§E5.8零点と一致の定理

証明.$c_n=f^{(n)}(a)/n!$とおく。§E5.7 定理 2.1により$f(z)=\sum_{n\ge0}c_n(z-a)^n$が$D(a,r)$上で成り立つ。すべての$c_n$が0ならば(1)である。以下では、$c_n\ne0$となる最小の添字を$m$とする。このとき$m=\operatorname{ord}_a(f)$である。

$g(z)=\sum_{k\ge0}c_{m+k}(z-a)^k$とおく。$z=a$ではこの級数は$c_m$に収束する。$0<|z-a|<r$ならば、Taylor 級数の部分和について

が成り立つので、右辺の収束から$g$の級数も収束する。したがって$g$の級数は$D(a,r)$の全点で収束し、§E5.7 定理 1.2の発散側から収束半径は$r$以上である。ゆえに§E5.7 定理 1.5により$g$は$D(a,r)$上で正則である。級数をまとめると$f(z)=(z-a)^m g(z)$であり、$g(a)=c_m=f^{(m)}(a)/m!\ne0$である。

$f(z)=(z-a)^\ell q(z)$を満たす非負整数$\ell$と正則関数$q$が$D(a,r)$上にあり、$q(a)\ne0$であるとする。$m<\ell$ならば$0<|z-a|<r$で$g(z)=(z-a)^{\ell-m}q(z)$であり、$z\to a$とすると$g(a)=0$となって矛盾する。$m>\ell$も同様に$q(a)=0$を導くので$m=\ell$である。$z\ne a$では因子を消去して$g(z)=q(z)$を得て、$a$では両関数の連続性から同じ等式を得る。ゆえに$m$と$g$は一意である。(1)ではすべての$c_n$が0であり、(2)では$c_m\ne0$であるから、二つの場合は相容れない。▨

証明.$a\in A$とする。ある$r>0$について$D(a,r)\subseteq D$であり、$f$は$D(a,r)$上で恒等的に0である。$w\in D(a,r)$ならば$D(w,r-|w-a|)\subseteq D(a,r)$であるから$w\in A$である。したがって$D(a,r)\subseteq A$であり、$A$は開集合である。

$a\in D\setminus A$とし、$D(a,r)\subseteq D$を取る。命題 1.2 (1)は$a\in A$を意味するため生じない。したがって、ある非負整数$m$と正則関数$g$が存在して$f(z)=(z-a)^m g(z)$かつ$g(a)\ne0$である。正則関数は連続である（§E5.2 命題 1.2）から、ある$0<\delta<r$について$D(a,\delta)$上で$g$は零を取らない。$m=0$ならば$f$はこの円板で零を取らない。$m\ge1$ならばこの円板における$f$の零点は$a$だけであり、$a\notin A$である。どちらの場合も$D(a,\delta)\cap A=\varnothing$なので$D\setminus A$は開集合である。

ここで初めて領域の連結性を用いる。§E5.1 定義 1.3により、互いに交わらない開集合$A$と$D\setminus A$が$D$を覆うならば一方は空である。$A\ne\varnothing$ならば$D\setminus A=\varnothing$、すなわち$A=D$である。各点は$A$に属するので$f$は$D$上で恒等的に0である。▨

証明.命題 2.1の集合$A$が空でなければ$f$は$D$上で恒等的に0になるため、仮定から$A=\varnothing$である。零点$a$を取り、$D(a,r)\subseteq D$とする。命題 1.2 (1)は$a\in A$を導くので、命題 1.2 (2)が成り立つ。したがって$f(z)=(z-a)^m g(z)$、$m\ge1$、$g(a)\ne0$となる正則関数$g$が得られる。$g$の連続性から、ある$0<\rho<r$について$D(a,\rho)$上で$g$は零を取らない。ゆえに$0<|z-a|<\rho$ならば$f(z)\ne0$であり、$a$は孤立した零点である。▨

証明.$p\in D$を零点集合の集積点とする。$f(p)=0$である。実際、正則関数の連続性（§E5.2 命題 1.2）により、$\varepsilon>0$を取ると$|z-p|<\delta$ならば$|f(z)-f(p)|<\varepsilon$となる$\delta>0$が存在する。集積点の定義から$0<|z-p|<\delta$を満たす零点$z$が存在するので$|f(p)|=|f(p)-f(z)|<\varepsilon$である。$\varepsilon$は任意であるから$f(p)=0$である。$f$が恒等的に0でないと仮定すれば、命題 2.2により$p$のある穿孔近傍には零点が存在しない。しかし、$p$が零点集合の集積点であることは、すべての穿孔近傍に零点が存在することを意味する。この矛盾により$f$は$D$上で恒等的に0である。

二関数については$h=f-g$とおく。§E5.2 命題 1.2により$h$は$D$上で正則であり、$S$は$h$の零点集合である。前半を$h$へ適用すると$h\equiv0$、したがって$f=g$である。▨