§E12.8Hilbert 空間と直交射影

証明. 内積の加法性と共役対称性を用いて両辺を展開すると、左辺では交差項$2\operatorname{Re}\langle x,y\rangle$と$-2\operatorname{Re}\langle x,y\rangle$が相殺する。残る項は$2\langle x,x\rangle+2\langle y,y\rangle$である。▨

証明.$d=\inf_{z\in C}\|x-z\|$とおく。各$n\ge 1$に対して、$c_n\in C$を$\|x-c_n\|^2<d^2+1/n$となるように選ぶ。凸性により$(c_n+c_m)/2\in C$である。命題 1.2を$x-c_n$と$x-c_m$に適用すると

最後のノルムは$d$以上であるから

したがって$(c_n)$は Cauchy 列である。$H$の完備性により$c_n\to c$となる$c\in H$が存在し、$C$の閉性により$c\in C$である。ノルムの連続性から$\|x-c\|=d$を得る。

$c,c'\in C$がともに最良近似点であると仮定する。中点が$C$に属するので、同じ等式から

よって$c=c'$である。▨

証明.$M$は閉部分空間であるから空でない閉凸集合であり、定理 2.1により、$x$の$M$における一意な最良近似点$m$が存在する。$n=x-m$とおく。$y\in M$と$t\in\mathbb K$に対して$m+ty\in M$であるから

$z=\langle n,y\rangle$とする。内積を展開すると

$z\ne0$なら、$t=sz$とし、十分小さい$s>0$をとると右辺は$\|n\|^2$より小さくなり、最良性に反する。したがって$z=0$であり、$n\in M^\perp$である。

$x=m+n=m'+n'$が二つの分解なら、$m-m'=n'-n\in M\cap M^\perp$である。このベクトルを$w$とすると$\|w\|^2=\langle w,w\rangle=0$であるから$w=0$であり、分解は一意である。▨

証明. はじめに$M^\perp=(\overline M)^\perp$を示す。$M\subseteq\overline M$であるから$(\overline M)^\perp\subseteq M^\perp$である。逆に$y\in M^\perp$とし、$x\in\overline M$をとる。$x_k\to x$となる$x_k\in M$を選ぶと、内積の連続性により$\langle x,y\rangle=\lim_k\langle x_k,y\rangle=0$である。したがって$y\in(\overline M)^\perp$である。

次に$\overline M\subseteq(M^\perp)^\perp$を示す。$y\in M^\perp$を固定すると、内積の連続性により$\{x\in H:\langle x,y\rangle=0\}$は閉部分空間であり、この集合は$M$を含むので$\overline M$を含む。$y\in M^\perp$は任意であるから、$\overline M\subseteq(M^\perp)^\perp$である。

逆の包含を示す。$N=\overline M$は閉部分空間であるから、$x\in(M^\perp)^\perp$に対して定理 2.2により分解$x=m+n$、$m\in N$、$n\in N^\perp$が定まる。前段の$M^\perp=N^\perp$により$n\in M^\perp$であるから$\langle x,n\rangle=0$であり、$m\in N$と$n\in N^\perp$から$\langle m,n\rangle=0$である。したがって

であり、$n=0$、すなわち$x=m\in\overline M$である。▨

証明.$x=m+n$と$x'=m'+n'$をそれぞれ$M\oplus M^\perp$によって分解する。一意性を$ax+bx'=(am+bm')+(an+bn')$に適用すると、$P_M$の線形性を得る。$m\in M$では$P_Mm=m$であるから、$P_M^2=P_M$と像・核の表示が従う。

$m\perp n$であるから、Pythagoras の等式$\|x\|^2=\|m\|^2+\|n\|^2$により$\|P_Mx\|\le\|x\|$である。$0\ne m\in M$では$P_Mm=m$であるため、$M\ne\{0\}$なら$\|P_M\|=1$である。$y=m'+n'$と分解すると

最後に、$(I-P_M)x=n$であり$m\in(M^\perp)^\perp$であるから、$I-P_M$は$M^\perp$への直交射影である。▨

証明.$s_N=\sum_{n=1}^N\langle x,e_n\rangle e_n$とおく。$x-s_N$は各$e_1,\ldots,e_N$と直交するので

したがって各部分和は$\|x\|^2$以下であり、非負項級数の極限をとれば主張を得る。▨

証明.定理 3.2により係数の二乗和は有限である。したがって部分和$s_N=\sum_{n=1}^N\langle x,e_n\rangle e_n$は

を満たす Cauchy 列である。完備性により$s_N\to s$となる$s\in H$が存在する。各$k$について$\langle x-s,e_k\rangle=0$である。

(1)$\Rightarrow$(3)を示す。$x-s$は稠密な線形包と直交するので$x-s=0$である。(3)$\Rightarrow$(4)を示す。上の Pythagoras の等式で$N\to\infty$とする。(4)$\Rightarrow$(2)を示す。全係数が$0$なら$\|x\|=0$である。最後に(2)$\Rightarrow$(1)を示す。$\overline{\operatorname{span}}\{e_n\}\ne H$なら、定理 2.2によりその直交補空間に$0$でない元が存在する。この元は全ての$e_n$と直交し、(2)に反する。よって(1)が成り立つ。有限系の場合も、和を系の最後で止めれば同じ証明が成立する。▨

証明.$H\ne\{0\}$とし、可算な稠密集合$(x_n)$をとる。$x_1,x_2,\ldots$を順に調べ、それまでに選んだベクトルの線形包に属さない最初のベクトルだけを選ぶ。選ばれた線形独立列へ、先行記事の Gram–Schmidt の直交化を有限段ごとに適用する。各段の最初の零でない残差を正規化することにより、有限または可算な正規直交系$(e_j)$を得る。従属するベクトルと零ベクトルは選ばれないので、正規化の分母は常に正である。

選択が有限回で止まった場合、その有限次元線形包は全ての$x_n$を含む。有限次元部分空間は閉じており、$(x_n)$は稠密であるから、その線形包は$H$に等しい。選択が無限に続く場合、各$x_n$は、それを調べた時点までに選んだベクトルの線形包に属する。したがって全ての$x_n$は$\overline{\operatorname{span}}\{e_j\}$に属し、稠密性からこの閉包は$H$に等しい。いずれの場合も$(e_j)$は完全である。▨