§E12.17単位化と一点コンパクト化

証明. 和とスカラー倍は$A\oplus\mathbb C$の直和としての演算であり、分配律は$A$の分配律から成分ごとに従う。結合律を確かめる。$(a,\lambda),(b,\mu),(c,\nu)\in A^+$に対して、両辺の第一成分を展開すると

であり、$A$の加法の可換性から両辺の第一成分は一致する。第二成分はいずれも$\lambda\mu\nu$である。よって結合律が成り立つ。

$1=(0,1)$が単位元であることは

から従う。

対合の共役線形性は成分ごとの共役線形性から従う。対合性は$(a,\lambda)^{**}=(a^{**},\overline{\overline\lambda})=(a,\lambda)$から従う。反乗法性は

であり、$A$の対合の反乗法性$(ab)^*=b^*a^*$（§E12.15 定義 1.1）を用いると、これは

に等しい。▨

証明.$(a,0)\in A\times\{0\}$、$(b,\mu)\in A^+$とする。

はいずれも$A\times\{0\}$に属する。よって$A\times\{0\}$は両側イデアルである。

$\pi$は明らかに全射な線形写像である。乗法性は$\pi((a,\lambda)(b,\mu))=\lambda\mu=\pi(a,\lambda)\pi(b,\mu)$から従う。$\pi(a,\lambda)=0$であることは$\lambda=0$であること、すなわち$(a,\lambda)\in A\times\{0\}$であることと同値なので、$\pi$の核は$A\times\{0\}$に等しい。$\pi$は代数として全射かつ核が$A\times\{0\}$である準同型であるから、$(a,\lambda)+A\mapsto\pi(a,\lambda)=\lambda$は$A^+/A$から$\mathbb C$への代数としての同型を与える。▨

証明.$eb=b$で$b$を$b^*$に取り替えて両辺の対合をとると$(eb^*)^*=(b^*)^*$、すなわち$be^*=b$（任意の$b\in A$）を得る。とくに$b=e$に対して$ee^*=e$、$b=e^*$に対して$ee^*=e^*$であるから$e=e^*$である。したがって$e$は左恒等元$eb=b$と右恒等元$be^*=be=b$を同時に満たし、$A$の単位元である。▨

証明. 存在.$x=(a,\lambda)\in A^+$と$b\in A$に対して$L_x(b):=ab+\lambda b$とおく。$L_x$は$A$上の線形写像であり、$\|L_x(b)\|\le(\|a\|+|\lambda|)\|b\|$なので有界である。$x\mapsto L_x$は$A^+$の加法とスカラー倍を保つ。$x=(a,\lambda)$、$y=(b,\mu)\in A^+$、$c\in A$に対して

なので$L_{xy}=L_xL_y$であり、$L_1$は$A$の恒等作用素$I$に等しい。

$L$は単射である。$L_x=0$、$x=(a,\lambda)$とする。$b=a^*$を代入すると$aa^*+\lambda a^*=0$である。

$\lambda=0$の場合、$aa^*=0$であり、§E12.15 補題 1.4と§E12.15 定義 1.2の C* 恒等式から$\|a\|^2=\|a^*\|^2=\|(a^*)^*a^*\|=\|aa^*\|=0$なので$a=0$である。

$\lambda\neq0$の場合、$L_x=0$から任意の$b\in A$に対して$ab+\lambda b=0$であり、$e:=-a/\lambda$は$eb=b$を満たす。補題 2.1により$e$は$A$の単位元であり、これは$A$が単位元をもたないという仮定に反する。したがって$\lambda=0$に帰着し、$a=0$を得る。以上により$L$は単射である。

$\|x\|:=\|L_x\|$（右辺は$B(A)$の作用素ノルム）とおく。$L$の線形性と単射性から$\|\cdot\|$は$A^+$上のノルムである。$L_{xy}=L_xL_y$と作用素ノルムの劣乗法性（§E12.2 命題 2.2）から$\|xy\|\le\|x\|\|y\|$である。零環$\{0\}$は$0$を単位元にもつので、$A$が単位元をもたないことから$A\neq\{0\}$であり、§E12.2 命題 1.2により$\|1\|=\|L_1\|=\|I\|=\sup_{\|b\|\le1}\|b\|=1$である。したがって$A^+$は単位的である。

$a\in A$に対して$\|L_a\|\le\|a\|$は上の評価から従う。$a\neq0$のとき$b=a^*/\|a\|$とおくと$\|b\|=1$であり

（§E12.15 定義 1.2、§E12.15 補題 1.4）なので$\|L_a\|\ge\|a\|$である。よって$\|(a,0)\|=\|a\|$であり、$\|\cdot\|$は$A$上のノルムを延長する。

C* 恒等式を示す。$x\in A^+$、$b\in A$、$\|b\|\le1$とする。命題 1.4により$xb\in A$であるから、§E12.15 定義 1.2の C* 恒等式により

$b$について上限をとると$\|x\|^2\le\|L_{x^*x}\|=\|x^*x\|$を得る。

逆に、$b\in A$、$\|b\|\le1$に対して$\|(x^*x)b\|=\|x^*(xb)\|\le\|L_{x^*}\|\,\|xb\|\le\|L_{x^*}\|\,\|L_x\|\,\|b\|\le\|x^*\|\,\|x\|$であるから、$\|x^*x\|\le\|x^*\|\,\|x\|$である。$x\neq0$のとき、先の不等式$\|x\|^2\le\|x^*x\|$と合わせて$\|x\|^2\le\|x^*\|\,\|x\|$を得るので$\|x\|\le\|x^*\|$である。この不等式を$x^*$に適用すると$\|x^*\|\le\|x^{**}\|=\|x\|$を得るので$\|x\|=\|x^*\|$（$x=0$のときも自明に成り立つ）。これを$\|x^*x\|\le\|x^*\|\,\|x\|$に代入すると$\|x^*x\|\le\|x\|^2$を得る。先の不等式と合わせて$\|x^*x\|=\|x\|^2$である。

完備性を示す。$A$は Banach 空間であるから§E12.2 定理 2.1により$B(A)$は Banach 空間であり、$a\mapsto L_a$は$A$からの等長写像であるから、$A$の完備性により像$L(A)=\{L_a:a\in A\}$は$B(A)$の完備な線形部分空間であり、§E12.1 命題 1.4 (2)により$B(A)$で閉じている。$I\in L(A)$と仮定すると、ある$a\in A$が$L_a=I$を満たし、任意の$b\in A$に対して$ab=b$となる。補題 2.1により$a$は$A$の単位元になり、矛盾する。よって$I\notin L(A)$である。

$L(A^+)=L(A)+\mathbb CI$が$B(A)$で閉じていることを示す。$T_n=L_{a_n}+c_nI\to T$（$a_n\in A$、$c_n\in\mathbb C$、$B(A)$の作用素ノルムで収束）とする。$(c_n)$が有界であることを示す。有界でなければ、部分列を取って$|c_n|\to\infty$としてよい。$(T_n)$は収束するので有界であり、$T_n/c_n\to0$である。$T_n/c_n=L_{a_n/c_n}+I$であるから$L_{a_n/c_n}\to-I$となり、$L(A)$が閉であることから$-I\in L(A)$、したがって$I\in L(A)$となって矛盾する。よって$(c_n)$は有界であり、有界な複素数列は収束する部分列をもつので、ある部分列が$c_{n_k}\to c\in\mathbb C$を満たす。このとき$L_{a_{n_k}}=T_{n_k}-c_{n_k}I\to T-cI$であり、$L(A)$が閉であることから$T-cI=L_a$を満たす$a\in A$が存在する。したがって$T=L_a+cI\in L(A^+)$である。

以上により$L(A^+)$は$B(A)$の閉部分空間であり、§E12.2 定理 2.1による$B(A)$の完備性と§E12.1 命題 1.4 (1)から$L(A^+)$も完備である。$L:A^+\to L(A^+)$は全単射であり、$\|x\|$の定義から等長であるから、$(A^+,\|\cdot\|)$は完備である。以上により$\|\cdot\|$は$A$上のノルムを延長する$A^+$上の C* ノルムである。

一意性.$A^+$は命題 1.3により単位元をもつ複素 *-多元環であるから、§E12.15 系 3.2により$A^+$を C* 環にするノルムは高々一つである。上で構成した$\|\cdot\|$はこの条件を満たし、$A$上のノルムを延長する。▨

証明.$a,b\in A$と$\lambda\in\mathbb C$に対して、定義 1.1の演算により

であるから、$a\mapsto(a,0)$は線形かつ乗法的であり、対合を保つ。定理 2.2のノルムは$A$上のノルムを延長するから$\|(a,0)\|=\|a\|$であり、この写像は等長である。$A$は完備であるから、この等長な像$A\times\{0\}$は$A^+$の完備な線形部分空間であり、§E12.1 命題 1.4 (2)により$A^+$で閉じている。▨

証明.$X$は§E2.24 命題 2.2 (1)により$\alpha X$の開部分空間であり、その部分空間位相はもとの位相に一致するから、$f^+$は$X$の各点で連続である。

$\infty$における連続性を示す。$\varepsilon>0$とする。§E12.16 定義 1.1により$K:=\{x\in X:|f(x)|\ge\varepsilon\}$は$X$のコンパクト部分集合である。§E2.24 定義 2.1により$U:=\alpha X\setminus K$は$\infty$を含む$\alpha X$の開集合であり、$x\in U\cap X$ならば$x\notin K$すなわち$|f^+(x)|<\varepsilon$である。$f^+(\infty)=0$なので$x\in U$ならば$|f^+(x)-f^+(\infty)|<\varepsilon$である。したがって$f^+$は$\infty$で連続であり、$f^+\in C(\alpha X)$である。

$\|f^+\|_\infty=\sup_{\alpha X}|f^+|=\max\left(\sup_X|f|,\ |f^+(\infty)|\right)=\sup_X|f|=\|f\|_\infty$である。

$F\in C(\alpha X)$、$F(\infty)=0$とする。$f:=F|_X$は連続であり$f^+=F$である。$f\in C_0(X)$を示す。$\varepsilon>0$とする。$\{y\in\alpha X:|F(y)|\ge\varepsilon\}$は$F$による閉集合$\{\mu\in\mathbb C:|\mu|\ge\varepsilon\}$の逆像なので$\alpha X$の閉集合である。§E2.24 命題 2.2 (3)により$\alpha X$はコンパクトであるから、§E2.19 命題 4.1によりこの集合はコンパクトである。$F(\infty)=0<\varepsilon$なのでこの集合は$\infty$を含まず、$X$に含まれる。$X$の部分空間位相は$\alpha X$のそれと一致するので、この集合は$X$のコンパクト部分集合でもある。これは$\{x\in X:|f(x)|\ge\varepsilon\}$に等しいので$f\in C_0(X)$である。$f\mapsto f^+$が単射であることから一意性が従う。

$f,g\in C_0(X)$、$c\in\mathbb C$に対して、$(f+cg)^+=f^++cg^+$は両辺を$X$と$\infty$で比較すれば分かる。乗法については、$x\in X$で$(fg)^+(x)=f(x)g(x)=f^+(x)g^+(x)$、$\infty$で$(fg)^+(\infty)=0=f^+(\infty)g^+(\infty)$であるから$(fg)^+=f^+g^+$である。対合については、$x\in X$で$(\overline f)^+(x)=\overline{f(x)}=\overline{f^+(x)}$、$\infty$で$(\overline f)^+(\infty)=0=\overline{f^+(\infty)}$であるから$(\overline f)^+=\overline{f^+}$である。▨

証明.§E12.16 定義 1.1、§E12.16 定理 1.6、§E12.16 定理 2.1により$C_0(X)$は可換 C* 環であり、§E12.16 命題 4.1と$X$の非コンパクト性により単位元をもたないので、定義 1.1によりその単位化$C_0(X)^+$が定まる。$\alpha X$は§E2.24 命題 2.2 (3)によりコンパクト Hausdorff 空間であり、§E2.24 例 5.1 (1)によりコンパクト空間は局所コンパクトである。$\infty\in\alpha X$であるから$\alpha X\neq\emptyset$であり、§E12.16 命題 4.1 (1)により$C(\alpha X)=C_0(\alpha X)$は単位的可換 C* 環である。

$\Phi$が線形であることは$f\mapsto f^+$の線形性（補題 3.1）から従う。乗法性は、$(f,\lambda),(g,\mu)\in C_0(X)^+$に対して

から従う（補題 3.1の乗法性$(fg)^+=f^+g^+$を用いた）。対合を保つことは、$C_0(X)$の対合が複素共役であることから$(f,\lambda)^*=(\overline f,\overline\lambda)$であり、

から従う。$\Phi(0,1)=0^++\mathbf1=\mathbf1$であり、$\mathbf1$は$C(\alpha X)$の単位元である。

単射性を示す。$\Phi(f,\lambda)=0$とする。$\infty$で評価すると$f^+(\infty)+\lambda=\lambda=0$であり、$X$の各点で評価すると$f(x)=0$なので$f=0$である。

全射性を示す。$F\in C(\alpha X)$とし、$\lambda:=F(\infty)$、$G:=F-\lambda\mathbf1$とおくと$G(\infty)=0$である。補題 3.1により$G=f^+$を満たす$f\in C_0(X)$が一意に存在し、$\Phi(f,\lambda)=f^++\lambda\mathbf1=G+\lambda\mathbf1=F$である。

以上により$\Phi$は全単射な単位的 *-代数の準同型である。$\|(f,\lambda)\|':=\|\Phi(f,\lambda)\|_\infty$とおく。$\Phi$が全単射な *-代数の準同型であり$\|\cdot\|_\infty$が$C(\alpha X)$の C* ノルムであることから、劣乗法性・完備性・C* 恒等式は$\Phi$を通じてそのまま$\|\cdot\|'$へ移り、$\|\cdot\|'$は$C_0(X)^+$上の C* ノルムである。$\lambda=0$のとき$\|(f,0)\|'=\|f^+\|_\infty=\|f\|_\infty$（補題 3.1）であるから、$\|\cdot\|'$は$C_0(X)$上のノルムを延長する。定理 2.2の一意性により$\|\cdot\|'$は$C_0(X)^+$上の定理 2.2のノルム$\|\cdot\|$に等しい。したがって、任意の$(f,\lambda)\in C_0(X)^+$に対して

であり、$\Phi$は等長である。▨

証明.(1)を示す。$ea=a=ae$（$a\in A$）の両辺の対合をとると$a^*e^*=a^*=e^*a^*$となるので$e^*$も$A$の単位元であり、単位元の一意性から$e=e^*$である。

$\psi:A^+\to A\times\mathbb C$、$\psi(a,\lambda):=(a+\lambda e,\lambda)$は線形写像であり、$\psi(a,\lambda)=(0,0)$ならば$\lambda=0$、$a=a+\lambda e=0$なので単射である。任意の$(b,\mu)\in A\times\mathbb C$に対して$\psi(b-\mu e,\mu)=(b,\mu)$なので全射である。

乗法性を示す。座標ごとの演算を入れた$A\times\mathbb C$において、$e$が単位元であることから$(a+\lambda e)(b+\mu e)=ab+\mu a+\lambda b+\lambda\mu e$であり

一方

であり、両者は一致する。対合を保つことは、$e=e^*$により

から従う。$\psi(0,1)=(e,1)$は$A\times\mathbb C$の単位元$(e,1)$に等しい。

$\|(a,\lambda)\|_{\max}$が$A\times\mathbb C$上の C* ノルムであることを確かめる。劣乗法性は

から従う。完備性は$A$と$\mathbb C$がそれぞれ完備であることから従う。C* 恒等式は

から従う。

$\psi$を通じて$A^+$へ引き戻したノルム$\|(a,\lambda)\|':=\|\psi(a,\lambda)\|_{\max}$は、$\psi$が全単射な *-代数の同型であることから$A^+$上の C* ノルムである。$A^+$は命題 1.3により単位元をもつ複素 *-多元環であるから、§E12.15 系 3.2により$A^+$上の C* ノルムは存在すれば一意であり、$\psi$は等長である。

(2)を示す。§E2.24 注意 2.4により、§E2.24 定義 2.1と同じ式は$\alpha X$の位相を定めるが、$X$自身がコンパクトなので、$K=X$とすれば$\{\infty\}=\alpha X\setminus X$が開集合になる。したがって$X$は$\alpha X$で稠密でなく、$\alpha X$は$X$の一点コンパクト化にはならない。▨