$ が有限集合ならば $\nu(C)$ はその要素数であり、 $C$ が無限集合ならば $\nu(C)=\infty$ である。

$\nu$ はシグマ有限でない。実際、 $\nu(C)<\infty$ を満たす集合 $C$ は有限集合であり、可算個の有限集合の和集合は可算集合である。非可算集合 $[0,1]$ を、そのような集合列で覆うことはできない。

対角集合

D=\{(x,y)\in[0,1]^2\mid x=y\}

が $\Sigma\otimes\mathcal{T}$ に属することを確認する。各 $n\geq1$ に対して、 $[0,1]$ を長さが $2^{-n}$ 以下の Borel 集合

I_{n,k}= \begin{cases} [k2^{-n},(k+1)2^{-n}),&0\leq k<2^n-1,\\ [(2^n-1)2^{-n},1],&k=2^n-1 \end{cases}

へ分割する。このとき、

D =\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=0}^{2^n-1}(I_{n,k}\times I_{n,k})

である。右辺は可測長方形の有限和と可算共通部分からなるため、 $D\in\Sigma\otimes\mathcal{T}$ である。等式の右辺に属する $(x,y)$ で $x\neq y$ ならば、 $2^{-n}<|x-y|$ を満たす $n$ において $x$ と $y$ が同じ $I_{n,k}$ に属することができず、矛盾する。これにより集合の等式も検証される。

$f=\mathbf{1}_D$ とおく。すべての $x\in X$ に対して $D_x=\{x\}$ であるから、

\int_Yf(x,y)\,d\nu(y)=\nu(\{x\})=1.

したがって、

\int_X\left(\int_Yf(x,y)\,d\nu(y)\right)d\mu(x) =\mu([0,1])=1.

一方、すべての $y\in Y$ に対して $D^y=\{y\}$ であり、 $\mu(\{y\})=0$ である。ゆえに、

\int_Y\left(\int_Xf(x,y)\,d\mu(x)\right)d\nu(y) =\int_Y0\,d\nu=0.

二つの反復積分は一致しない。この計算は、シグマ有限性を外した測度空間へ定理 2.3の結論をそのまま拡張することができないことを示す。

二つの測度がシグマ有限であっても、符号をもつ関数について絶対可積分性を外すと、反復積分の順序によって値が変わる場合がある。

例 5.2 (絶対可積分でない二重数列). $X=Y=\mathbb{Z}_{\geq1}$ にそれぞれ冪集合を入れ、 $X$ 上の数え上げ測度を $\mu$ 、 $Y$ 上の数え上げ測度を $\nu$ と書く。二つの測度は、一点集合の増加列が全空間を覆うためシグマ有限である。関数 $a:X\times Y\to\mathbb{R}$ を

a(m,n)= \begin{cases} 1,&m=n,\\ -1,&m=n+1,\\ 0,&\text{それ以外} \end{cases}

と定める。 $X\times Y$ は可算集合であり、一点集合は可測長方形であるから、すべての部分集合は可測である。したがって、 $a$ は積可測関数である。

固定した $m=1$ に対する行の和は $1$ である。固定した $m\geq2$ に対する行には、 $n=m$ の項 $1$ と $n=m-1$ の項 $-1$ だけが存在するため、その行の和は $0$ である。したがって、

\sum_{m=1}^{\infty}\left(\sum_{n=1}^{\infty}a(m,n)\right)=1.

固定した任意の $n\geq1$ に対する列には、 $m=n$ の項 $1$ と $m=n+1$ の項 $-1$ だけが存在するため、その列の和は $0$ である。したがって、

\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sum_{m=1}^{\infty}a(m,n)\right)=0.

各内側の和は有限個の非零項しかもたず、外側の二つの関数も可積分である。それにもかかわらず、二つの反復積分は異なる。

絶対値をとると、対角線上とその直下に値 $1$ が可算無限個ずつ存在するので、

\int_{X\times Y}|a|\,d(\mu\otimes\nu) =\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}|a(m,n)| =\infty.

したがって、 $a$ は積測度に関して絶対可積分ではなく、Fubini の定理の仮定を満たさない。

6 演習

問題 6.1.

補題 1.1の証明で、 $E\in\mathcal{D}_{A,B}$ から $(X\times Y)\setminus E\in\mathcal{D}_{A,B}$ を導く二つの切り口の等式を書き、 $\mu(A)<\infty$ と $\nu(B)<\infty$ が差の積分を定義するために必要であることを示せ。
非負単関数 $s=\sum_{j=1}^{m}a_j\mathbf{1}_{E_j}$ について、命題 1.2から命題 2.2の三つの積分の等式を再構成せよ。係数が $0$ で対応する集合の測度が $\infty$ である場合も処理せよ。
定理 2.3の証明で用いた増加単関数列 $(s_n)_{n\geq1}$ について、内側積分関数の可測性と、内側および外側の単調収束定理の適用条件を両方の積分順序で確認せよ。
定理 3.2の実数値の場合について、 $N_X$ が零集合であることを証明し、 $I=\widetilde A_X-\widetilde B_X$ の可積分性と $\int_XI\,d\mu=\int_{X\times Y}f\,d(\mu\otimes\nu)$ を導け。
例 5.2では、各内側積分と二つの外側積分が定義されるにもかかわらず Fubini の定理を適用することができない。欠けている仮定を特定し、正部分と負部分の積測度積分をそれぞれ計算せよ。

7 まとめ

積可測集合 $E$ の切り口 $E_x$ と $E^y$ が可測であることに加えて、シグマ有限性のもとでは $x\mapsto\nu(E_x)$ と $y\mapsto\mu(E^y)$ も可測であり、その積分は $(\mu\otimes\nu)(E)$ に等しい。証明では、有限測度長方形上の π–λ 論法と、有限測度長方形による増加被覆を用いた。

集合の公式を有限加法によって非負単関数へ拡張し、増加単関数近似と単調収束定理を適用すると、非負可測関数に対する Tonelli の定理が得られる。Tonelli の定理は積分値に $\infty$ を許す。絶対可積分な実数値関数では正部分と負部分を別々に Tonelli の定理へ適用し、複素数値関数では実部と虚部へ実数値の場合を適用する。絶対可積分性は、ほとんどすべての切り口の可積分性を保証し、正部分と負部分の積分の差を有限な実数として定める。

§E9.11Fubini–Tonelli の定理

1 切り口測度関数

1.1 証明方針

2 非負可測関数の切り口

2.1 証明方針

3 絶対可積分関数

3.1 証明方針

4 有限原子空間での計算

5 仮定を外した場合

6 演習

7 まとめ

参考文献

前提記事