§C4.20ロジスティック方程式

証明.$y(t)=0$（すべての$t$について）とすると$y'(t)=0$であり、右辺も$k\cdot 0\cdot\left(1-\dfrac{0}{K}\right) = 0$なので、方程式が成り立ちます。$y(t)=K$とすると$y'(t)=0$であり、右辺は$k\cdot K\cdot\left(1-\dfrac{K}{K}\right) = 0$なので、やはり方程式が成り立ちます。▨

証明. 右辺を通分すると

となります。▨

証明. 方程式を$y'(t) = \dfrac{k}{K}y(t)\{K-y(t)\}$と書き直します。仮定により$y(t)>0$、$K-y(t)>0$なので、両辺を$y(t)\{K-y(t)\}$で割ることができ、定理 2.1により

です。両辺に$K$を掛けて$t$について積分します。$y(t)>0$なので$\dfrac{y'(t)}{y(t)}$の原始関数の一つは$\log y(t)$であり、$K-y(t)>0$なので$\dfrac{y'(t)}{K-y(t)}$の原始関数の一つは$-\log\{K-y(t)\}$です。したがって、ある定数$c$について

です。両辺の指数をとると、$B = e^{c} > 0$と置いて

となります。この式を$y(t)$について解きます。$y(t) = Be^{kt}\{K-y(t)\}$から$y(t)\{1+Be^{kt}\} = KBe^{kt}$であり、$1+Be^{kt}>0$なので

です。$A = \dfrac1B > 0$と置くと結論を得ます。▨

証明.$A = \dfrac{K-y_0}{y_0}$と置くと$A>0$であり、分母と分子を$y_0$で割ると$y(t) = \dfrac{K}{1+Ae^{-kt}}$です。$A>0$、$e^{-kt}>0$なので分母は$1$より大きく、$0<y(t)<K$が成り立ちます。とくに分母は$0$にならないので、この関数は実数全体で定義され、何回でも微分することができます。$t=0$とすると$y(0) = \dfrac{K}{1+A} = \dfrac{Ky_0}{y_0+(K-y_0)} = y_0$です。

方程式を満たすことを確かめます。$u(t) = 1+Ae^{-kt}$と置くと$u'(t) = -kAe^{-kt}$であり、

です。一方

であり、$u(t)-1 = Ae^{-kt}$なので、二つは一致します。▨

証明. 1を示します。公式 2.3により$0<y(t)<K$なので$y'(t) = \dfrac{k}{K}y(t)\{K-y(t)\} > 0$であり、$y$は狭義単調増加です。$y(t) = \dfrac{K}{1+Ae^{-kt}}$において、$t\to-\infty$のとき$e^{-kt}\to\infty$なので分母は$\infty$へ向かい$y(t)\to0$、$t\to\infty$のとき$e^{-kt}\to0$なので分母は$1$へ向かい$y(t)\to K$です。

2を示します。$y' = ky-\dfrac{k}{K}y^2$の両辺を$t$で微分すると

です。$y'>0$、$k>0$なので$y''$の符号は$1-\dfrac{2y}{K}$の符号、すなわち$y$と$\dfrac{K}{2}$の大小で決まります。$y(t)=\dfrac{K}{2}$は$1+Ae^{-kt}=2$、すなわち$Ae^{-kt}=1$と同値であり、これを満たす$t$は$t_1 = \dfrac1k\log A$ただ一つです。$y$は狭義単調増加なので、$t<t_1$では$y(t)<\dfrac{K}{2}$で$y''(t)>0$、$t>t_1$では$y(t)>\dfrac{K}{2}$で$y''(t)<0$です。

3を示します。2により$y'$は$t<t_1$で増加し$t>t_1$で減少するので、$t=t_1$で最大値をとります。その値は$y(t_1)=\dfrac{K}{2}$を$y'=\dfrac{k}{K}y(K-y)$へ代入して$\dfrac{k}{K}\cdot\dfrac{K}{2}\cdot\dfrac{K}{2} = \dfrac{kK}{4}$です。▨

証明. 第一の等式について、

です。$t\to-\infty$のとき$e^{kt}\to0$なので、この値は$\dfrac{K}{A}$へ収束します。

第二の等式について、

なので

です。$t\to\infty$のとき$e^{-kt}\to0$なので、この値は$KA$へ収束します。▨