楕円積分と楕円函数への展望 | 複素解析

1 完全楕円積分と周期比

$0<k<1$ に対する Legendre 標準形では、単位円板上の平方根の枝によって第一種楕円積分を定めることができる。完全楕円積分 $K(k)$ と補完全楕円積分 $K'(k)$ の比は、Jacobi の楕円函数の周期比を与える。

補題 1.1. $0<k<1$ とし、 $D=\{z\in\mathbb C:|z|<1\}$ と置く。 $D$ の上で $1-z^{2}$ と $1-k^{2}z^{2}$ は零をもたない。また、 $D$ の上の正則関数 $\varrho$ で

\varrho(z)^{2}=(1-z^{2})(1-k^{2}z^{2}),\qquad \varrho(0)=1

を満たすものがただ一つ存在する。この $\varrho$ は $D$ の上で零を取らず、 $0\le x<1$ では $\varrho(x)$ は正の平方根 $\sqrt{(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}$ に一致する。さらに $1/\varrho$ は $D$ の上に正則な原始関数をもつ。

証明. $|z|<1$ ならば $|z^{2}|<1$ かつ $|k^{2}z^{2}|<k^{2}<1$ であるから、 $1-z^{2}$ と $1-k^{2}z^{2}$ はどちらも零ではなく、円板 $\{w\in\mathbb C:|w-1|<1\}$ に属する。この円板は切断平面 $D_{0}=\mathbb C\setminus(-\infty,0]$ に含まれるので、対数の主値（§E5.3 定義 2.7）を用いて

\varrho(z)=\exp\!\left( \frac{\operatorname{Log}(1-z^{2})+\operatorname{Log}(1-k^{2}z^{2})}2\right)

と置くことができる。§E5.3 命題 2.10により $\operatorname{Log}$ は $D_{0}$ の上で正則であるから、 $\varrho$ は $D$ の上で正則である。指数関数は零を取らないので $\varrho$ も $D$ の上で零を取らない。 $\exp\operatorname{Log}w=w$ から $\varrho(z)^{2}=(1-z^{2})(1-k^{2}z^{2})$ が従い、 $\varrho(0)=\exp0=1$ である。 $0\le x<1$ では $1-x^{2}$ と $1-k^{2}x^{2}$ が正の実数であるから、二つの対数の主値は実数であり、 $\varrho(x)$ は正の平方根に一致する。

一意性を示す。 $\varrho_{1}$ も同じ二条件を満たすとすると、 $D$ の上で $(\varrho_{1}/\varrho)^{2}=1$ である。商 $\varrho_{1}/\varrho$ は連結な $D$ の上の連続関数で、その値は $\{1,-1\}$ に含まれるから定数である。 $z=0$ における値が $1$ であるから、この定数は $1$ であり、 $\varrho_{1}=\varrho$ である。

最後に、 $\varrho$ が零を取らないので $1/\varrho$ は $D$ の上の正則関数である。 $D$ は $0$ に関して星形な領域であるから、§E5.5 定理 4.1により $1/\varrho$ は $D$ の上に正則な原始関数をもつ。▨

定義 1.2. $0<k<1$ とし、 $k'=\sqrt{1-k^{2}}>0$ と置く。補題 1.1の $\varrho$ を用いて、 $|x|<1$ に対して

F(x,k)=\int_{0}^{x}\frac{dt}{\varrho(t)} =\int_{0}^{x}\frac{dt}{\sqrt{(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}

と定める。積分路は単位円板内で $0$ と $x$ を結ぶ任意の区分的に滑らかな曲線とする。同補題により $1/\varrho$ は正則な原始関数をもつので、原始関数をもつ関数の積分（§E5.4 定理 4.2）により積分値は積分路によらない。第一種完全楕円積分 (complete elliptic integral of the first kind) と補完全楕円積分 (complementary complete elliptic integral) を、不定積分の実軸上の極限

K(k)=\lim_{x\uparrow1}F(x,k),\qquad K'(k)=K(k')

によって定める。

命題 1.3. $0<k<1$ に対して $K(k)$ と $K'(k)$ は有限な正の実数であり、

\tau(k)=i\frac{K'(k)}{K(k)}

は $\mathbb H$ に属する。さらに、 $K(k)$ は $k$ の狭義単調増加関数、 $K'(k)$ は狭義単調減少関数であり、

\rho(k)=\frac{K'(k)}{K(k)}

は $(0,1)$ 上の狭義単調減少関数である。したがって、 $\rho$ は単射である。

証明. $0\le t<1$ では被積分関数は正である。また $1-k^{2}t^{2}\ge1-k^{2}$ であるから、

0<\frac{1}{\sqrt{(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}} \le \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}}\sqrt{1-t^{2}}}.

右辺の $[0,1]$ 上の積分は $\pi/(2\sqrt{1-k^{2}})$ である。比較判定により $K(k)$ は有限であり、正である。同じ議論を $0<k'<1$ に適用すると $K'(k)$ も有限な正の実数である。したがって $\operatorname{Im}\tau(k)=K'(k)/K(k)>0$ である。

$0<k_1<k_2<1$ とする。 $0<t<1$ において

\frac{1}{\sqrt{(1-t^2)(1-k_1^2t^2)}} <\frac{1}{\sqrt{(1-t^2)(1-k_2^2t^2)}}

であるから、積分すると $K(k_1)<K(k_2)$ を得る。補母数は $\sqrt{1-k_1^2}>\sqrt{1-k_2^2}$ を満たすため、 $K$ の狭義単調増加性から $K'(k_1)>K'(k_2)$ が従う。すべての量が正であるから、

\rho(k_1)=\frac{K'(k_1)}{K(k_1)} >\frac{K'(k_2)}{K(k_1)} >\frac{K'(k_2)}{K(k_2)}=\rho(k_2)

である。ゆえに $\rho$ は狭義単調減少であり、単射である。▨

一般の複素数 $k$ では二つの平方根の分岐を指定しなければならない。本記事はこの問題を扱わず、楕円積分の定義では常に $0<k<1$ を仮定する。

2 theta 函数の解析

Jacobi の四つの theta 函数は、指数が二次式である級数によって定まる。Gaussian 型の優級数は、 $\mathbb C\times\mathbb H$ のコンパクト集合上の正規収束、二変数の正則性、および項別微分を同時に与える。

定義 2.1. $(z,\tau)\in\mathbb C\times\mathbb H$ と $q=e^{\pi i\tau}$ に対して、注意 1の $q^{\alpha}=e^{\pi i\tau\alpha}$ の約束の下で

\begin{aligned} \vartheta _1(z,\tau) &=-i\sum_{n\in\mathbb Z}(-1)^nq^{(n+1/2)^2}e^{(2n+1)iz},\\ \vartheta _2(z,\tau) &=\sum_{n\in\mathbb Z}q^{(n+1/2)^2}e^{(2n+1)iz},\\ \vartheta _3(z,\tau) &=\sum_{n\in\mathbb Z}q^{n^2}e^{2niz},\\ \vartheta _4(z,\tau) &=\sum_{n\in\mathbb Z}(-1)^nq^{n^2}e^{2niz} \end{aligned}

と定める。これらをJacobi の四つの theta 函数 (Jacobi theta functions) という。theta 定数 (theta constants) を

a(\tau)=\vartheta _2(0,\tau),\qquad b(\tau)=\vartheta _3(0,\tau),\qquad c(\tau)=\vartheta _4(0,\tau)

と書く。

theta 級数は $\mathbb C\times\mathbb H$ の部分集合の上の複素数値関数の族であり、添字は $\mathbb Z$ を動く。優級数による一様収束の判定をこの形で使うために、次の補題を先に置く。

補題 2.2. $S$ を空でない集合とし、 $u_{n}:S\to\mathbb C$ （ $n\in\mathbb Z$ ）とする。非負の実数の族 $(M_{n})_{n\in\mathbb Z}$ が、すべての $n\in\mathbb Z$ とすべての $p\in S$ について $|u_{n}(p)|\le M_{n}$ を満たし、かつ部分和 $T_{N}=\sum_{n=-N}^{N}M_{n}$ が $N\to\infty$ で有限の極限 $T$ をもつとする。このとき、各 $p\in S$ について級数 $\sum_{n\in\mathbb Z}u_{n}(p)$ は絶対収束し、部分和の列 $\sigma_{N}(p)=\sum_{n=-N}^{N}u_{n}(p)$ は $S$ の上で一様収束する。

証明. $p\in S$ を固定する。 $a_{0}=u_{0}(p)$ 、 $m\ge1$ に対して $a_{m}=u_{m}(p)+u_{-m}(p)$ と置くと、 $\sum_{m=0}^{N}a_{m}=\sigma_{N}(p)$ である。 $\sum_{m=0}^{N}|a_{m}|\le T_{N}\le T$ であり、左辺は $N$ について単調増加であるから、 $\sum_{m\ge0}|a_{m}|$ は収束する。したがって§E5.3 補題 1.1により $(\sigma_{N}(p))_{N}$ は収束する。その極限を $u(p)$ と書く。同じ評価から $\sum_{n=-N}^{N}|u_{n}(p)|\le T$ であり、級数は絶対収束する。

一様収束を示す。 $M>N$ について

|\sigma_{M}(p)-\sigma_{N}(p)| \le\sum_{N<|n|\le M}M_{n}=T_{M}-T_{N}\le T-T_{N}

であるから、 $M\to\infty$ として $|u(p)-\sigma_{N}(p)|\le T-T_{N}$ を得る。右辺は $p$ に依存せず、 $N\to\infty$ で $0$ へ収束する。ゆえに $(\sigma_{N})$ は $S$ の上で $u$ へ一様収束する。▨

定義域が実区間で終域が実数である場合は、各項を上から押さえる数列による判定（§D1.22 定理 5.2）にある。上の補題は定義域の形にも終域の実数性にも依存せず、 $\mathbb C$ における絶対収束級数の収束だけを用いる。

定理 2.3. 四つの theta 級数は $\mathbb C\times\mathbb H$ の任意のコンパクト部分集合の上で正規収束する。その和は $(z,\tau)$ の二変数正則関数であり、各変数について任意回項別微分することができる。

証明. $L\subset\mathbb C\times\mathbb H$ をコンパクト集合とする。連続関数 $\operatorname{Im}\tau$ は $L$ 上で正の最小値 $\eta$ をもち、 $|\operatorname{Im}z|$ は有限な最大値 $M$ をもつ。 $\alpha\in\{0,1/2\}$ とすると、各項の絶対値は

\left|e^{\pi i\tau(n+\alpha)^2}e^{2i(n+\alpha)z}\right| \le e^{-\pi\eta(n+\alpha)^2+2M|n+\alpha|}

で抑えられる。右辺の $n\in\mathbb Z$ に関する和は、二次式の負の項が一次式の項を支配するため収束する。各 $\alpha\in\{0,1/2\}$ について、この右辺を優級数として補題 2.2を $S=L$ へ適用すると、四級数は $L$ 上で一様かつ絶対収束する。 $z$ または $\tau$ で有限回微分した級数には $|n+\alpha|$ の多項式因子だけが加わるので、同じ Gaussian 型の優級数を用いることができる。

正則性を確かめるために、一方の変数を固定する。 $\tau\in\mathbb H$ を固定し、 $L_{1}\subset\mathbb C$ をコンパクト集合とすると、 $L_{1}\times\{\tau\}$ は $\mathbb C\times\mathbb H$ のコンパクト集合であるから、部分和の列は $L_{1}$ の上で一様収束する。各部分和は $z$ の整関数であるから、Weierstrass の収束定理の§E5.17 定理 2.1 (1)により和は $z$ の整関数であり、§E5.17 定理 2.1 (2)により $z$ に関する項別微分を任意回行うことができる。 $z\in\mathbb C$ を固定した場合も、 $\mathbb H$ のコンパクト集合 $L_{2}$ に対して $\{z\}\times L_{2}$ を取れば同じ議論が成り立ち、和は $\tau$ について $\mathbb H$ の上で正則であり、 $\tau$ に関する項別微分を任意回行うことができる。

和を $f$ と書き、その一階偏導関数を $f_{z}$ 、 $f_{\tau}$ と書く。この二つが二変数の関数として連続であることを確かめる。項別微分が正当化されたので、 $z$ または $\tau$ で一度微分した級数の和はそれぞれ $f_{z}$ 、 $f_{\tau}$ に等しい。第一段落によりこれらの級数は $\mathbb C\times\mathbb H$ の任意のコンパクト集合の上で一様収束し、その部分和は有限和であるから $(z,\tau)$ の二変数連続関数である。 $\mathbb C\times\mathbb H$ の各点は $\mathbb C\times\mathbb H$ に含まれるコンパクトな近傍（閉円板の積）をもつから、 $f_{z}$ と $f_{\tau}$ はその近傍の上で連続関数列の一様収束の極限であり、したがって $\mathbb C\times\mathbb H$ の全体で二変数について連続である。

以上のもとで、十分小さい $h,\ell\in\mathbb C$ に対して線分上の微積分の基本定理から

\begin{aligned} f(z+h,\tau+\ell)-f(z,\tau) &=h\int_0^1f_z(z+th,\tau+\ell)\,dt +\ell\int_0^1f_\tau(z,\tau+t\ell)\,dt\\ &=h f_z(z,\tau)+\ell f_\tau(z,\tau)+o(|h|+|\ell|) \end{aligned}

である。したがって $f$ は二変数について複素 Fréchet 微分可能であり、正則である。▨

命題 2.4. $z\in\mathbb C$ 、 $\tau\in\mathbb H$ 、 $j=1,2,3,4$ とする。第一の準周期について

\begin{array}{c|rrrr} &\vartheta _1&\vartheta _2&\vartheta _3&\vartheta _4\\ \hline z\mapsto z+\pi&-&-&+&+ \end{array}

が成り立つ。表の符号は $\vartheta_j(z+\pi,\tau)$ と $\vartheta_j(z,\tau)$ の比を表す。第二の準周期について

\begin{aligned} \vartheta _1(z+\pi\tau,\tau)&=-q^{-1}e^{-2iz}\vartheta _1(z,\tau),\\ \vartheta _2(z+\pi\tau,\tau)&= q^{-1}e^{-2iz}\vartheta _2(z,\tau),\\ \vartheta _3(z+\pi\tau,\tau)&= q^{-1}e^{-2iz}\vartheta _3(z,\tau),\\ \vartheta _4(z+\pi\tau,\tau)&=-q^{-1}e^{-2iz}\vartheta _4(z,\tau) \end{aligned}

が成り立つ。また、 $T\tau=\tau+1$ に対して

\begin{aligned} \vartheta _1(z,\tau+1)&=e^{\pi i/4}\vartheta _1(z,\tau),& \vartheta _2(z,\tau+1)&=e^{\pi i/4}\vartheta _2(z,\tau),\\ \vartheta _3(z,\tau+1)&=\vartheta _4(z,\tau),& \vartheta _4(z,\tau+1)&=\vartheta _3(z,\tau) \end{aligned}

が成り立つ。

証明. $z$ を $z+\pi$ に替えると、指数因子 $e^{2i(n+\alpha)z}$ に $e^{2\pi i(n+\alpha)}$ が掛かる。 $\alpha=1/2$ の前二式ではこの因子は $-1$ 、 $\alpha=0$ の後二式では $1$ である。

$z$ を $z+\pi\tau$ に替えた級数では、 $e^{2\pi i\tau(n+\alpha)}$ を二次指数へ吸収し、添字を $n+1$ に移す。例えば

\sum_{n\in\mathbb Z}q^{n^2}e^{2ni(z+\pi\tau)} =q^{-1}e^{-2iz}\sum_{m\in\mathbb Z}q^{m^2}e^{2miz}

である。 $(-1)^n$ の有無と半整数の指数を同じ計算で追跡すると四式を得る。最後に $e^{\pi i(n+1/2)^2}=e^{\pi i/4}$ および $e^{\pi in^2}=(-1)^n$ を各級数へ代入すると、 $T$ に関する四式を得る。すべての添字変更は正規収束により正当化される。▨

命題 2.5. $z\in\mathbb C$ 、 $\tau\in\mathbb H$ とする。 $\vartheta _1$ は $z$ の奇関数であり、 $\vartheta _2$ 、 $\vartheta _3$ 、 $\vartheta _4$ は $z$ の偶関数である。すなわち

\vartheta _1(-z,\tau)=-\vartheta _1(z,\tau),\qquad \vartheta _j(-z,\tau)=\vartheta _j(z,\tau)\quad(j=2,3,4)

が成り立つ。とくに $\vartheta _1(0,\tau)=0$ である。

証明. $\vartheta _3$ と $\vartheta _4$ の級数で $z$ を $-z$ に替え、添字を $n$ から $-n$ へ移す。 $q^{(-n)^2}=q^{n^2}$ と $(-1)^{-n}=(-1)^n$ であり、指数因子は $e^{2niz}$ に戻るので、二つの級数はもとの級数に一致する。

$\vartheta _1$ と $\vartheta _2$ の級数で $z$ を $-z$ に替え、添字を $n$ から $-n-1$ へ移す。 $(-n-1)+1/2=-(n+1/2)$ であるから二次の指数は変わらず、 $2(-n-1)+1=-(2n+1)$ であるから指数因子は $e^{(2n+1)iz}$ に戻る。 $\vartheta _2$ にはほかに符号の因子がないので $\vartheta _2(-z,\tau)=\vartheta _2(z,\tau)$ である。 $\vartheta _1$ では $(-1)^{-n-1}=-(-1)^{n}$ であるから、全体の符号が反転して $\vartheta _1(-z,\tau)=-\vartheta _1(z,\tau)$ を得る。添字の移動は正規収束（定理 2.3）により正当化される。 $z=0$ を代入すると $\vartheta _1(0,\tau)=-\vartheta _1(0,\tau)$ であるから $\vartheta _1(0,\tau)=0$ である。▨

Poisson の和公式と虚数変換のために、四つの theta 級数を一つの族

\Theta_{\alpha,\beta}(z,\tau)=\sum_{n\in\mathbb Z} e^{\pi i\tau(n+\alpha)^{2}+2i(n+\alpha)(z+\pi\beta)} \qquad(\alpha,\beta\in\{0,1/2\})

へまとめる。 $\alpha$ は格子の平行移動、 $\beta$ は指数因子の平行移動に対応し、Poisson の和公式はこの二つを入れ替える。

定義 2.6. 右半平面 $R=\{w\in\mathbb C:\operatorname{Re}w>0\}$ では $-\pi/2<\operatorname{Arg}_R w<\pi/2$ とし、

\sigma(w)=\exp\!\left(\frac{\log|w|+i\operatorname{Arg}_R w}{2}\right)

と定める。 $\tau\in\mathbb H$ に対しては $-i\tau\in R$ であるから、

s(\tau)=\sigma(-i\tau)

と定めることができる。この $s$ を虚数変換に用いる平方根の枝 (square-root branch for the imaginary transformation) という。

命題 2.7.定義 2.6の $\sigma$ と $s$ について、次が成り立つ。

$\sigma$ は $R$ の上で正則であり、 $\sigma(w)^{2}=w$ を満たし、正の実軸の上で正値を取る。
$s$ は $\mathbb H$ の上の正則関数であり、 $s(\tau)^{2}=-i\tau$ と $s(it)=\sqrt t$ （ $t>0$ ）を満たす。
$s_{1}(\tau)^{2}=-i\tau$ と $s_{1}(it)=\sqrt t$ （ $t>0$ ）を満たす $\mathbb H$ の上の正則関数 $s_{1}$ は、 $s$ に限る。

証明.(1)を示す。 $w\in R$ に対して $\operatorname{Arg}_R w$ は偏角の主値（§E5.3 定義 2.7）と一致し、 $R\subset D_{0}=\mathbb C\setminus(-\infty,0]$ であるから、 $\sigma(w)=\exp(\tfrac12\operatorname{Log}w)$ である。§E5.3 命題 2.10により $\operatorname{Log}$ は $D_{0}$ の上で正則であるから、 $\sigma$ は $R$ の上で正則である。 $\sigma(w)^{2}=\exp(\operatorname{Log}w)=w$ であり、 $w>0$ では $\operatorname{Log}w=\ln w$ が実数であるから $\sigma(w)=e^{(\ln w)/2}>0$ である。

(2)を示す。 $\tau\in\mathbb H$ に対して $-i\tau$ の実部は $\operatorname{Im}\tau>0$ に等しいから、 $-i\tau\in R$ である。写像 $\tau\mapsto-i\tau$ は正則であるから、合成 $s$ は $\mathbb H$ の上で正則である。(1)により $s(\tau)^{2}=-i\tau$ である。 $\tau=it$ （ $t>0$ ）では $-i\tau=t>0$ であるから、(1)により $s(it)=\sigma(t)=\sqrt t$ である。

(3)を示す。 $s_{1}$ も $\mathbb H$ の上の正則関数で、 $s_{1}(\tau)^{2}=-i\tau$ と $s_{1}(it)=\sqrt t$ を満たすとする。 $\tau\in\mathbb H$ では $-i\tau\ne0$ であるから $s$ は零を取らず、商 $s_{1}/s$ は $\mathbb H$ の上の連続関数である。 $(s_{1}/s)^{2}=1$ であるから、その値は $\{1,-1\}$ に含まれる。 $\mathbb H$ は連結であるから $s_{1}/s$ は定数であり、正の虚軸の上で $1$ に等しい。ゆえに $s_{1}=s$ である。▨

補題 2.8 (Gaussian 関数に対する Poisson の和公式). $A,w\in\mathbb C$ が $\operatorname{Re}A>0$ を満たすとし、

h(x)=e^{-\pi Ax^{2}+2wx}\qquad(x\in\mathbb R)

と置く。Fourier 変換を $\widehat h(m)=\int_{\mathbb R}h(x)e^{-2\pi imx}\,dx$ と定める。定義 2.6の $\sigma$ を用いて $A^{-1/2}=\sigma(A)^{-1}$ と書く。第一に、Gaussian 積分は

\int_{\mathbb R}e^{-\pi Ax^{2}+2wx}\,dx=A^{-1/2}e^{w^{2}/(\pi A)}

を満たし、とくに $\widehat h(m)=A^{-1/2}e^{(w-\pi im)^{2}/(\pi A)}$ である。第二に、任意の $\alpha\in\mathbb R$ に対して

\sum_{n\in\mathbb Z}h(n+\alpha) =\sum_{m\in\mathbb Z}e^{2\pi im\alpha}\widehat h(m)

が成り立つ。両辺の級数は絶対収束する。

証明. まず $\operatorname{Re}A>0$ に対して

\int_{\mathbb R}e^{-\pi Ax^{2}}\,dx=A^{-1/2}

を示す。 $A>0$ が実数のとき、 $A=1$ への変数変換と、二重積分を極座標で計算する等式

\left(\int_{\mathbb R}e^{-\pi x^{2}}\,dx\right)^{2} =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-\pi r^{2}}r\,dr\,d\theta=1

から従う。 $\operatorname{Re}A>0$ では積分とその $A$ による導関数がコンパクト集合ごとに可積分な Gaussian 関数で抑えられるため、左辺は $A$ の正則関数である。右辺の $A^{-1/2}=\sigma(A)^{-1}$ も命題 2.7 (1)により右半平面の上で正則であり、正の実軸の上で両辺は一致する。正則関数の一致の定理（§E5.8 定理 3.1）により、等式は右半平面全体で成り立つ。

次に一次項を含む場合を示す。 $\operatorname{Re}A>0$ を固定すると、 $w$ を含む積分は部分積分により微分方程式

\frac{d}{dw}\int_{\mathbb R}e^{-\pi Ax^{2}+2wx}\,dx =\frac{2w}{\pi A}\int_{\mathbb R}e^{-\pi Ax^{2}+2wx}\,dx

を満たす。 $w=0$ における値は前段の $A^{-1/2}$ であるから、解は $A^{-1/2}e^{w^{2}/(\pi A)}$ である。 $e^{-2\pi imx}$ を掛けることは $w$ を $w-\pi im$ に替えることであるから、 $\widehat h(m)=A^{-1/2}e^{(w-\pi im)^{2}/(\pi A)}$ を得る。この計算は実軸を複素平面内で平行移動することを必要としない。

最後に和公式を示す。 $G(x)=\sum_{n\in\mathbb Z}h(x+n)$ と置く。実数 $x$ に対して

|h(x)|=e^{-\pi(\operatorname{Re}A)x^{2}+2(\operatorname{Re}w)x}

であり、二次式の負の項が一次式の項を支配するから、この級数と $x$ に関する導関数列は $[0,1]$ 上で一様収束する。したがって $G$ は連続な $1$ 周期関数であり、その $m$ 番目の Fourier 係数は、絶対収束による和と積分の交換および区間の分割から

\int_{0}^{1}G(x)e^{-2\pi imx}\,dx =\int_{\mathbb R}h(x)e^{-2\pi imx}\,dx=\widehat h(m)

である。 $(w-\pi im)^{2}/(\pi A)$ の実部は $-\pi m^{2}\operatorname{Re}(A)/|A|^{2}$ を主要項にもつので、 $\widehat h(m)$ も Gaussian 型に減衰し、その Fourier 級数は一様収束する。 $G$ とこの Fourier 級数との差は連続な周期関数であり、すべての Fourier 係数が零である。この差を Fejér 核

\Phi_N(x)=\frac1N\left(\frac{\sin \pi Nx}{\sin\pi x}\right)^2

と畳み込むと常に零になる。一方、 $\Phi_N\ge0$ 、 $\int_0^1\Phi_N=1$ であり、任意の $0<\delta<1/2$ に対して $\delta\le |x|\le1/2$ 上の積分は $N\to\infty$ で零へ収束する。連続周期関数の一様連続性を用いると Fejér 平均はもとの関数へ一様収束するので、差は恒等的に零である。すなわちすべての $x\in\mathbb R$ について $G(x)=\sum_{m\in\mathbb Z}\widehat h(m)e^{2\pi imx}$ が成り立つ。 $x=\alpha$ を代入すると主張の和公式を得る。両辺の絶対収束は、上に述べた $h$ と $\widehat h$ の Gaussian 型の減衰による。▨

定理 2.9. $z\in\mathbb C$ 、 $\tau\in\mathbb H$ とし、定義 2.6の $s(\tau)$ を用いる。このとき

\begin{aligned} \vartheta _1(z/\tau,-1/\tau) &=-i s(\tau)e^{iz^{2}/(\pi\tau)}\vartheta _1(z,\tau),\\ \vartheta _2(z/\tau,-1/\tau) &=s(\tau)e^{iz^{2}/(\pi\tau)}\vartheta _4(z,\tau),\\ \vartheta _3(z/\tau,-1/\tau) &=s(\tau)e^{iz^{2}/(\pi\tau)}\vartheta _3(z,\tau),\\ \vartheta _4(z/\tau,-1/\tau) &=s(\tau)e^{iz^{2}/(\pi\tau)}\vartheta _2(z,\tau) \end{aligned}

が成り立つ。

証明. $\alpha,\beta\in\{0,1/2\}$ に対して

\Theta_{\alpha,\beta}(z,\tau)= \sum_{n\in\mathbb Z} e^{\pi i\tau(n+\alpha)^2+2i(n+\alpha)(z+\pi\beta)}

と置く。 $\Theta_{\alpha,\beta}(z/\tau,-1/\tau)$ の和へ補題 2.8を適用するため、

h(x)=\exp\!\left(-\frac{\pi i}{\tau}x^2 +2ix\left(\frac z\tau+\pi\beta\right)\right)

と置く。この $h$ は $A=i/\tau$ 、 $w=i\{z/\tau+\pi\beta\}$ とした $h(x)=e^{-\pi Ax^{2}+2wx}$ の形である。 $i/\tau=i\overline\tau/|\tau|^{2}$ の実部は $\operatorname{Im}\tau/|\tau|^{2}$ に等しく、 $\tau\in\mathbb H$ では正であるから、同補題の仮定を満たす。 Fourier 変換を同補題と同じ規約で取ると、平方完成により

\begin{aligned} \widehat h(m) &=\int_{\mathbb R}\exp\!\left( -\frac{\pi i}{\tau}x^2 +2ix\left(\frac z\tau+\pi(\beta-m)\right)\right)dx\\ &=s(\tau)e^{iz^2/(\pi\tau)} e^{\pi i\tau(m-\beta)^2-2i(m-\beta)z} \end{aligned}

を得る。実際、 $A=i/\tau$ と $w=i\{z/\tau+\pi(\beta-m)\}$ を補題 2.8の Gaussian 積分 $A^{-1/2}e^{w^2/(\pi A)}$ へ代入すると、指数は

\frac{iz^2}{\pi\tau}+2iz(\beta-m)+\pi i\tau(m-\beta)^2

となる。係数については $A^{-1/2}=s(\tau)$ である。実際、 $\sigma(i/\tau)^{2}=i/\tau=s(\tau)^{-2}$ であるから、 $\mathbb H$ の上の連続関数 $\sigma(i/\tau)s(\tau)$ の値は $\{1,-1\}$ に含まれる。 $\mathbb H$ は連結であるからこの関数は定数であり、 $\tau=it$ では $\sigma(1/t)\sqrt t=1$ である。ゆえに $\sigma(i/\tau)=s(\tau)^{-1}$ 、すなわち $A^{-1/2}=\sigma(A)^{-1}=s(\tau)$ である。

格子を $\mathbb Z+\alpha$ だけ平行移動した Poisson の和公式（補題 2.8）は

\sum_{n\in\mathbb Z}h(n+\alpha) =\sum_{m\in\mathbb Z}e^{2\pi im\alpha}\widehat h(m)

である。右辺で $r=-m$ と置くと、格子移動の因子は $e^{-2\pi ir\alpha}$ となる。一方、

e^{2\pi i\alpha\beta} e^{2i(r+\beta)(z-\pi\alpha)} =e^{-2\pi ir\alpha}e^{2i(r+\beta)z}

である。したがって、

\Theta_{\alpha,\beta}(z/\tau,-1/\tau) =s(\tau)e^{iz^2/(\pi\tau)}e^{2\pi i\alpha\beta} \Theta_{\beta,-\alpha}(z,\tau)

を得る。正規収束により、格子の平行移動、積分との交換、および添字変更は正当化される。

$\Theta_{0,0}=\vartheta _3$ 、 $\Theta_{1/2,0}=\vartheta _2$ 、 $\Theta_{0,1/2}=\vartheta _4$ である。また $\Theta_{1/2,1/2}=-\vartheta _1$ 、 $\Theta_{1/2,-1/2}=\vartheta _1$ である。四組の $(\alpha,\beta)$ を上の変換公式へ代入すると主張の四式を得る。 $(\alpha,\beta)=(1/2,1/2)$ では左辺が $-\vartheta _1(z/\tau,-1/\tau)$ 、右辺の theta 函数が $\Theta_{1/2,-1/2}=\vartheta _1$ であり、 $e^{2\pi i(1/2)(1/2)}=i$ である。したがって、左辺の符号を移すと係数は $-i$ になる。平方根の枝は命題 2.7 (3)により一意であるため、四式で同じ $s(\tau)$ が現れる。▨

Jacobi の三重積は、theta 函数の積表示から零点とその単純性を読み取る手段を与える。二倍公式からは theta 定数の四次恒等式が従い、Wronskian 型の恒等式は Jacobi の楕円函数の導関数を決定する。

補題 2.10 (Durfee 正方形による分割母関数の分解). $Q$ を形式変数とする。 $(Q;Q)_j=\prod_{r=1}^{j}(1-Q^r)$ 、 $(Q;Q)_0=1$ と書くと、形式的冪級数として

\frac1{(Q;Q)_\infty} =\sum_{j=0}^{\infty}\frac{Q^{j^2}}{(Q;Q)_j^2}

が成り立つ。 $|Q|<1$ では、両辺は絶対収束する解析関数としても一致する。

証明. 分割とは、正の整数の有限な非増加列 $\mu_1\ge\cdots\ge\mu_\ell>0$ であり、その大きさを $|\mu|=\sum_r\mu_r$ とする。各行に左から $\mu_r$ 個の箱を並べた図を Ferrers 図という。 $1/(Q;Q)_\infty=\prod_{r\ge1}(1-Q^r)^{-1}$ では、因子 $(1-Q^r)^{-1}$ の $Q^{rm}$ が大きさ $r$ の部分を $m$ 個選ぶことを表すため、 $Q^n$ の係数は大きさ $n$ の分割の個数である。

Ferrers 図の左上隅に入る最大の正方形を Durfee 正方形といい、その一辺を $j$ とする。この正方形は $Q^{j^2}$ に寄与する。正方形の右側の図は高々 $j$ 行をもち、下側の図は各行の長さが高々 $j$ である。 Ferrers 図を主対角線で転置する共役操作により、高々 $j$ 行の分割と各行の長さが高々 $j$ の分割は全単射に対応する。後者では大きさ $1,\ldots,j$ の各部分の個数を独立に選ぶことができるため、その母関数は

\prod_{r=1}^{j}\frac1{1-Q^r}=\frac1{(Q;Q)_j}

である。したがって、右側と下側の二つの図はそれぞれ $1/(Q;Q)_j$ を与える。Durfee 正方形の一辺と二つの残余図から元の Ferrers 図を一意に復元することができるため、 $j$ について和を取れば主張の形式的等式を得る。 $|Q|<1$ では、各係数が非負である実変数 $0\le |Q|<1$ における母関数の収束を優級数として用いると、両辺は絶対収束し、形式的等式は解析的等式を与える。▨

補題 2.11 (Jacobi の三重積). $|q|<1$ と $w\ne0$ に対して

\sum_{n\in\mathbb Z}q^{n^{2}}w^{n} =\prod_{r=1}^{\infty}(1-q^{2r})(1+q^{2r-1}w)(1+q^{2r-1}w^{-1})

が成り立つ。両辺は、領域

\Omega=\{(q,w)\in\mathbb C^{2}:|q|<1,\ w\ne0\}

の任意のコンパクト部分集合の上で正規収束する。すなわち、収束は $w$ についてだけでなく $q$ についても一様である。

証明. $Q=q^{2}$ 、 $(Q;Q)_j=\prod_{r=1}^{j}(1-Q^r)$ 、 $(Q;Q)_0=1$ と書く。有限個の因子から $x$ を $j$ 回選ぶ場合を、その添字 $0\le r_1<\cdots<r_j$ によって分類する。差 $r_1,r_2-r_1-1,\ldots,r_j-r_{j-1}-1$ を独立に和を取ると

\prod_{r=0}^{\infty}(1+xQ^r) =\sum_{j=0}^{\infty}\frac{Q^{j(j-1)/2}}{(Q;Q)_j}x^j

を得る。この展開はまず形式的冪級数の係数の等式であり、 $|Q|<1$ では両辺がコンパクト集合上で絶対収束するため解析関数の等式でもある。

主張の右辺を $P(w)$ と書く。上の展開を $x=qw$ と $x=qw^{-1}$ に適用すると、 $P$ の定数項は

(Q;Q)_\infty\sum_{j=0}^{\infty}\frac{Q^{j^2}}{(Q;Q)_j^2}=1

である。最後の等式は補題 2.10による。

積の添字を一つずらすと

P(Qw)=q^{-1}w^{-1}P(w)

となる。 $P(w)=\sum_{n\in\mathbb Z}c_nw^n$ と Laurent 展開すれば $c_{n+1}=q^{2n+1}c_n$ であり、定数項 $c_0=1$ と合わせて $c_n=q^{n^2}$ を得る。

正規収束を示す。 $L\subset\Omega$ をコンパクト集合とすると、連続関数 $|q|$ 、 $|w|$ 、 $|w|^{-1}$ は $L$ の上で最大値をもつので、 $|q|\le q_{0}<1$ と $|w|+|w|^{-1}\le M_{0}$ を満たす定数 $q_{0}$ と $M_{0}$ が存在する。すると $L$ の上で $\sum_r |q|^{2r-1}(|w|+|w|^{-1})\le M_{0}\sum_r q_{0}^{2r-1}<\infty$ である。また $|w|\le M_{0}$ と $|w|^{-1}\le M_{0}$ から $|q|^{n^{2}}|w|^{n}\le q_{0}^{n^{2}}M_{0}^{|n|}$ であり、二次の指数が一次の指数を支配するため $\sum_n q_{0}^{n^{2}}M_{0}^{|n|}$ は収束する。したがって、無限積と Laurent 級数はともに $L$ の上で正規収束し、Laurent 展開との比較も正当化される。▨

命題 2.12. $z\in\mathbb C$ 、 $\tau\in\mathbb H$ 、 $q=e^{\pi i\tau}$ とする。このとき

\begin{aligned} \vartheta _1(z)&=2q^{1/4}\sin z\prod_{r\ge1}(1-q^{2r}) (1-2q^{2r}\cos2z+q^{4r}),\\ \vartheta _2(z)&=2q^{1/4}\cos z\prod_{r\ge1}(1-q^{2r}) (1+2q^{2r}\cos2z+q^{4r}),\\ \vartheta _3(z)&=\prod_{r\ge1}(1-q^{2r}) (1+2q^{2r-1}\cos2z+q^{4r-2}),\\ \vartheta _4(z)&=\prod_{r\ge1}(1-q^{2r}) (1-2q^{2r-1}\cos2z+q^{4r-2}) \end{aligned}

が成り立つ。ここでは各 theta 函数の第二変数を省略した。また、 $b(\tau)\ne0$ かつ $\vartheta _1'(0,\tau)=a(\tau)b(\tau)c(\tau)$ である。格子 $\Lambda_\tau=\pi\mathbb Z+\pi\tau\mathbb Z$ による剰余類で表すと、四函数の零点はそれぞれ

\begin{array}{c|c} &\text{零点}\pmod{\Lambda_\tau}\\ \hline \vartheta _1&0\\ \vartheta _2&\pi/2\\ \vartheta _3&(\pi+\pi\tau)/2\\ \vartheta _4&\pi\tau/2 \end{array}

であり、すべて単純である。

証明. 四つの積表示を補題 2.11への代入によって順に導く。以下では注意 1の $q^{\alpha}=e^{\pi i\tau\alpha}$ の約束を用いるので、実数 $\alpha,\beta$ について $q^{\alpha}q^{\beta}=q^{\alpha+\beta}$ が成り立つ。

$\vartheta _3$ と $\vartheta _4$ では、定義の級数がそのまま三重積の左辺の形をしている。 $w=e^{2iz}$ を代入すると $q^{2r-1}w=q^{2r-1}e^{2iz}$ 、 $q^{2r-1}w^{-1}=q^{2r-1}e^{-2iz}$ であり、二つの因子の積は $1+2q^{2r-1}\cos2z+q^{4r-2}$ である。したがって $\vartheta _3$ の表示を得る。 $w=-e^{2iz}$ を代入すると、同じ二因子の積は $1-2q^{2r-1}\cos2z+q^{4r-2}$ となり、左辺は $\sum_n q^{n^2}(-1)^ne^{2niz}=\vartheta _4(z)$ であるから、 $\vartheta _4$ の表示を得る。

$\vartheta _2$ では、代入の前に級数の形を整える。 $(n+1/2)^2=n^2+n+1/4$ であるから

q^{(n+1/2)^2}e^{(2n+1)iz} =q^{1/4}e^{iz}\,q^{n^2}\left(qe^{2iz}\right)^{n}

であり、 $\vartheta _2(z)=q^{1/4}e^{iz}\sum_{n}q^{n^2}w^{n}$ （ただし $w=qe^{2iz}$ ）と書くことができる。三重積へ $w=qe^{2iz}$ を代入すると $q^{2r-1}w=q^{2r}e^{2iz}$ 、 $q^{2r-1}w^{-1}=q^{2r-2}e^{-2iz}$ であるから

\vartheta _2(z)=q^{1/4}e^{iz}\prod_{r\ge1}(1-q^{2r}) \left(1+q^{2r}e^{2iz}\right)\left(1+q^{2r-2}e^{-2iz}\right)

である。最後の型の因子から $r=1$ のもの、すなわち $1+e^{-2iz}$ を前へ出すと

q^{1/4}e^{iz}\left(1+e^{-2iz}\right)=q^{1/4}\left(e^{iz}+e^{-iz}\right)=2q^{1/4}\cos z

となり、残る因子は添字を $r$ から $r+1$ へ移して $1+q^{2r}e^{-2iz}$ （ $r\ge1$ ）となる。 $\left(1+q^{2r}e^{2iz}\right)\left(1+q^{2r}e^{-2iz}\right)=1+2q^{2r}\cos2z+q^{4r}$ であるから、主張の $\vartheta _2$ の表示を得る。

$\vartheta _1$ は $\vartheta _2$ の各項へ因子 $-i(-1)^n$ を掛けたものであるから、同じ変形で $\vartheta _1(z)=-i\,q^{1/4}e^{iz}\sum_{n}q^{n^2}w^{n}$ （ただし $w=-qe^{2iz}$ ）となる。三重積の二因子は $1-q^{2r}e^{2iz}$ と $1-q^{2r-2}e^{-2iz}$ になり、 $r=1$ の因子を前へ出すと

-i\,q^{1/4}e^{iz}\left(1-e^{-2iz}\right) =-i\,q^{1/4}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)=2q^{1/4}\sin z

である。残る因子の積は $1-2q^{2r}\cos2z+q^{4r}$ であるから、主張の $\vartheta _1$ の表示を得る。

零点を読み取る。 $\vartheta _1$ の $z$ に依存する因子は

\sin z\prod_{r\ge1}(1-q^{2r}e^{2iz})(1-q^{2r}e^{-2iz})

である。 $\sin z$ の零点は $\pi\mathbb Z$ であり、後二因子の零点はそれぞれ $-r\pi\tau+\pi\mathbb Z$ と $r\pi\tau+\pi\mathbb Z$ である。 $\operatorname{Im}\tau>0$ であるから、一つの格子点で二つの因子が同時に零になることはなく、各因子の零点は単純である。零でない残りの積因子と $1$ との差の絶対値の和は収束するため、その積も零でない。したがって、 $\vartheta _1$ の零点はちょうど $\Lambda_\tau$ であり、すべて単純である。

同様に、 $\vartheta _2$ の因子 $\cos z$ と $(1+q^{2r}e^{2iz})(1+q^{2r}e^{-2iz})$ は零点の剰余類 $\pi/2$ を与える。 $\vartheta _3$ の因子 $(1+q^{2r-1}e^{2iz})(1+q^{2r-1}e^{-2iz})$ は剰余類 $(\pi+\pi\tau)/2$ を与え、 $\vartheta _4$ の因子 $(1-q^{2r-1}e^{2iz})(1-q^{2r-1}e^{-2iz})$ は剰余類 $\pi\tau/2$ を与える。先と同じ非重複性と正規収束により、 $\vartheta _2$ 、 $\vartheta _3$ 、 $\vartheta _4$ の零点もすべて単純であり、ほかに零点はない。

$0$ は $\vartheta _3$ の零点剰余類に属さないため、 $b(\tau)\ne0$ である。最後に $\vartheta _1$ の積を $z=0$ で微分すると

\vartheta _1'(0,\tau)=2q^{1/4}\prod_{r\ge1}(1-q^{2r})^3

を得る。一方、残りの三つの積を $z=0$ で掛け合わせ、

\prod_{r\ge1}(1+q^{2r})(1-q^{4r-2})=1

を用いると、その積も右辺に一致する。この積の等式は $1+q^{2r}=(1-q^{4r})/(1-q^{2r})$ を代入し、偶数番目と奇数番目の因子へ分けると得られる。したがって、 $\vartheta _1'(0,\tau)=a(\tau)b(\tau)c(\tau)$ である。▨

命題 2.13. $z\in\mathbb C$ 、 $\tau\in\mathbb H$ とし、

A=\vartheta _3(0,2\tau),\quad B=\vartheta _2(0,2\tau),\quad X=\vartheta _3(2z,2\tau),\quad Y=\vartheta _2(2z,2\tau)

と置く。このとき

\begin{array}{ll} \vartheta _3(z,\tau)^2=AX+BY,&\vartheta _4(z,\tau)^2=AX-BY,\\ \vartheta _2(z,\tau)^2=BX+AY,&\vartheta _1(z,\tau)^2=BX-AY \end{array}

が成り立つ。とくに、 $a=a(\tau)$ 、 $b=b(\tau)$ 、 $c=c(\tau)$ に対して

b^2=A^2+B^2,\qquad c^2=A^2-B^2,\qquad a^2=2AB

である。

証明. 左辺の二つの theta 級数を掛けて二重和として展開する。例えば $\vartheta _3(z,\tau)^2$ では、添字を $m,n\in\mathbb Z$ とすると $m+n$ と $m-n$ は同じ偶奇性をもつ。両者が偶数の場合に $m+n=2r$ 、 $m-n=2s$ と置くと、その部分和は $AX$ になる。両者が奇数の場合に $m+n=2r+1$ 、 $m-n=2s+1$ と置くと、その部分和は $BY$ になる。したがって $\vartheta _3(z,\tau)^2=AX+BY$ である。 $(-1)^m$ の因子を加える場合と半整数添字の場合にも同じ変換を行い、偶奇による符号を保つと、残りの三つの関数等式を得る。二重和は絶対収束するため、和の順序変更と添字変換は正当化される。 $z=0$ と置くと $X=A$ 、 $Y=B$ となるので、初めの三式から $b^2=A^2+B^2$ 、 $c^2=A^2-B^2$ 、 $a^2=2AB$ が従う。▨

定理 2.14 (Jacobi の四次恒等式). $z\in\mathbb C$ 、 $\tau\in\mathbb H$ とし、 $a=a(\tau)$ 、 $b=b(\tau)$ 、 $c=c(\tau)$ とする。このとき

b^{4}=a^{4}+c^{4}

である。また、

\begin{aligned} a^{2}\vartheta _4(z)^{2} &=b^{2}\vartheta _1(z)^{2}+c^{2}\vartheta _2(z)^{2},\\ b^{2}\vartheta _4(z)^{2} &=c^{2}\vartheta _3(z)^{2}+a^{2}\vartheta _1(z)^{2},\\ \vartheta _1'(z)\vartheta _4(z)-\vartheta _1(z)\vartheta _4'(z) &=c^{2}\vartheta _2(z)\vartheta _3(z) \end{aligned}

が成り立つ。すべての theta 函数の第二変数は同じ $\tau$ である。

証明.命題 2.13の記号を用いる。同命題の theta 定数二倍公式から $b^{4}-c^{4}=4A^{2}B^{2}=a^{4}$ が従う。また同命題の四つの関数等式から $X,Y$ を消去すると、主張の初めの二つの $z$ に関する恒等式を得る。

最後の式の左辺を $W(z)$ と置く。命題 2.12により、各 theta 函数の零点は、準周期格子の移動を除けば、 $\vartheta _1$ では $0$ 、 $\vartheta _2$ では $\pi/2$ 、 $\vartheta _3$ では $(\pi+\pi\tau)/2$ 、 $\vartheta _4$ では $\pi\tau/2$ にあり、いずれも単純である。

$z_2=\pi/2$ とする。奇偶性（命題 2.5）と $\pi$ に関する準周期性から $\vartheta _1(\pi-z)=\vartheta _1(z)$ 、 $\vartheta _4(\pi-z)=\vartheta _4(z)$ である。したがって $\vartheta _1'(z_2)=\vartheta _4'(z_2)=0$ であり、 $W(z_2)=0$ である。次に $z_3=(\pi+\pi\tau)/2$ とする。二つの準周期公式と奇偶性（命題 2.5）から、 $f=\vartheta _1,\vartheta _4$ の双方に対して

f(2z_3-z)=-q^{-1}e^{2iz}f(z)

が成り立つ。 $z=z_3$ では右辺の係数が $1$ である。微分すると $f'(z_3)=-if(z_3)$ となるので、 $W(z_3)=0$ である。準周期公式を用いると、格子で移したすべての零点でも同じ消滅が成り立つ。 $\vartheta _2\vartheta _3$ の零点は単純であり、そこで $W$ も消えるから、商 $W/(\vartheta _2\vartheta _3)$ は各零点の穿孔近傍で有界である。ゆえに除去可能性と有界性の同値性（§E5.11 命題 3.2）により、この商の特異点は除去可能である。準周期公式を分子と分母へ代入すると、この商は $\pi$ と $\pi\tau$ を周期にもつ。基本平行四辺形の閉包上で有界であり、周期性により複素平面全体で有界であるから、Liouville の定理（§E5.9 定理 4.1）により定数である。 $z=0$ では $W(0)=\vartheta _1'(0)c=abc^{2}$ 、 $\vartheta _2(0)\vartheta _3(0)=ab$ であるから、定数は $c^{2}$ である。▨

3 Jacobi の楕円函数と逆函数

純虚数の $\tau=it$ に対する theta 定数は modulus と二つの完全周期を定める。theta 函数の商として構成した $\operatorname{sn}$ 、 $\operatorname{cn}$ 、 $\operatorname{dn}$ は微分方程式を満たし、 $\operatorname{sn}$ は Legendre の楕円積分の局所逆函数となる。

命題 3.1. $t>0$ とし、 $\tau=it$ と置く。このとき $q=e^{-\pi t}\in(0,1)$ であり、theta 定数 $a=a(it)$ 、 $b=b(it)$ 、 $c=c(it)$ はいずれも正の実数である。

証明. $q=e^{\pi i(it)}=e^{-\pi t}$ であり、 $t>0$ から $0<q<1$ である。命題 2.12の積表示へ $z=0$ を代入すると

a=2q^{1/4}\prod_{r\ge1}(1-q^{2r})(1+q^{2r})^{2},\quad b=\prod_{r\ge1}(1-q^{2r})(1+q^{2r-1})^{2},\quad c=\prod_{r\ge1}(1-q^{2r})(1-q^{2r-1})^{2}

である。 $0<q<1$ であるから、 $q^{1/4}>0$ であり、各因子 $1-q^{2r}$ 、 $1+q^{2r}$ 、 $1+q^{2r-1}$ 、 $1-q^{2r-1}$ はすべて正である。無限積は正規収束するので、三つの値はいずれも実数であり、正の数の極限として $0$ 以上である。さらに、命題 2.12により $\vartheta _2$ 、 $\vartheta _3$ 、 $\vartheta _4$ の零点剰余類はそれぞれ $\pi/2$ 、 $(\pi+\pi\tau)/2$ 、 $\pi\tau/2$ であって、 $\operatorname{Im}\tau>0$ から $0$ はいずれにも属さないので、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ はいずれも $0$ ではない。したがって、三つの値はいずれも正の実数である。▨

定義 3.2. $\tau=it$ 、 $t>0$ とし、命題 3.1の正の実数 $a=a(it)$ 、 $b=b(it)$ 、 $c=c(it)$ を用いる。theta 定数から

K_\vartheta=\frac{\pi b^{2}}2,\qquad k=\frac{a^{2}}{b^{2}},\qquad k'=\frac{c^{2}}{b^{2}}

と定める。 $k$ をmodulus (modulus)、 $k'$ を補母数 (complementary modulus) という。

命題 3.3. $\tau=it$ 、 $t>0$ とし、定義 3.2の $K_\vartheta$ 、 $k$ 、 $k'$ を用いる。このとき $K_\vartheta>0$ であり、

k^{2}+k'^{2}=1,\qquad 0<k<1,\qquad 0<k'<1

が成り立つ。とくに $k'=\sqrt{1-k^{2}}$ である。

証明.命題 3.1により $a,b,c>0$ であるから、 $K_\vartheta=\pi b^{2}/2>0$ であり、 $k>0$ と $k'>0$ である。定理 2.14の $b^{4}=a^{4}+c^{4}$ を $b^{4}$ で割ると

1=\frac{a^{4}}{b^{4}}+\frac{c^{4}}{b^{4}}=k^{2}+k'^{2}

を得る。 $c>0$ であるから $a^{4}=b^{4}-c^{4}<b^{4}$ であり、 $k^{2}<1$ 、すなわち $k<1$ である。同様に $a>0$ から $c^{4}<b^{4}$ であり、 $k'<1$ である。 $k'>0$ と $k^{2}+k'^{2}=1$ から $k'=\sqrt{1-k^{2}}$ である。▨

定義 3.4. $\tau=it$ 、 $t>0$ とし、定義 3.2の $K_\vartheta,k,k'$ を用いる。 $u\in\mathbb C$ に対して $v=\pi u/(2K_\vartheta)$ と置き、

\begin{aligned} \operatorname{sn}(u,k)&=\frac{b}{a}\frac{\vartheta _1(v,\tau)}{\vartheta _4(v,\tau)},\\ \operatorname{cn}(u,k)&=\frac{c}{a}\frac{\vartheta _2(v,\tau)}{\vartheta _4(v,\tau)},\\ \operatorname{dn}(u,k)&=\frac{c}{b}\frac{\vartheta _3(v,\tau)}{\vartheta _4(v,\tau)} \end{aligned}

と定める。これら三つをJacobi の楕円函数 (Jacobi elliptic functions) という。

命題 3.5. $\tau=it$ 、 $t>0$ とし、

L_\vartheta=2K_\vartheta\mathbb Z+2itK_\vartheta\mathbb Z

と置く。定義 3.4の三つの商は $u$ の有理型関数である。その零点は

\begin{array}{c|c} &\text{零点}\pmod{L_\vartheta}\\ \hline \operatorname{sn}&0\\ \operatorname{cn}&K_\vartheta\\ \operatorname{dn}&K_\vartheta+itK_\vartheta \end{array}

であり、すべて単純である。三函数は共通して $itK_\vartheta\pmod{L_\vartheta}$ に単純な極をもち、ほかに極をもたない。分子と分母の零点の相殺はない。

証明. 分子と分母は $u$ の整関数であり、分母は $u=0$ で $c>0$ であるから恒等的に零ではない。したがって、三つの商は有理型関数である。命題 2.12により、 $v$ 平面における分子の零点剰余類は $0$ 、 $\pi/2$ 、 $(\pi+\pi\tau)/2$ であり、分母の零点剰余類は $\pi\tau/2$ である。 $u=2K_\vartheta v/\pi$ と $\tau=it$ を代入すると、主張の四つの剰余類を得る。

四つの剰余類は互いに異なる。実際、二つが一致すれば、それらの差を $2K_\vartheta m+2itK_\vartheta n$ と表すことができるはずであるが、実部と虚部を比較すると $m$ または $n$ が半整数になり、 $m,n\in\mathbb Z$ に反する。したがって、分子と分母の零点は相殺しない。 theta 函数の零点はすべて単純であるため、各商の零点は単純である。また、分母の単純零点では分子が零でないため、極の位数判定（§E5.11 命題 3.4）により各商は単純な極をもつ。▨

定理 3.6. $\tau=it$ 、 $t>0$ とし、命題 3.3の $0<k<1$ を用いる。命題 3.5の有理型関数は、 $u$ の有理型関数として

\operatorname{sn}^{2}u+\operatorname{cn}^{2}u=1, \qquad \operatorname{dn}^{2}u+k^{2}\operatorname{sn}^{2}u=1

および

\operatorname{sn}'u=\operatorname{cn}u\operatorname{dn}u,\qquad \operatorname{cn}'u=-\operatorname{sn}u\operatorname{dn}u,\qquad \operatorname{dn}'u=-k^{2}\operatorname{sn}u\operatorname{cn}u

を満たす。また $\operatorname{sn}(0)=0$ 、 $\operatorname{cn}(0)=\operatorname{dn}(0)=1$ 、 $\operatorname{sn}'(0)=1$ である。第二変数 $k$ は式の中で省略した。

証明.定理 2.14の初めの二つの関数恒等式を各定義へ代入すると、二つの二次恒等式を直ちに得る。次に商の微分法と同定理の Wronskian 型恒等式から

\frac{d}{du}\operatorname{sn}u =\frac{b}{a}\frac{\pi}{2K_\vartheta} \frac{\vartheta _1'(v)\vartheta _4(v)-\vartheta _1(v)\vartheta _4'(v)} {\vartheta _4(v)^2} =\operatorname{cn}u\operatorname{dn}u

を得る。最後の等号では $2K_\vartheta=\pi b^{2}$ を用いた。第一の二次恒等式を微分すると、 $\operatorname{cn}$ が零でない近傍で $\operatorname{cn}'=-\operatorname{sn}\operatorname{dn}$ を得る。両辺は有理型関数であり、空でない開集合で一致するから、一致の定理により全平面で一致する。同様に第二の二次恒等式を微分すると $\operatorname{dn}'=-k^{2}\operatorname{sn}\operatorname{cn}$ を得る。

$u=0$ の値は theta 函数の定義と奇偶性（命題 2.5）から従う。また $\vartheta _1'(0)=abc$ であるから

\operatorname{sn}'(0)=\frac ba\frac{\pi}{2K_\vartheta}\frac{abc}{c}=1

である。▨

定理 3.7. $\tau=it$ 、 $t>0$ とし、命題 3.3の $0<k<1$ を用いる。このとき、 $0$ のある近傍では

F(\operatorname{sn}(u,k),k)=u

が成り立つ。さらに $K_\vartheta=K(k)$ であり、 $K'(k)=tK(k)$ である。したがって、theta 函数の周期比 $\tau=it$ は完全楕円積分から得られる周期比 $iK'(k)/K(k)$ に一致する。

証明. $\operatorname{sn}(0)=0$ 、 $\operatorname{sn}'(0)=1$ であるから、局所的な単射性と導関数の関係（§E5.10 定理 3.1）により、 $\operatorname{sn}$ は $0$ のある近傍 $U$ で単射である。開写像定理（§E5.10 定理 1.1）により $\operatorname{sn}(U)$ は開集合であり、逆函数 $g$ は連続である。 $w_0=\operatorname{sn}(u_0)$ とすると

\frac{g(w)-g(w_0)}{w-w_0} =\frac{u-u_0}{\operatorname{sn}(u)-\operatorname{sn}(u_0)} \longrightarrow\frac1{\operatorname{sn}'(u_0)}

である。 $U$ を縮小して $\operatorname{sn}'$ が零を取らないようにすれば、 $g$ は正則である。さらに $U$ を十分小さく取ると、二つの二次恒等式と $0$ における値により

\sqrt{1-\operatorname{sn}^{2}u}=\operatorname{cn}u,\qquad \sqrt{1-k^{2}\operatorname{sn}^{2}u}=\operatorname{dn}u

となる正則な平方根の枝を取ることができる。連鎖律により

\frac{d}{du}F(\operatorname{sn}u,k) =\frac{\operatorname{sn}'u} {\sqrt{(1-\operatorname{sn}^{2}u)(1-k^{2}\operatorname{sn}^{2}u)}}=1.

両辺は $u=0$ で零であるから、局所的な逆函数関係を得る。この主張は局所的であり、複素平面全体で $F$ が一価であることを主張しない。

次に $0\le v\le\pi/2$ を考える。 $0<q<1$ の積表示から、この区間では $\vartheta _4(v)>0$ であり、内部では $\vartheta _2(v)>0$ と $\vartheta _3(v)>0$ である。したがって $\operatorname{sn}'u=\operatorname{cn}u\operatorname{dn}u>0$ であり、 $\operatorname{sn}(0)=0$ である。また同じ積表示から $\vartheta _1(\pi/2,\tau)=a$ 、 $\vartheta _4(\pi/2,\tau)=b$ であるため、 $\operatorname{sn}(K_\vartheta)=1$ である。変数変換 $x=\operatorname{sn}u$ と導関数公式から

K_\vartheta=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}=K(k)

を得る。

虚数変換を $z=0$ 、 $\tau=it$ に適用すると

a(i/t)=\sqrt t\,c(it),\qquad b(i/t)=\sqrt t\,b(it)

である。したがって $i/t$ に対応する modulus は $k'=c^{2}/b^{2}$ であり、 $K_\vartheta(i/t)=tK_\vartheta(it)$ である。前段の積分表示を $i/t$ にも適用すれば $K(k')=tK(k)$ 、すなわち $K'(k)=tK(k)$ を得る。ゆえに $iK'(k)/K(k)=it=\tau$ である。▨

系 3.8. $0<k_0<1$ とし、

t_0=\frac{K'(k_0)}{K(k_0)},\qquad \tau_0=it_0

と置く。 $\tau_0$ の theta 定数から定義 3.2によって得られる modulus を $\widetilde k$ とすると、 $\widetilde k=k_0$ である。したがって、定義 3.4は任意の $0<k_0<1$ に対して $\operatorname{sn}(u,k_0)$ 、 $\operatorname{cn}(u,k_0)$ 、 $\operatorname{dn}(u,k_0)$ を与える。この同一視の下で、命題 3.5の格子は

2K(k_0)\mathbb Z+2iK'(k_0)\mathbb Z

であり、零点と共通極の剰余類も同命題に記したとおりである。

証明.定理 3.7を $\tau_0=it_0$ に適用すると

\frac{K'(\widetilde k)}{K(\widetilde k)}=t_0 =\frac{K'(k_0)}{K(k_0)}

を得る。命題 1.3により $\rho(k)=K'(k)/K(k)$ は $(0,1)$ 上で単射であるから、 $\widetilde k=k_0$ である。また同じ定理から $K_\vartheta=K(k_0)$ と $t_0K_\vartheta=K'(k_0)$ が従うため、格子の表示も得られる。▨

定理 3.9. $0<k<1$ とし、系 3.8によって得られる Jacobi の楕円函数を用いる。 $K=K(k)$ 、 $K'=K'(k)$ と置く。このとき

\begin{array}{c|cc} &u\mapsto u+2K&u\mapsto u+2iK'\\ \hline \operatorname{sn}&-&+\\ \operatorname{cn}&-&-\\ \operatorname{dn}&+&- \end{array}

が成り立つ。したがって $\operatorname{sn}$ は $4K,2iK'$ 、 $\operatorname{cn}$ は $4K,4iK'$ 、 $\operatorname{dn}$ は $2K,4iK'$ をそれぞれ二つの独立な周期としてもつ。表の $-$ は反周期、 $+$ は周期を表す。

証明. $v=\pi u/(2K)$ であり、 $\tau=iK'/K$ である。したがって $u\mapsto u+2K$ は $v\mapsto v+\pi$ 、 $u\mapsto u+2iK'$ は $v\mapsto v+\pi\tau$ に対応する。命題 2.4を定義 3.4の三つの商へ代入すると、共通因子 $q^{-1}e^{-2iv}$ が分子と分母で消え、表の符号を得る。各反周期を二回適用すれば対応する周期を得る。 $K$ は正の実数、 $iK'$ は零でない純虚数であるから、二つの周期は実線型独立である。▨

楕円積分の芽は、四つの分岐点 $\pm1,\pm1/k$ を避ける曲線に沿って解析接続することができる。局所的な平方根と原始関数をつなぐと、各枝は theta 商として構成した $\operatorname{sn}$ の局所逆函数になり、異なる枝の差または和は周期と結び付く。

補題 3.10. $0<k<1$ とし、

P(x)=(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2}),\qquad X_k=\mathbb C\setminus\{-1,1,-1/k,1/k\}

と置く。 $P$ は $X_k$ の上で零を取らない。さらに次が成り立つ。

$B\subseteq X_k$ を開円板とすると、 $B$ の上の正則関数 $\varrho$ で $\varrho^{2}=P$ を満たすものが存在する。そのような関数はちょうど二つあり、一方は他方の $-1$ 倍である。どちらも $B$ の上で零を取らない。
(1)の $\varrho$ に対して、 $1/\varrho$ は $B$ の上に正則な原始関数をもつ。
$V\subseteq X_k$ を領域とし、 $\varrho$ を $V$ の上の正則関数で $\varrho^{2}=P$ を満たすもの、 $f$ を $V$ の上の正則関数で $V$ の各点において $f'(x)^{2}P(x)=1$ を満たすものとする。このとき、 $V$ の全体で $f'=1/\varrho$ であるか、 $V$ の全体で $f'=-1/\varrho$ であるかのいずれか一方だけが成り立つ。

証明. $P(x)=0$ は $x^{2}=1$ または $k^{2}x^{2}=1$ と同値であり、 $0<k<1$ であるからこれは $x\in\{-1,1,-1/k,1/k\}$ と同値である。ゆえに $P$ は $X_k$ の上で零を取らない。

(1)を示す。 $c$ を $B$ の中心とする。 $B$ は $c$ に関して星形な領域であり、 $P$ は $B$ の上で零を取らないから、 $P'/P$ は $B$ の上で正則である。§E5.5 定理 4.1により、 $B$ の上の正則関数 $h$ で $h'=P'/P$ を満たすものが存在する。このとき $B$ の各点で

\left(Pe^{-h}\right)'=P'e^{-h}-Ph'e^{-h}=e^{-h}\left(P'-P\frac{P'}{P}\right)=0

である。 $x\in B$ に対して線分 $[c,x]$ は $B$ に含まれるから、§E5.4 定理 4.2を零関数とその原始関数 $Pe^{-h}$ へ適用して $P(x)e^{-h(x)}=P(c)e^{-h(c)}$ を得る。この共通の値を $\kappa$ と書くと $\kappa=P(c)e^{-h(c)}\ne0$ であり、 $B$ の上で $P=\kappa e^{h}$ である。零でない複素数 $\kappa$ の平方根 $\mu$ 、すなわち $\mu^{2}=\kappa$ を満たす複素数を一つ選び、 $\varrho=\mu e^{h/2}$ と置く。 $\varrho$ は $B$ の上で正則であり、 $\varrho^{2}=\mu^{2}e^{h}=\kappa e^{h}=P$ を満たす。指数関数は零を取らないから $\varrho$ も零を取らない。 $\varrho^{2}=P$ を満たす関数はすべて零を取らない。

個数を数える。 $\varrho_{1}$ も $B$ の上の正則関数で $\varrho_{1}^{2}=P$ を満たすとすると、 $B$ の上で $(\varrho_{1}/\varrho)^{2}=1$ である。商 $\varrho_{1}/\varrho$ は連結な $B$ の上の連続関数であり、その値は $\{1,-1\}$ に含まれるから定数である。ゆえに $\varrho_{1}=\varrho$ または $\varrho_{1}=-\varrho$ である。逆に $-\varrho$ も条件を満たし、 $\varrho$ が零を取らないので $\varrho\ne-\varrho$ である。したがって条件を満たす関数はちょうど二つである。

(2)を示す。 $\varrho$ は零を取らないから $1/\varrho$ は $B$ の上の正則関数であり、 $B$ は星形な領域であるから、§E5.5 定理 4.1により $1/\varrho$ は $B$ の上に正則な原始関数をもつ。

(3)を示す。仮定から $V$ の各点で $f'(x)^{2}=1/P(x)=\left(1/\varrho(x)\right)^{2}$ であるから、

\left(f'-\frac1\varrho\right)\left(f'+\frac1\varrho\right)=0

が $V$ の全体で成り立つ。二つの因子はどちらも $V$ の上の正則関数である。 $f'-1/\varrho$ が $V$ の上で恒等的に $0$ であれば第一の場合を得る。そうでないとき、 $Z$ を $f'-1/\varrho$ の零点の集合とすると、§E5.8 定理 3.1を $f'-1/\varrho$ と定数関数 $0$ へ適用して、 $Z$ は $V$ に属する集積点をもたない。ゆえに $Z$ の各点は $V\setminus Z$ の点の極限であり、 $V\setminus Z$ は $V$ の中で稠密である。 $V\setminus Z$ の各点では第一の因子が零でないから $f'+1/\varrho=0$ であり、連続性により $V$ の全体で $f'+1/\varrho=0$ である。これが第二の場合である。二つの場合が同時に成り立つことはない。実際、両方が成り立てば $f'=0$ となり、 $f'^{2}P=1$ に反する。▨

曲線のコンパクトな像は、一様な半径をもつ有限個の円板で順に覆うことができる。各円板上の平方根と原始関数を隣り合う共通部分で一致させると、 $F_0$ の曲線に沿う解析接続が得られる。

補題 3.11. $0<k<1$ とし、 $P$ と $X_k$ を補題 3.10のとおりとする。 $\gamma:[0,1]\to X_k$ を $\gamma(0)=0$ を満たす連続な曲線とする。このとき、§E5.19 定義 3.1の意味で $\gamma$ に沿う解析接続 $(f_{t},U_{t})_{t\in[0,1]}$ であって、次の三条件を満たすものが存在する。

$(f_{0},U_{0})$ が $x=0$ において定める芽は、定義 1.2の $F(\cdot,k)$ が定める芽 $F_0$ に等しい。
各 $t\in[0,1]$ について $U_{t}$ は $X_k$ に含まれる開円板である。
各 $t\in[0,1]$ について、 $U_{t}$ の各点で $f_{t}'(x)^{2}P(x)=1$ が成り立つ。

証明. $c\in X_k$ に対して

r(c)=\min\{|c-1|,\,|c+1|,\,|c-1/k|,\,|c+1/k|\}

と置くと、 $r$ は $X_k$ の上の正の連続関数であり、 $|x-c|<r(c)$ ならば $x$ は四つの分岐点のいずれとも異なるから、開円板 $D(c,r(c))$ は $X_k$ に含まれる。

$\gamma$ は有界閉区間の上の連続写像であるから、像 $\Gamma=\gamma([0,1])$ は $X_k$ に含まれるコンパクト集合であり、 $\gamma$ は一様連続である。連続関数 $r$ は $\Gamma$ の上で正の最小値をもつので、

\varepsilon=\frac12\min_{c\in\Gamma}r(c)>0

と置くことができる。 $0=\gamma(0)\in\Gamma$ であり $r(0)=\min\{1,1/k\}=1$ であるから、 $2\varepsilon\le r(0)=1$ である。一様連続性により、 $|s-t|\le1/n$ を満たすすべての $s,t\in[0,1]$ について $|\gamma(s)-\gamma(t)|<\varepsilon$ が成り立つ正の整数 $n$ を取ることができる。 $t_{j}=j/n$ 、 $c_{j}=\gamma(t_{j})$ 、 $B_{j}=D(c_{j},2\varepsilon)$ （ $j=0,1,\ldots,n$ ）と置く。 $2\varepsilon\le r(c_{j})$ であるから $B_{j}\subseteq X_k$ である。また $|c_{j+1}-c_{j}|<\varepsilon<2\varepsilon$ であるから $c_{j+1}\in B_{j}\cap B_{j+1}$ であり、二つの開円板の共通部分は凸であるから、 $B_{j}\cap B_{j+1}$ は空でない凸開集合、すなわち領域である。

$B_{j}$ の上の正則関数 $g_{j}$ を、各 $j\in\{0,1,\ldots,n\}$ について $B_{j}$ の各点で $g_{j}'(x)^{2}P(x)=1$ が成り立ち、各 $j\in\{0,1,\ldots,n-1\}$ について $B_{j}\cap B_{j+1}$ の上で $g_{j+1}=g_{j}$ が成り立つように、 $j$ の小さいほうから順に定める。

$j=0$ の場合。 $c_{0}=\gamma(0)=0$ であり $2\varepsilon\le1$ であるから、 $B_{0}$ は補題 1.1の単位円板 $D$ に含まれる。同補題の $\varrho$ の $B_{0}$ への制限は $B_{0}$ の上で $\varrho^{2}=P$ を満たす。同補題により $1/\varrho$ は $D$ の上に正則な原始関数 $H$ をもち、定義 1.2の積分は§E5.4 定理 4.2により $F(x,k)=H(x)-H(0)$ に等しいから、 $F(\cdot,k)$ は $D$ の上で $1/\varrho$ の原始関数である。そこで $g_{0}=F(\cdot,k)|_{B_{0}}$ と置くと、 $B_{0}$ の各点で $g_{0}'=1/\varrho$ であり、したがって $g_{0}'^{2}P=1$ である。

$j$ から $j+1$ へ進む段。 $g_{j}$ が定まったとし、 $\Omega=B_{j}\cap B_{j+1}$ と置く。補題 3.10 (1)により、 $B_{j+1}$ の上の正則関数 $\varrho$ で $\varrho^{2}=P$ を満たすものを取る。 $\Omega$ は $X_k$ に含まれる領域であり、 $\varrho$ の $\Omega$ への制限と $g_{j}$ の $\Omega$ への制限は補題 3.10 (3)の仮定を満たすから、 $\Omega$ の上で $g_{j}'=1/\varrho$ であるか $g_{j}'=-1/\varrho$ である。後者の場合には $\varrho$ を $-\varrho$ で置き換える。補題 3.10 (1)により $-\varrho$ も $B_{j+1}$ の上の平方根であるから、この置き換えの後は $\Omega$ の上で $g_{j}'=1/\varrho$ である。補題 3.10 (2)により $1/\varrho$ の原始関数 $G$ を $B_{j+1}$ の上に取り、

g_{j+1}=G-G(c_{j+1})+g_{j}(c_{j+1})

と置く。 $c_{j+1}\in B_{j}$ であるから右辺は定まる。 $g_{j+1}'=1/\varrho$ であるから $B_{j+1}$ の各点で $g_{j+1}'^{2}P=1$ が成り立つ。また $\Omega$ の上で $(g_{j+1}-g_{j})'=0$ であり、 $\Omega$ は凸で $c_{j+1}\in\Omega$ であるから、§E5.4 定理 4.2を線分に沿って適用して、 $\Omega$ の上で $g_{j+1}-g_{j}$ は定数 $g_{j+1}(c_{j+1})-g_{j}(c_{j+1})=0$ に等しい。すなわち $\Omega$ の上で $g_{j+1}=g_{j}$ である。

族を定める。 $t\in[0,1]$ に対して、 $t_{j}\le t$ を満たす最大の $j\in\{0,1,\ldots,n\}$ を $j(t)$ と書き、

U_{t}=B_{j(t)},\qquad f_{t}=g_{j(t)}

と定める。 $0\le t-t_{j(t)}<1/n$ であるから $|\gamma(t)-c_{j(t)}|<\varepsilon<2\varepsilon$ であり、 $\gamma(t)\in U_{t}$ である。各 $U_{t}$ は $X_k$ に含まれる開円板であり、 $U_{t}$ の各点で $f_{t}'^{2}P=1$ が成り立つ。 $(f_{0},U_{0})=(g_{0},B_{0})$ であり $g_{0}$ は $F(\cdot,k)$ の制限であるから、 $x=0$ における芽は $F_0$ である。よって(1)、(2)、(3)は満たされている。

§E5.19 定義 3.1の条件を確かめる。 $t\in[0,1]$ を取り、 $j=j(t)$ と書く。

$t$ が $t_{j}<t<t_{j+1}$ を満たす場合は $\delta_{t}=\min\{t-t_{j},\,t_{j+1}-t\}>0$ と置く。 $|s-t|<\delta_{t}$ を満たす $s\in[0,1]$ は $t_{j}<s<t_{j+1}$ を満たすから $j(s)=j$ であり、 $(f_{s},U_{s})=(f_{t},U_{t})$ である。 $|s-t_{j}|<1/n$ より $\gamma(s)\in B_{j}=U_{t}\cap U_{s}$ であり、同一の関数要素は $\gamma(s)$ において同値である。

$t=t_{j}$ である場合は $\delta_{t}=1/n$ と置く。 $|s-t_{j}|<1/n$ を満たす $s\in[0,1]$ について、 $s\ge t_{j}$ ならば、 $j<n$ のときは $s<t_{j+1}$ であり、 $j=n$ のときは $s=1=t_{n}$ であるから、いずれの場合も $j(s)=j$ であり、前段と同じ理由で条件が成り立つ。 $s<t_{j}$ ならば $j\ge1$ であり、 $t_{j-1}<s<t_{j}$ であるから $j(s)=j-1$ である。 $|s-t_{j-1}|<1/n$ と $|s-t_{j}|<1/n$ により $\gamma(s)\in B_{j-1}\cap B_{j}=U_{s}\cap U_{t}$ である。 $B_{j-1}\cap B_{j}$ は $\gamma(s)$ を含む開集合であり、その上で $g_{j-1}=g_{j}$ が成り立つから、 $(f_{s},U_{s})$ と $(f_{t},U_{t})$ は $\gamma(s)$ において同値である。

以上により $(f_{t},U_{t})_{t\in[0,1]}$ は $\gamma$ に沿う解析接続である。▨

次の補題は、この族に限らず、 $F_0$ から出発する $X_k$ 内のどの解析接続についても成り立つ。

補題 3.12. $0<k<1$ とし、 $X_k=\mathbb C\setminus\{-1,1,-1/k,1/k\}$ と置く。 $\gamma:[0,1]\to X_k$ を $\gamma(0)=0$ を満たす連続な曲線とし、 $(f_{t},U_{t})_{t\in[0,1]}$ を§E5.19 定義 3.1の意味で $\gamma$ に沿う解析接続であって、 $(f_{0},U_{0})$ が $x=0$ において定める芽が定義 1.2の芽 $F_0$ に等しいものとする。また $\operatorname{sn}(\cdot,k)$ を系 3.8によって定まる Jacobi の楕円函数とする。このとき、各 $t\in[0,1]$ について、 $f_{t}$ は $U_{t}$ のどの点でも $\operatorname{sn}$ の極を値に取らず、 $U_{t}$ の全体で

\operatorname{sn}(f_{t}(x),k)=x

が成り立つ。とくに、延長 $(f_{1},U_{1})$ の定義域 $U_{1}$ が $X_k$ に含まれる連結開円板 $D$ である場合、 $u=f_{1}$ は $D$ の上で $\operatorname{sn}(u(x),k)=x$ を満たす。

証明.定理 3.7により、 $0$ のある近傍で $F(\operatorname{sn}(u,k),k)=u$ が成り立つ。同定理の証明で取った近傍 $U$ の上で $\operatorname{sn}$ は単射であり、その逆写像を $g$ と書くと、 $x\in\operatorname{sn}(U)$ に対して $F_0(x)=F(\operatorname{sn}(g(x),k),k)=g(x)$ である。したがって $\operatorname{sn}(F_0(x),k)=\operatorname{sn}(g(x),k)=x$ である。ここで $U$ は $\operatorname{sn}$ が正則である $0$ の近傍であるから、 $g$ の値は $\operatorname{sn}$ の極ではない。仮定により $f_{0}$ は $x=0$ を含むある開集合の上で $F(\cdot,k)$ と一致する。その開集合と $\operatorname{sn}(U)$ と $U_{0}$ の共通部分を $W_{0}$ と置くと、 $W_{0}$ は $x=0$ を含む空でない開集合であり、 $W_{0}$ の各点で $f_{0}(x)=F_0(x)=g(x)$ は $\operatorname{sn}$ の極ではなく、 $\operatorname{sn}(f_{0}(x),k)=x$ が成り立つ。

ここで局所的な等式を一つの関数要素の全体へ延ばす。 $V$ を領域、 $f$ を $V$ の上の正則関数とし、 $V$ に含まれる空でないある開集合の各点 $x$ について $f(x)$ が $\operatorname{sn}$ の極ではなく $\operatorname{sn}(f(x),k)=x$ が成り立つとする。このとき、同じことが $V$ の全体で成り立つ。

$x$ のある近傍の各点で $f$ の値が $\operatorname{sn}$ の極ではなく、その近傍の上で $\operatorname{sn}\circ f$ が恒等写像に一致するような $x\in V$ の全体を $A$ と置く。定義から $A$ は開集合であり、仮定により空でない。 $A$ が $V$ において閉じていることを示す。 $x_0\in V$ を $A$ の触点とし、 $A$ の点列 $x_m\to x_0$ を取る。もし $f(x_0)$ が $\operatorname{sn}$ の極（命題 3.5）であれば、 $f$ の連続性から $|\operatorname{sn}(f(x_m),k)|\to\infty$ となるはずであるが、 $x_m\in A$ であるからこの値は $x_m$ に等しく、収束する列として有界である。ゆえに $f(x_0)$ は $\operatorname{sn}$ の極ではなく、 $\operatorname{sn}$ はその点の近傍で正則である。したがって、 $x_0$ を中心とする円板 $D_0\subseteq V$ で $\operatorname{sn}\circ f$ が正則になるものを取ることができる。 $D_0\cap A$ は空でない開集合であり、その上で $\operatorname{sn}\circ f$ は恒等写像に一致するから、一致の定理（§E5.8 定理 3.1）により $D_0$ の上でも一致する。ゆえに $x_0\in A$ である。 $A$ は $V$ において空でない開かつ閉な集合であり、 $V$ は連結であるから $A=V$ である。関数要素の定義域は領域である（§E5.19 定義 2.1）から、この主張は各 $(f_{t},U_{t})$ へ適用することができる。

$t\in[0,1]$ を任意に固定し、

S=\{s\in[0,t] : U_{s}\text{ の全体で }f_{s}\text{ の値は }\operatorname{sn}\text{ の極でなく } \operatorname{sn}(f_{s}(x),k)=x\text{ が成り立つ}\}

と置く。出発点の芽に関する等式と直前の局所から大域への議論により $0\in S$ である。 $S$ は空でなく $t$ を上界にもつから、実数の完備性により上限 $s^{*}=\sup S$ が定まる。

はじめに、次の推移を確かめる。 $s,r\in[0,1]$ が $|r-s|<\delta_{s}$ を満たすとする。ここで $\delta_{s}$ は§E5.19 定義 3.1が $s$ に対して与える正数である。このとき $\gamma(r)\in U_{s}\cap U_{r}$ であり、 $(f_{r},U_{r})$ と $(f_{s},U_{s})$ は $\gamma(r)$ において同値であるから、 $\gamma(r)$ を含む開集合 $W\subseteq U_{s}\cap U_{r}$ の上で $f_{s}=f_{r}$ が成り立つ。 $U_{s}$ の全体で結論が成り立てば、 $W$ の各点で $f_{r}$ の値は $\operatorname{sn}$ の極ではなく $\operatorname{sn}(f_{r}(x),k)=x$ が成り立つから、直前の局所から大域への議論により $U_{r}$ の全体でも結論が成り立つ。 $U_{s}$ と $U_{r}$ の役割は対称であるから、逆向きも同様である。

$s^{*}\in S$ を示す。 $\delta=\delta_{s^{*}}$ と置く。 $s^{*}$ は $S$ の上界のうち最小のものであり $s^{*}-\delta<s^{*}$ であるから、 $s^{*}-\delta$ は $S$ の上界ではない。したがって $s^{*}-\delta<s\le s^{*}$ を満たす $s\in S$ が存在する。 $|s^{*}-s|<\delta$ であるから、上の推移により $U_{s^{*}}$ の全体で結論が成り立ち、 $s^{*}\in S$ である。

$s^{*}=t$ を示す。 $s^{*}<t$ と仮定し、 $s^{*}<r<\min\{t,s^{*}+\delta\}$ を満たす $r$ を取る。 $|r-s^{*}|<\delta$ であるから、上の推移により $U_{r}$ の全体で結論が成り立ち、 $r\in S$ である。これは $r>s^{*}=\sup S$ に反する。ゆえに $s^{*}=t$ であり、 $t\in S$ である。

$t\in[0,1]$ は任意であったから、すべての $t$ について結論が成り立つ。とくに $U_{1}$ が $X_k$ に含まれる連結開円板 $D$ である場合、 $u=f_{1}$ は $D$ の上で $\operatorname{sn}(u(x),k)=x$ を満たす。▨

命題 3.13. $0<k<1$ とし、

X_k=\mathbb C\setminus\{-1,1,-1/k,1/k\},\qquad \mathcal P_k=iK'(k)+2K(k)\mathbb Z+2iK'(k)\mathbb Z

と置き、 $P(x)=(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})$ とする。

$x=0$ における定義 1.2の芽 $F_0:x\mapsto u$ は、 $x$ 平面の $X_k$ 内の曲線であって $x=0$ を始点とするどの連続な曲線に沿っても解析接続することができる。
$F_0$ の $u=0$ における局所逆の芽 $s_0:u\mapsto x$ は、 $u$ 平面の $\mathbb C\setminus\mathcal P_k$ 内の曲線であって $u=0$ を始点とするどの連続な曲線 $\sigma$ に沿っても解析接続することができる。さらに、 $\sigma$ に沿う $s_0$ の解析接続の各径数 $t$ における関数要素が $\sigma(t)$ において定める芽は、系 3.8の theta 商 $\operatorname{sn}(u,k)$ が $\sigma(t)$ において定める芽に等しい。
$D\subseteq X_k$ を連結開円板とする。 $x=0$ を始点とする $X_k$ 内の曲線を二つ取り、(1)が与えるそれぞれに沿う $F_0$ の解析接続であって、延長の定義域が $D$ であるものを考え、得られた $D$ の上の二つの枝を正則関数 $u_1(x),u_2(x)$ と表す。補題 3.12により、 $j=1,2$ について $\operatorname{sn}(u_j(x),k)=x$ が成り立つ。さらに $D$ の各点で $u_j'(x)^{2}P(x)=1$ が成り立ち、 $D$ の全体で $u_1'=u_2'$ であるか、 $D$ の全体で $u_1'=-u_2'$ であるかのいずれか一方だけが成り立つ。 $u_1'=u_2'$ である場合、差 $u_1-u_2$ は定数であり、 $u_1=u_2$ であるか、非零の定数 $u_1-u_2$ が $\operatorname{sn}$ の周期である。 $u_1'=-u_2'$ である場合、和 $u_1+u_2=C$ は定数であり、 $C-2K(k)=0$ であるか、非零の $C-2K(k)$ が $\operatorname{sn}$ の周期である。したがって、二つの枝は反射 $u\mapsto2K(k)-u$ と周期移動によって関係する。

証明. $F_0$ と $s_0$ は§E5.19 定義 2.1の芽であり、曲線に沿う解析接続は§E5.19 定義 3.1の意味で用いる。

(1)は補題 3.11そのものである。同補題が構成する族は、隣り合う円板の共通部分で平方根の枝と積分定数を選び直したものであるから、曲線を一周したときに符号または積分定数が変わり得る。したがってこの操作は $F$ を $X_k$ 上の一価関数として定めない。

(2)を示す。定理 3.7により、 $s_0:u\mapsto x$ は $\operatorname{sn}(u,k)$ の $u=0$ における芽である。命題 3.5と系 3.8により、theta 商は $u$ 平面でちょうど $\mathcal P_k$ に極をもつ。 $\mathcal P_k$ の相異なる二点の差は $2K(k)m+2iK'(k)n$ （ $(m,n)\ne(0,0)$ ）の形であり、その絶対値は $2\min\{K(k),K'(k)\}$ 以上であるから、 $\mathcal P_k$ は $\mathbb C$ の閉集合であり、 $\mathbb C\setminus\mathcal P_k$ は開集合である。 $\sigma:[0,1]\to\mathbb C\setminus\mathcal P_k$ を $\sigma(0)=0$ を満たす連続な曲線とし、各 $t$ に対して $d_{t}=\inf\{|\sigma(t)-p| : p\in\mathcal P_k\}>0$ と置いて、 $V_{t}=D(\sigma(t),d_{t})\subseteq\mathbb C\setminus\mathcal P_k$ 、 $h_{t}=\operatorname{sn}(\cdot,k)$ の $V_{t}$ への制限と定める。 $\sigma$ の連続性により、 $|s-t|<\delta_{t}$ を満たす $s$ について $|\sigma(s)-\sigma(t)|<d_{t}$ となる正数 $\delta_{t}$ を取ることができる。このとき $\sigma(s)\in V_{t}\cap V_{s}$ であり、 $h_{t}$ と $h_{s}$ はどちらも同一の正則関数の制限であるから、 $\sigma(s)$ を含む開集合 $V_{t}\cap V_{s}$ の上で一致する。ゆえに $(h_{t},V_{t})_{t\in[0,1]}$ は $\sigma$ に沿う解析接続であり、 $(h_{0},V_{0})$ が定める芽は $s_0$ である。したがって $s_0$ は $\sigma$ に沿って解析接続することができる。さらに、 $s_0$ を $\sigma$ に沿って接続する族が別に与えられたとすると、解析接続の一意性（§E5.19 定理 3.2）により、その族の各 $t$ における関数要素は $(h_{t},V_{t})$ と $\sigma(t)$ において同値である。この議論は theta 商を先に一価の有理型関数として構成したことを用いており、 $F$ の大域的一価性を用いていない。

(3)を示す。補題 3.12により、 $j=1,2$ について $D$ の上で $\operatorname{sn}(u_j(x),k)=x$ が成り立ち、 $u_j$ の値は $\operatorname{sn}$ の極ではない。定理 3.6の二つの二次恒等式と導関数公式から、有理型関数の恒等式

\left(\operatorname{sn}'w\right)^{2} =\operatorname{cn}^{2}w\operatorname{dn}^{2}w =\left(1-\operatorname{sn}^{2}w\right)\left(1-k^{2}\operatorname{sn}^{2}w\right)

を得る。 $\operatorname{sn}(u_j(x),k)=x$ の両辺を $x$ で微分すると $\operatorname{sn}'(u_j(x))u_j'(x)=1$ であり、上の恒等式を $w=u_j(x)$ で評価すると $\left(\operatorname{sn}'(u_j(x))\right)^{2}=(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})=P(x)$ であるから、 $D$ の各点で $u_j'(x)^{2}P(x)=1$ が成り立つ。 $D$ は $X_k$ に含まれる領域であり、補題 3.10 (1)により $D$ の上には $\varrho^{2}=P$ を満たす正則関数 $\varrho$ が存在するから、補題 3.10 (3)を $u_1$ と $u_2$ のそれぞれへ適用すると、 $u_j'$ は $1/\varrho$ と $-1/\varrho$ のいずれか一方に等しい。ゆえに $D$ の全体で $u_1'=u_2'$ であるか $u_1'=-u_2'$ であり、 $u_j'$ は零を取らないので二つが同時に成り立つことはない。

$u_1'=u_2'$ である場合。 $(u_1-u_2)'=0$ であり $D$ は円板であるから、§E5.4 定理 4.2を線分に沿って適用して $u_1-u_2=C$ は定数である。 $C=0$ なら二つは同じ枝である。 $C\ne0$ とする。 $u_2'(x)\ne0$ であるため $u_2$ は定数でなく、開写像定理（§E5.10 定理 1.1）により $u_2(D)$ は開集合である。 $u_1=u_2+C$ と $\operatorname{sn}(u_1(x),k)=x=\operatorname{sn}(u_2(x),k)$ により、 $\operatorname{sn}(w+C,k)=\operatorname{sn}(w,k)$ がこの開集合で成り立つ。一致の定理により、この等式は両辺が有限である領域から有理型関数の等式へ延長されるので、非零の $C$ は周期である。

$u_1'=-u_2'$ である場合。同じ理由で $u_1+u_2=C$ は定数である。このとき $w=u_2(x)$ と置くと $C-w=u_1(x)$ であるから、開集合 $u_2(D)$ の上で $\operatorname{sn}(C-w,k)=\operatorname{sn}(w,k)$ が成り立ち、一致の定理により有理型関数の等式となる。一方、定理 3.9の周期は theta 商の準周期性から独立に得られている。 $\operatorname{sn}$ の奇関数性（命題 2.5）と $2K$ に関する反周期性から $\operatorname{sn}(2K-w,k)=\operatorname{sn}(w,k)$ が従う。等式 $\operatorname{sn}(C-w,k)=\operatorname{sn}(w,k)$ において $w$ を $2K-w$ に替えると、左辺は $\operatorname{sn}(w+C-2K,k)$ となり、右辺は $\operatorname{sn}(2K-w,k)=\operatorname{sn}(w,k)$ となる。したがって

\operatorname{sn}(w+C-2K,k)=\operatorname{sn}(w,k)

を得る。 $C-2K=0$ でなければ、この等式は $C-2K$ が非零の周期であることを示す。▨

例 3.14 ( $q\to0$ における三角関数への退化). $\tau=it$ とし、 $t\to\infty$ 、すなわち $q=e^{-\pi t}\to0$ とする。以下で $f\sim g$ は、 $g$ が零でない点について比 $f/g$ が $t\to\infty$ で $1$ へ収束することを表す。また、集合 $S$ の上で収束が一様であるとは、 $S$ に属してその式が定義される点についての差の絶対値の上限が、 $t\to\infty$ で $0$ へ収束することをいう。命題 2.12の四つの積表示から

a\sim2q^{1/4},\quad b\to1,\quad c\to1,\quad K\to\frac\pi2,\quad k\to0

である。また $\vartheta _1(v)\sim2q^{1/4}\sin v$ 、 $\vartheta _2(v)\sim2q^{1/4}\cos v$ 、 $\vartheta _3(v),\vartheta _4(v)\to1$ であり、これら四つの収束は $v$ のコンパクト集合の上で一様である。

これらの根拠は次のとおりである。 $v$ の動く範囲を含むコンパクト集合 $S$ を固定し、 $M=\sup_{v\in S}|\cos2v|<\infty$ と置く。上の四つの積表示に現れる無限積の因子は $1+a_{r}(v)$ の形をしており、 $0<q<1$ に対して $|a_{r}(v)|\le q^{2r}$ または $|a_{r}(v)|\le2Mq^{2r-1}+q^{4r-2}$ で抑えられるから、 $\sum_{r\ge1}|a_{r}(v)|$ は $v$ に依存しない $q$ の等比級数

\frac{q^{2}}{1-q^{2}}+\frac{2Mq}{1-q^{2}}+\frac{q^{2}}{1-q^{4}}

以下であり、この上界は $q\to0$ で $0$ へ収束する。有限積についての不等式

\left|\prod_{r=1}^{N}(1+a_{r})-1\right| \le\prod_{r=1}^{N}(1+|a_{r}|)-1 \le e^{\sum_{r\ge1}|a_{r}|}-1

を $N\to\infty$ とすると、四つの無限積と $1$ との差は $S$ の上で一様に $0$ へ収束する。したがって $\vartheta _3,\vartheta _4$ は $1$ へ、 $\vartheta _1/(2q^{1/4}\sin v)$ と $\vartheta _2/(2q^{1/4}\cos v)$ は $1$ へ、いずれも $S$ の上で一様に収束する。 $v=0$ を代入すると $b\to1$ 、 $c\to1$ を得、 $\vartheta _2$ の表示から $a\sim2q^{1/4}$ を得る。定義 3.2の $K_\vartheta=\pi b^{2}/2$ と $k=a^{2}/b^{2}$ 、および定理 3.7の $K(k)=K_\vartheta$ から、 $K\to\pi/2$ と $k\to0$ が従う。ゆえに極を避けた $u$ のコンパクト集合の上で

\operatorname{sn}(u,k)\to\sin u,\qquad \operatorname{cn}(u,k)\to\cos u,\qquad \operatorname{dn}(u,k)\to1

となる。以上により、ここで扱った三つの函数 $\operatorname{sn}$ 、 $\operatorname{cn}$ 、 $\operatorname{dn}$ は、虚周期 $2iK'(k)$ が無限遠へ移るこの極限で、それぞれ $\sin$ 、 $\cos$ 、および定数関数 $1$ へ収束する。一般の二重周期函数についてはこの例では何も主張しない。

4 modular lambda 函数と level 2

theta 定数の比 $a^{4}/b^{4}$ は、modular lambda 函数を定める。虚数変換と準周期公式は $S$ と $T$ に対する基本変換を与え、theta の二倍公式は $\lambda(\tau)$ と $\lambda(2\tau)$ の代数関係を与える。

定義 4.1. $\tau\in\mathbb H$ に対して

\lambda(\tau)=\frac{a(\tau)^{4}}{b(\tau)^{4}} =\frac{\vartheta _2(0,\tau)^{4}}{\vartheta _3(0,\tau)^{4}}

と定める。この関数をmodular lambda 函数 (modular lambda function) という。命題 2.12により $b(\tau)\ne0$ であるから、右辺は $\mathbb H$ の各点で定まる。ここで $\lambda=k^{2}$ であって $k$ ではない。

命題 4.2.定義 4.1の $\lambda$ は $\mathbb H$ の上で正則である。また $\tau=it$ （ $t>0$ ）では、定義 3.2の modulus $k$ と parameter $m=k^{2}$ に対して $\lambda(it)=k^{2}=m$ が成り立つ。

証明.定理 2.3により、 $\tau\mapsto a(\tau)=\vartheta _2(0,\tau)$ と $\tau\mapsto b(\tau)=\vartheta _3(0,\tau)$ は $\mathbb H$ の上で正則である。命題 2.12により $b(\tau)\ne0$ であるから、商 $a^{4}/b^{4}$ は $\mathbb H$ の上で正則である。 $\tau=it$ では定義 3.2により $k=a^{2}/b^{2}$ であるから、 $\lambda(it)=(a^{2}/b^{2})^{2}=k^{2}=m$ である。▨

定理 4.3. $\tau\in\mathbb H$ とし、 $S\tau=-1/\tau$ 、 $T\tau=\tau+1$ と置く。このとき

\lambda(S\tau)=1-\lambda(\tau), \qquad \lambda(T\tau)=\frac{\lambda(\tau)}{\lambda(\tau)-1}

が成り立つ。とくに $\lambda(i)=1/2$ である。

証明.定理 2.9を $z=0$ に適用すると $a(S\tau)=s(\tau)c(\tau)$ 、 $b(S\tau)=s(\tau)b(\tau)$ である。四次恒等式から

\lambda(S\tau)=\frac{c^{4}}{b^{4}}=1-\frac{a^{4}}{b^{4}}=1-\lambda(\tau)

を得る。 $T$ に関する公式では $a(T\tau)=e^{\pi i/4}a(\tau)$ 、 $b(T\tau)=c(\tau)$ である。 $(e^{\pi i/4})^{4}=-1$ という位相因子の符号を保つと

\lambda(T\tau)=-\frac{a^{4}}{c^{4}} =\frac{a^{4}/b^{4}}{a^{4}/b^{4}-1}

となる。最後に $S(i)=i$ であるから、第一式に $\tau=i$ を代入すると $\lambda(i)=1-\lambda(i)$ 、すなわち $\lambda(i)=1/2$ である。▨

系 4.4. すべての $\tau\in\mathbb H$ に対して $a(\tau)\ne0$ かつ $c(\tau)\ne0$ である。さらに

1-\lambda(\tau)=\frac{c(\tau)^{4}}{b(\tau)^{4}}

であり、 $\lambda(\tau)\ne0$ かつ $\lambda(\tau)\ne1$ である。すなわち $\lambda$ は $\mathbb H$ の上で値 $0$ と値 $1$ を取らない。

証明.命題 2.12により、 $\vartheta _2$ の零点は $\Lambda_\tau$ による剰余類 $\pi/2$ に、 $\vartheta _4$ の零点は剰余類 $\pi\tau/2$ に限られる。 $0$ がこの二つの剰余類に属さないことを見る。 $\pi/2=\pi m+\pi\tau n$ を満たす $m,n\in\mathbb Z$ があるとすると、 $1/2=m+\tau n$ である。 $\operatorname{Im}\tau>0$ であるから虚部の比較により $n=0$ となり、 $m=1/2$ となって $m\in\mathbb Z$ に反する。 $\pi\tau/2=\pi m+\pi\tau n$ の場合は虚部の比較により $n=1/2$ となり、同じく矛盾する。したがって $a(\tau)=\vartheta _2(0,\tau)\ne0$ かつ $c(\tau)=\vartheta _4(0,\tau)\ne0$ である。

定理 2.14の $b^{4}=a^{4}+c^{4}$ を $b^{4}$ で割ると $1=\lambda(\tau)+c^{4}/b^{4}$ であるから、 $1-\lambda(\tau)=c^{4}/b^{4}$ である。 $a\ne0$ から $\lambda(\tau)=a^{4}/b^{4}\ne0$ であり、 $c\ne0$ から $1-\lambda(\tau)\ne0$ 、すなわち $\lambda(\tau)\ne1$ である。▨

定義 4.5. $N\ge2$ を整数とする。二変数多項式 $\Phi_N\in\mathbb C[X,Y]\setminus\{0\}$ が

\Phi_N(\lambda(\tau),\lambda(N\tau))=0\qquad(\tau\in\mathbb H)

を満たすとき、この多項式関係を modular lambda 函数のレベル $N$ の modular 方程式 (level- $N$ modular equation for the modular lambda function) という。本記事では level 2 の lambda 方程式に加え、同じ theta 定数の八乗根を用いる level 5 の枝付き方程式を証明する。

命題 4.6. $\tau=it$ （ $t>0$ ）とし、平方根は正の実数を取るものとする。この場合は

\lambda(2\tau)= \left(\frac{1-\sqrt{1-\lambda(\tau)}} {1+\sqrt{1-\lambda(\tau)}}\right)^{2}

が成り立つ。一方、任意の $\tau\in\mathbb H$ に対して $x=\lambda(\tau)$ 、 $y=\lambda(2\tau)$ と置けば

x^{2}(1+y)^{2}-4y(2-x)^{2}=0

が成り立つ。したがって、この全 $\mathbb H$ 上の多項式関係は定義 4.5の意味でレベル $2$ の modular 方程式である。

証明.命題 2.13を用いる。 $A=\vartheta _3(0,2\tau)$ 、 $B=\vartheta _2(0,2\tau)$ とすると

b(\tau)^2=A^2+B^2,\qquad c(\tau)^2=A^2-B^2.

$\tau=it$ では命題 3.1により $b,c$ は正であり、 $2\tau=2it$ について同じ命題を適用すると $A,B$ も正である。したがって

\sqrt{1-\lambda(\tau)}=\frac{c^2}{b^2} =\frac{A^2-B^2}{A^2+B^2}

であり、右辺から $B^2/A^2$ を解けば主張の二倍公式を得る。

$r=\sqrt y>0$ と置くと、二倍公式は $x=4r/(1+r)^2$ と同値である。この関係を $x(1+y)=2r(2-x)$ と書き、両辺を二乗して $r^2=y$ を代入すると $x^{2}(1+y)^{2}=4y(2-x)^{2}$ を得る。平方根を消去して得た多項式は必要条件である。本節では $x,y$ が元の正の平方根を満たす値から出発しているため、二乗による余分な解を採用してはいない。

次に、 $\tau\in\mathbb H$ に対して

G(\tau)=\lambda(\tau)^2(1+\lambda(2\tau))^2 -4\lambda(2\tau)(2-\lambda(\tau))^2

と置く。命題 4.2により $\lambda$ は $\mathbb H$ 上で正則であり、 $\tau\in\mathbb H$ なら $2\tau\in\mathbb H$ である。したがって、 $G$ は $\mathbb H$ 上で正則である。前段の計算は $G(it)=0$ がすべての $t>0$ に対して成り立つことを示している。正の虚軸は、例えば $i(1+1/n)\to i\in\mathbb H$ により $\mathbb H$ 内に集積点をもつ。正則関数の一致の定理（§E5.8 定理 3.1）から $G\equiv0$ が $\mathbb H$ 上で成り立つ。等式 $G\equiv0$ が主張の全 $\mathbb H$ 上の多項式恒等式である。▨

5 level 5 の六次関係と Hermite の有限 certificate

theta 積は、八乗根の枝を上半平面上で直接固定する。 $q=e^{\pi i\tau}$ とし、

\phi(\tau)=\sqrt2q^{1/8}\prod_{n\ge1}\frac{1+q^{2n}}{1+q^{2n-1}}, \qquad \psi(\tau)=\prod_{n\ge1}\frac{1-q^{2n-1}}{1+q^{2n-1}}

と置く。積表示と四次恒等式から $\phi^8=\lambda$ 、 $\psi^8=1-\lambda$ が成り立つ。また、 $\phi(it),\psi(it)>0$ であり、分数冪の規約から $\phi(\tau+8)=-\phi(\tau)$ 、 $\phi(\tau+16)=\phi(\tau)$ を得る。以下では、この積が cusp の近くで定める芽と、その芽から指定した道に沿って得られる解析接続だけを用いる。

定義 5.1. 許容される枝 datum (admissible branch datum of order five) とは、theta 積が cusp の近くで定める芽、またはその芽を指定した道に沿って解析接続したものをいう。 $\omega\in\mathbb H$ とし、同じ許容される枝 datum に対して $u=\phi(\omega)$ 、 $v=\phi(5\omega)$ と置く。さらに

\begin{aligned} \Phi(\omega)={}&[\phi(5\omega)+\phi(\omega/5)]\\ &\cdot[\phi((\omega+16)/5)-\phi((\omega+64)/5)]\\ &\cdot[\phi((\omega+32)/5)-\phi((\omega+48)/5)] \end{aligned}

と置き、 $\Phi_r=\Phi(\omega+16r)$ （ $r=0,\ldots,4$ ）とする。 $u,v$ を位数 $5$ の枝変数 (order-five branch variables)、 $\Phi$ を三因子積 (three-factor product) という。

定理 5.2. 上の枝変数は

u^6-v^6+5u^2v^2(u^2-v^2)-4uv(1-u^4v^4)=0

を満たす。

証明. Jacobi が五次の変換に用いた二つの変数を theta 商から作る。 $\nu\in\{1,5\}$ に対して $a_\nu=a(\nu\omega)$ 、 $b_\nu=b(\nu\omega)$ 、 $c_\nu=c(\nu\omega)$ と置き、

x(z)=\frac{b_1}{a_1}\frac{\vartheta _1(z,\omega)}{\vartheta _4(z,\omega)}, \qquad y(z)=\frac{b_5}{a_5}\frac{\vartheta _1(5z,5\omega)}{\vartheta _4(5z,5\omega)}

と置く。命題 2.12により $a_\nu,b_\nu,c_\nu$ は零でない。また、 $\mathcal L_\omega=2\pi\Z+\pi\omega\Z$ と $\mathcal L_{5\omega}=2\pi\Z+5\pi\omega\Z$ に対して

5\mathcal L_\omega\subset\mathcal L_{5\omega}, \qquad [\mathcal L_{5\omega}:5\mathcal L_\omega]=5

である。命題 2.4により $x$ と $y$ はともに $\mathcal L_\omega$ を周期格子にもつ。命題 2.12の単純零点を上の格子包含で引き戻すと、 $E_\omega=\C/\mathcal L_\omega$ 上の零点と極は次の表になる。

\begin{array}{c|c|c} &\text{零点}\pmod{\mathcal L_\omega}&\text{極}\pmod{\mathcal L_\omega}\\ \hline x&0,\ \pi&\pi\omega/2,\ \pi+\pi\omega/2\\ y&j\pi/5\ (0\le j\le9)&\pi\omega/2+j\pi/5\ (0\le j\le9) \end{array}

すべての零点と極は単純である。特に $x:E_\omega\to\mathbb P^1$ は次数 $2$ である。theta 函数の奇偶性と準周期性から

x(\pi-z)=x(z),\qquad y(\pi-z)=y(z),\qquad x(-z)=-x(z),\qquad y(-z)=-y(z)

を得る。従って $x$ の一般のファイバー $\{z,\pi-z\}$ 上で $y$ は同じ値を取り、 $y=R(x)$ を満たす有理関数 $R$ が存在する。 $y$ の十個の零点は $z\mapsto\pi-z$ で五対になるため、 $R$ の分子の次数は $5$ である。 $y$ の十個の極のうち $j=0,5$ の二点は $x$ の二つの極であり、残る八点は四対になる。従って $R$ の分母の次数は $4$ であり、 $R$ は $x=\infty$ に単純な極をもつ。さらに $R$ は奇関数で $R(0)=0$ であるから、 $R=U/V$ を互いに素で $V(0)=1$ となるように書けば、 $U$ は奇な次数 $5$ の多項式、 $V$ は偶な次数 $4$ の多項式である。

theta 積から $a_\nu/b_\nu=\phi(\nu\omega)^2$ である。定理 2.14を二つの theta 商へ代入すると

\begin{aligned} x'(z)^2&=b_1^4(1-x(z)^2)(1-u^8x(z)^2),\\ y'(z)^2&=25b_5^4(1-y(z)^2)(1-v^8y(z)^2). \end{aligned}

$z=0$ で値 $1$ を取る平方根の枝を選ぶ。 $\lambda=v^4$ と置き、 $1+2\alpha=5b_5^2/b_1^2$ と定めると、上の二式から

\frac{dy}{\sqrt{(1-y^2)(1-\lambda^2y^2)}} =(1+2\alpha)\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-u^8x^2)}}

となる。Jacobi の五次の変換の係数比較をこの $R=U/V$ へ適用する。分母と分子、および $y=-1$ の逆像にある $x=-1$ 以外の二重零点を

\begin{aligned} V&=1+b'x^2+b''x^4,\\ U&=x(a+a'x^2+a''x^4),\\ A&=1+\alpha x+\beta x^2 \end{aligned}

と置く。微分式を二乗して分母を払い、 $y=-1$ の逆像を表す多項式を因数分解すると $V+U=(1+x)A^2$ を得る。この等式の同次係数を比較すると、次の有限表を得る。

\begin{array}{c|l} \text{比較する係数}&\text{得られる等式}\\ \hline x,x^2&a=1+2\alpha,\quad b'=2\alpha+2\beta+\alpha^2\\ x^3,x^4,x^5&a'=2\beta+\alpha^2+2\alpha\beta,\quad b''=\beta(2\alpha+\beta),\quad a''=\beta^2 \end{array}

原点で $x'(0)=b_1^2$ 、 $y'(0)=5b_5^2$ である。従って、係数表の $R'(0)=a=1+2\alpha$ は次の式で theta 商の乗数と一致する。

R'(0)=\frac{y'(0)}{x'(0)}=\frac{5b_5^2}{b_1^2}=1+2\alpha

$q=e^{\pi i\omega}\to0$ とすると theta 級数から

b_1=1+2q+O(q^4),\qquad b_5=1+2q^5+O(q^{20}), \qquad 1+2\alpha=5+O(q),\qquad \alpha=2+O(q)

を得る。従って、Jacobi の係数 $\alpha$ の cusp における枝は $\alpha\to2$ である。

theta 級数の添字を一つ移すと、 $\tau\in\mathbb H$ に対して

\begin{aligned} \vartheta _1(z+\pi\tau/2,\tau) &=i e^{-iz-\pi i\tau/4}\vartheta _4(z,\tau),\\ \vartheta _4(z+\pi\tau/2,\tau) &=i e^{-iz-\pi i\tau/4}\vartheta _1(z,\tau) \end{aligned}

を得る。 $a_1/b_1=u^2$ 、 $a_5/b_5=v^2$ であるから、二つの theta 商は

x(z+\pi\omega/2)=\frac1{u^4x(z)}, \qquad y(z+\pi\omega/2)=\frac1{v^4y(z)}

を満たす。 $k=u^4$ と置くと、 $y=R(x)$ から次の相反恒等式を得る。

R\!\left(\frac1{kx}\right)=\frac1{\lambda R(x)}

この恒等式へ $R=U/V$ を代入して負冪を払うと

\frac{a''+a'k^2x^2+ak^4x^4} {kx(b''+b'k^2x^2+k^4x^4)} =\frac{V(x)}{\lambda x(a+a'x^2+a''x^4)}

となる。両辺の分子と分母は互いに素であり、 $U$ の次数が $5$ なので $a''=\beta^2\ne0$ である。従って、二組の分子と分母は同じ定数倍だけ異なる。分子の定数項を比較すると、その定数は $a''$ であり、

\begin{aligned} a''+a'k^2x^2+ak^4x^4&=a''V(x),\\ k(b''+b'k^2x^2+k^4x^4) &=\lambda a''(a+a'x^2+a''x^4) \end{aligned}

を得る。第一式の $x^2,x^4$ 係数と第二式の $x^4$ 係数を比較すると

a'k^2=a''b',\qquad ak^4=a''b'',\qquad k^5=\lambda(a'')^2

となる。最後の式と $a''=\beta^2$ から $\beta^4=k^5/\lambda$ を得る。そこで

w=\frac{u^5}{\beta}

と定める。 $k=u^4$ なので $w^4=\lambda=v^4$ であり、 $\beta=u^5/w$ である。また、後二つの係数関係から

k(2\alpha+\beta)=\lambda\beta(1+2\alpha)

を得る。theta 積から $k^5/\lambda\to256$ 、 $\lambda/k\to0$ であるため、 $\alpha\to2$ とこの等式から $\beta\to-4$ を得る。一方、最初の二つの係数関係から $k$ を消去し、係数表を代入すると

0=(a')^2b''-aa''(b')^2 =-2\alpha^2\beta(\beta-1) \{\alpha^3-2\beta(1+\alpha+\beta)\}

となる。従って cusp の近傍では

\alpha^3=2\beta(1+\alpha+\beta)

が成り立つ。さらに、係数表を直接展開すると

b'(\alpha-2\beta)-a'(2-\alpha) =2\{\alpha^3-2\beta(1+\alpha+\beta)\}=0

を与える。cusp では $a'\to-20$ なので、最初の係数関係と上の等式から

u^2(2-\alpha)=w^2(\alpha-2\beta)

を得る。分母を用いない二つの等式へ $k=u^4$ 、 $\lambda=w^4$ 、 $\beta=u^5/w$ を代入すると

2\alpha w(1-uw^3)=u(w^4-u^4),\qquad \alpha(w^2+u^2)=2u^2(1+u^3w)

となる。 $\alpha$ を交差乗算で消去すれば

(u^2+w^2)(u^4-w^4)+4uw(1+u^3w)(1-uw^3)=0,

すなわち

u^6-w^6+5u^2w^2(u^2-w^2)+4uw(1-u^4w^4)=0

を得る。正の虚軸上の変換後の周期比は $5\omega$ であり、上の theta 商の定義から $w^4=v^4$ である。さらに $\operatorname{Im}\omega\to\infty$ とすると、theta 積から $v\sim u^5/4>0$ である。一方、表示した $\alpha\to2$ を二つの多項式等式へ代入すると $w\sim-u^5/4$ となる。従って $w/v=-1$ であり、これは Fricke の符号規約 $w/v=(-1)^{(5^2-1)/8}=-1$ と一致する。よって $w=-v$ である。代入すると主張の符号をもつ六次式が得られる。両辺は theta 積が定める正則関数なので一致の定理によって $\mathbb H$ へ延長され、さらに解析接続の一意性によってすべての許容される枝 datum で成り立つ。▨

六次式から Hermite の五次式を得る有限計算を記述する。以下では $z=\phi(\omega)$ 、 $h=\phi(5\omega)$ と置き、添字を $5$ を法として読む。また

A_j=\phi\!\left(\frac{\omega+16j}{5}\right),\qquad d_r=(A_{r+1}-A_{r-1})(A_{r+2}-A_{r-2})

と置く。このとき $\Phi_r=(h+A_r)d_r$ である。

補題 5.3 (五次 orbit の有限正規形). $B=2000z^4(1-z^8)^2$ 、 $C=64\sqrt{5^5}z^3(1-z^8)^2(1+z^8)$ とする。五つの $\Phi_r$ の基本対称式を $e_i$ と書けば

e_1=e_2=e_3=0,\qquad e_4=-B,\qquad e_5=-C

が成り立つ。

証明. 六次式を $(u,v)=(A_j,z)$ に適用し、 $\phi(\omega+16j)=z$ を用いると、 $A_j$ は

F(X,z)=X^6+4z^5X^5+5z^2X^4-5z^4X^2-4zX-z^6

の根である。六次式の左辺を

R=z^6-h^6+5z^4h^2-5z^2h^4-4zh+4z^5h^5

と置くと、 $F(-h,z)=-R=0$ である。したがって $F(X,z)=(X+h)P(X)$ であり、

\begin{aligned} P(X)={}&X^5+(4z^5-h)X^4+(h^2-4hz^5+5z^2)X^3\\ &+(-h^3+4h^2z^5-5hz^2)X^2\\ &+(h^4-4h^3z^5+5h^2z^2-5z^4)X\\ &+(-h^5+4h^4z^5-5h^3z^2+5hz^4-4z). \end{aligned}

特に、 $P$ の根の基本対称式は

\begin{aligned} s_1&=h-4z^5,\\ s_2&=h^2-4hz^5+5z^2,\\ s_3&=h^3-4h^2z^5+5hz^2,\\ s_4&=h^4-4h^3z^5+5h^2z^2-5z^4,\\ s_5&=h^5-4h^4z^5+5h^3z^2-5hz^4+4z \end{aligned}

である。ここまでの多項式除算の剰余は $-R$ であり、六次式のほかに根の順序を仮定していない。

巡回順序を theta 積から選ぶ。 $D=\sum_rd_r$ 、 $N=\sum_rA_rd_r$ と置くと $e_1=hD+N$ である。五ラベルの巡回順序は回転で割ると $5!/5=24$ 個ある。相異なる五ラベルをもつ巡回順序は反転で固定されないため、反転も同一視した無向巡回順序は $24/2=12$ 個ある。次に表示する六順序は、二歩取り（step-two、星形五角形）変換で対にした $L$ の符号類の代表である。

\begin{gathered} (0,1,2,3,4),\ (0,1,2,4,3),\ (0,1,3,2,4),\\ (0,1,3,4,2),\ (0,1,4,2,3),\ (0,1,4,3,2). \end{gathered}

巡回順序 $c=(c_0,c_1,c_2,c_3,c_4)$ に対して

\begin{aligned} d_r^{(c)}&=(A_{c_{r+1}}-A_{c_{r-1}})(A_{c_{r+2}}-A_{c_{r-2}}),\\ D_c&=\sum_rd_r^{(c)},\qquad N_c=\sum_rA_{c_r}d_r^{(c)},\qquad L_c=hD_c+N_c \end{aligned}

と置く。さらに $c^{(2)}=(c_0,c_2,c_4,c_1,c_3)$ と置く。添字を $5$ を法として計算すると、 $c^{(2)}$ における量は

d_r^{(c^{(2)})}=-d_{2r}^{(c)},\qquad D_{c^{(2)}}=-D_c,\qquad N_{c^{(2)}}=-N_c,\qquad L_{c^{(2)}}=-L_c

を満たす。二歩取り変換を二回行うと反転順序になるため、この変換は十二個の無向巡回順序の上で対合を定める。この対合は不動点をもたない。実際、 $c^{(2)}$ が $c$ の回転または反転と一致するならば、位置添字の写像 $r\mapsto2r$ は $r\mapsto r+k$ または $r\mapsto-r+k$ と一致するはずであるが、一次項の係数 $2$ は $1,-1$ のどちらとも $5$ を法として一致しない。表示した六代表と二歩取りで対応する順序は、次の十二順序を尽くす。

\begin{array}{c|c} c&c^{(2)}\\ \hline (0,1,2,3,4)&(0,2,4,1,3)\\ (0,1,2,4,3)&(0,2,3,1,4)\\ (0,1,3,2,4)&(0,3,4,1,2)\\ (0,1,3,4,2)&(0,3,2,1,4)\\ (0,1,4,2,3)&(0,4,3,1,2)\\ (0,1,4,3,2)&(0,4,2,1,3) \end{array}

従って十二順序のいずれかで $L=0$ となることと、表示した六代表のいずれかで $L=0$ となることは同値である。また、

\prod_{\text{十二無向順序}}L =\prod_{c\in\mathcal C}L_cL_{c^{(2)}} =(-1)^6\left(\prod_{c\in\mathcal C}L_c\right)^2 =\left(\prod_{c\in\mathcal C}L_c\right)^2

である。ここで $\mathcal C$ は表示した六代表の集合である。各代表で $L=hD+N$ を作り、六個の積を $s_1,\ldots,s_5$ で対称化して上の五式を代入すると

\prod_{c\in\mathcal C}L_c=327680RQ

となる。ここで、同じ計算を再現するための辞書式正規形は

\begin{aligned} Q={}&h^{12}-8h^{11}z^5+16h^{10}z^{10}+10h^{10}z^2-40h^9z^7+15h^8z^4\\ &+40h^7z^9+8h^7z-25h^6z^{14}-59h^6z^6+100h^5z^{19}-92h^5z^{11}\\ &+40h^5z^3-125h^4z^{16}+140h^4z^8-40h^3z^5+125h^2z^{18}\\ &-115h^2z^{10}+16h^2z^2-100hz^{15}+92hz^7+125z^{20}-224z^{12}+100z^4. \end{aligned}

$\zeta=e^{2\pi i/5}$ 、 $t=q^{1/40}$ と置く。積表示に $H(T)=\prod_{n\ge1}(1+T^{2n})/(1+T^{2n-1})$ を用いると

A_j=\sqrt2\,\zeta^jtH(\zeta^{3j}t^8),\qquad h=\sqrt2\,t^{25}H(t^{200})

である。各巡回順序に対する $L/(2\sqrt2t^3)$ の主係数は次の表になる。

\begin{array}{c|l} \text{巡回順序}&L/(2\sqrt2t^3)\text{ の主係数}\\ \hline (0,1,2,3,4)&0\\ (0,1,2,4,3)&-4(\zeta^3+2\zeta+2)\\ (0,1,3,2,4)&-4(2\zeta^3+2\zeta^2+1)\\ (0,1,3,4,2)&-4(2\zeta^2+\zeta+2)\\ (0,1,4,2,3)&-4\zeta(2\zeta^2+\zeta+2)\\ (0,1,4,3,2)&4(\zeta-1)^2(\zeta+1) \end{array}

$1+\zeta+\zeta^2+\zeta^3+\zeta^4=0$ から、正規順序以外の五係数はいずれも非零である。二歩取りで対応する順序の係数はそれぞれの負であるから、十二順序のうち、cusp の近くで $L=0$ となるのは正規順序と対応する順序が作る一つの符号類だけである。 $R=0$ なので六代表の積は零である。正規順序では $L=e_1$ 、対応する順序では $L=-e_1$ であるから、この符号類が与える等式は $e_1=0$ である。一致の定理により $e_1=0$ は許容される枝 datum の全体で成り立つ。

残る消去では、次の順序を固定する。

$d_r$ を展開して $e_i$ を作る。
$L=hD+N=0$ を用いて $N$ を $-hD$ へ置換する。
$A_0,\ldots,A_4$ の対称式を $s_1,\ldots,s_5$ へ書き換える。
上の $s_i$ を代入し、 $h$ を $z$ より先に取る辞書式順序で $R$ により除算する。

この有限簡約の代表式と出力は

\begin{aligned} e_2={}&-25hs_5-5h^2s_4-\frac34s_3^2+2s_2s_4-\frac12hs_2s_3 -\frac34h^2s_2^2\\ &-5s_1s_5+3hs_1s_4+2h^2s_1s_3=30R,\\ e_3={}&0,\\ e_4+B={}&-5R(33h^6-132h^5z^5+165h^4z^2-165h^2z^4\\ &\hspace{43mm}+132hz-400z^{14}+367z^6). \end{aligned}

最後に $\Delta=\prod_{i<j}(A_i-A_j)$ とすれば、正規巡回順序では $\prod_rd_r=\Delta$ である。したがって

e_5=-P(-h)\Delta,\qquad e_5^2=P(-h)^2\operatorname{disc}_X(P).

$P(-h)^2\operatorname{disc}_X(P)-C^2$ を同じ順序で $R$ により除算すると

P(-h)^2\operatorname{disc}_X(P)-C^2=RQ_5

となり、剰余は零である。ここで $Q_5$ はこの等式で一意に定まる $116$ 項の整数係数多項式であり、辞書式の先頭項は $-46656h^{24}$ 、末項は $38400000z^8$ である。この項数と両端の係数は、上の終結式と同じ簡約順序を用いた再計算の検査値になる。

符号を決めるため cusp の主項を調べる。積表示から

\Phi_r=-2\sqrt{10}\,\zeta^{3r}t^3(1+O(t^8)), \qquad 2\sqrt2(\zeta-\zeta^{-1})(\zeta^2-\zeta^{-2})=-2\sqrt{10}

である。cusp の近くでは $C\ne0$ なので、 $e_5^2=C^2$ とこの主項から $e_5/C=-1$ となる。一致の定理によって $e_5=-C$ は許容される枝 datum の全体へ延長される。従って表示した五つの基本対称式を得る。また、上の $A_j$ の積表示から $\Phi_r(t)=\Phi_0(\zeta^rt)$ である。1 の冪根による抽出公式

\frac15\sum_{r=0}^4G(\zeta^rt)=\sum_{5\mid n}[t^n]G(t)\,t^n

と Newton の恒等式で同じ計算を照合すると、 $R_0$ を指数が $5$ の倍数である項を残す作用素として

\begin{array}{c|ccccc} m&1&2&3&4&5\\ \hline R_0(\Phi^m)&0&0&0&4B/5&-C \end{array}

を得る。これは五つの基本対称式と同値であり、巡回順序を根集合だけから推測していない。▨

定理 5.4. 許容される枝 datum に対して

\Phi^5-2^4 5^3\phi^4\psi^{16}\Phi +2^6\sqrt{5^5}\phi^3\psi^{16}(1+\phi^8)=0

が成り立つ。

証明.補題 5.3で $B=2^4 5^3\phi^4\psi^{16}$ 、 $C=2^6\sqrt{5^5}\phi^3\psi^{16}(1+\phi^8)$ である。Vieta の公式により

\prod_{r=0}^4(Y-\Phi_r)=Y^5-BY+C

となる。 $r=0$ を代入すれば主張を得る。▨

補題 5.5. $C_0=(2^4 5^3)^{1/4}\phi\psi^4\ne0$ 、

a=\frac{2(1+\phi^8)}{5^{5/4}\phi^2\psi^4}

とする。cusp 基点から枝 datum へ至る指定経路上で $5^5a^4\ne2^8$ が成り立つならば、 $\Phi_0,\ldots,\Phi_4$ は相異なり、 $x_r=\Phi_r/C_0$ は

x^5-x+a=0

の五根を尽くす。

証明. $t=q^{1/40}$ とした cusp の近くでは

\begin{aligned} \prod_{0\le r<s\le4}(\Phi_s-\Phi_r) ={}&(-2\sqrt{10})^{10}t^{30} \prod_{r<s}(\zeta^{3s}-\zeta^{3r})(1+O(t^8)), \end{aligned}

であり、右辺の Vandermonde 係数は非零である。従って cusp に十分近い基点で五つの根の芽は相異なる。

$C_0^4=B$ かつ $C/C_0^5=a$ であるから、直前の因数分解を $Y=C_0x$ で尺度化すると

\prod_{r=0}^4(x-x_r)=x^5-x+a

を得る。この多項式の判別式は $5^5a^4-2^8$ である。判別式非零領域では局所逆函数定理により五つの単純根は互いに交わらない正則な根のグラフを定める。許容される枝 datum の指定経路に沿う根のグラフの持ち上げは一意であるため、cusp 基点の異なる五つの芽のラベルは経路の終点でも合流しない。従って $x_0,\ldots,x_4$ は相異なる五根であり、次数から全根を尽くす。▨

6 演習

問題 6.1.

定理 2.3の証明で、コンパクト集合 $L$ から $\operatorname{Im}\tau\ge\eta>0$ と $|\operatorname{Im}z|\le M$ を取り出した箇所を特定し、theta 級数を抑える Gaussian 型の優級数を再現する。 $L$ のコンパクト性を外すと、この優級数を取ることができない理由も述べる。
命題 2.12の $\vartheta _2$ の導出で、 $w=qe^{2iz}$ を代入した後に $r=1$ の因子を前へ出す操作を再現し、その因子が $2q^{1/4}\cos z$ を与えることを確かめる。
命題 2.4を用いて、 $\operatorname{sn}$ 、 $\operatorname{cn}$ 、 $\operatorname{dn}$ について $2K$ と $2iK'$ が周期であるか反周期であるかを判定し、定理 3.9の表と照合して各函数の二つの周期を述べる。
定理 4.3の証明で、 $\tau\mapsto\tau+1$ の変換により $a$ に掛かる $e^{\pi i/4}$ を四乗したときの符号を追跡し、 $\lambda(\tau+1)$ の公式を導く箇所を特定する。
命題 4.6の $x=4\sqrt y/(1+\sqrt y)^{2}$ から平方根を消去し、 $x$ と $y$ の多項式関係を確かめる。両辺を二乗する操作によって余分な解が生じ得る理由も述べる。
定義 4.1と定義 1.2を照らし合わせ、完全楕円積分の被積分関数を modulus $k$ と parameter $m=k^{2}$ の二通りで書き、modular lambda 函数が両者のどちらに等しいかを述べる。 $\lambda=k$ と置いた場合に矛盾する定義と恒等式も特定する。
定理 5.2の二つの $\alpha$ の等式から $\alpha$ を消去し、 $w=-v$ を代入して六次関係の末項の符号を確かめる。さらに補題 5.3の $e_2$ の代表式へ $s_1,\ldots,s_5$ を代入し、剰余が $30R$ になることを確かめる。

7 扱わない範囲

本記事は、一般の複素母数 $k$ に対する平方根と楕円積分の分岐、第二種および第三種楕円積分の一般論、格子と Riemann 面による楕円函数の幾何学的理論、楕円曲線の代数幾何、および modular 形式の一般論を扱わない。modular lambda 函数については、 $\mathbb H$ の上で $0$ と $1$ を取らないことまでを示し、値域が $\mathbb C\setminus\{0,1\}$ の全体に及ぶこと、合同部分群 $\Gamma(2)$ による被覆、および cusp の近傍における局所座標は扱わない。また、一般の次数 $N$ に対する modular 方程式の存在証明、五次方程式の係数からの大域的な一価枝の構成、および五次方程式の Bring--Jerrard 変換と根の復元は「体論入門」が扱う。本記事は、同単元が用いる位数 5 の六次関係と Hermite の五次恒等式を、Jacobi の五次有理変換の係数比較と有限 orbit の正規形として供給する。cusp では積表示の主項だけを用い、 compactification 上の局所理論と modular lambda 函数の全射性は扱わない。

§E5.24楕円積分と楕円函数への展望

1 完全楕円積分と周期比

2 theta 函数の解析

3 Jacobi の楕円函数と逆函数

4 modular lambda 函数と level 2

5 level 5 の六次関係と Hermite の有限 certificate

6 演習

7 扱わない範囲

参考文献

前提記事