§E5.21Gamma 関数と Binet の積分表示

証明.§E5.20 補題 1.1により$|e^{w}-1|\le e^{|w|}-1\le|w|e^{|w|}$である。

§E5.3 定義 1.3により指数関数の級数は絶対収束するから、項ごとに絶対値で抑えると

である。$n\ge2$について$n!\ge(n-2)!$であるから

である。▨

証明.(1)を示す。実数$u\ge0$については、指数関数の級数（§E5.3 定義 1.3）の項がすべて非負であるから$e^{u}=\sum_{n\ge0}u^{n}/n!\ge1+u$である。$v>0$について、$v\ge1$ならば$u=\ln v\ge0$として$v=e^{u}\ge1+u>\ln v$であり、$0<v<1$ならば$\ln v<0<v$である。

(2)を示す。$k=0$のときは$C_{a,0}=1$とすればよい（$t\ge1$で$1\le t^{a}$、$0<t\le1$で$1\le t^{-a}$）。$k\ge1$とする。$t\ge1$のとき、(1)を$v=t^{a/k}$へ適用すると$\frac ak\ln t=\ln\bigl(t^{a/k}\bigr)\le t^{a/k}$であるから$(\ln t)^{k}\le(k/a)^{k}t^{a}$であり、$\ln t\ge0$であるから$|\ln t|^{k}=(\ln t)^{k}$である。$0<t\le1$のときは$u=1/t\ge1$とおくと$|\ln t|^{k}=(\ln u)^{k}\le(k/a)^{k}u^{a}=(k/a)^{k}t^{-a}$である。$C_{a,k}=(k/a)^{k}$と取ればよい。とくに、$a$の代わりに$a/2$について後者を用いると、$0<t\le1$で$t^{a}|\ln t|^{k}\le C_{a/2,k}\,t^{a/2}$であり、$a/2>0$より$t^{a/2}$は$t\to0^{+}$で$0$へ収束するから$t^{a}|\ln t|^{k}\to0$である。

(3)を示す。$e^{u}>0$と(1)により、実数の上の指数関数は単調増加である。$b\le0$のときは$t\ge1$で$t^{b}\le1\le e^{\lambda t}$であるから$T=1$とすればよい。$b>0$とする。(1)を$v=\sqrt t$へ適用すると$\ln t=2\ln\sqrt t\le2\sqrt t$であるから$b\ln t\le2b\sqrt t$である。$T=\max\{1,(2b/\lambda)^{2}\}$とおくと、$t\ge T$では$\sqrt t\ge2b/\lambda$、すなわち$2b\sqrt t\le\lambda t$であるから$b\ln t\le\lambda t$であり、単調性により$t^{b}=e^{b\ln t}\le e^{\lambda t}$である。▨

証明.$x=\operatorname{Re}z>0$とおく。$|t^{z-1}e^{-t}|=t^{x-1}e^{-t}$であり、

である。後者は、補題 1.3 (3)を$b=x-1$、$\lambda=1/2$について用いて$t\ge T$で$t^{x-1}\le e^{t/2}$となる$T$を取れば、$\int_{T}^{\infty}e^{-t/2}dt$で抑えられることによる。ゆえに広義可積分である。同じ評価により、各$s>0$について

である。実際、補題 1.3 (2)を$k=2$について用いると、$0<t\le1$では$a=s/2$として$(\ln t)^{2}\le C_{s/2,2}\,t^{-s/2}$、$t\ge1$では$a=1$として$(\ln t)^{2}\le C_{1,2}\,t$である。

正則性を示す。$z\in H$を固定し、$0<|h|\le x/2$とする。補題 1.2の不等式$|e^{w}-1-w|\le|w|^{2}e^{|w|}$を$w=h\ln t$へ適用すると

である。両辺を$|h|$で割り、$t^{z-1}e^{-t}$を掛けて積分すると

である。ここで$t^{x-1}t^{\pm|h|}=t^{(x\pm|h|)-1}$と、$s\in[x/2,3x/2]$のとき$t^{s-1}\le t^{x/2-1}+t^{3x/2-1}$（$t\le1$では前者、$t\ge1$では後者が大きい）から$I_{s}\le I_{x/2}+I_{3x/2}$となることを用いた。右辺は$h\to0$で$0$へ収束するから、$\Gamma$は$z$で複素微分可能で導関数は主張の積分である。

$z$が正の実数のときは、被積分関数が正の実数の上の Gamma 関数の被積分関数と一致するので、値も一致する。▨

証明.$s>0$と非負整数$k$について

とおく。補題 1.3 (2)により、$0<t\le1$では$a=s/2$として$|\ln t|^{k}\le C_{s/2,k}\,t^{-s/2}$、$t\ge1$では$a=1$として$|\ln t|^{k}\le C_{1,k}\,t$である。したがって

である（右の積分の有限性は定理 1.4の証明と同じく補題 1.3 (3)による）。

$x=\operatorname{Re}z>0$とし、$0<|h|\le x/2$とする。定理 1.4により$\Gamma'(w)=\int_{0}^{\infty}t^{w-1}(\ln t)e^{-t}dt$であるから、補題 1.2から得た不等式$\bigl|t^{h}-1-h\ln t\bigr|\le|h|^{2}(\ln t)^{2}(t^{|h|}+t^{-|h|})$の両辺を$|h|$で割り、$|t^{z-1}(\ln t)e^{-t}|=t^{x-1}|\ln t|e^{-t}$を掛けて積分すると

である。最後の不等号では、$s\in[x/2,3x/2]$について$t^{s-1}\le t^{x/2-1}+t^{3x/2-1}$がすべての$t>0$で成り立つことを用いた。右辺は$h\to0$で$0$へ収束するから、$\Gamma'$は$z$で複素微分可能であり、その値は主張の積分である。

$x>0$のとき被積分関数$t^{x-1}e^{-t}$と$t^{x-1}(\ln t)^{2}e^{-t}$はともに非負であり、後者は$0<t<1$で正であるから、$\Gamma(x)>0$かつ$\Gamma''(x)>0$である。▨

証明.$0<\varepsilon<R$について、$[\varepsilon,R]$の上で部分積分すると

である。ここで$t\mapsto t^{z}$は$(0,\infty)$の上で微分可能で導関数が$zt^{z-1}$であり、実部と虚部それぞれへ一変数の部分積分を適用した。$|t^{z}e^{-t}|=t^{x}e^{-t}$は$\varepsilon\to0^{+}$（$x>0$）と$R\to\infty$でどちらも$0$へ収束するので、極限を取ると$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$である。$\Gamma(1)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}dt=1$であり、帰納法により$\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=\cdots=n!$である。▨

証明.補題 1.5により$\Gamma(x)>0$であるから$\psi$は定まり、$\Gamma$が正則であることから$\psi$は微分可能である。実数$a$を任意に取ると、被積分関数

は非負であり、三つの項はいずれも広義可積分である。したがって

である。右辺は$a$についての実係数の二次式であり、$\Gamma''(x)>0$かつすべての実数$a$で非負であるから、判別式は$0$以下である。すなわち

である。ゆえに

である。▨

証明. 存在を示す。非負整数$m$に対して

とおく。$z\in H_{m}$について$\operatorname{Re}(z+m+1)>0$であるから分子は定まり、分母は$0$でない。定理 1.4と§E5.2 命題 1.2により$G_{m}$は$H_{m}$の上で正則である。

$G_{m}$が$H$の上で$\Gamma$に一致することを示す。命題 1.6を$m+1$回用いると、$\operatorname{Re}z>0$で$\Gamma(z+m+1)=(z+m)(z+m-1)\cdots z\,\Gamma(z)$であるから$G_{m}(z)=\Gamma(z)$である。$m<m'$のとき、$G_{m}$と$G_{m'}$は$H_{m}\cap H_{m'}\supseteq H$の上で$H$において一致し、$H_{m}\cap H_{m'}$は領域であるから、§E5.8 定理 3.1により$H_{m}$の上で一致する。ゆえに$\widetilde\Gamma(z)=G_{m}(z)$（$z\in H_{m}$となる$m$を取る）は$\Omega$の上でよく定まり、正則である。関数方程式は$H$の上で成り立ち、$\Omega$は領域であるから§E5.8 定理 3.1を$\widetilde\Gamma(z+1)$と$z\widetilde\Gamma(z)$へ適用して$\Omega$全体で成り立つ。

一意性は§E5.19 命題 1.2による。$\Omega$は領域であり$H\subseteq\Omega$であるから、$H$の上で$\Gamma$に一致する$\Omega$の上の正則関数は高々一つである。

極と留数を求める。$-n$の近傍で$G_{n}$の表示を用いると、$\varepsilon>0$を十分小さく取れば$D(-n,\varepsilon)$の上で

は正則であり、$0<|z+n|<\varepsilon$で$\Gamma(z)=h(z)/(z+n)$が成り立つ（$n=0$のときは$h(z)=\Gamma(z+1)$とする）。$z=-n$における値は

であり、この値は$0$でない。したがって§E5.11 命題 3.4により$-n$は$\Gamma$の単純極であり、Laurent 係数$c_{-1}$は$h(-n)$に等しい。すなわち留数はこの値である。▨

証明.補題 1.3 (1)により$t>0$で$e^{2\pi t}\ge1+2\pi t$、すなわち$e^{2\pi t}-1\ge2\pi t$であるから$\int_{0}^{1}\frac{t}{e^{2\pi t}-1}dt\le\frac1{2\pi}$である。また$t\ge1$では$e^{2\pi t}-1=e^{2\pi t}(1-e^{-2\pi t})\ge(1-e^{-2\pi})e^{2\pi t}$であり、$te^{-2\pi t}$は原始関数$-\bigl(\frac{t}{2\pi}+\frac{1}{4\pi^{2}}\bigr)e^{-2\pi t}$をもち、$e^{-2\pi t}$と$te^{-2\pi t}$はともに$t\to\infty$で$0$へ収束する（補題 1.3 (3)を$b=1$、$\lambda=\pi$について用いると$t\ge T$で$te^{-2\pi t}\le e^{-\pi t}$である）から$\int_{1}^{\infty}\frac{t}{e^{2\pi t}-1}dt\le\frac{1}{1-e^{-2\pi}}\int_{1}^{\infty}te^{-2\pi t}dt<\infty$である。ゆえに$\Lambda<\infty$である。

(1)を示す。$t\mapsto\operatorname{Log}(z\pm it)$は§E5.3 命題 2.10と§E5.2 命題 1.2により微分可能で、$t$についての導関数は$\pm i/(z\pm it)$である。したがって$\arctan(t/z)$の$t$についての導関数は

であり、$t=0$での値は$0$である。実部と虚部へ微積分学の基本定理（§D1.19 定理 2.1）を適用すると主張の積分表示を得る。$|z\pm i\tau|\ge\operatorname{Re}(z\pm i\tau)=x$であるから$|z^{2}+\tau^{2}|=|z+i\tau||z-i\tau|\ge x^{2}$であり、$|\arctan(t/z)|\le|z|t/x^{2}$である。もう一つの評価は、

と、$x\le|z\pm it|\le|z|+t$から$\bigl|\ln\frac{|z+it|}{|z-it|}\bigr|\le\ln\frac{|z|+t}{x}$、および偏角の主値が$(-\pi/2,\pi/2)$に属することから偏角の差の絶対値が$\pi$以下であることによる。

(2)を示す。(1)の二つの評価を$t\le1$と$t\ge1$で使い分けると

である。右の積分が有限であることは、補題 1.3 (1)により$\ln\frac{|z|+t}{x}\le\frac{|z|+t}{x}$であるから分子が$t$の一次式で抑えられ、上で$\Lambda<\infty$を示したときと同じ評価により$\int_{1}^{\infty}\frac{1+t}{e^{2\pi t}-1}dt<\infty$となることによる。

次に正則性を示す。$t\ge0$を固定し$\Psi_{t}(w)=\arctan(t/w)$とおくと、$\Psi_{t}$は$H$の上で正則で

である。$z_{0}\in H$、$x_{0}=\operatorname{Re}z_{0}$とし、$|\zeta-z_{0}|\le x_{0}/4$とすると$\operatorname{Re}\zeta\ge3x_{0}/4$、$|\zeta|\le|z_{0}|+x_{0}/4$であり、$|\zeta^{2}+t^{2}|=|\zeta+it||\zeta-it|\ge(3x_{0}/4)^{2}$であるから

である。$0<|h|\le x_{0}/4$とする。§E5.4 定理 4.2を線分$[z_{0},z_{0}+h]$の上で$\Psi_{t}'$へ適用し、さらに$\Psi_{t}'(\zeta)-\Psi_{t}'(z_{0})=\int_{[z_{0},\zeta]}\Psi_{t}''$を用いると

であり、右辺の絶対値は$|h|\int_{0}^{1}s|h|C_{0}t\,ds=\tfrac12|h|^{2}C_{0}t$以下である。両辺を$|h|$で割り、$2/(e^{2\pi t}-1)$を掛けて$t$について積分すると

である。右辺は$h\to0$で$0$へ収束するから、$J$は$z_{0}$で複素微分可能である。$z_{0}$は任意であるから$J$は$H$の上で正則である。

(3)を示す。$x>0$が実数のときは、(1)の積分表示により$\arctan(t/x)=\int_{0}^{t}\frac{x}{x^{2}+\tau^{2}}d\tau$であり、被積分関数は$\tau\ge0$で$0<\frac{x}{x^{2}+\tau^{2}}\le\frac1x$を満たすから$0\le\arctan(t/x)\le t/x$である。したがって$0\le J(x)\le\frac2x\int_{0}^{\infty}\frac{t}{e^{2\pi t}-1}dt=\frac{2\Lambda}{x}$である。▨

証明.§E5.11 定理 2.1により、$0<|w-a|<\varepsilon$で$g(w)=\sum_{n\ge-1}c_{n}(w-a)^{n}$と展開することができ、$c_{-1}=\operatorname{Res}(g,a)$である。$g_{0}(w)=g(w)-c_{-1}(w-a)^{-1}=\sum_{n\ge0}c_{n}(w-a)^{n}$は$|w-a|<\varepsilon$の上の収束べき級数であるから、そこで正則である（§E5.7 定理 1.5）。閉円板$\{|w-a|\le\varepsilon/2\}$は$\mathbb C$の有界な閉集合であるから§E2.9 定理 4.3によりコンパクトであり、$|g_{0}|$はその上で連続な実数値関数であるから§E2.19 定理 4.4により最大値をとる。その値を$M$とする。

$\alpha_{\rho}$に沿って

である。また$\alpha_{\rho}$の長さは$\rho|\theta_{2}-\theta_{1}|$であるから、ML 不等式（§E5.4 命題 3.2）により$\rho\le\varepsilon/2$で$\bigl|\int_{\alpha_{\rho}}g_{0}\bigr|\le M\rho|\theta_{2}-\theta_{1}|$であり、この上界は$\rho\to0^{+}$で$0$へ収束する。▨

証明.$x=\operatorname{Re}z>0$を固定する。

$f(w)=\operatorname{Log}(z+w)$とおく。$\operatorname{Re}w>-x$ならば$\operatorname{Re}(z+w)>0$であり、$z+w$は主値の切断平面に属するから、$f$は$\{\operatorname{Re}w>-x\}$の上で正則である（§E5.3 命題 2.10、§E5.2 命題 1.2）。

とおく。§E5.3 命題 1.7により$e^{\mp2\pi iw}=1$となるのは$w$が整数のときに限るから、$K_{1}$と$K_{2}$は$\mathbb C\setminus\mathbb Z$の上で正則である。$q=e^{2\pi iw}$とおくと$K_{1}-K_{2}=\frac{q}{1-q}+\frac{1}{q-1}=\frac{1-q}{q-1}=-1$であり、両者はともに周期$1$をもつ。$g(u)=\sum_{k\ge0}u^{k}/(k+1)!$とおくと$g$は整関数で$e^{u}-1=u\,g(u)$、$g(0)=1$であるから、$g$が$0$をとらない原点の近傍を取ることができる。整数$n$の近傍では$e^{\mp2\pi iw}-1=\mp2\pi i(w-n)\,g\bigl(\mp2\pi i(w-n)\bigr)$であるから、$n$のある近傍の上で

と書くことができ、$H_{j}$はある$\varepsilon>0$について$D(n,\varepsilon)$の上で正則で$H_{1}(n)=H_{2}(n)=\dfrac{i}{2\pi}f(n)$である。