§E5.19解析接続

例 1.3 (等比級数の延長).$\sum_{n\ge0}z^{n}$は$|z|<1$で収束し、その和は$1/(1-z)$である。実際、部分和の公式から$\sum_{n=0}^{N}z^{n}=(1-z^{N+1})/(1-z)$であり、$|z|<1$より$z^{N+1}\to0$である。一方$1/(1-z)$は$\mathbb C\setminus\{1\}$の上で正則である（§E5.2 命題 1.2）。$\mathbb C\setminus\{1\}$は領域である。実際、$\{1\}$は閉集合であるから$\mathbb C\setminus\{1\}$は空でない開集合である。$z,w\in\mathbb C\setminus\{1\}$を取ると$z-1$と$w-1$は$\mathbb C\setminus\{0\}$に属し、§E5.3 命題 2.1と§E5.1 命題 1.4 (1)$\Rightarrow$(2)により、$z-1$と$w-1$を結ぶ$\mathbb C\setminus\{0\}$内の折れ線が存在する。線分を$+1$だけ平行移動したものは線分であるから、この折れ線を$+1$だけ平行移動すると$z$と$w$を結ぶ$\mathbb C\setminus\{1\}$内の折れ線になる。ゆえに§E5.1 命題 1.4 (2)$\Rightarrow$(1)により$\mathbb C\setminus\{1\}$は連結であり、領域である。この領域は$D(0,1)$を含むので、$1/(1-z)$は級数の和の$\mathbb C\setminus\{1\}$への解析接続であり、命題 1.2により$1/(1-z)$以外の延長はない。

例 4.1 (平方根を円周に沿って延長する).$D_{0}=\mathbb C\setminus(-\infty,0]$の上で$q(z)=e^{\operatorname{Log}(z)/2}$とおく。§E5.3 命題 2.10と§E5.3 命題 1.8により$q$は$D_{0}$の上で正則であり、指数の加法法則（§E5.3 命題 1.6）により$q(z)^{2}=e^{\operatorname{Log}z}=z$である。$q(1)=e^{0}=1$である。

$\gamma(t)=e^{2\pi it}$（$0\le t\le1$）を単位円周とし、$(f_{0},U_{0})=(q,D_{0})$から出発して$\gamma$に沿う解析接続を作る。各$t$について、$\alpha_{t}=2\pi t+\pi$とおき、$U_{t}$を半直線$\{re^{i\alpha_{t}} : r\ge0\}$を取り除いた領域とする（§E5.3 命題 2.11により$U_{t}$は領域である）。$\gamma(t)\in U_{t}$である。実際、$e^{2\pi it}=re^{i(2\pi t+\pi)}$とすると、絶対値を比べて$r=1$であり、§E5.3 命題 1.7により$e^{i\pi}=1$となって矛盾する。§E5.3 命題 2.11により$U_{t}$の上の対数の枝が存在し、§E5.3 命題 2.5により枝は$2\pi i$の整数倍の差を除いて一意であるから、$\ell_{t}(\gamma(t))=2\pi it$を満たすものをただ一つ選ぶことができる。実際、任意の枝$\ell$について$e^{\ell(\gamma(t))}=\gamma(t)=e^{2\pi it}$であるから、§E5.3 命題 1.7により$\ell(\gamma(t))-2\pi it$は$2\pi i$の整数倍であり、その分だけずらせばよい。$f_{t}(z)=e^{\ell_{t}(z)/2}$とおく。$t=0$では$\alpha_{0}=\pi$より$U_{0}=D_{0}$であり、$\operatorname{Log}(1)=0$であるから$\ell_{0}=\operatorname{Log}$、$f_{0}=q$である。

この族が定義 3.1の条件を満たすことを確かめる。$t\in[0,1]$を固定し、$\delta_{t}>0$を次のように取る。

第一に、$|s-t|<1/2$ならば$\gamma(s)\in U_{t}$である。実際、$\gamma(s)=e^{2\pi is}$が$U_{t}$の外にあるとすると、$e^{2\pi is}=re^{i(2\pi t+\pi)}$を満たす$r\ge0$があり、絶対値を比べて$r=1$、§E5.3 命題 1.7により$2\pi is-i(2\pi t+\pi)$が$2\pi i$の整数倍、すなわち$s-t$が$1/2$に整数を足したものになるので$|s-t|\ge1/2$である。$\gamma(s)\in U_{s}$は、上で$\gamma(t)\in U_{t}$を示したのと同じ計算による。

第二に、$\ell_{t}$は$U_{t}$の上で連続、$\gamma$は連続であるから、合成$s\mapsto\ell_{t}(\gamma(s))$は$\{s\in[0,1] : |s-t|<1/2\}$の上で連続であり、$s=t$での値は$2\pi it$である。したがって$0<\delta_{t}\le1/2$を、$|s-t|<\delta_{t}$ならば$|\ell_{t}(\gamma(s))-2\pi it|<\pi$となるように取ることができる。

$|s-t|<\delta_{t}$とする。$U_{t}\cap U_{s}$は$\gamma(s)$を含む開集合であるから、$D\bigl(\gamma(s),\rho\bigr)\subseteq U_{t}\cap U_{s}$を満たす$\rho>0$を取ることができる。開円板は§E5.2 命題 4.5により領域であり、$\ell_{t}$と$\ell_{s}$の$D$への制限はどちらも$D=D(\gamma(s),\rho)$の上の対数の枝であるから、§E5.3 命題 2.5により整数$k$が存在して$D$の上で$\ell_{t}-\ell_{s}=2\pi ik$である。

この$k$が$0$であることを示す。$\gamma(s)\in D$で評価すると$\ell_{t}(\gamma(s))=\ell_{s}(\gamma(s))+2\pi ik=2\pi is+2\pi ik$である。$\delta_{t}\le1/2$より$2\pi|s-t|<\pi$であるから

であり、$|k|<1$、すなわち$k=0$である。ゆえに$D$の上で$\ell_{s}=\ell_{t}$であり、$f_{s}=e^{\ell_{s}/2}=e^{\ell_{t}/2}=f_{t}$が$D$の上で成り立つ。$D$は$\gamma(s)$を含む$U_{t}\cap U_{s}$の開部分集合であるから、定義 2.1の意味で$(f_{s},U_{s})$と$(f_{t},U_{t})$は$\gamma(s)$において同値である。

$t=1$では$\gamma(1)=1$に戻るが$\ell_{1}(1)=2\pi i$であるから

である。出発点での値は$f_{0}(1)=1$であった。すなわち、同じ点へ戻ってきたにもかかわらず、延長した関数の値は符号が変わっている。

定理 3.2が主張するのは、曲線を固定したときの一意性だけである。曲線を取り替えたときに同じ芽に到達することは主張しない。ここで見たのは、その主張が実際に成り立たない例である。

例 4.2 (対数を円周に沿って延長する). 同じ曲線$\gamma(t)=e^{2\pi it}$に沿って$\operatorname{Log}$自身を延長する。例 4.1の記号で$(g_{t},V_{t})=(\ell_{t},U_{t})$とおくと、この族も定義 3.1の条件を満たす。実際、同例で示したのは、$|s-t|<\delta_{t}$のとき$\ell_{s}$と$\ell_{t}$が開円板$D(\gamma(s),\rho)\subseteq U_{t}\cap U_{s}$の上で一致することであった。$g_{0}=\operatorname{Log}$であり$g_{0}(1)=0$、$g_{1}(1)=\ell_{1}(1)=2\pi i$である。一周するごとに値が$2\pi i$だけ増える。

この現象は§E5.3 命題 2.6の言い換えである。同命題は、原点を中心とする円周を含む領域の上に対数の枝が存在しないことを主張する。ここでは単位円周の場合を、上の延長と定理 3.2から導いてみる。

$D$を単位円周を含む領域とし、$\ell$を$D$の上の対数の枝と仮定する。$D\cap D_{0}$は$1$を含む開集合であるから、$D(1,\rho_{0})\subseteq D\cap D_{0}$を満たす$\rho_{0}>0$を取ることができる。開円板は§E5.2 命題 4.5により領域であり、$\ell$と$\operatorname{Log}$の$D(1,\rho_{0})$への制限はどちらもその上の対数の枝であるから、§E5.3 命題 2.5により整数$k$が存在して、その上で$\ell-\operatorname{Log}=2\pi ik$である。$\ell$を$\ell-2\pi ik$で取り替えると、取り替えた関数も$D$の上の対数の枝であって、$D(1,\rho_{0})$の上で$\operatorname{Log}$に一致する。

すべての$t\in[0,1]$について$(h_{t},W_{t})=(\ell,D)$と定めると、この定値な関数要素の族は$\gamma$に沿う解析接続である。実際、$D$は単位円周を含むのでどの$t$についても$\gamma(t)\in D$であり、$\delta_{t}=2$と取れば、どの$s\in[0,1]$についても$(h_{s},W_{s})$と$(h_{t},W_{t})$は同じ関数要素であるから$\gamma(s)$において同値である。

$(h_{0},W_{0})=(\ell,D)$と$(g_{0},V_{0})=(\operatorname{Log},D_{0})$は、$D(1,\rho_{0})$の上で一致するので$\gamma(0)=1$において同値である。したがって定理 3.2により$(h_{1},W_{1})$と$(g_{1},V_{1})$は$\gamma(1)=1$において同値であり、とくに$\ell(1)=g_{1}(1)=2\pi i$である。しかし$D(1,\rho_{0})$の上で$\ell=\operatorname{Log}$であるから$\ell(1)=\operatorname{Log}(1)=0$である。$\ell(1)=2\pi i$と$\ell(1)=0$という二つの等式は矛盾する。ゆえに単位円周を含む領域の上に対数の枝は存在しない。