単振動と2階の微分方程式 | 受験微積分

1 方程式と、三角関数による解

定義 1.1 (単振動の方程式). $\omega > 0$ とする。実数全体で定義され2回微分可能な関数 $x$ についての条件

x''(t) = -\omega^2 x(t) \qquad (\text{すべての実数 } t \text{ について})

を単振動の方程式といい、この条件を満たす関数を単振動の方程式の解という。

$\cos$ と $\sin$ は、2回微分すると符号が変わってもとの形に戻ります。この性質から、解が一つ得られます。

定理 1.2 (三角関数の重ね合わせが解であること). $\omega>0$ とし、 $A$ 、 $B$ を実数とする。このとき

x(t) = A\cos\omega t + B\sin\omega t

は単振動の方程式の解である。

証明. $x$ は実数全体で何回でも微分することができます。合成関数の微分により

x'(t) = -A\omega\sin\omega t + B\omega\cos\omega t, \qquad x''(t) = -A\omega^2\cos\omega t - B\omega^2\sin\omega t

です。第二の式の右辺は $-\omega^2(A\cos\omega t + B\sin\omega t) = -\omega^2 x(t)$ に等しいので、 $x$ は単振動の方程式を満たします。▨

代入によって確かめたのは、この形の関数が解であることだけです。この形以外に解がないかどうかは、まだ分かりません。それを決めるために、解が満たす別の関係式を用意します。

2 速度の2乗と位置の2乗の重みつきの和

定理 2.1 (保存される量). $x$ を単振動の方程式の解とし、

E(t) = \{x'(t)\}^2 + \omega^2\{x(t)\}^2

と置く。このとき $E$ は定数関数である。

証明. $x$ は2回微分可能なので $E$ は微分可能で、積の微分と合成関数の微分により

E'(t) = 2x'(t)x''(t) + 2\omega^2 x(t)x'(t)

です。 $x$ は解なので $x''(t) = -\omega^2 x(t)$ であり、これを代入すると

E'(t) = 2x'(t)\bigl\{-\omega^2 x(t)\bigr\} + 2\omega^2 x(t)x'(t) = 0

となります。導関数が実数全体で恒等的に $0$ である関数は定数関数なので、 $E$ は定数関数です。▨

$E$ は、速度にあたる $x'$ の2乗と、位置にあたる $x$ の2乗に重み $\omega^2$ を付けたものとの和です。この量が時間によらないことから、解の大きさに上からの評価が付きます。

定理 2.2 (解は有界である). $x$ を単振動の方程式の解とし、 $E$ を定理 2.1の定数とする。このとき、すべての実数 $t$ について

|x(t)| \le \frac{\sqrt{E}}{\omega}, \qquad |x'(t)| \le \sqrt{E}

が成り立つ。

証明. $\{x'(t)\}^2 \ge 0$ なので $\omega^2\{x(t)\}^2 \le E$ です。 $\omega>0$ なので両辺を $\omega^2$ で割って平方根をとると、第一の不等式を得ます。同じく $\omega^2\{x(t)\}^2 \ge 0$ から $\{x'(t)\}^2 \le E$ となり、第二の不等式を得ます。▨

3 初期条件によって解が定まる

保存される量は、二つの解の差についても定数です。この事実から、 $t=0$ における位置と速度が解を決めることが従います。

定理 3.1 (初期条件による解の決定). $\omega>0$ とし、 $x_0$ 、 $v_0$ を実数とする。単振動の方程式の解で $x(0)=x_0$ かつ $x'(0)=v_0$ を満たすものは

x(t) = x_0\cos\omega t + \frac{v_0}{\omega}\sin\omega t

ただ一つである。

証明. まず、この関数が条件を満たすことを確かめます。定理 1.2で $A=x_0$ 、 $B=\dfrac{v_0}{\omega}$ とすると解であり、 $x(0) = x_0$ 、 $x'(0) = -x_0\omega\sin 0 + \dfrac{v_0}{\omega}\omega\cos 0 = v_0$ です。

次に、条件を満たす解が二つ以下であることを示します。 $x$ と $y$ をともに解とし、 $x(0)=y(0)=x_0$ 、 $x'(0)=y'(0)=v_0$ とします。 $u = x-y$ と置くと、 $u$ は2回微分可能で

u''(t) = x''(t)-y''(t) = -\omega^2 x(t) + \omega^2 y(t) = -\omega^2 u(t)

なので、 $u$ も単振動の方程式の解です。 $u(0)=0$ 、 $u'(0)=0$ なので、 $u$ について定理 2.1の定数は

E_u = \{u'(0)\}^2 + \omega^2\{u(0)\}^2 = 0

です。したがってすべての $t$ について $\{u'(t)\}^2 + \omega^2\{u(t)\}^2 = 0$ であり、左辺は $0$ 以上の二つの数の和なので、両方が $0$ です。 $\omega>0$ から $u(t)=0$ であり、 $x=y$ です。▨

注意 3.2 (すべての解がこの形である). $x$ を単振動の方程式の任意の解とし、 $x_0 = x(0)$ 、 $v_0 = x'(0)$ と置くと、定理 3.1により $x(t) = x_0\cos\omega t + \dfrac{v_0}{\omega}\sin\omega t$ である。すなわち、単振動の方程式の解の全体は、 $A\cos\omega t + B\sin\omega t$ （ $A$ 、 $B$ は実数）の形の関数の全体に一致する。本記事は、この事実を保存される量から導いた。線形の微分方程式について一般解を系統的に構成する方法は「常微分方程式」が扱う。

4 振幅と周期

解を一つの三角関数にまとめると、保存される量が振幅と結び付きます。

公式 4.1 (振幅と位相による表示). $A$ 、 $B$ を実数とし、 $(A,B) \ne (0,0)$ とする。 $C = \sqrt{A^2+B^2}$ と置くと、ある実数 $\varphi$ が存在して、すべての実数 $t$ について

A\cos\omega t + B\sin\omega t = C\cos(\omega t - \varphi)

が成り立つ。 $C$ をこの解の振幅という。

証明. $C>0$ であり、 $\left(\dfrac{A}{C}\right)^2 + \left(\dfrac{B}{C}\right)^2 = 1$ なので、 $\cos\varphi = \dfrac{A}{C}$ 、 $\sin\varphi = \dfrac{B}{C}$ を満たす実数 $\varphi$ が存在します。余弦の加法定理により

C\cos(\omega t-\varphi) = C(\cos\omega t\cos\varphi + \sin\omega t\sin\varphi) = A\cos\omega t + B\sin\omega t

となります。▨

定理 4.2 (保存される量と振幅・周期の関係). $x$ を単振動の方程式の解とし、 $x(0)=x_0$ 、 $x'(0)=v_0$ 、 $(x_0,v_0)\ne(0,0)$ とする。このとき定理 2.1の定数は $E = v_0^2 + \omega^2 x_0^2$ であり、この解の振幅 $C$ は

C = \frac{\sqrt{E}}{\omega}

である。また $x$ は周期 $\dfrac{2\pi}{\omega}$ をもつ。

証明. $E$ の値は $t=0$ における値 $\{x'(0)\}^2+\omega^2\{x(0)\}^2 = v_0^2+\omega^2 x_0^2$ です。定理 3.1により $A = x_0$ 、 $B = \dfrac{v_0}{\omega}$ なので公式 4.1の $C$ は

C = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}} = \frac{\sqrt{\omega^2 x_0^2 + v_0^2}}{\omega} = \frac{\sqrt{E}}{\omega}

です。周期については、 $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$ と置くと $\omega(t+T)-\varphi = (\omega t-\varphi)+2\pi$ であり、 $\cos$ は周期 $2\pi$ をもつので $x(t+T) = x(t)$ となります。▨

定理 2.2が与えた上からの評価 $\dfrac{\sqrt{E}}{\omega}$ は、振幅そのものです。すなわち、この評価には改善の余地がありません。

例 4.3 (初期条件から解を定める). $\omega = 2$ 、 $x(0)=1$ 、 $x'(0)=-4$ とします。定理 3.1により

x(t) = \cos 2t + \frac{-4}{2}\sin 2t = \cos 2t - 2\sin 2t

です。保存される量は $E = (-4)^2 + 2^2\cdot 1^2 = 20$ であり、振幅は $\dfrac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt5$ 、周期は $\dfrac{2\pi}{2} = \pi$ です。

検算として、 $E$ を任意の $t$ で計算します。 $x'(t) = -2\sin 2t - 4\cos 2t$ なので

\{x'(t)\}^2 + 4\{x(t)\}^2 = (2\sin 2t + 4\cos 2t)^2 + 4(\cos 2t - 2\sin 2t)^2

です。展開すると $\sin 2t\cos 2t$ を含む項が打ち消し合い、 $(4+16)\sin^2 2t + (16+4)\cos^2 2t = 20$ となります。

5 符号が逆である場合

注意 5.1 ( $x'' = k^2 x$ との違い). $k>0$ とし、条件 $x''(t) = k^2 x(t)$ を考える。この場合も $F(t) = \{x'(t)\}^2 - k^2\{x(t)\}^2$ が定数であることが、定理 2.1と同じ計算で分かる。しかし $F$ は二つの2乗の差なので、 $F$ が一定であっても $|x(t)|$ に上からの評価は付かない。実際、 $x(t) = e^{kt}$ はこの条件を満たし、 $F(t) = k^2e^{2kt} - k^2e^{2kt} = 0$ で一定であるが、 $x(t)$ はいくらでも大きくなる。

定理 2.2と定理 3.1の証明が用いたのは、 $E$ が $0$ 以上の二つの量の和であることである。方程式の右辺の符号が逆になると、この性質が失われ、結論も変わる。

注意 5.2 (本記事が扱う範囲). 本記事は、 $x''=-\omega^2 x$ という一つの方程式について、解の形を定め、保存される量から初期条件が解を決めることを示すところを扱う。線形の微分方程式の一般解の構成、解の存在と一意性の一般論、および解の安定性は「常微分方程式」が扱う。変数分離形の微分方程式を積分によって解く手順は「微積分」が扱い、本単元では「ロジスティック方程式」と「接線の条件から決まる曲線」がそれを用いる。

6 つまずいたら

$x'' = -\omega^2 x$ は、 $x$ と $x''$ の両方を含むので、両辺を $t$ で積分しても $x$ が定まりません。解いて求めるのではなく、解の候補を代入して確かめ、それ以外に解がないことを別に示す、という順序で進みます。
定理 2.1の $E$ に付く重みは $\omega^2$ であり、 $\omega$ ではありません。 $E'(t)$ を計算したときに $x''=-\omega^2x$ と打ち消し合う形が、この重みを決めます。
定理 3.1の証明は、二つの解の差 $u$ に保存される量を用いています。 $u$ が解であることは、方程式の両辺が $x$ について1次であることから従います。
初期条件で与えるのは、位置 $x(0)$ と速度 $x'(0)$ の二つです。位置だけでは解は定まりません。 $x(0)=0$ を満たす解は $B\sin\omega t$ の形の関数すべてであり、一つに定まりません。
振幅は $\sqrt{x_0^2 + \dfrac{v_0^2}{\omega^2}}$ であり、 $\sqrt{x_0^2+v_0^2}$ ではありません。 $\omega$ で割る操作を落とすと、 $\omega \ne 1$ のときに値が変わります。
方程式の右辺の符号を取り違えないでください。 $x''=k^2x$ では解は有界とは限らず、本記事の議論は通りません（注意 5.1）。

§C4.19単振動と2階の微分方程式

1 方程式と、三角関数による解

2 速度の2乗と位置の2乗の重みつきの和

3 初期条件によって解が定まる

4 振幅と周期

5 符号が逆である場合

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