§E12.18Gelfand 変換

証明.(1)を示す。$a\in A$を取り、$e_a:A^*\to\mathbb C$を$e_a(\psi)=\psi(a)$で定まる評価写像とする。$W\subseteq\mathbb C$を開集合とする。§E12.5 定義 2.1により弱星位相は各評価写像を連続にするから$e_a^{-1}(W)$は$A^*$の弱星開集合であり、§E12.14 定義 5.1と§E2.12 定義 4.1により

は$\Delta(A)$の開集合である。よって$\hat a$は連続である。§E12.14 命題 4.5 (1)により、各$\varphi\in\Delta(A)$について$|\hat a(\varphi)|=|\varphi(a)|\leq\|a\|$である。

(2)を示す。各$\varphi\in\Delta(A)$は線形かつ乗法的であるから、

である。$A$が単位的であるとき、§E12.14 命題 4.5 (2)により各$\varphi\in\Delta(A)$について$\hat1(\varphi)=\varphi(1)=1$である。▨

証明.$\lambda\in\hat a(\Delta(A))$とし、$\varphi(a)=\lambda$を満たす$\varphi\in\Delta(A)$を取る。§E12.14 系 4.7 (2)により$\varphi(a)\in\sigma(a)$であるから$\lambda\in\sigma(a)$である。

逆に$\lambda\in\sigma(a)$を取る。§E12.14 定義 2.1により$\lambda1-a$は可逆でないから、§E12.14 系 4.7 (1)により$\varphi(\lambda1-a)=0$を満たす$\varphi\in\Delta(A)$が存在する。§E12.14 命題 4.5 (2)により$\varphi(1)=1$であるから$\varphi(a)=\lambda\varphi(1)=\lambda$であり、$\lambda\in\hat a(\Delta(A))$である。以上により$\hat a(\Delta(A))=\sigma(a)$である。

§E12.14 定理 2.5により$\sigma(a)$は空でないから$\hat a(\Delta(A))$も空でなく、とくに$\Delta(A)\neq\emptyset$である。したがって

である。▨

証明.§E12.14 定理 5.5により$\Delta(A)$はコンパクト Hausdorff 空間である。命題 1.2 (1)により各$\hat a$は$\Delta(A)$上の連続関数であるから$\hat a\in C(\Delta(A))$であり、命題 1.2 (2)により$\Gamma$は線形かつ乗法的である。

$a\in A$と$\varphi\in\Delta(A)$を取る。§E12.15 定理 4.2により$\varphi(a^*)=\overline{\varphi(a)}$であるから、$\widehat{a^*}(\varphi)=\overline{\hat a(\varphi)}$であり$\widehat{a^*}=\overline{\hat a}$である。

§E12.15 補題 2.3により$a^*a$は自己共役であり、したがって正規元である。前段の等式と$\Gamma$の乗法性から$\widehat{a^*a}=\overline{\hat a}\,\hat a=|\hat a|^2$である。$t\mapsto t^2$は$[0,\infty)$上で単調増加であるから

である。定理 2.1により$\|\widehat{a^*a}\|_\infty=r(a^*a)$であり、§E12.15 定理 3.1により$r(a^*a)=\|a^*a\|$であり、§E12.15 定義 1.2の C* 恒等式により$\|a^*a\|=\|a\|^2$である。以上を合わせると$\|\hat a\|_\infty^2=\|a\|^2$であり、両辺は非負であるから$\|\hat a\|_\infty=\|a\|$である。

$\Gamma(a)=0$とすると$\|a\|=\|\hat a\|_\infty=0$であるから$a=0$である。よって$\Gamma$は単射である。▨

証明.$(a,\lambda),(b,\mu)\in A^+$に対して、§E12.17 定義 1.1の積により

である。$A$は可換であるから$ab=ba$であり、両者の第一成分は一致する。第二成分はいずれも$\lambda\mu$である。よって$A^+$は可換である。

§E12.17 定理 2.2により、このノルムについて$A^+$は C* 環である。§E12.17 命題 1.3により$1=(0,1)$は$A^+$の単位元であり、§E12.17 定義 1.1の対合により$1^*=(0^*,\overline1)=(0,1)=1$であるから、C* 恒等式を$1$に適用すると$\|1\|^2=\|1^*1\|=\|1\|$を得る。$(0,1)\neq(0,0)$であるから$\|1\|>0$であり、$\|1\|=1$である。したがって$A^+$は単位的である。▨

証明.§E12.17 定義 1.1により$A^+=A\oplus\mathbb C$は直和であるから、$a+\lambda1=(a,\lambda)$の表示は一意であり、$\varphi^+$と$\varphi_\infty$はいずれも well-defined な線形写像である。

$\varphi_\infty$は§E12.17 命題 1.4の写像$\pi$に等しく、同命題により$\pi$は全射な代数準同型である。よって$\varphi_\infty$は零写像でなく乗法的であり、§E12.14 定義 4.4により$\varphi_\infty\in\Delta(A^+)$である。同命題により$\ker\varphi_\infty=A\times\{0\}$である。

$\varphi\in\Delta(A)$を取る。§E12.17 定義 1.1の積により

であるから$\varphi^+$は乗法的である。$\varphi^+(0,1)=1$であるから$\varphi^+$は零写像でなく、$\varphi^+\in\Delta(A^+)$である。$\varphi$は零写像でないから$\varphi(a)\neq0$を満たす$a\in A$が存在し、$\varphi^+(a,0)=\varphi(a)\neq0=\varphi_\infty(a,0)$であるので$\varphi^+\neq\varphi_\infty$である。

$\varphi_1,\varphi_2\in\Delta(A)$が$\varphi_1^+=\varphi_2^+$を満たすとすると、$a\in A$について$\varphi_1(a)=\varphi_1^+(a,0)=\varphi_2^+(a,0)=\varphi_2(a)$であるから$\varphi_1=\varphi_2$である。よって$\varphi\mapsto\varphi^+$は単射である。

$\psi\in\Delta(A^+)$を$\psi\neq\varphi_\infty$を満たすように取り、$\varphi(a):=\psi(a,0)$で$\varphi:A\to\mathbb C$を定める。§E12.17 定義 1.1により$(a,0)(b,0)=(ab,0)$であるから$\varphi$は線形かつ乗法的である。補題 4.1により$A^+$は単位的可換 Banach 環であるから、§E12.14 命題 4.5 (2)により$\psi(0,1)=1$であり、$(a,\lambda)=(a,0)+\lambda(0,1)$と$\psi$の線形性により、任意の$(a,\lambda)\in A^+$について

が成り立つ。$\varphi$が零写像であるとすると、この等式により任意の$(a,\lambda)\in A^+$について$\psi(a,\lambda)=\lambda=\varphi_\infty(a,\lambda)$となり$\psi=\varphi_\infty$を得る。これは$\psi\neq\varphi_\infty$に反するので$\varphi$は零写像でなく、$\varphi\in\Delta(A)$である。上の等式の右辺は$\varphi^+(a,\lambda)$であるから$\psi=\varphi^+$である。よって$\varphi\mapsto\varphi^+$は$\Delta(A)$から$\Delta(A^+)\setminus\{\varphi_\infty\}$への全単射であり、$\Delta(A^+)$は$\{\varphi^+:\varphi\in\Delta(A)\}$と$\{\varphi_\infty\}$の直和である。

$h(\varphi):=\varphi^+$とおいて$h$が同相写像であることを示す。§E12.14 定義 5.1と§E2.12 定義 4.1により、$\Delta(A)$の点$\varphi_0$の近傍基は§E12.5 定義 2.1の基本近傍と$\Delta(A)$との共通部分の全体であり、$\Delta(A^+)\setminus\{\varphi_\infty\}$の点$\varphi_0^+$の近傍基も同様である。

$\varphi_0\in\Delta(A)$と、$\varphi_0^+$の基本近傍を定める$x_1,\dots,x_n\in A^+$および$\varepsilon>0$を取り、$x_i=(a_i,\lambda_i)$と書く。$\varphi\in\Delta(A)$について

である。$a_1,\dots,a_n$と$\varepsilon$が定める$\varphi_0$の基本近傍を$V'$とおくと、$\varphi\in V'\cap\Delta(A)$ならば$\varphi^+$は$x_1,\dots,x_n$と$\varepsilon$が定める$\varphi_0^+$の基本近傍に属する。$\varphi_0$は任意であるから$h$は連続である。

逆に、$\psi_0\in\Delta(A^+)\setminus\{\varphi_\infty\}$を取り、$\varphi_0:=h^{-1}(\psi_0)$とおく。$\varphi_0$の基本近傍を定める$a_1,\dots,a_n\in A$と$\varepsilon>0$を取る。$\psi\in\Delta(A^+)\setminus\{\varphi_\infty\}$が、$(a_1,0),\dots,(a_n,0)$と$\varepsilon$が定める$\psi_0$の基本近傍に属するならば、$h^{-1}(\psi)$は$|h^{-1}(\psi)(a_i)-\varphi_0(a_i)|=|\psi(a_i,0)-\psi_0(a_i,0)|<\varepsilon$（$1\leq i\leq n$）を満たし、$a_1,\dots,a_n$と$\varepsilon$が定める$\varphi_0$の基本近傍に属する。$\psi_0$は任意であるから$h^{-1}$も連続である。したがって$h$は同相写像である。▨

証明.補題 4.1により$A^+$は単位的可換 C* 環であり、命題 4.2により$\varphi^+\in\Delta(A^+)$である。§E12.15 定理 4.2を$A^+$と$\varphi^+$に適用すると、$(a,0)\in A^+$について$\varphi^+\bigl((a,0)^*\bigr)=\overline{\varphi^+(a,0)}$である。§E12.17 補題 2.3により$(a,0)^*=(a^*,0)$であるから、左辺は$\varphi(a^*)$、右辺は$\overline{\varphi(a)}$である。▨

証明.補題 4.1と§E12.14 定理 5.5により$\Delta(A^+)$はコンパクト Hausdorff 空間である。§E2.15 定理 1.11 (4)と§E2.15 命題 1.5により$\{\varphi_\infty\}$は$\Delta(A^+)$の閉集合であるから、$U:=\Delta(A^+)\setminus\{\varphi_\infty\}$は$\Delta(A^+)$の開集合である。

$\psi\in U$を取る。§E2.24 例 5.1 (1)によりコンパクト空間$\Delta(A^+)$は局所コンパクトであるから、§E2.24 定理 1.6を$\psi$と開集合$U$に適用すると、$\Delta(A^+)$の開集合$V$であって$\psi\in V\subseteq\overline V\subseteq U$を満たし$\overline V$がコンパクトであるものが存在する。§E2.12 定義 4.1により$V=V\cap U$は$U$の開集合であり、同定義により$U$から$\overline V$に入る部分空間位相は$\Delta(A^+)$から入るものに一致するから$\overline V$は$U$のコンパクト部分集合である。$\psi\in V\subseteq\overline V$であるから、§E2.24 定義 1.2により$U$は局所コンパクトである。

命題 4.2の同相写像$h:\Delta(A)\to U$を取る。$\varphi\in\Delta(A)$に対して、$h(\varphi)\in W\subseteq N$を満たす$U$の開集合$W$とコンパクト集合$N\subseteq U$を取ると、$h^{-1}(W)$は$h$の連続性により$\Delta(A)$の開集合であり、$h^{-1}(N)$は$h^{-1}$の連続性と§E2.19 定理 4.2によりコンパクトである。$\varphi\in h^{-1}(W)\subseteq h^{-1}(N)$であるから、§E2.24 定義 1.2により$\Delta(A)$は局所コンパクトである。

§E12.14 補題 5.2により$A^*$の弱星位相は Hausdorff であり、§E2.15 問題 6.2によりその部分空間である$\Delta(A)$も Hausdorff である。▨

証明.$\Delta(A)$がコンパクトであると仮定する。

補題 4.1と§E12.14 定理 5.5により$\Delta(A^+)$はコンパクト Hausdorff 空間である。命題 4.2により$U:=\Delta(A^+)\setminus\{\varphi_\infty\}$は$\Delta(A)$と同相であるから、§E2.19 定理 4.2により$U$はコンパクト空間であり、§E2.19 定義 2.1により$\Delta(A^+)$のコンパクト部分集合である。§E2.19 命題 6.4により$U$は$\Delta(A^+)$の閉集合であり、したがって$\{\varphi_\infty\}$は$\Delta(A^+)$の開集合である。

§E12.14 定義 5.1、§E12.5 定義 2.1および§E2.12 定義 4.1により、$n\in\mathbb Z_{\geq1}$、$x_1,\dots,x_n\in A^+$および$\varepsilon>0$が存在して

となる。$x_i=(a_i,\lambda_i)$（$a_i\in A$、$\lambda_i\in\mathbb C$）と書くと、§E12.14 命題 4.5 (2)により$\psi\in\Delta(A^+)$について$\psi(x_i)=\psi(a_i)+\lambda_i$であり$\varphi_\infty(x_i)=\lambda_i$であるから、上の等式は「$\psi\in\Delta(A^+)$がすべての$i$について$|\psi(a_i)|<\varepsilon$を満たすならば$\psi=\varphi_\infty$である」ことを述べている。命題 4.2により各$\varphi\in\Delta(A)$について$\varphi^+\neq\varphi_\infty$であるから、

が成り立つ。

$b:=\sum_{i=1}^na_i^*a_i\in A$とおく。$\varphi\in\Delta(A)$について、系 4.3と$\varphi$の乗法性により

であり、§E12.14 命題 4.5 (1)により$\varphi(b)\leq\|b\|$である。また$b\in A$であるから$\varphi_\infty(b)=0$である。定理 2.1を$A^+$と$b$に適用し、命題 4.2の分解を用いると

である。

$\delta>0$を取る。$-\delta$は上の集合に属さないから§E12.14 定義 2.1により$-\delta1-b$は$A^+$で可逆であり、$b+\delta1=-(-\delta1-b)$も可逆である。そこで

とおく。$\psi\in\Delta(A^+)$と$t:=\psi(b)$について、$t\in\sigma_{A^+}(b)$であるから$t\geq0$であり$t+\delta>0$である。§E12.14 命題 4.5 (2)と$\psi$の乗法性により$\psi\bigl((b+\delta1)^{-1}\bigr)=(t+\delta)^{-1}$であるから

である。とくに$\varphi_\infty(e_\delta)=0$であり、§E12.17 命題 1.4により$\ker\varphi_\infty=A\times\{0\}$であるから$e_\delta\in A$である。

$\delta,\delta'>0$と$\psi\in\Delta(A^+)$について、$t=\psi(b)$とおくと

である。$t=0$のときこの値は$0$であり、$t\geq\varepsilon^2$のときは$t+\delta>t$かつ$t+\delta'>t$であるから

である。補題 4.1と定理 3.1により、$A^+$の任意の元$x$について$\|x\|=\sup_{\psi\in\Delta(A^+)}|\psi(x)|$が成り立つから

である。$\delta_k:=1/k$（$k\in\mathbb Z_{\geq1}$）とおくと$(e_{\delta_k})_{k\geq1}$は$A$の Cauchy 列であり（§E12.17 補題 2.3により$A$のノルムは$A^+$のノルムの制限である）、$A$は C* 環として完備であるから、極限$e:=\lim_{k\to\infty}e_{\delta_k}\in A$が存在する。

$a\in A$と$\delta>0$を取る。$\psi\in\Delta(A^+)$と$t=\psi(b)$について

である。$\psi=\varphi_\infty$のとき$\psi(a)=0$であるからこの値は$0$である。$\psi\neq\varphi_\infty$のときは、命題 4.2により$\psi=\varphi^+$を満たす$\varphi\in\Delta(A)$が存在し、$t=\varphi(b)\geq\varepsilon^2$かつ$|\psi(a)|=|\varphi(a)|\leq\|a\|$であるから

である。上と同じノルム表示により$\|e_\delta a-a\|\leq(\delta/\varepsilon^2)\|a\|$を得る。

$k\to\infty$とすると$\|e_{\delta_k}a-a\|\leq\|a\|/(k\varepsilon^2)\to0$であり、$\|e_{\delta_k}a-ea\|\leq\|e_{\delta_k}-e\|\,\|a\|\to0$であるから$ea=a$である。$a\in A$は任意であったから、§E12.17 補題 2.1により$e$は$A$の単位元である。一方、本定理の仮定により$A$は単位元をもたない。$A$が単位元$e$をもつことと$A$が単位元をもたないことは両立しないから、$\Delta(A)$がコンパクトであるという仮定を棄却する。よって$\Delta(A)$はコンパクトでない。▨

証明.系 4.4により$\Delta(A)$は局所コンパクト Hausdorff 空間であり、定理 4.5によりコンパクトでない。したがって§E2.24 定義 2.1の仮定が満たされ、§E2.24 命題 2.2 (3)により$\alpha\Delta(A)$はコンパクト Hausdorff 空間である。

$U:=\Delta(A^+)\setminus\{\varphi_\infty\}$とおき、命題 4.2の同相写像$h:\Delta(A)\to U$、$h(\varphi)=\varphi^+$を取る。同命題の直和分解により$\Delta(A^+)=U\sqcup\{\varphi_\infty\}$であるから、$\Phi$は全単射である。

$O\subseteq\Delta(A^+)$を開集合とする。$\varphi_\infty\notin O$のとき、$O\subseteq U$であり、§E2.12 定義 4.1により$O$は$U$の開集合である。$h$の連続性により$\Phi^{-1}(O)=h^{-1}(O)$は$\Delta(A)$の開集合であり、§E2.24 定義 2.1の第一の形の開集合である。

$\varphi_\infty\in O$のとき、補題 4.1と§E12.14 定理 5.5により$\Delta(A^+)$はコンパクトであるから、その閉集合$K:=\Delta(A^+)\setminus O$は§E2.19 命題 4.1によりコンパクトである。$\varphi_\infty\notin K$であるから$K\subseteq U$であり、§E2.12 定義 4.1により$U$から$K$に入る部分空間位相は$\Delta(A^+)$から入るものに一致するので、$K$は$U$のコンパクト部分集合である。§E2.19 定理 4.2を$h^{-1}$に適用すると$h^{-1}(K)$は$\Delta(A)$のコンパクト部分集合であり、

は§E2.24 定義 2.1の第二の形の開集合である。

以上により$\Phi$は連続である。$\alpha\Delta(A)$はコンパクトであり$\Delta(A^+)$は Hausdorff であるから、§E2.19 定理 6.8により$\Phi$は同相写像である。▨

証明.系 4.4により$\Delta(A)$は局所コンパクト Hausdorff 空間であるから、§E12.16 定義 1.1により$C_0(\Delta(A))$が定まる。

$a\in A$と$\varepsilon>0$を取り、

とおく。補題 4.1と命題 1.2 (1)により$\psi\mapsto\psi(a)$は$\Delta(A^+)$上で連続であるから、$\widetilde K$はこの写像による開集合$\{z\in\mathbb C:|z|<\varepsilon\}$の逆像の補集合として$\Delta(A^+)$の閉集合である。§E12.14 定理 5.5と§E2.19 命題 4.1により$\widetilde K$はコンパクトである。$\varphi_\infty(a)=0<\varepsilon$であるから$\varphi_\infty\notin\widetilde K$であり、$\widetilde K$は$U:=\Delta(A^+)\setminus\{\varphi_\infty\}$に含まれる。§E2.12 定義 4.1により$U$から$\widetilde K$に入る部分空間位相は$\Delta(A^+)$から入るものに一致するから、$\widetilde K$は$U$のコンパクト部分集合である。命題 4.2の同相写像$h:\Delta(A)\to U$について$h(K)=\widetilde K$であるから、§E2.19 定理 4.2を$h^{-1}$に適用すると$K=h^{-1}(\widetilde K)$はコンパクトである。$\varepsilon>0$は任意であったから、§E12.16 定義 1.1により$\hat a\in C_0(\Delta(A))$である。

定理 4.5により$\Delta(A)$はコンパクトでなく、§E2.19 定義 2.1により空集合はコンパクトであるから$\Delta(A)\neq\emptyset$である。補題 4.1と定理 3.1を$A^+$に適用し、§E12.17 補題 2.3により$A$のノルムが$A^+$のノルムの制限であることと命題 4.2の分解を用いると、$\varphi_\infty(a)=0$であるから

である。最後の等号では、$\Delta(A)\neq\emptyset$により$\sup_{\varphi\in\Delta(A)}|\varphi(a)|\geq0$であることを用いた。よって$\Gamma$は等長である。

命題 1.2 (2)により$\Gamma$は線形かつ乗法的であり、系 4.3により各$\varphi\in\Delta(A)$について$\widehat{a^*}(\varphi)=\overline{\hat a(\varphi)}$であるから$\widehat{a^*}=\overline{\hat a}$である。§E12.16 定理 2.1により$C_0(\Delta(A))$の対合は複素共役であるから、$\Gamma$は$A$から$C_0(\Delta(A))$への等長な *-準同型である。▨