§E12.9Riesz の表現定理と Lax–Milgram の定理

証明.$f=0$なら$y=0$とすればよい。以下では$f\ne0$とする。$M=\ker f$は$f$の連続性により閉部分空間であり、$M\ne H$である。§E12.8 定理 2.2により$H=M\oplus M^\perp$であるから、単位ベクトル$z\in M^\perp$をとることができる。

$x\in H$に対して$w=f(x)z-f(z)x$とおくと$f(w)=0$であるから$w\in M$である。よって$\langle w,z\rangle=0$であり、

実数体では$y=f(z)z$、複素数体では$y=\overline{f(z)}z$とおけば、いずれの場合も$f(x)=\langle x,y\rangle$を得る。

Cauchy–Schwarz の不等式により$|f(x)|\le\|x\|\|y\|$であるから$\|f\|\le\|y\|$である。$y\ne0$の場合には$x=y/\|y\|$を代入して$|f(x)|=\|y\|$を得る。$y=0$の場合には$f=0$であるから$\|f\|=0=\|y\|$である。したがって$\|f\|=\|y\|$である。

$y,y'$がともに表現ベクトルなら、$x=y-y'$を代入して$\|y-y'\|^2=\langle y-y',y-y'\rangle=0$を得るので$y=y'$である。▨

証明. 全射性、一意性、および等長性は定理 1.1から従う。複素数体では

である。実数体では複素共役が恒等写像なので線形である。▨

証明.(1)を示す。まず実数体の場合を扱う。$u\in H$を固定すると$v\mapsto a(u,v)$は有界線形汎関数である。定理 1.1により、

を満たす$Au\in H$が一意に存在する。双線形性と Riesz 対応の実線形性により$A:H\to H$は線形であり、$\|Au\|\le M\|u\|$である。強圧性と Cauchy–Schwarz の不等式から

であるから$\|Au\|\ge\alpha\|u\|$である。

(2)を示す。次に複素数体の場合を扱う。$u\in H$を固定すると$v\mapsto a(v,u)$は有界線形汎関数であるから、

によって$Au$を定める。$a(v,cu)=\overline c\,a(v,u)$と$\langle v,cAu\rangle=\overline c\,\langle v,Au\rangle$を比較すると$A(cu)=cAu$である。加法性も同様に従うので$A$は線形であり、$\|Au\|\le M\|u\|$である。また

より$\|Au\|\ge\alpha\|u\|$を得る。

以下の議論は両場合に共通である。$Au_n\to y$なら$\|u_n-u_m\|\le\alpha^{-1}\|Au_n-Au_m\|$であるため$(u_n)$は Cauchy 列である。$H$の完備性と$A$の連続性から$y\in\operatorname{Ran}A$となり、$\operatorname{Ran}A$は閉じている。

$w\in(\operatorname{Ran}A)^\perp$なら、とくに$\langle w,Aw\rangle=0$である。実数体では$a(w,w)=0$、複素数体では$\operatorname{Re}a(w,w)=0$となり、強圧性から$w=0$を得る。したがって$(\operatorname{Ran}A)^\perp=\{0\}$である。閉部分空間に対する§E12.8 定理 2.2により$\operatorname{Ran}A=H$である。下からの評価により$A$は単射でもある。

定理 1.1によって$f(v)=\langle v,y_f\rangle$と表し、$u=A^{-1}y_f$とおく。実数体では$a(u,v)=f(v)$、複素数体では$a(v,u)=f(v)$を得る。一意性は$A$の単射性から従う。最後に

であるから、$\|u\|\le\|f\|/\alpha$である。▨