§E5.15Möbius 変換

証明.(1)を示す。$ad=bc$とする。$c\ne0$ならば$a=bc/d$とは限らないので、直接に

であるから、値はつねに$a/c$である。$c=0$ならば$ad=0$であり、$d\ne0$とすると$a=0$となって値はつねに$b/d$である。$d=0$の場合は分母が恒等的に$0$であり、写像が定まらない。

(2)は、分子と分母を$\lambda$倍しても商が変わらないことによる。$c\ne0$のときは$\infty$における値も$\lambda a/(\lambda c)=a/c$で変わらない。$c=0$のときは$\lambda c=0$でもあり、$T_M$と$T_{\lambda M}$はどちらも$\infty$を$\infty$へ写す。

(3)を示す。$T=T_{M}=T_{M'}$とする。定義 2.1により、$T(\infty)=\infty$であることと$c=0$であることは同値であるから、$c$と$c'$は同時に$0$であるか、同時に$0$でない。

$c=c'=0$のとき、$T(z)=(a/d)z+b/d=(a'/d')z+b'/d'$がすべての$z\in\mathbb C$で成り立つので、$z=0$と$z=1$を代入して$b/d=b'/d'$と$a/d=a'/d'$を得る。$\lambda=d'/d$とおけば$M'=\lambda M$である。

$c\ne0$かつ$c'\ne0$のとき、$\lambda=c'/c$とおいて$M''=\lambda M=\begin{pmatrix}a''&b''\\ c''&d''\end{pmatrix}$とすると、(2)により$T_{M''}=T_{M}=T_{M'}$であり$c''=c'$である。$T(\infty)=a''/c''=a'/c'$から$a''=a'$を得る。定義 2.1により、$c''\ne0$であるから$T(z)=\infty$を満たす$z\in\mathbb C$はちょうど一つあり、その点は$-d''/c''$とも$-d'/c'$とも書くことができるので$d''=d'$である。最後に$z_{0}\in\mathbb C$を$z_{0}\ne-d'/c'$となるように取ると、$c''z_{0}+d''=c'z_{0}+d'\ne0$であって$(a''z_{0}+b'')/(c''z_{0}+d'')=(a'z_{0}+b')/(c'z_{0}+d')$であるから$a''z_{0}+b''=a'z_{0}+b'$、すなわち$b''=b'$である。ゆえに$M'=M''=\lambda M$である。

(4)を示す。$M'=\begin{pmatrix}a'&b'\\ c'&d'\end{pmatrix}$も行列式が$0$でない行列とし、

とおく。$\det(MM')=\det M\cdot\det M'\ne0$であるから$T_{MM'}$が定まる。

先に定義 2.1を次の形へ言い換えておく。行列式が$0$でない$N=\begin{pmatrix}p&q\\ r&s\end{pmatrix}$については、$r$と$s$が同時に$0$になることはない（同時に$0$ならば行列式が$0$である）。したがって$z\in\mathbb C$について、$rz+s=0$となるのは$r\ne0$かつ$z=-s/r$のときに限り、そのとき$T_{N}(z)=\infty$、そうでないときは$T_{N}(z)=(pz+q)/(rz+s)$である。また$T_{N}(\infty)$は、$r=0$のとき$\infty$、$r\ne0$のとき$p/r$である。

$z\in\widehat{\mathbb C}$を三つの場合に分けて$T_{M}\bigl(T_{M'}(z)\bigr)=T_{MM'}(z)$を確かめる。

場合 (i)。$z\in\mathbb C$かつ$c'z+d'\ne0$とする。このとき$w=T_{M'}(z)=(a'z+b')/(c'z+d')\in\mathbb C$である。$a(a'z+b')+b(c'z+d')=Az+B$と$c(a'z+b')+d(c'z+d')=Cz+D$であるから

である。第二の等式は$Cz+D=(cw+d)(c'z+d')$と書くことができるので、$c'z+d'\ne0$より、$cw+d=0$と$Cz+D=0$は同値である。$cw+d=0$のときは$T_{M}(w)$も$T_{MM'}(z)$も$\infty$である。$cw+d\ne0$のときは

である。

場合 (ii)。$z\in\mathbb C$かつ$c'z+d'=0$とする。このとき$T_{M'}(z)=\infty$である。まず$a'z+b'\ne0$である。実際、$a'z+b'=0$かつ$c'z+d'=0$とすると$a'd'-b'c'=a'(d'+c'z)-c'(b'+a'z)=0$となり、$\det M'\ne0$に反する。$c'z+d'=0$を用いると$Az+B=a(a'z+b')$、$Cz+D=c(a'z+b')$である。$c=0$のときは$Cz+D=0$であるから$T_{MM'}(z)=\infty$であり、$T_{M}(\infty)=\infty$と一致する。$c\ne0$のときは$Cz+D=c(a'z+b')\ne0$であるから

である。

場合 (iii)。$z=\infty$とする。$c'=0$のときは$T_{M'}(\infty)=\infty$である。$\det M'\ne0$より$a'd'\ne0$であるから$a'\ne0$であり、$A=aa'$、$C=ca'$である。$c=0$ならば$C=0$であるから$T_{MM'}(\infty)=\infty=T_{M}(\infty)$であり、$c\ne0$ならば$C=ca'\ne0$であるから$T_{MM'}(\infty)=A/C=aa'/(ca')=a/c=T_{M}(\infty)$である。

$c'\ne0$のときは$w=T_{M'}(\infty)=a'/c'\in\mathbb C$であり、$cw+d=(ca'+dc')/c'=C/c'$である。$C=0$ならば$cw+d=0$であるから$T_{M}(w)=\infty=T_{MM'}(\infty)$である。$C\ne0$ならば$cw+d\ne0$であり

である。

以上ですべての$z\in\widehat{\mathbb C}$について$T_{M}\circ T_{M'}=T_{MM'}$が示された。単位行列$I$については$c=0$の場合の定義により$T_{I}(z)=z$、$T_{I}(\infty)=\infty$であるから、$T_{I}$は恒等写像である。ゆえに$T_{M}\circ T_{M^{-1}}=T_{MM^{-1}}=T_{I}$と$T_{M^{-1}}\circ T_{M}=T_{M^{-1}M}=T_{I}$がともに恒等写像であり、$T_{M}$は$\widehat{\mathbb C}$の全単射で、逆写像は$T_{M^{-1}}$である。▨

証明. 存在を示す。まず、相異なる三点$z_{1},z_{2},z_{3}$を$0,1,\infty$へ写す Möbius 変換$S$を作る。三点がすべて$\mathbb C$に属する場合は

とおく。この$S$は$T_{M_{0}}$、

であり、$\det M_{0}=-z_{3}(z_{2}-z_{3})(z_{2}-z_{1})+z_{1}(z_{2}-z_{3})(z_{2}-z_{1}) =(z_{2}-z_{3})(z_{2}-z_{1})(z_{1}-z_{3})\ne0$である。三点が相異なることを用いた。$S(z_{1})=0$、$S(z_{2})=1$であり、$z=z_{3}$では分母が$0$になるので$S(z_{3})=\infty$である。

三点のいずれかが$\infty$である場合は、上の式で$\infty$を含む因子を$1$に置き換えたものを取る。すなわち

とおく。三通りとも定義 2.1の条件を満たし、三点をそれぞれ$0,1,\infty$へ写す。以下、命題 2.2 (4)の証明で言い換えた形の定義 2.1を用いる。

$z_{1}=\infty$のとき、行列は$\begin{pmatrix}0&z_{2}-z_{3}\\ 1&-z_{3}\end{pmatrix}$で行列式は$-(z_{2}-z_{3})\ne0$である。$(2,1)$成分が$1\ne0$であるから$S(\infty)=0/1=0$、$S(z_{2})=(z_{2}-z_{3})/(z_{2}-z_{3})=1$、$z=z_{3}$では分母$z_{3}-z_{3}=0$より$S(z_{3})=\infty$である。

$z_{2}=\infty$のとき、行列は$\begin{pmatrix}1&-z_{1}\\ 1&-z_{3}\end{pmatrix}$で行列式は$z_{1}-z_{3}\ne0$である。$S(z_{1})=(z_{1}-z_{1})/(z_{1}-z_{3})=0$、$(2,1)$成分が$1\ne0$であるから$S(\infty)=1/1=1$、$z=z_{3}$では分母が$0$より$S(z_{3})=\infty$である。

$z_{3}=\infty$のとき、行列は$\begin{pmatrix}1&-z_{1}\\ 0&z_{2}-z_{1}\end{pmatrix}$で行列式は$z_{2}-z_{1}\ne0$である。$S(z_{1})=0$、$S(z_{2})=(z_{2}-z_{1})/(z_{2}-z_{1})=1$、$(2,1)$成分が$0$であるから$S(\infty)=\infty$である。

同じ構成を$w_{1},w_{2},w_{3}$について行い、$0,1,\infty$へ写す Möbius 変換$S'$を得る。命題 2.2 (4)により$T=S'^{-1}\circ S$は Möbius 変換であり、$T(z_{j})=S'^{-1}(S(z_{j}))=w_{j}$である。

一意性を示す。$T$と$\tilde T$がともに条件を満たすとすると、$U=\tilde T^{-1}\circ T$は Möbius 変換であり$z_{1},z_{2},z_{3}$を固定する。上の$S$を用いると$V=S\circ U\circ S^{-1}$は Möbius 変換で$0,1,\infty$を固定する。$V=T_{M}$、$M=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$と書く。$V(\infty)=\infty$より定義 2.1の場合分けから$c=0$であり、$V(z)=(az+b)/d$である。$V(0)=0$より$b=0$、$V(1)=1$より$a/d=1$である。ゆえに$V$は恒等写像であり、$U$も恒等写像、$\tilde T=T$である。▨

証明.定理 3.1の存在の証明に現れる$S$の行列は、四通りのいずれの場合も、成分が$z_{1},z_{2},z_{3}$のうち$\infty$でないものについての整数係数の多項式である。仮定により有限の座標は実数であるから、その行列$M_{0}$は実行列である。同じ理由で、$w_{1},w_{2},w_{3}$に対する$S'=T_{M_{0}'}$の行列$M_{0}'$も実行列である。

$M_{0}'$の余因子行列を$N=\begin{pmatrix}d_{0}'&-b_{0}'\\ -c_{0}'&a_{0}'\end{pmatrix}$とすると、$N=(\det M_{0}')\,M_{0}'^{-1}$であり$\det M_{0}'\ne0$であるから、命題 2.2 (2)により$T_{N}=T_{M_{0}'^{-1}}=S'^{-1}$である。ここで最後の等号は命題 2.2 (4)による。したがって命題 2.2 (4)により

である。$N$と$M_{0}$はともに実行列であるから積$NM_{0}$も実行列であり、$\det(NM_{0})=\det M_{0}'\cdot\det M_{0}\ne0$である。▨

証明. まず$T$を三種類の変換の合成へ分解する。$\alpha\ne0$と$\beta\in\mathbb C$について

とおく。行列式はそれぞれ$\alpha$、$1$、$-1$でどれも$0$でない。定義 2.1により$T_{E_{\alpha}}$は拡大回転$z\mapsto\alpha z$（$\infty$を$\infty$へ写す）、$T_{P_{\beta}}$は平行移動$z\mapsto z+\beta$（$\infty$を$\infty$へ写す）、$T_{J}$は逆数$z\mapsto1/z$であって$T_{J}(0)=\infty$、$T_{J}(\infty)=0$である。

$T=T_{M}$、$M=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$とする。$c=0$のとき$ad\ne0$であり

であるから、命題 2.2 (2)と命題 2.2 (4)により$T=T_{P_{b/d}}\circ T_{E_{a/d}}$である。$c\ne0$のときは、右から順に積を計算すると

である。最後の等号は$(bc-ad)/c+ad/c=b$による。ゆえに命題 2.2 (4)により

である。合成則が$\widehat{\mathbb C}$の全体で成り立つので、$\infty$と極における値もこの分解に沿って対応する。したがって三種類の変換について主張を示せばよい。

平行移動$z\mapsto z+\beta$について。$w=z+\beta$とおくと$z=w-\beta$であり、方程式へ代入すると

となる。$A$と$C'$は実数であり、$|B'|^{2}-AC'=|B|^{2}-AC>0$である。実際、$|B-A\beta|^{2}=|B|^{2}-A(\overline{B}\beta+B\overline{\beta})+A^{2}|\beta|^{2}$を代入すれば確かめられる。$\widehat{\mathbb C}$における$\infty$の扱いも対応する。実際、$T_{P_{\beta}}(\infty)=\infty$であり、$\Sigma$が$\infty$を含むことと$A=0$であること、像が$\infty$を含むことと$A'=A=0$であることは、定義 4.1により同値である。ゆえに像も一般化円である。

拡大回転$z\mapsto\alpha z$（$\alpha\ne0$）について。$w=\alpha z$とおくと$z=w/\alpha$であり、方程式は

となる。両辺に$|\alpha|^{2}$を掛け、$|\alpha|^{2}/\alpha=\overline{\alpha}$と$|\alpha|^{2}/\overline{\alpha}=\alpha$を用いると

である。すなわち$A'=A$、$B'=B\alpha$、$C'=|\alpha|^{2}C$であり、$A'$と$C'$は実数、$|B'|^{2}-A'C'=|\alpha|^{2}(|B|^{2}-AC)>0$である。$\infty$の扱いは、平行移動の場合と同じく$T_{E_{\alpha}}(\infty)=\infty$と$A'=A$による。ゆえに像も一般化円である。

逆数$z\mapsto1/z$について。$z\in\mathbb C\setminus\{0\}$と$w=1/z$について、方程式の両辺に$|w|^{2}$を掛けると

となる。この等式は$A'=C$、$B'=\overline{B}$、$C'=A$とした一般化円の方程式であり、$|B'|^{2}-A'C'=|B|^{2}-AC>0$である。$\Sigma'$をこの新しい方程式が定める一般化円とすると、いま示したことは、$z\in\mathbb C\setminus\{0\}$について$z\in\Sigma$と$1/z\in\Sigma'$が同値であるということである。

残るのは$0$と$\infty$である。定義 4.1により、$\infty\in\Sigma$と$A=0$は同値であり、$A=C'$であるから、この条件は$C'=0$と同値である。$C'=0$は$\Sigma'$の方程式が$w=0$を解にもつこと、すなわち$0\in\Sigma'$と同値である。$T_{J}(\infty)=0$であるから、$\infty$の行き先についても対応がついた。同様に、$0\in\Sigma$と$C=0$は同値であり、$C=A'$であるから条件$C=0$は$A'=0$、すなわち$\infty\in\Sigma'$と同値である。$T_{J}(0)=\infty$であるから、$0$の行き先についても対応がつく。ゆえに$T_{J}(\Sigma)=\Sigma'$であり、像も一般化円である。▨

証明.$\widehat{\mathbb R}=\mathbb R\cup\{\infty\}$は一般化円である。実際、$A=0$、$B=i$、$C=0$とすると$|B|^{2}-AC=1>0$であり、$\overline{B}z+B\overline{z}=-i(z-\overline{z})=2\operatorname{Im}z$であるから、方程式$2\operatorname{Im}z=0$の解集合は$\mathbb R$であり、$A=0$であるから$\infty$を付け加える。とくに$\widehat{\mathbb R}$は$0,1,\infty$を含む。

定理 3.1により、$p_{1},p_{2},p_{3}$をそれぞれ$0,1,\infty$へ写す Möbius 変換$S$が存在する。

存在を示す。命題 2.2 (4)により$S^{-1}$も Möbius 変換であるから、定理 4.2により$S^{-1}(\widehat{\mathbb R})$は一般化円であり、$S^{-1}(0)=p_{1}$、$S^{-1}(1)=p_{2}$、$S^{-1}(\infty)=p_{3}$であるから三点を含む。

一意性を示す。$\Sigma$を三点を含む一般化円とすると、定理 4.2により$S(\Sigma)$は一般化円であり、$0,1,\infty$を含む。$S(\Sigma)$の方程式の係数を$A,B,C$とする。$\infty\in S(\Sigma)$と定義 4.1により$A=0$であり、したがって$B\ne0$である。$z=0$を代入して$C=0$、$z=1$を代入して$\overline{B}+B=0$、すなわち$B=\beta_{1}+i\beta_{2}$と書くと$2\beta_{1}=0$である。$B\ne0$より$\beta_{2}\ne0$であり、方程式は$2\beta_{2}\operatorname{Im}z=0$、すなわち$\operatorname{Im}z=0$となる。ゆえに$S(\Sigma)=\widehat{\mathbb R}$であり、$S$は全単射であるから$\Sigma=S^{-1}(\widehat{\mathbb R})$である。▨