放物線と直線が囲む面積の公式 | 受験微積分

1 差の関数を因数分解した形で書く

二つのグラフが囲む部分の面積は、区間の上で上にある関数から下にある関数を引き、その差を積分して求めます。放物線と直線の場合、この差は2次関数であり、交点の $x$ 座標はその2次式の零点にあたります。そこで、差の関数を展開した形ではなく、零点による因数分解の形で書きます。

定理 1.1 (放物線と直線の差). $a \ne 0$ とする。放物線 $y = ax^2 + bx + c$ と直線 $y = mx + n$ が異なる2点で交わり、その交点の $x$ 座標を $\alpha$ 、 $\beta$ （ $\alpha < \beta$ ）とする。このとき、すべての実数 $x$ について

(ax^2 + bx + c) - (mx + n) = a(x-\alpha)(x-\beta)

が成り立つ。

証明. $h(x)=(ax^2+bx+c)-(mx+n)$ と置く。 $h(x)$ は $x$ の2次式であり、 $x^2$ の係数は $a$ である。二つのグラフが $x=\alpha$ と $x=\beta$ で交わることから、 $h(\alpha)=h(\beta)=0$ である。 $\alpha \ne \beta$ なので、因数定理により $h(x)$ は $(x-\alpha)(x-\beta)$ で割り切れる。 $h(x)$ と $(x-\alpha)(x-\beta)$ はともに 2次式なので、商は定数である。 $x^2$ の係数を比べるとその定数は $a$ であり、 $h(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)$ を得る。▨

この形が得られる根拠は、交点が2個あることと、 $a \ne 0$ であることの二つだけです。放物線の位置や直線の傾きは、 $\alpha$ と $\beta$ の値には効きますが、因数分解の形には効きません。

2 因数分解した形のまま積分する

$a(x-\alpha)(x-\beta)$ を展開してから積分すると、原始関数へ $\alpha$ と $\beta$ を代入した値の差を整理する計算が残ります。因数分解した形のまま積分すると、次の一つの計算だけで済みます。

定理 2.1 (因数の積の定積分). 実数 $\alpha$ 、 $\beta$ について

\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)\,dx = -\frac{(\beta-\alpha)^3}{6}

が成り立つ。

証明. $L = \beta - \alpha$ と置く。 $x - \beta = (x-\alpha) - L$ なので、被積分関数は

(x-\alpha)(x-\beta) = (x-\alpha)^2 - L(x-\alpha)

と書き直すことができる。 $(x-\alpha)^2$ の原始関数の一つは $\dfrac{(x-\alpha)^3}{3}$ 、 $(x-\alpha)$ の原始関数の一つは $\dfrac{(x-\alpha)^2}{2}$ である。 $x=\alpha$ ではどちらも値 $0$ 、 $x=\beta$ ではそれぞれ $\dfrac{L^3}{3}$ 、 $\dfrac{L^2}{2}$ をとるので

\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)\,dx = \frac{L^3}{3} - L \cdot \frac{L^2}{2} = -\frac{L^3}{6}

となる。 $L = \beta-\alpha$ を戻すと結論を得る。▨

この計算では $\alpha < \beta$ を使っていないので、上の等式は $\alpha$ と $\beta$ の大小によらず成り立ちます。面積を求めるときには、ここへ絶対値をとる操作が加わります。

公式 2.2 (放物線と直線が囲む面積). $a \ne 0$ とする。放物線 $y = ax^2+bx+c$ と直線 $y = mx+n$ が異なる2点で交わり、その交点の $x$ 座標を $\alpha$ 、 $\beta$ （ $\alpha < \beta$ ）とする。このとき、二つのグラフが $\alpha \le x \le \beta$ の範囲で囲む部分の面積 $S$ は

S = \frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3

である。

証明. $\alpha < x < \beta$ の範囲では $x-\alpha > 0$ かつ $x-\beta < 0$ なので、定理 1.1の右辺 $a(x-\alpha)(x-\beta)$ は、 $a>0$ のとき負、 $a<0$ のとき正である。すなわち、この範囲では二つのグラフの上下関係が入れ替わらず、 $a>0$ のときは直線が上、 $a<0$ のときは放物線が上にある。したがって、囲む部分の面積は

S = \int_{\alpha}^{\beta} \bigl| a(x-\alpha)(x-\beta) \bigr|\,dx = |a| \left| \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)\,dx \right|

である。二つ目の等号では、被積分関数が積分区間の上で符号を変えないことを用いた。定理 2.1により右端の積分は $-\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}$ であり、 $\beta - \alpha > 0$ なのでその絶対値は $\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}$ である。▨

導出のどこで何を用いたかを整理すると、公式が成り立つ条件を読み取ることができます。

注意 2.3 (この公式を用いることができる条件). 次の三つがそろっているときに限り、上の公式は囲む部分の面積を与える。

2次の係数 $a$ が $0$ でない。 $a=0$ のときは二つのグラフがともに直線であり、定理 1.1の因数分解が成り立たない。
二つのグラフが異なる2点で交わる。 $ax^2+bx+c = mx+n$ を整理した2次方程式 $ax^2 + (b-m)x + (c-n) = 0$ の判別式 $D = (b-m)^2 - 4a(c-n)$ が正であることが、これと同値である。 $D = 0$ のとき二つのグラフは接し、囲む部分がない。
積分区間の両端が、ともに交点である。区間の端が交点でない場合、定理 2.1の計算は成り立たず、面積は個別に積分して求める。

また、公式に現れるのは $a$ ではなく $|a|$ であり、 $\beta-\alpha$ は大きいほうの交点から小さいほうの交点を引いた正の数である。

具体的な数で確かめます。

例 2.4 (放物線 $y=x^2$ と直線 $y=x+2$ ). 交点の $x$ 座標は $x^2 = x+2$ 、すなわち $(x+1)(x-2)=0$ の解なので、 $\alpha=-1$ 、 $\beta=2$ である。 $a=1$ なので、公式により

S = \frac{1}{6}\{2-(-1)\}^3 = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}

である。展開して直接積分しても

\int_{-1}^{2} \{(x+2) - x^2\}\,dx = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{9}{2}

となり、同じ値が得られる。

3 3次関数と接線が囲む部分

同じ筋道は、差の関数が因数分解した形で書き表される別の場合にも通ります。3次関数のグラフとその接線の差がその例です。ここでは、3次関数のグラフが1点に関して点対称であることを先に確かめ、その対称性によって式を簡単な形に直してから差を計算します。

定理 3.1 (3次関数のグラフの点対称性). $a \ne 0$ とし、 $f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$ 、 $m = -\dfrac{b}{3a}$ とする。このとき、ある実数 $p$ が存在して、すべての実数 $t$ について

f(m+t) = at^3 + pt + f(m)

が成り立つ。とくに、すべての実数 $t$ について $f(m+t) + f(m-t) = 2f(m)$ が成り立ち、 $y=f(x)$ のグラフは点 $(m, f(m))$ に関して点対称である。

証明. $f(m+t)$ を $t$ について展開すると

f(m+t) = at^3 + (3am+b)t^2 + (3am^2+2bm+c)t + f(m)

である。 $m = -\dfrac{b}{3a}$ から $3am+b = 0$ なので、 $t^2$ の項が消える。 $p = 3am^2+2bm+c$ と置くと、はじめの等式が得られる。この表示で $t$ を $-t$ に変えると $f(m-t) = -at^3 - pt + f(m)$ となるので、二つを足して $f(m+t)+f(m-t) = 2f(m)$ を得る。この等式は、点 $(m+t, f(m+t))$ と点 $(m-t, f(m-t))$ の中点が、 $t$ によらず $(m, f(m))$ であることを述べている。▨

注意 3.2 (対称の中心は変曲点である). $f''(x) = 6ax + 2b$ なので、 $f''(x)=0$ となる $x$ は $m = -\dfrac{b}{3a}$ に限られ、 $f''$ の符号は $x=m$ の前後で変わる。したがって点 $(m, f(m))$ はグラフの凹凸が変わる点、すなわち変曲点である。高次導関数による凹凸の判定は「関数の性質」が扱う。

点対称性が与える表示 $f(m+t) = at^3+pt+f(m)$ には $t^2$ の項がありません。この形で接線との差をとると、差が因数分解した形のまま出てきます。

定理 3.3 (3次関数と接線の差). $a \ne 0$ とし、 $f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$ 、 $m = -\dfrac{b}{3a}$ とする。 $\alpha$ を実数とし、点 $(\alpha, f(\alpha))$ における $y=f(x)$ の接線を $y=g(x)$ とする。 $\beta = 3m - 2\alpha$ と置くと、すべての実数 $x$ について

f(x) - g(x) = a(x-\alpha)^2(x-\beta)

が成り立つ。 $\alpha \ne m$ のとき $\beta \ne \alpha$ であり、このとき接線は接点のほかにもう1点 $(\beta, f(\beta))$ でグラフと交わる。

証明. $x = m+t$ 、 $s = \alpha - m$ と置くと、定理 3.1により

f(m+t) = at^3+pt+f(m), \qquad f'(m+t) = 3at^2+p

である。接点は $t=s$ にあたるので、接線は

g(m+t) = f(m+s) + f'(m+s)(t-s) = as^3+ps+f(m) + (3as^2+p)(t-s)

と書ける。差をとると $p$ を含む項が打ち消し合い、

f(m+t) - g(m+t) = a(t^3-s^3) - 3as^2(t-s) = a(t-s)(t^2+st+s^2-3s^2) = a(t-s)(t^2+st-2s^2)

となる。 $t^2+st-2s^2 = (t-s)(t+2s)$ なので、 $f(m+t)-g(m+t) = a(t-s)^2(t+2s)$ である。ここで $t = x-m$ 、 $s = \alpha-m$ を戻すと $t-s = x-\alpha$ であり、

t+2s = (x-m) + 2(\alpha-m) = x - (3m-2\alpha) = x - \beta

なので、結論の等式を得る。また $\beta - \alpha = 3m-3\alpha = -3s$ なので、 $s \ne 0$ ならば $\beta \ne \alpha$ である。▨

放物線の場合と同じく、因数分解した形のまま積分します。指数が一つ上がるだけで、計算の手順は同じです。

定理 3.4 (2乗の因数を含む積の定積分). 実数 $\alpha$ 、 $\beta$ について

\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx = -\frac{(\beta-\alpha)^4}{12}

が成り立つ。

証明. $L = \beta-\alpha$ と置き、 $x-\beta = (x-\alpha)-L$ を用いると、被積分関数は $(x-\alpha)^3 - L(x-\alpha)^2$ と書き直すことができる。 $x=\alpha$ でともに値 $0$ をとる原始関数 $\dfrac{(x-\alpha)^4}{4}$ と $\dfrac{(x-\alpha)^3}{3}$ を用いて

\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx = \frac{L^4}{4} - L\cdot\frac{L^3}{3} = -\frac{L^4}{12}

となる。 $L^4 = (\beta-\alpha)^4$ なので結論を得る。▨

公式 3.5 (3次関数と接線が囲む面積). $a \ne 0$ とし、 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 、 $m=-\dfrac{b}{3a}$ とする。 $\alpha \ne m$ とし、点 $(\alpha, f(\alpha))$ における接線を $y=g(x)$ 、 $\beta = 3m-2\alpha$ とする。このとき、グラフ $y=f(x)$ と接線 $y=g(x)$ が、 $\alpha$ と $\beta$ を両端とする区間で囲む部分の面積 $S$ は

S = \frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4

である。

証明.定理 3.3により $f(x)-g(x) = a(x-\alpha)^2(x-\beta)$ である。 $\alpha$ と $\beta$ を両端とする区間の内部では $(x-\alpha)^2 > 0$ であり、 $x-\beta$ は符号を変えない。したがって $f-g$ はこの区間の内部で符号を変えず、面積は

S = \left| \int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx \right|

である。定理 3.4によりこの値は $|a| \cdot \dfrac{(\beta-\alpha)^4}{12}$ である。指数が偶数なので、 $\alpha$ と $\beta$ のどちらが大きいかによらず、この式は同じ値を与える。▨

例 3.6 ( $f(x)=x^3-3x$ と $x=1$ における接線). $b=0$ なので $m=0$ である。 $\alpha=1$ とすると $\beta = 3\cdot 0 - 2\cdot 1 = -2$ である。 $f'(x)=3x^2-3$ から $f'(1)=0$ 、 $f(1)=-2$ なので、接線は $y=-2$ である。実際に差をとると

f(x) - (-2) = x^3-3x+2 = (x-1)^2(x+2)

となり、定理 3.3の形になっている。公式により

S = \frac{1}{12}(-2-1)^4 = \frac{81}{12} = \frac{27}{4}

である。直接積分しても、 $-2 \le x \le 1$ で $(x-1)^2(x+2) \ge 0$ なので

\int_{-2}^{1} (x^3-3x+2)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x\right]_{-2}^{1} = \frac{3}{4} - (-6) = \frac{27}{4}

となり、同じ値が得られる。

二つの公式に共通しているのは、差の関数が零点による因数分解の形で書き表されることです。その形が分かれば、積分は定理 2.1または定理 3.4の一度の計算で済み、面積は最高次の係数と零点の差だけで定まります。逆に、差の関数がこの形をとらない場合には、面積は個別に積分して求めることになります。

4 つまずいたら

面積の式には $a$ ではなく $|a|$ を用いてください。 $a<0$ のとき $\dfrac{a}{6}(\beta-\alpha)^3$ は負の値になり、面積になりません。
放物線と直線の場合、 $\beta-\alpha$ は大きいほうの交点から小さいほうを引いた正の数です。 3次関数と接線の場合は4乗なので、 $\alpha$ と $\beta$ の順序によって値が変わりません。
積分区間の一方の端が交点でない場合には、これらの公式は使えません（注意 2.3）。放物線、直線、および直線 $x=k$ で囲まれた部分のように、区間の端が交点でない図形では、差の関数を直接積分してください。
交点の $x$ 座標が無理数になる場合は、 $\alpha$ と $\beta$ を個別に求めなくても差だけが分かれば足ります。 $ax^2+(b-m)x+(c-n)=0$ の判別式を $D$ とすると $\beta-\alpha = \dfrac{\sqrt{D}}{|a|}$ なので、面積は $\dfrac{D\sqrt{D}}{6a^2}$ です。
3次関数と接線の場合、 $\beta = 3m-2\alpha$ は接点と変曲点の $x$ 座標から定まります。接点が変曲点そのものであるとき（ $\alpha = m$ ）は $\beta = \alpha$ となり、差が $a(x-m)^3$ になります。このとき接線は変曲点でグラフを横切るので、二つが囲む部分がありません。

§C4.1放物線と直線が囲む面積の公式

1 差の関数を因数分解した形で書く

2 因数分解した形のまま積分する

3 3次関数と接線が囲む部分

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