§C4.7チェビシェフ多項式

証明. 加法定理により

です。二つの式を足すと、$\sin n\theta\,\sin\theta$の項が打ち消し合って

となります。$\cos(n-1)\theta$を右辺へ移すと、結論を得ます。▨

証明.$n$についての数学的帰納法で示します。連続する二つの$n$を仮定する形をとります。

$n=0$のとき、左辺は$\cos 0 = 1$、右辺は$T_0(\cos\theta) = 1$で一致します。$n=1$のとき、左辺は$\cos\theta$、右辺は$T_1(\cos\theta) = \cos\theta$で一致します。

$1$以上の整数$n$について、$\cos(n-1)\theta = T_{n-1}(\cos\theta)$と$\cos n\theta = T_n(\cos\theta)$がすべての実数$\theta$で成り立つと仮定します。定理 1.1と定義 1.2により

となり、$n+1$の場合が成り立ちます。

数学的帰納法により、$0$以上のすべての整数$n$について結論が成り立ちます。▨

証明.$n$についての数学的帰納法で示します。

$n=1$のとき、$T_1(x)=x$は1次であり、$x^1$の係数は$1 = 2^0$です。$n=2$のとき、$T_2(x)=2x^2-1$は2次であり、$x^2$の係数は$2 = 2^1$です。

$2$以上の整数$n$について、$T_{n-1}$が$n-1$次、$T_n$が$n$次で$x^n$の係数が$2^{n-1}$であると仮定します。定義 1.2により$T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x) - T_{n-1}(x)$です。$2x\,T_n(x)$は$n+1$次であり、$x^{n+1}$の係数は$2\cdot 2^{n-1} = 2^n$です。$T_{n-1}$の次数は$n-1$であり、$n-1 < n+1$なので、引いても$x^{n+1}$の係数は変わりません。したがって$T_{n+1}$は$n+1$次であり、$x^{n+1}$の係数は$2^n$です。

数学的帰納法により、$1$以上のすべての整数$n$について結論が成り立ちます。▨

証明.$\theta_j = \dfrac{(2j+1)\pi}{2n}$と置きます。$j$が$0$から$n-1$まで動くとき、$2j+1$は$1$から$2n-1$までの奇数を動くので$0 < \theta_j < \pi$です。$\cos$は閉区間$[0,\pi]$で単調減少なので、$\theta_0 < \theta_1 < \cdots < \theta_{n-1}$から$x_0 > x_1 > \cdots > x_{n-1}$となり、$n$個の値は相異なります。また$0<\theta_j<\pi$から$-1 < x_j < 1$です。

$n\theta_j = \dfrac{(2j+1)\pi}{2}$は$\dfrac{\pi}{2}$の奇数倍なので$\cos n\theta_j = 0$です。定理 1.3により$T_n(x_j) = \cos n\theta_j = 0$であり、$x_j$は$T_n$の零点です。

定理 2.1により$T_n$は$n$次なので、零点は多くとも$n$個です。いま相異なる零点を$n$個見つけたので、これがすべてです。$n$次の多項式は、最高次の係数と$n$個の零点によって$T_n(x) = 2^{n-1}\prod_{j=0}^{n-1}(x-x_j)$と分解します。▨

証明.$u = 2\cos\theta$と置きます。定理 1.1の両辺を2倍すると

です。この式は、$C_n$を定める漸化式で$C_n(u)$を$2\cos n\theta$に置き換えたものと同じ形です。$n=0$では$C_0(u)=2=2\cos 0$、$n=1$では$C_1(u)=u=2\cos\theta$なので、定理 1.3と同じ形の数学的帰納法により、すべての$n$で$2\cos n\theta = C_n(2\cos\theta)$が成り立ちます。

次数と最高次の係数も、$n$についての数学的帰納法で示します。$C_1(u)=u$は1次で係数は$1$、$C_2(u) = u\cdot u - 2 = u^2-2$は2次で係数は$1$です。$C_{n-1}$が$n-1$次、$C_n$が$n$次で$u^n$の係数が$1$であると仮定すると、$u\,C_n(u)$は$n+1$次で$u^{n+1}$の係数が$1$であり、$C_{n-1}$の次数$n-1$は$n+1$より小さいので、$C_{n+1}$は$n+1$次で$u^{n+1}$の係数は$1$です。▨

証明. 実数$\theta$を任意にとります。定理 1.3を2回用いると

です。$\theta$が実数全体を動くとき$\cos\theta$は$-1$以上$1$以下のすべての値をとるので、二つの多項式$T_m\circ T_n$と$T_{mn}$は無限個の$x$の値で同じ値をとります。二つの多項式が無限個の値で一致すればそれらは多項式として等しいので、$T_m\circ T_n = T_{mn}$です。この等式で、外側の添字を$n$、内側の添字を$2$にとると$T_n\bigl(T_2(x)\bigr) = T_{2n}(x)$となり、$y = T_2(x) = 2x^2-1$についての主張を得ます。▨

証明.$-1 < a < b < 1$とし、$a = \cos\alpha$、$b = \cos\beta$を満たす$\alpha$、$\beta$を$0 < \beta < \alpha < \pi$の範囲でとります。$\cos$は$[0,\pi]$で単調減少なので、このような$\alpha$、$\beta$はただ一組定まります。

$x = \cos\theta$と置くと$\dfrac{dx}{d\theta} = -\sin\theta$です。$0 \le \theta \le \pi$では$\sin\theta \ge 0$なので$\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\cos^2\theta} = \sin\theta$であり、$\beta \le \theta \le \alpha$では$\sin\theta > 0$です。定理 1.3により$T_m(\cos\theta) = \cos m\theta$、$T_n(\cos\theta)=\cos n\theta$なので

です。$\cos m\theta\,\cos n\theta$は閉区間$[0,\pi]$で連続なので、その定積分は積分の端点について連続に変わります。$b \to 1-0$は$\beta \to +0$にあたり、$a \to -1+0$は$\alpha \to \pi-0$にあたるので、$a$と$b$をそれぞれ独立に動かした二つの極限はともに存在し、その和は$\displaystyle\int_0^{\pi}\cos m\theta\,\cos n\theta\,d\theta$です。

積を和へ直すと$\cos m\theta\,\cos n\theta = \dfrac{1}{2}\bigl(\cos(m+n)\theta + \cos(m-n)\theta\bigr)$です。$0$でない整数$k$について$\displaystyle\int_0^{\pi}\cos k\theta\,d\theta = \left[\frac{\sin k\theta}{k}\right]_0^{\pi} = 0$であり、$k=0$については$\displaystyle\int_0^{\pi}1\,d\theta = \pi$です。

$m \ne n$のときは$m-n \ne 0$であり、$m$と$n$の少なくとも一方が$0$でないので$m+n \ne 0$です。したがって積分は$0$です。$m=n\ge 1$のときは$m-n=0$、$m+n=2m\ne 0$なので積分は$\dfrac{1}{2}\pi = \dfrac{\pi}{2}$です。$m=n=0$のときは$m+n = m-n = 0$なので積分は$\dfrac{1}{2}(\pi+\pi) = \pi$です。▨