§E10.2絶対連続関数

証明. 絶対連続性の条件を一つの区間$[s,t]$に適用すると、$|t-s|<\delta$から$\|F(t)-F(s)\|<\ep$が従う。従って(1)が成り立つ。

任意の有限区間族に対して

である。$F,G$のそれぞれに$\ep/(2(1+|\alpha|+|\beta|))$を用いて得る二つの$\delta$の小さい方を取ると、右辺は$\ep$未満となる。(2)を得る。

実座標の数を$N$とすると、任意の$z\in\mathbb K^d$について、各実座標の絶対値は$\|z\|$以下であり、$\|z\|$は実座標の絶対値の和以下である。前者から$F$の絶対連続性は各実座標成分の絶対連続性を含意する。逆に、各実座標成分の絶対連続性に$\ep/N$を適用し、得られた有限個の$\delta$の最小値を取ると、後者の評価から$F$は絶対連続である。(3)が従う。

$L\geq0$が$F$の Lipschitz 定数ならば、増分のノルムの和は$L\sum_j(t_j-s_j)$以下である。$\delta=\ep/(1+L)$とすれば(4)を得る。▨

証明. 有限値の代表元$g$を取り、$q(t)=\|g(t)\|$とおく。関数列$q\mathbf1_{\{q>n\}}$は零へ点ごとに収束し、可積分関数$q$に支配される。§E9.7 定理 3.2により、$M\in\NN$を十分大きく取ると

となる。$\delta=\ep/(2M)$とすれば、$\lambda_1(E)<\delta$に対して

であり、(1)を得る。

$z=\int_Eg(t)\,dt$とおく。$z=0$ならば(2)は成り立つ。$z\ne0$ならば、$u=z/\|z\|$とし、積分の線形性§E9.6 定理 3.2を使うと

となる。最後の不等式は Cauchy–Schwarz の不等式と$\|u\|=1$による。実数値の場合も共役をそのまま除いて同じ等式を得る。

内部が互いに交わらない$[s_j,t_j]\subseteq[a,b]$に対して、積分の加法性と(2)から

である。共有する端点は零集合なので最後の等式を妨げない。和集合の測度は区間の長さの和に等しいため、(1)を適用して(3)を得る。▨

証明.$F$の絶対連続性に$\ep=1$を用いて得る$\delta>0$を取り、$[a,b]$を長さがすべて$\delta$未満の$m$個の閉区間に分割する。任意の有限分割へこの$m$個の区間の端点を加えると、三角不等式により増分の絶対値の和は減少しない。加えた分割の各小区間を、固定した$m$個の区間ごとに集める。各集合の区間の長さの和は$\delta$未満なので、対応する増分の絶対値の和は$1$未満である。従って任意の有限分割の和は$m$以下であり、$\operatorname{Var}(F;[a,b])\leq m<\infty$となる。

$a\leq u<v<w\leq b$とする。$[u,w]$の任意の分割へ$v$を加えると、増分の和は$[u,v]$上の全変動と$[v,w]$上の全変動の和以下である。上限を取ると

を得る。逆に、任意の$\eta>0$に対して、二つの区間の全変動をそれぞれ誤差$\eta/2$未満で近似する有限分割を取り、併合する。併合した分割の増分の和は、二つの全変動の和から$\eta$を引いた値より大きい。$\eta\downarrow0$とすれば反対向きの不等式を得る。端点が一致する場合は全変動零の規約から同じ加法性が成り立つ。$u=a$とすれば、主張の$V(t)-V(s)$の等式を得る。分割$\{s,t\}$によって増分の絶対値の評価も従う。

$\ep>0$に対して、$F$の絶対連続性に$\ep/2$を用いて得る$\delta>0$を取る。内部が互いに交わらない$[s_j,t_j]$の長さの和が$\delta$未満であるとする。各$[s_j,t_j]$を任意に有限分割し、全小区間を合わせると、内部は互いに交わらず、長さの総和は変わらない。従って全増分の絶対値の和は$\ep/2$未満である。各有限分割について上限を取ると

を得る。ここで$V$は単調非減少であり、区間数は有限なので、各区間の分割の上限を別々に取ることができる。従って$V$は絶対連続である。

補題 1.2 (2)により$P,Q$は絶対連続である。$s\leq t$に対する$V(t)-V(s)\geq|F(t)-F(s)|$から、$P(t)-P(s)\geq0$と$Q(t)-Q(s)\geq0$を得る。定義式から$P(a)=Q(a)=0$および$F(t)=F(a)+P(t)-Q(t)$が成り立つ。▨

証明.補題 1.2 (1)により$H$は連続であるから、$\widetilde H$は実直線上で連続かつ単調非減少である。§E9.3 定理 7.1により、任意の$s<t$に対して

を満たす Borel 測度$\nu$が存在する。十分大きい$n\in\NN$に対して$[-n,n]$は$[a,b]$を含むので、測度の下からの連続性から

である。任意の$x\in\R$について、測度の上からの連続性と$\widetilde H$の連続性から

を得る。従って、$s<t$ならば$\nu((s,t))=\widetilde H(t)-\widetilde H(s)$である。

$\ep>0$に対して、$H$の絶対連続性に対応する$\delta>0$を取る。写像$r(x)=\min\{b,\max\{a,x\}\}$によって$\widetilde H=H\circ r$と書くことができる。内部が互いに交わらない有限区間族$[s_j,t_j]\subset\R$の長さの和が$\delta$未満ならば、$[r(s_j),r(t_j)]$から一点区間を除いた族も内部が互いに交わらず、長さの和は増えない。従って

となる。

$N\subseteq\R$を Lebesgue 測度零の Borel 集合とする。§E9.4 定理 6.2により、$N\subseteq O$、$\lambda_1(O)<\delta$を満たす開集合$O$が存在する。$O$は互いに素な開区間の高々可算な和である。実際、各点を含む$O$内の開区間をすべて合わせて得る最大開区間は、交わるならば一致し、各最大開区間は有理数を含む。異なる最大開区間に異なる有理数を対応させると、区間の族は高々可算となる。$\lambda_1(O)<\infty$なので、この分解に現れる区間はすべて有界である。分解を$O=\bigcup_j(\alpha_j,\beta_j)$と書くと、任意の有限部分族に対して

となる。可算加法性から$\nu(N)\leq\nu(O)\leq\ep$を得る。$\ep>0$は任意なので$\nu(N)=0$である。従って$\nu$は Borel 集合上の Lebesgue 測度に関して絶対連続である。

$[a,b]$上の Borel 集合族に制限した$\nu$と Lebesgue 測度は、ともに有限正測度である。§E9.15 定理 2.3により、非負可測関数$h$が存在し、任意の Borel 集合$E\subseteq[a,b]$に対して$\nu(E)=\int_Eh(s)\,ds$となる。$\int_a^bh(s)\,ds=\nu([a,b])<\infty$なので$h$はほとんど至る所で有限である。無限値を取る零集合上で$h$を零に替えれば、§E9.6 定理 4.2により等式を保ったまま非負有限値の可積分関数を得る。$a<t\leq b$に対して$E=(a,t]$とすると

である。$t=a$では両辺が零なので、積分表示は$[a,b]$のすべての点で成り立つ。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。実数値の絶対連続関数$F$に補題 2.2を適用し、$F-F(a)=P-Q$と書く。補題 2.3により、非負可積分関数$p,q$が存在して

がすべての$t$で成り立つ。$g=p-q$は可積分であり、積分の線形性から$F(t)=F(a)+\int_a^tg(s)\,ds$を得る。一般の$F:[a,b]\to\mathbb K^d$については、補題 1.2 (3)により各実座標成分が絶対連続である。各実座標成分に得られた密度を合わせて$g$とすると、$\|g\|$は有限個の実成分の絶対値の和以下なので可積分であり、全点のベクトル値積分表示が成り立つ。

(2)$\Rightarrow$(3)を示す。$g$を$[a,b]$の外で零に延長すると、実直線上の可積分関数となる。§E10.1 定理 4.1 (3)により、$F$は$(a,b)$のほとんど至る所で微分可能であり、$F'=g$である。また、補題 1.3 (3)と補題 1.2 (1)により$F$は連続である。導関数を例外零集合上で零とした関数は$g$とほとんど至る所で一致し、Lebesgue 測度の完備性により可測である。§E9.6 定理 4.2により、$F'$は可積分であり、$g$の積分表示を$F'$の積分表示へ替えることができる。

(3)$\Rightarrow$(1)は、可積分関数$F'$に補題 1.3 (3)を適用すれば従う。

任意の積分表示の密度$g$に対して、既に用いた§E10.1 定理 4.1 (3)が$g=F'$をほとんど至る所で与える。従って二つの密度はほとんど至る所で一致する。▨

証明.$F$を局所絶対連続とする。$I$の内部を、内部が全体を覆う可算個の有限閉区間によって覆い、各区間へ定理 2.4を適用する。例えば、端点が有理数で$I$の内部に含まれる閉区間全体を取ればよい。各区間の例外零集合の和も零集合であり、その外では$F'$が定まる。$g=F'$とし、微分が定まらない点および$I$に含まれる端点では$g=0$とおく。

任意の$[a,b]\subseteq I$に主定理を適用して得る可積分密度は、$(a,b)$のほとんど至る所で$g$に一致する。従って$g$は各有限閉区間で可測かつ可積分であり、可算個の区間と高々二つの端点によって$I$を覆うと、$I$上でも可測である。$t_0,t$を端点とする区間の全点積分表示から、主張の式を得る。

逆に主張の積分表示を仮定し、任意の$[a,b]\subseteq I$を取る。積分の加法性から、$t\in[a,b]$に対して$F(t)=F(a)+\int_a^tg(s)\,ds$となる。補題 1.3 (3)により$F|_{[a,b]}$は絶対連続である。微分の等式は定理 2.4から従い、$g=0$の場合には積分表示から$F(t)=F(t_0)$を得る。▨

証明. 証明は演習とする（問題 4.3）。▨

証明.(1)を示す。$[a,b]\subseteq I$を固定する。$F$は連続なので、$K=F([a,b])$は$U$のコンパクト部分集合である。各点$x\in K$の周りに$\tpcl{B(x,2r_x)}\subseteq U$を満たす球を取り、$B(x,r_x)$から$K$の有限部分被覆を選ぶ。選んだ半径の最小値より小さい$\rho>0$を取ると、$K$の閉$\rho$近傍は$U$に含まれる。この閉近傍は有界かつ閉であるからコンパクトである。従って、ある$M\geq0$が存在し、この閉近傍上で$\|D\Phi\|\leq M$となる。

$x,y\in K$が$\|x-y\|<\rho$を満たすならば、線分$[x,y]$はこの近傍に含まれる。§E4.3 定理 2.1により

である。$\ep>0$に対し、$F$の絶対連続性に$\min\{\rho,\ep/(1+M)\}$を適用して$\delta>0$を取る。長さの総和が$\delta$未満の区間族について、各$\|F(t_j)-F(s_j)\|<\rho$であり、

を得る。従って$\Phi\circ F$は$[a,b]$上で絶対連続である。$F$はほとんど至る所で微分可能なので、その各点で§E4.3 定理 1.1を適用すれば微分公式を得る。任意の有限閉区間でこの結論が成り立ち、内部を可算個の区間で覆うと$I$上の結論を得る。

(2)を示す。有限次元の双線形写像$B$は座標表示が有限個の積の和なので、ある$C\geq0$が存在して$\|B(x,y)\|\leq C\|x\|\|y\|$がすべての$x,y$で成り立つ。恒等式

の最後の項は$C\|h\|\|k\|$以下であり、$(h,k)$のノルムについて二次の項である。従って$B$は$C^1$写像であり、$DB(x,y)(h,k)=B(h,y)+B(x,k)$である。補題 1.2 (3)により$(F,G)$は局所絶対連続なので、(1)を$B$と$(F,G)$に適用して結論を得る。▨

証明. 逆数写像$z\mapsto1/z$は$\mathbb K\setminus\{0\}$上で実変数の$C^1$写像である。逆行列の各成分は、余因子の多項式を行列式で割った関数なので、可逆行列の開集合上で$C^1$である。行列式も成分の多項式であり$C^1$である。従って定理 3.1 (1)から、逆数・逆行列・行列式の局所絶対連続性を得る。

$f(1/f)=1$と$AA^{-1}=\id$に定理 3.1 (2)を適用すると、ほとんど至る所で

となる。それぞれ$f$と$A$の逆を用いて整理すると、(1)と(2)の公式を得る。

行列式の列に関する多重線形性を用いると、$A_j(t+h)=A_j(t)+hA_j'(t)+o(h)$の代入で、一次の項は一つの列だけを$A_j'(t)$に替えた行列式の和となる。二つ以上の列の増分を含む項は$o(h)$である。従って(3)の最初の公式が成り立つ。$A(t)$が可逆である点では、$C=A(t)^{-1}A'(t)$とおくと$A_j'(t)=\sum_kA_k(t)C_{kj}$である。第$j$列を$A_j'(t)$に替えた行列式は、他の列と重複する項が消えるので$(\det A(t))C_{jj}$に等しい。$j$について足すと、トレースを用いた公式を得る。▨

証明.$F,G$は有限閉区間上で連続なので有界であり、$F',G'$は可積分である。有限次元の双線形写像の評価$\|B(x,y)\|\leq C\|x\|\|y\|$により、二つの被積分関数は可積分である。定理 3.1 (2)により$B(F,G)$は絶対連続であり、その導関数はほとんど至る所で$B(F',G)+B(F,G')$に一致する。定理 2.4の全点積分表示を両端点に適用して整理すると、最初の等式を得る。複素共役は実線形写像なので、定理 3.1 (1)により$\overline g$は絶対連続であり、$(\overline g)'=\overline{g'}$である。$B(z,w)=zw$と関数$f,\overline g$に最初の等式を適用して、複素共役を含む等式を得る。▨

証明. 証明は演習とする（問題 4.4）。▨