最大値原理 | 複素解析 | 天游ヶ丘数理学院

1 準備

命題 1.1. $K\subseteq\mathbb C$ を空でないコンパクト集合（§E2.19 定義 2.1）、 $\varphi:K\to\mathbb R$ を連続関数とする。このとき $\varphi$ は $K$ の上で最大値をとる。

証明. $K$ は空でないコンパクトな位相空間である。したがって§E2.19 定理 4.4を $\varphi$ へ適用すると、 $\varphi$ は $K$ 上で最大値をとる。▨

命題 1.2. $D$ を領域、 $f$ を $D$ 上の正則関数とする。 $|f|$ が $D$ 上で定数ならば、 $f$ は $D$ 上で定数である。

証明. $|f|=M$ とする。 $M=0$ ならば $f\equiv0$ である。以下では $M>0$ とし、 $f=u+iv$ と書く。 $u^2+v^2=M^2$ を $x$ と $y$ で偏微分すると

u u_x+v v_x=0,\qquad u u_y+v v_y=0

である。Cauchy–Riemann 方程式（§E5.2 定理 3.1）を第二式へ代入すると $v u_x-u v_x=0$ となる。これらを $u_x,v_x$ に関する連立一次方程式とみると、係数行列

\begin{pmatrix}u & v\\ v & -u\end{pmatrix}

の行列式は $-(u^2+v^2)=-M^2\ne0$ である。したがって $u_x=v_x=0$ であり、 $f'=u_x+iv_x=0$ が $D$ の全点で成り立つ。§E5.4 命題 4.3により $f$ は定数である。▨

2 平均値の性質

命題 2.1. $U\subseteq\mathbb C$ を開集合、 $f$ を $U$ 上の正則関数とする。 $r>0$ かつ $\overline D(a,r)\subseteq U$ ならば

f(a)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f\bigl(a+re^{i\theta}\bigr)\,d\theta

が成り立つ。

証明. $\gamma(\theta)=a+re^{i\theta}$ （ $0\le\theta\le2\pi$ ）を反時計回りの境界円周の径数表示とする。§E5.4 例 3.3の計算から $\gamma'(\theta)=ire^{i\theta}$ である。§E5.6 定理 2.1の円周版を中心 $a$ で用いると

f(a)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|\zeta-a|=r}\frac{f(\zeta)}{\zeta-a}\,d\zeta =\frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{2\pi}\frac{f(a+re^{i\theta})}{re^{i\theta}}\,ire^{i\theta}\,d\theta =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(a+re^{i\theta})\,d\theta

である。▨

3 最大値原理

定理 3.1 (最大値原理の局所版). $D$ を領域、 $f$ を $D$ 上の正則関数とする。ある $a\in D$ と $\rho>0$ について $D(a,\rho)\subseteq D$ かつ $|f(z)|\le|f(a)|$ がすべての $z\in D(a,\rho)$ で成り立つならば、 $f$ は $D$ 上で定数である。

対偶として、 $f$ が定数でないならば、 $|f|$ は $D$ の内部のどの点でも局所最大値をとらない。

証明. $0<r<\rho$ を取る。命題 2.1と、実区間の上の積分の絶対値の評価（§E5.4 補題 1.4）により

|f(a)|=\left|\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(a+re^{i\theta})\,d\theta\right| \le\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\bigl|f(a+re^{i\theta})\bigr|\,d\theta \le\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}|f(a)|\,d\theta=|f(a)|

である。両端が等しいため、二つの不等号はともに等号である。したがって

\int_{0}^{2\pi}\Bigl(|f(a)|-\bigl|f(a+re^{i\theta})\bigr|\Bigr)\,d\theta=0

である。 $h(\theta)=|f(a)|-|f(a+re^{i\theta})|$ とおくと、 $h$ は連続かつ非負である。もし $h(\theta_0)=\eta>0$ となる点があれば、連続性から正の長さをもつ閉区間 $J\subseteq[0,2\pi]$ を $h\ge\eta/2$ が $J$ 上で成り立つように取ることができる。 $J$ 上で値 $\eta/2$ 、その外で値0をとる区分的連続関数を $v$ とする。 $0\le v\le h$ なので、実積分の単調性（§E5.4 補題 1.3）と区分的積分の定義から

\int_{0}^{2\pi}h(\theta)\,d\theta \ge\int_{0}^{2\pi}v(\theta)\,d\theta =\frac{\eta}{2}\,|J|>0

となって矛盾する。ゆえに $h\equiv0$ であり、半径 $r$ の円周全体で $|f|=|f(a)|$ である。 $r\in(0,\rho)$ は任意なので、中心を含む $D(a,\rho)$ 全体で $|f|=|f(a)|$ となる。

$D(a,\rho)$ は§E5.2 命題 4.5により領域であるから、命題 1.2により $f$ はこの円板上で定数である。その値を $w_0$ とする。 $f$ と定数関数 $w_0$ が一致する集合は $D$ 内に集積点をもつので、§E5.8 定理 3.1により $f\equiv w_0$ が $D$ 全体で成り立つ。▨

系 3.2. $r>0$ とし、 $f$ を閉円板 $K=\overline D(a,r)$ を含む開集合上の正則関数とする。このとき

\max_{z\in K}|f(z)|=\max_{|z-a|=r}|f(z)|

が成り立つ。すなわち、 $|f|$ の $K$ における最大値は境界の上で達成される。

証明. $\mathbb C$ を $\mathbb R^2$ と同一視すると（§E1.14 定義 4.1）、 $K$ は有界閉集合なので§E2.9 定理 4.3によりコンパクトである。正則関数は連続であるため（§E5.2 命題 1.2）、命題 1.1を $|f|$ へ適用すると、ある $p\in K$ で $|f|$ は最大値をとる。 $|p-a|=r$ ならば結論を得る。

$|p-a|<r$ ならば $p$ は $D(a,r)$ における $|f|$ の局所最大点である。§E5.2 命題 4.5と定理 3.1により $f$ は $D(a,r)$ 上で定数である。連続性から同じ値が境界にも達するので、境界上でも $|f|$ は $K$ 上の最大値をとる。▨

4 Liouville の定理と代数学の基本定理

定理 4.1 (Liouville の定理). $f$ が $\mathbb C$ 上で正則であり、ある $M\ge0$ についてすべての $z\in\mathbb C$ で $|f(z)|\le M$ が成り立つならば、 $f$ は定数である。

証明. $a\in\mathbb C$ と $R>0$ を取る。半径 $R$ の円周上で $|f|\le M$ なので、§E5.6 系 4.2を $m=1$ で用いると

|f'(a)|\le\frac{M}{R}

である。この評価はすべての $R>0$ について成り立つ。 $M=0$ ならば直ちに $f'(a)=0$ であり、 $M>0$ ならば任意の $\varepsilon>0$ に対して $R>M/\varepsilon$ と取ることで $|f'(a)|<\varepsilon$ を得る。いずれも $f'(a)=0$ である。 $a$ は任意なので $f'\equiv0$ であり、§E5.4 命題 4.3により $f$ は定数である。▨

系 4.2 (代数学の基本定理). $n\ge1$ とし、 $p(z)=a_nz^n+\cdots+a_1z+a_0$ を $a_n\ne0$ を満たす複素係数多項式とする。このとき $p(z)=0$ を満たす $z\in\mathbb C$ が存在する。

証明. $p$ が零点をもたないと仮定する。このとき $q=1/p$ は§E5.2 系 1.3と§E5.2 命題 1.2により $\mathbb C$ 上で正則である。

$|z|\ge1$ のとき

|p(z)|\ge|a_{n}||z|^{n}-\sum_{k=0}^{n-1}|a_{k}||z|^{k} \ge|z|^{n-1}\Bigl(|a_{n}||z|-\sum_{k=0}^{n-1}|a_{k}|\Bigr)

である。 $S=\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|$ とおき、 $R_0=\max(1,(S+1)/|a_n|)$ とする。 $|z|>R_0$ ならば $|a_n||z|-S>1$ かつ $|z|^{n-1}\ge1$ なので $|p(z)|>1$ 、したがって $|q(z)|<1$ である。

$K=\overline D(0,R_0)$ は§E2.9 定理 4.3によりコンパクトである。 $|q|$ は連続なので、命題 1.1により $K$ 上で最大値 $M_0$ をとる。したがって $|q(z)|\le\max(1,M_0)$ がすべての $z\in\mathbb C$ で成り立つ。定理 4.1により $q$ は定数であり、 $p=1/q$ も定数となる。これは $n\ge1$ かつ $a_n\ne0$ に反する。ゆえに $p$ は零点をもつ。▨

注意 4.3 (根の個数は本記事では数えない).系 4.2が主張するのは根の存在だけである。重複度を込めて根を数える問題は後続の記事が扱う。本記事の証明は、根の個数を数える結果を用いない。

5 演習

問題 5.1 (最大値原理の等号状況). $D$ を領域、 $f$ を $D$ 上の正則関数とする。 $r>0$ 、 $\overline D(a,r)\subseteq D$ であり、 $|f(a)|=\max_{|z-a|=r}|f(z)|$ であると仮定する。 $f$ が $D$ 上で定数であることを示せ。

解答.

系 3.2により

\max_{z\in\overline D(a,r)}|f(z)|=\max_{|z-a|=r}|f(z)|=|f(a)|

である。したがって $a$ は $|f|$ の局所最大点であり、定理 3.1により $f$ は $D$ 上で定数である。▨

問題 5.2 (Liouville の定理の仮定). 有界性を外すと定理 4.1の結論が成り立たない例と、定義域を $\mathbb C$ 全体とする仮定を外すと結論が成り立たない例を、それぞれ一つ挙げて正則性と非定数性を確認せよ。

解答.

$f(z)=z$ は $\mathbb C$ 上で正則かつ非定数であるが、有界ではない。 $D(0,1)$ 上の $g(z)=z$ は正則かつ非定数であり、 $|g(z)|<1$ なので有界であるが、定義域は $\mathbb C$ 全体ではない。したがって Liouville の定理では平面全体での正則性と大域的な有界性の両方が必要である。▨

§E5.9最大値原理

1 準備

2 平均値の性質

3 最大値原理

4 Liouville の定理と代数学の基本定理

5 演習

参考文献

前提記事