§E12.3Hahn–Banach の定理

証明.$M\neq X$とし、$x_0\in X\setminus M$をとって一段拡張を構成する。$M_1=M\oplus\mathbb R x_0$上の線形延長は、$F_1(x_0)=\alpha$を定めると

によって一意に定まる。$F_1\leq p$が成り立つための必要十分条件は

である。実際、$t>0$の場合は$m/t$を用いて右側の不等式へ帰着し、$t<0$の場合は$-m/t$を用いて左側の不等式へ帰着する。$t=0$の場合は$f\leq p$である。

区間 (1) が空でないことを示す。任意の$m_1,m_2\in M$に対して

である。したがって

である。$m_1$について上限をとり、$m_2$について下限をとると、(1) の左端は右端以下である。よって一段拡張が存在する。

次に、$f$の延長の対$(N,g)$で、$M\subset N\subset X$、$g:N\to\mathbb R$が線形、$g|_M=f$、$g\leq p|_N$を満たすもの全体を$\mathcal E$とする。$(N_1,g_1)\preceq(N_2,g_2)$を$N_1\subset N_2$かつ$g_2|_{N_1}=g_1$によって定める。

$\mathcal C\subset\mathcal E$を鎖とする。$\mathcal C$が空ならば、$(M,f)\in\mathcal E$が$\mathcal C$の上界である。以下では$\mathcal C$が空でないとし、$N_{\mathcal C}:=\bigcup_{(N,g)\in\mathcal C}N$とおく。鎖の任意の二つの元は包含関係で比較することができるため、各$x\in N_{\mathcal C}$に対して、その元を含む$N$上の$g(x)$を値とする写像$g_{\mathcal C}$は矛盾なく定まる。同じ比較可能性から$N_{\mathcal C}$は線形部分空間であり、$g_{\mathcal C}$は線形で、$g_{\mathcal C}\leq p$である。したがって$(N_{\mathcal C},g_{\mathcal C})$は鎖$\mathcal C$の上界である。

§E1.20 定理 2.1が証明する Zorn の補題を$\mathcal E$に適用すると、極大元$(N_*,g_*)$が存在する。$N_*\neq X$ならば、前半の一段拡張によって$g_*$を真に大きい部分空間へ延長することができ、極大性に反する。よって$N_*=X$であり、$F=g_*$が求める延長である。▨

証明.$p(x)=\|f\|\,\|x\|$とおく。定理 1.2による延長$F$は$F(x)\leq\|f\|\,\|x\|$を満たす。$-F(x)=F(-x)\leq\|f\|\,\|-x\|$でもあるため、$|F(x)|\leq\|f\|\,\|x\|$であり、$\|F\|\leq\|f\|$である。一方、$F$は$f$の延長なので$\|F\|\geq\|f\|$である。したがって等号が成り立つ。▨

証明.$u=\operatorname{Re}f$とおく。$m\in M$に対して$|u(m)|\leq|f(m)|\leq\|f\|\,\|m\|$なので、実 Hahn–Banach により、実線形汎関数$U:X\to\mathbb R$が存在し、$U|_M=u$かつ$|U(x)|\leq\|f\|\,\|x\|$となる。

$F(x):=U(x)-iU(ix)$と定める。$U$の実線形性から$F$は加法的であり、実数倍を保つ。また、

なので、$F$は複素線形である。$m\in M$に対して$U(im)=\operatorname{Re}f(im)=-\operatorname{Im}f(m)$であるため、

$F(x)\neq0$のとき、$\lambda\in\mathbb C$を$|\lambda|=1$かつ$\lambda F(x)=|F(x)|$となるようにとる。$F$の複素線形性と$\operatorname{Re}F(z)=U(z)$から

を得る。$F(x)=0$の場合も同じ評価が成り立つ。よって$\|F\|\leq\|f\|$であり、制限から逆向きの不等式も成り立つため$\|F\|=\|f\|$である。▨

証明.$M=\mathbb Kx$とし、$f_0(\alpha x)=\alpha\|x\|$と定める。$f_0$は線形であり、$|f_0(\alpha x)|=\|\alpha x\|$なので$\|f_0\|=1$である。実または複素 Hahn–Banach によって$f_0$をノルムを保って$X$へ延長する。$x\neq y$の場合は$x-y\neq0$に同じ主張を適用する。▨

証明.$\|f\|\leq1$なら$|f(x)|\leq\|x\|$なので、右辺は$\|x\|$以下である。$x\neq0$なら系 3.1が等号を達成する$f$を与える。$x=0$の場合は両辺が$0$である。▨

証明.$J$の線形性は定義から従う。任意の$f\in X^*$に対して$|(Jx)(f)|=|f(x)|\leq\|f\|\,\|x\|$なので$Jx\in X^{**}$かつ$\|Jx\|\leq\|x\|$である。一方、系 3.1により、$x\neq0$に対して$\|f\|=1$かつ$f(x)=\|x\|$となる$f$が存在する。したがって$\|Jx\|\geq\|x\|$である。$x=0$の場合も含めて$\|Jx\|=\|x\|$となり、$J$は等長である。等長写像の核は$\{0\}$なので$J$は単射である。▨

証明.$d=0$ならば、各$n$に対して$m_n\in M$を$\|x_0-m_n\|<1/n$となるようにとることができる。このとき$m_n\to x_0$であり、$M$の閉性から$x_0\in M$となるので矛盾する。よって$d>0$である。

$N=M\oplus\mathbb Kx_0$上で$f_0(m+\alpha x_0)=\alpha$と定める。$\alpha\neq0$ならば

なので、$|f_0(m+\alpha x_0)|\leq d^{-1}\|m+\alpha x_0\|$である。$\alpha=0$の場合も同じ評価が成り立つため$\|f_0\|\leq1/d$である。

任意の$\varepsilon>0$に対して$m\in M$を$\|x_0-m\|<d+\varepsilon$となるようにとると、$f_0(x_0-m)=1$なので$\|f_0\|\geq1/(d+\varepsilon)$である。$\varepsilon\downarrow0$とすると$\|f_0\|=1/d$を得る。実または複素 Hahn–Banach によって$f_0$をノルムを保って$X$へ延長すれば、主張する$f$を得る。▨