双対空間と弱位相・弱星位相 | 関数解析入門

1 連続双対と標準埋め込み

定義 1.1. $X$ を $\mathbb K=\mathbb R$ または $\mathbb C$ 上のノルム空間とする。有界線形汎関数 $x^*:X\to\mathbb K$ の全体を

X^*=B(X,\mathbb K)

と書き、 $X$ の連続双対 (continuous dual) という。 $X^*$ は作用素ノルム

\|x^*\|=\sup_{\|x\|\leq 1}|x^*(x)|

に関して Banach 空間である。標準写像 (canonical map) $J_X:X\to X^{**}$ を

(J_Xx)(x^*)=x^*(x)\qquad (x\in X,\ x^*\in X^*)

で定める。 $J_X$ が全射であるとき、 $X$ は回帰的 (reflexive) であるという。

$X^*$ の完備性は有界作用素空間の完備性§E12.2 定理 2.1の $Y=\mathbb K$ の場合である。標準写像 $J_X$ が線形等長写像であり、とくに単射であることは§E12.3 定理 3.3による。したがって、 $X$ を $X^{**}$ の部分空間とみなすことができる。

2 弱位相と弱星位相

定義 2.1. $X$ 上の弱位相 (weak topology) $\sigma(X,X^*)$ は、すべての $x^*\in X^*$ を連続にする最も粗い位相、すなわち写像族

x^*:X\longrightarrow\mathbb K

に関する始位相である。点 $x\in X$ の基本近傍は

U(x;x_1^*,\ldots,x_m^*;\varepsilon) =\{y\in X:|x_j^*(y-x)|<\varepsilon\ (1\leq j\leq m)\}

の形で与えられる。

$X^*$ 上の弱星位相 (weak-* topology) $\sigma(X^*,X)$ は、各 $x\in X$ に対する評価写像 $e_x(x^*)=x^*(x)$ を連続にする最も粗い位相である。点 $x^*\in X^*$ の基本近傍は

V(x^*;x_1,\ldots,x_m;\varepsilon) =\{y^*\in X^*:|(y^*-x^*)(x_j)|<\varepsilon\ (1\leq j\leq m)\}

の形で与えられる。

有向集合 $A$ で添字付けられたネット $(x_\alpha)_{\alpha\in A}$ が $x$ に弱収束 (weak convergence) することを $x_\alpha\rightharpoonup x$ と書く。ネット $(x_\alpha^*)$ が $x^*$ に弱星収束 (weak-* convergence) することを $x_\alpha^*\overset{*}{\rightharpoonup}x^*$ と書く。

命題 2.2. ネット $(x_\alpha)$ と $(x_\alpha^*)$ について、次の同値が成り立つ。

\begin{aligned} x_\alpha\rightharpoonup x &\iff x^*(x_\alpha)\to x^*(x)\quad(\forall x^*\in X^*),\\ x_\alpha^*\overset{*}{\rightharpoonup}x^* &\iff x_\alpha^*(x)\to x^*(x)\quad(\forall x\in X). \end{aligned}

証明. 弱収束すれば、弱位相の定義により各 $x^*:X\to\mathbb K$ は連続なので、各像ネットも収束する。逆に、すべての $x^*$ について値が収束すると仮定する。 $x$ の基本近傍 $U(x;x_1^*,\ldots,x_m^*;\varepsilon)$ を一つ固定する。各 $j$ について、ある $\alpha_j$ 以後は $|x_j^*(x_\alpha-x)|<\varepsilon$ である。有向性により、有限個の $\alpha_j$ の上界 $\alpha_0$ を選ぶことができる。 $\alpha\geq\alpha_0$ なら $x_\alpha\in U$ であるから、 $x_\alpha\rightharpoonup x$ である。

弱星収束についても、基本近傍 $V(x^*;x_1,\ldots,x_m;\varepsilon)$ と有限個の添字の上界を用いる同じ証明が成り立つ。▨

ノルム位相との関係を型に注意して整理する。 $x_\alpha\to x$ がノルム収束なら、

|x^*(x_\alpha-x)|\leq\|x^*\|\,\|x_\alpha-x\|\to0

なので $x_\alpha\rightharpoonup x$ である。同様に、 $X^*$ におけるノルム収束は弱星収束を導く。さらに、 $X^*$ における弱収束とは $\sigma(X^*,X^{**})$ による収束であり、これは弱星収束を導く。実際、弱星位相の評価写像は $J_Xx\in X^{**}$ による評価である。 $X$ が回帰的なら $J_X(X)=X^{**}$ なので、 $X^*$ の弱位相と弱星位相は一致する。回帰性を仮定しなければ、逆向きは一般には成り立たない。

§E12.7 定理 1.3 (Banach–Alaoglu の定理)は、連続双対 $X^*$ の閉単位球が弱星位相 $\sigma(X^*,X)$ についてコンパクトであることを述べる定理であり、後続の記事で証明する。コンパクト性は一般には点列だけで判定することができないため、この定理を「任意の有界列が弱星収束部分列をもつ」という主張に置き換えてはならない。

3 数列空間の双対

定理 3.1. $a=(a_n)\in\ell^\infty$ に対して

\Phi_a(x)=\sum_{n=1}^\infty x_na_n\qquad(x=(x_n)\in\ell^1)

と定める。このとき、 $a\mapsto\Phi_a$ は $\ell^\infty$ から $(\ell^1)^*$ への線形等長全単射である。

証明. 絶対収束と評価

|\Phi_a(x)|\leq\sum_{n=1}^\infty|x_n||a_n| \leq\|a\|_\infty\|x\|_1

$F\in(\ell^1)^*$ を任意に取り、 $a_n=F(e_n)$ と置く。 $|a_n|\leq\|F\|$ なので $a\in\ell^\infty$ である。任意の $x\in\ell^1$ に対して $x^{(N)}=\sum_{n=1}^Nx_ne_n$ と置けば、

\|x-x^{(N)}\|_1=\sum_{n>N}|x_n|\longrightarrow0.

$F$ の連続性により

F(x)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^Nx_nF(e_n) =\sum_{n=1}^\infty x_na_n=\Phi_a(x).

したがって、写像は全射である。▨

例 3.2 (座標収束、弱収束、および回帰性). $\ell^1$ の標準基底 $(e_n)$ は各座標では $0$ に収束するが、 $\ell^1$ では $0$ に弱収束しない。実際、定理 3.1により定数列 $\mathbf{1}=(1,1,\ldots)\in\ell^\infty$ は連続線形汎関数を定め、 $\Phi_{\mathbf{1}}(e_n)=1$ である。したがって、座標汎関数だけを検査しても弱収束を判定することはできない。

有限次元ノルム空間 $X$ は回帰的である。実際、§E12.3 定理 3.3により $J_X$ は単射であり、 $\dim X=\dim X^{**}$ であるから全射でもある。一方、 $\ell^1$ は回帰的でない。

命題 3.3. 標準埋め込み $J_{\ell^1}:\ell^1\to(\ell^1)^{**}$ は全射でない。

証明. $c_0\subset\ell^\infty$ を $0$ に収束する数列の空間とし、 $M=c_0\oplus\operatorname{span}\{\mathbf{1}\}$ と置く。 $y\in c_0$ と $a\in\mathbb K$ に対して $F_0(y+a\mathbf{1})=a$ と定める。 $\operatorname{dist}(\mathbf{1},c_0)=1$ であるから

|F_0(y+a\mathbf{1})|=|a|\leq\|y+a\mathbf{1}\|_\infty.

したがって $\|F_0\|=1$ である。 $\mathbb K=\mathbb R$ の場合は§E12.3 系 2.1により、 $\mathbb K=\mathbb C$ の場合は§E12.3 定理 2.2により、 $F_0$ はノルムを保つ延長 $F\in(\ell^\infty)^*$ をもつ。この $F$ は $c_0$ 上で $0$ であり、 $F(\mathbf{1})=1$ を満たす。

定理 3.1によって $(\ell^1)^{**}=(\ell^\infty)^*$ と同定する。 $F=J_{\ell^1}a$ を満たす $a=(a_n)\in\ell^1$ が存在したと仮定する。各 $e_n\in c_0$ に対して

a_n=(J_{\ell^1}a)(e_n)=F(e_n)=0

なので $a=0$ である。しかし、 $(J_{\ell^1}a)(\mathbf{1})=0$ は $F(\mathbf{1})=1$ に矛盾する。したがって $F$ は標準埋め込みの像に属さない。▨

4 演習

問題 4.1 (ノルム収束から弱収束へ). ノルム空間 $X$ のネット $(x_\alpha)$ が $x\in X$ へノルム収束するとき、 $x_\alpha\rightharpoonup x$ であることを、評価式から示せ。

解答.

任意の $x^*\in X^*$ に対して

|x^*(x_\alpha)-x^*(x)|=|x^*(x_\alpha-x)|\leq\|x^*\|\,\|x_\alpha-x\|

であり、右辺は $\|x_\alpha-x\|\to0$ により $0$ へ収束する。したがって、すべての $x^*\in X^*$ について $x^*(x_\alpha)\to x^*(x)$ が成り立ち、命題 2.2により $x_\alpha\rightharpoonup x$ である。▨

問題 4.2 ( $X^*$ 上の二つの収束の試験対象). $X^*$ における弱収束と弱星収束の定義に現れる試験対象を、それぞれ明記せよ。

解答.

$X^*$ 上の弱位相は $X^*$ を一つのノルム空間とみなしたときの $\sigma(X^*,X^{**})$ であるから、弱収束の試験対象は $X^{**}$ のすべての元である。一方、弱星位相 $\sigma(X^*,X)$ の試験対象は評価写像 $e_x$ （ $x\in X$ ）、すなわち $J_X(X)\subset X^{**}$ に属する元だけである。 $J_X$ が全射でない場合には後者は真に小さく、弱星収束は弱収束より弱い条件になる。▨

問題 4.3 (座標収束と弱収束の違い). $\ell^1$ の標準基底 $(e_n)$ が座標ごとには $0$ に収束する一方で $0$ に弱収束しない理由を示せ。

解答.

第 $k$ 座標をとる汎関数について、 $n>k$ ならば $e_n$ の第 $k$ 座標は $0$ であるから、座標ごとの収束は成り立つ。しかし定理 3.1により定数列 $\mathbf{1}=(1,1,\ldots)\in\ell^\infty$ は $\Phi_{\mathbf{1}}\in(\ell^1)^*$ を定め、 $\Phi_{\mathbf{1}}(e_n)=1$ は $0$ へ収束しない。命題 2.2の判定はすべての $x^*\in(\ell^1)^*$ に対する収束を要求するので、 $(e_n)$ は $0$ に弱収束しない。▨

§E12.5双対空間と弱位相・弱星位相

1 連続双対と標準埋め込み

2 弱位相と弱星位相

3 数列空間の双対

4 演習

参考文献

前提記事