§E12.20Gelfand 双対

証明.$K\subseteq Y$をコンパクト部分集合とする。$Y$は Hausdorff であるから、§E2.19 命題 6.4により$K$は$Y$の閉集合である。$f$は連続であるから、§E2.12 命題 1.6 (2)により$f^{-1}(K)$は$X$の閉集合である。$X$はコンパクトであるから、§E2.19 命題 4.1により$f^{-1}(K)$はコンパクトである。したがって定義 1.1により$f$は proper 写像である。▨

証明.(1)を示す。$g\in C_0(Y)$とする。$f$と$g$は連続であるから、§E2.12 命題 1.10により$g\circ f$は連続である。$\varepsilon>0$に対して、$|g(f(x))|\geq\varepsilon$であることと$f(x)\in\{y\in Y:|g(y)|\geq\varepsilon\}$であることは同値であるから

である。§E12.16 定義 1.1により$\{y\in Y:|g(y)|\geq\varepsilon\}$は$Y$のコンパクト部分集合であるから、定義 1.1によりその$f$による逆像はコンパクトである。$\varepsilon>0$は任意であったから$g\circ f\in C_0(X)$である。また、任意の$x\in X$について$|g(f(x))|\leq\sup_{y\in Y}|g(y)|=\|g\|_\infty$であるから、上限をとると$\|f^*(g)\|_\infty\leq\|g\|_\infty$である。

(2)を示す。$g,h\in C_0(Y)$、$\lambda\in\mathbb C$とする。各$x\in X$について

であるから$f^*(g+\lambda h)=f^*(g)+\lambda f^*(h)$かつ$f^*(gh)=f^*(g)f^*(h)$である。§E12.16 定理 2.1により$C_0(Y)$と$C_0(X)$の対合はいずれも複素共役であり、各$x\in X$について$\overline{g}(f(x))=\overline{g(f(x))}$であるから$f^*(g^*)=f^*(g)^*$である。

(3)を示す。$x\in X$をとる。一点集合$\{f(x)\}$はコンパクトであるから、§E12.16 補題 3.3を$Y$、コンパクト部分集合$\{f(x)\}$、開部分集合$W=Y$に適用すると、$g\in C_0(Y)$であって$g(f(x))=1$を満たすものが存在する。$f^*(g)(x)=g(f(x))=1\neq0$であるから、定義 1.3により$f^*$は非退化である。▨

証明.(1)を示す。§E2.12 命題 1.10により$h\circ f$は連続である。$K\subseteq Z$をコンパクト部分集合とすると、定義 1.1により$h^{-1}(K)$は$Y$のコンパクト部分集合であり、ふたたび定義 1.1により$f^{-1}(h^{-1}(K))$は$X$のコンパクト部分集合である。$(h\circ f)^{-1}(K)=f^{-1}(h^{-1}(K))$であるから$h\circ f$は proper 写像である。$g\in C_0(Z)$と$x\in X$に対して

であるから$(h\circ f)^*=f^*\circ h^*$である。

(2)を示す。$\operatorname{id}_X$は連続であり、$K\subseteq X$がコンパクトならば$\operatorname{id}_X^{-1}(K)=K$はコンパクトであるから、$\operatorname{id}_X$は proper 写像である。$g\in C_0(X)$に対して$(\operatorname{id}_X)^*(g)=g\circ\operatorname{id}_X=g$である。▨

証明.$G$を$\Delta(A)$の開集合とし、$z_0\in\Psi^{-1}(G)$をとる。§E12.14 定義 5.1と§E2.12 定義 4.1により、$A^*$の弱星開集合$V$が存在して$G=V\cap\Delta(A)$である。$\Psi(z_0)\in V$であるから、§E12.5 定義 2.1の基本近傍の形により、$a_1,\ldots,a_m\in A$と$\varepsilon>0$が存在して

である。各$j$について$h_j(z):=\Psi(z)(a_j)$は仮定により連続であるから、

は有限個の開集合の共通部分として$Z$の開集合であり、$z_0\in W$である。$z\in W$ならば、すべての$j$について$|\Psi(z)(a_j)-\Psi(z_0)(a_j)|<\varepsilon$であるから$\Psi(z)\in V(\Psi(z_0);a_1,\ldots,a_m;\varepsilon)\subseteq V$であり、$\Psi(z)\in\Delta(A)$とあわせて$\Psi(z)\in G$である。したがって$z_0\in W\subseteq\Psi^{-1}(G)$である。

$\Psi^{-1}(G)$の各点がこのような開集合をもつから、$\Psi^{-1}(G)$はそれらの和集合として開集合である。$G$は任意であったから、§E2.12 定義 1.1により$\Psi$は連続である。▨

証明.$K$はコンパクト Hausdorff であるから、§E2.24 例 5.1 (1)により局所コンパクトであり、§E12.16 命題 4.1 (1)により$C_0(K)=C(K)$であって定数関数$\mathbf1$が単位元である。§E12.14 定義 4.4により$\varphi$は零写像でないから$C(K)\neq\{0\}$である。$K=\emptyset$ならば$K$上の写像は空写像だけであり$C(K)=\{0\}$となるから、$K\neq\emptyset$である。したがって、ふたたび§E12.16 命題 4.1 (1)により$C(K)$は単位的可換 Banach 環である。

存在を示す。すべての$p\in K$に対して$g(p)\neq0$を満たす$g\in\ker\varphi$が存在すると仮定する。各$p\in K$についてそのような$g_p\in\ker\varphi$をとり、$u_p:=g_p\overline{g_p}\in C(K)$とおく。$\varphi$は乗法的であり$\varphi(g_p)=0$であるから$\varphi(u_p)=\varphi(g_p)\varphi(\overline{g_p})=0$であり、$u_p\in\ker\varphi$である。各$x\in K$について$u_p(x)=|g_p(x)|^2\geq0$であり、$u_p(p)=|g_p(p)|^2>0$である。$V_p:=\{x\in K:u_p(x)>0\}$は連続写像$u_p$による開集合$\{\mu\in\mathbb C:\operatorname{Re}\mu>0\}$の逆像であるから$K$の開集合であり、$p\in V_p$である。

$\{V_p\}_{p\in K}$は$K$の開被覆であるから、§E2.19 定義 2.1により有限個の点$p_1,\ldots,p_n\in K$が存在して$K=V_{p_1}\cup\cdots\cup V_{p_n}$となる。$K\neq\emptyset$であるから$n\geq1$である。$u:=u_{p_1}+\cdots+u_{p_n}$とおくと、$\ker\varphi$は加法について閉じているから$u\in\ker\varphi$である。各$x\in K$はある$V_{p_i}$に属し、他の項が非負であるから$u(x)\geq u_{p_i}(x)>0$である。したがって$x\mapsto1/u(x)$は$K$上の連続写像であり$C(K)$に属し、$u\cdot(1/u)=\mathbf1$である。$\varphi$は乗法的であり、§E12.14 命題 4.5 (2)により$\varphi(\mathbf1)=1$であるから

となり矛盾する。したがって仮定は誤りであり、ある$p\in K$が存在して、すべての$g\in\ker\varphi$について$g(p)=0$である。$g\in C(K)$をとると$\varphi(g-\varphi(g)\mathbf1)=\varphi(g)-\varphi(g)\varphi(\mathbf1)=0$であるから$g-\varphi(g)\mathbf1\in\ker\varphi$であり、$p$で評価すると$g(p)-\varphi(g)=0$、すなわち$\varphi(g)=g(p)$である。

一意性を示す。$p,q\in K$がともにこの性質をもち、$p\neq q$であると仮定する。$K$は Hausdorff であるから§E2.15 定理 1.11 (4)により T1 であり、§E2.15 命題 1.5により$\{q\}$は$K$の閉集合である。$W:=K\setminus\{q\}$は開集合であり$p\in W$である。一点集合$\{p\}$はコンパクトであるから、§E12.16 補題 3.3を局所コンパクト Hausdorff 空間$K$、コンパクト部分集合$\{p\}$、開部分集合$W$に適用すると、$g\in C_0(K)=C(K)$であって$g(p)=1$を満たし$K\setminus W=\{q\}$の上で$0$をとるものが存在する。このとき$\varphi(g)=g(p)=1$と$\varphi(g)=g(q)=0$が同時に成り立ち矛盾する。したがって$p=q$である。▨

証明.$p\in K$をとる。$\varepsilon_K(p)$は各点ごとの演算により線形かつ乗法的であり、定数関数$\mathbf1$について$\varepsilon_K(p)(\mathbf1)=1\neq0$であるから零写像でない。したがって§E12.14 定義 4.4により$\varepsilon_K(p)\in\Delta(C(K))$である。

補題 2.2の存在の主張により、$\Delta(C(K))$の各元はある$\varepsilon_K(p)$に等しいから$\varepsilon_K$は全射であり、一意性の主張により$\varepsilon_K(p)=\varepsilon_K(q)$ならば$p=q$であるから$\varepsilon_K$は単射である。

各$g\in C(K)$について、$p\mapsto\varepsilon_K(p)(g)=g(p)$は$g$自身であり連続である。$K$はコンパクト Hausdorff であるから§E2.24 例 5.1 (1)により局所コンパクトであり、§E12.16 命題 4.1 (1)により$C(K)=C_0(K)$は可換 Banach 環である。したがって補題 2.1により$\varepsilon_K$は連続である。

§E12.14 補題 5.2により$C(K)^*$は弱星位相について Hausdorff であり、§E2.15 問題 6.2によりその部分空間である$\Delta(C(K))$も Hausdorff である。$K$はコンパクトであるから、§E2.19 定理 6.8により連続な全単射$\varepsilon_K$は同相写像である。▨

証明.$X$がコンパクトであるとする。§E12.16 命題 4.1 (1)により$C_0(X)=C(X)$であるから、補題 2.3を$K=X$に適用すると主張が従う。

$X$がコンパクトでないとする。$A:=C_0(X)$とおく。§E12.16 定理 2.1により$A$は可換 C* 環であり、§E12.16 命題 4.1 (2)により単位元をもたない。§E12.17 定義 1.1により単位化$A^+$が定まり、§E12.18 補題 4.1により$A^+$は§E12.17 定理 2.2のノルムについて単位的可換 C* 環であるから、§E12.15 定義 1.2と§E12.15 定義 1.1により可換 Banach 環である。§E12.17 命題 1.3により$A^+$は$1=(0,1)$を単位元にもち、§E12.17 定義 1.1により$(f,\lambda)=f+\lambda1$である。

§E2.24 定義 2.1の一点コンパクト化位相を入れた$\alpha X=X\cup\{\infty\}$を考える。§E2.24 命題 2.2 (3)により$\alpha X$はコンパクト Hausdorff 空間であり、§E2.24 命題 2.2 (1)により$X$は$\alpha X$の開部分空間であって、$\alpha X$から$X$に入る部分空間位相はもとの位相に一致する。§E12.17 定理 3.2により

は等長な *-同型である。ここで$f^+$は§E12.17 補題 3.1の延長であり、$f^+(\infty)=0$かつ$f^+|_X=f$である。

$\psi\in\Delta(C(\alpha X))$に対して$R(\psi):=\psi\circ\Phi$とおく。$\Phi$は線形かつ乗法的であるから$R(\psi)$は線形かつ乗法的であり、$\Phi$は全射であって$\psi$は零写像でないから$R(\psi)$も零写像でない。したがって§E12.14 定義 4.4により$R(\psi)\in\Delta(A^+)$である。同じ理由で$\chi\mapsto\chi\circ\Phi^{-1}$は$\Delta(A^+)$から$\Delta(C(\alpha X))$への写像であり、$R$との合成は両向きとも恒等写像であるから、$R:\Delta(C(\alpha X))\to\Delta(A^+)$は全単射である。

$\Theta:=R\circ\varepsilon_{\alpha X}$とおく。補題 2.3を$K=\alpha X$に適用すると$\varepsilon_{\alpha X}$は全単射であるから、$\Theta:\alpha X\to\Delta(A^+)$は全単射である。定義から、$z\in\alpha X$と$(f,\lambda)\in A^+$に対して

である。各$(f,\lambda)\in A^+$について$z\mapsto\Theta(z)(f,\lambda)=\Phi(f,\lambda)(z)$は$C(\alpha X)$の元であるから連続である。したがって補題 2.1を可換 Banach 環$A^+$と位相空間$\alpha X$に適用すると$\Theta$は連続である。§E12.14 補題 5.2により$(A^+)^*$は弱星位相について Hausdorff であり、§E2.15 問題 6.2により$\Delta(A^+)$も Hausdorff である。$\alpha X$はコンパクトであるから、§E2.19 定理 6.8により$\Theta$は同相写像である。

$f^+(\infty)=0$であるから$\Theta(\infty)(f,\lambda)=\lambda$であり、これは§E12.18 命題 4.2の$\varphi_\infty$に等しい。$\Theta$は全単射であるから、$\Theta$は$X=\alpha X\setminus\{\infty\}$を$\Delta(A^+)\setminus\{\varphi_\infty\}$の上へ全単射に写す。§E2.12 定義 4.2の包含写像$\iota_X:X\to\alpha X$は§E2.12 定理 4.4 (1)により連続であり、§E2.12 命題 1.10により$\Theta\circ\iota_X:X\to\Delta(A^+)$は連続であるから、§E2.12 定理 4.4 (3)を部分集合$\Delta(A^+)\setminus\{\varphi_\infty\}\subseteq\Delta(A^+)$に適用すると、制限$\Theta|_X:X\to\Delta(A^+)\setminus\{\varphi_\infty\}$は部分空間位相について連続である。同じ議論を$\Theta^{-1}$、包含写像$\Delta(A^+)\setminus\{\varphi_\infty\}\to\Delta(A^+)$および部分集合$X\subseteq\alpha X$に適用すると$(\Theta|_X)^{-1}$も連続である。したがって$\Theta|_X$は同相写像である。

$x\in X$をとる。$\Theta(x)\in\Delta(A^+)\setminus\{\varphi_\infty\}$であり、§E12.18 命題 4.2により$j(\varphi):=\varphi^+$は$\Delta(A)$から$\Delta(A^+)\setminus\{\varphi_\infty\}$への同相写像であるから、$\varphi^+=\Theta(x)$を満たす$\varphi\in\Delta(A)$がただ一つ存在する。$(f,0)$で評価すると、$\varphi^+(f,0)=\varphi(f)$と$\Theta(x)(f,0)=f^+(x)=f(x)$から、すべての$f\in A$について$\varphi(f)=f(x)$である。すなわち$\varphi=\varepsilon_X(x)$であり、とくに$\varepsilon_X(x)\in\Delta(A)$かつ$j(\varepsilon_X(x))=\Theta(x)$である。

したがって$\Theta|_X=j\circ\varepsilon_X$であり、$\varepsilon_X=j^{-1}\circ\Theta|_X$である。$j^{-1}$と$\Theta|_X$はいずれも同相写像であるから、その合成である$\varepsilon_X$は$X$から$\Delta(C_0(X))$への同相写像である。▨

証明.(1)を示す。定理 2.4により$\varepsilon_X$は$X$から$\Delta(C_0(X))$への同相写像である。$X$がコンパクトであることと$C_0(X)$が単位元をもつことの同値性は§E12.16 命題 4.1 (1)と§E12.16 命題 4.1 (2)による。

(2)を示す。§E12.19 補題 1.1 (1)により$\Delta(A)$は局所コンパクト Hausdorff 空間であり、$A$が単位的である場合には$\Delta(A)$はコンパクトである。§E12.19 定理 1.3により$\Gamma$は$A$から$C_0(\Delta(A))$への等長な *-同型である。▨

証明.$x\in X$をとる。仮定により、すべての$g\in C_0(Y)$について$\varepsilon_Y(f(x))(g)=g(f(x))=g(h(x))=\varepsilon_Y(h(x))(g)$であるから、$\varepsilon_Y(f(x))=\varepsilon_Y(h(x))$である。定理 2.4により$\varepsilon_Y$は単射であるから$f(x)=h(x)$である。$x\in X$は任意であったから$f=h$である。▨

証明.$x\in X$をとり、$\varphi_x:C_0(Y)\to\mathbb C$を$\varphi_x(g):=\pi(g)(x)$で定める。$\pi$は線形であり各点における評価も線形であるから$\varphi_x$は線形である。$g,h\in C_0(Y)$に対して$\varphi_x(gh)=\pi(gh)(x)=(\pi(g)\pi(h))(x)=\varphi_x(g)\varphi_x(h)$であるから$\varphi_x$は乗法的である。定義 1.3により$\pi(g)(x)\neq0$を満たす$g\in C_0(Y)$が存在するから$\varphi_x$は零写像でない。したがって§E12.14 定義 4.4により$\varphi_x\in\Delta(C_0(Y))$である。

定理 2.4を$Y$に適用すると$\varepsilon_Y:Y\to\Delta(C_0(Y))$は同相写像であり、とくに全単射である。$f(x):=\varepsilon_Y^{-1}(\varphi_x)$と定めると、すべての$g\in C_0(Y)$について$g(f(x))=\varepsilon_Y(f(x))(g)=\varphi_x(g)=\pi(g)(x)$である。

$f$の連続性を示す。$\Psi:X\to\Delta(C_0(Y))$を$\Psi(x):=\varphi_x$で定める。各$g\in C_0(Y)$について$x\mapsto\Psi(x)(g)=\pi(g)(x)$は$\pi(g)\in C_0(X)$自身であるから連続である。§E12.16 定理 2.1と§E12.15 定義 1.2、§E12.15 定義 1.1により$C_0(Y)$は可換 Banach 環であるから、補題 2.1により$\Psi$は連続である。$f=\varepsilon_Y^{-1}\circ\Psi$であり$\varepsilon_Y^{-1}$は連続であるから、§E2.12 命題 1.10により$f$は連続である。

一意性を示す。$f_1,f_2:X\to Y$がともに条件を満たすとすると、すべての$g\in C_0(Y)$と$x\in X$について$g(f_1(x))=\pi(g)(x)=g(f_2(x))$であるから、系 2.6により$f_1=f_2$である。▨

証明.$X$と$Y$はコンパクト Hausdorff であるから、§E2.24 例 5.1 (1)により局所コンパクト Hausdorff であり、§E12.16 命題 4.1 (1)により$C_0(X)=C(X)$、$C_0(Y)=C(Y)$であって、それぞれ定数関数$\mathbf1$を単位元にもつ。

対応が定まることを示す。$f:X\to Y$を連続写像とすると、$X$がコンパクトで$Y$が Hausdorff であるから補題 1.2により$f$は proper 写像である。命題 1.4 (1)と命題 1.4 (2)により$f^*$は$C(Y)$から$C(X)$への *-準同型である。各$x\in X$について$f^*(\mathbf1)(x)=\mathbf1(f(x))=1$であるから$f^*(\mathbf1)=\mathbf1$であり、$f^*$は単位元を保つ。

単射性を示す。連続写像$f,h:X\to Y$が$f^*=h^*$を満たすとすると、すべての$g\in C(Y)$と$x\in X$について$g(f(x))=f^*(g)(x)=h^*(g)(x)=g(h(x))$であるから、系 2.6により$f=h$である。

全射性を示す。$\pi:C(Y)\to C(X)$を単位元を保つ *-準同型とする。各$x\in X$について$\pi(\mathbf1)(x)=\mathbf1(x)=1\neq0$であるから、定義 1.3により$\pi$は非退化である。命題 2.7により、すべての$x\in X$と$g\in C(Y)$について$\pi(g)(x)=g(f(x))$を満たす連続写像$f:X\to Y$が存在する。この$f$について$f^*(g)=g\circ f=\pi(g)$であるから$f^*=\pi$である。▨

証明.$f:X\to Y$を同相写像とする。$f$と$f^{-1}$はいずれも連続であり、補題 1.2によりいずれも proper 写像である。命題 1.5 (1)と命題 1.5 (2)により

である。定理 3.1により$f^*$は単位元を保つ *-準同型であり、上の二つの等式により全単射であるから、$f^*$は$C(Y)$から$C(X)$への単位元を保つ *-同型である。

逆に、$\pi:C(Y)\to C(X)$を単位元を保つ *-同型とする。$\pi^{-1}:C(X)\to C(Y)$は、$\pi$が全単射な *-準同型であることから線形かつ乗法的であって対合を保ち、$\pi(\mathbf1)=\mathbf1$から単位元を保つ。定理 3.1の全射性により、連続写像$f:X\to Y$と$h:Y\to X$が存在して$f^*=\pi$かつ$h^*=\pi^{-1}$である。補題 1.2により$f$と$h$は proper 写像であるから、命題 1.5 (1)により

である。定理 3.1の単射性により$h\circ f=\operatorname{id}_X$かつ$f\circ h=\operatorname{id}_Y$であるから、$f$は全単射であって$f^{-1}=h$は連続である。よって$f$は同相写像であり、$X$と$Y$は同相である。▨

証明. 対応が定まることは命題 1.4による。

単射性を示す。proper 写像$f,h:X\to Y$が$f^*=h^*$を満たすとすると、すべての$g\in C_0(Y)$と$x\in X$について$g(f(x))=f^*(g)(x)=h^*(g)(x)=g(h(x))$であるから、系 2.6により$f=h$である。

全射性を示す。$\pi:C_0(Y)\to C_0(X)$を非退化な *-準同型とする。命題 2.7により、すべての$x\in X$と$g\in C_0(Y)$について$\pi(g)(x)=g(f(x))$を満たす連続写像$f:X\to Y$が存在する。

$f$が proper 写像であることを示す。$K\subseteq Y$をコンパクト部分集合とする。§E12.16 補題 3.3を$Y$、コンパクト部分集合$K$、開部分集合$W=Y$に適用すると、$g\in C_0(Y)$であって、すべての$y\in K$について$g(y)=1$を満たすものが存在する。$x\in f^{-1}(K)$ならば$f(x)\in K$であるから$\pi(g)(x)=g(f(x))=1$であり、

が成り立つ。$\pi(g)\in C_0(X)$であるから、§E12.16 定義 1.1により右辺はコンパクトである。$Y$は Hausdorff であるから§E2.19 命題 6.4により$K$は$Y$の閉集合であり、$f$は連続であるから§E2.12 命題 1.6 (2)により$f^{-1}(K)$は$X$の閉集合である。§E12.16 補題 1.4により$f^{-1}(K)$はコンパクトである。$K$は任意であったから、定義 1.1により$f$は proper 写像である。

この$f$について、すべての$g\in C_0(Y)$に対して$f^*(g)=g\circ f=\pi(g)$であるから$f^*=\pi$である。したがって対応は全射である。▨